2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（）A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-22．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2333．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是3，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．6．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．8．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù)，我國(guó)的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機(jī)，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機(jī)上市時(shí)間和市場(chǎng)占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì)，則最早何時(shí)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月10．平行四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則的通項(xiàng)公式（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，，則________.14．利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，類比上述結(jié)論，利用等體積法進(jìn)行推導(dǎo)，在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值，則這個(gè)定值是______15．已知函數(shù)，令，，若，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________16．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，且，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.19．（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，.（Ｉ）證明：；（Ⅱ）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).20．（12分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生，調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計(jì)情況如下表：同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求；（2）若，且面積的最大值為，求周長(zhǎng)的取值范圍.22．（10分）改革開放年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對(duì)值，所以去絕對(duì)值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意，，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.3、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.5、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程，得到，進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值．設(shè)，則，化簡(jiǎn)得：，則，解得：，即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.6、B【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可排除C選項(xiàng)，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．8、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、C【解析】

根據(jù)圖形，計(jì)算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點(diǎn)在直線上，令因?yàn)闄M軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點(diǎn)睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.10、C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運(yùn)算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識(shí).12、D【解析】

先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，需理解補(bǔ)集的概念，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

計(jì)算正四面體的高，并計(jì)算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.【詳解】作平面，為的重心如圖則，所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查類比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、4【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求得，，，進(jìn)而得到，再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，且，，可得，，又由，可得為常數(shù)列，且，數(shù)列表示首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，其中數(shù)列滿足，所以，所以，又由，可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，所以，即，又由表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.16、【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【詳解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因?yàn)?，所以，解?在中，由余弦定理得，，即，，故.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，再利用線面垂直的判定定理證明.（Ⅱ）設(shè)，則，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，由是中點(diǎn)，得到到平面的距離，然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，由，，得三點(diǎn)共線，且，又，，所以平面，所以.（Ⅱ）設(shè)，，，在底面中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以，，過作，則平面，即點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為到平面的距離，因?yàn)榕c平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）,有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)；（2）詳見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）由題意可知X服從二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】（1）因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)（2）①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為，即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大，故X服從二項(xiàng)分布，即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布，屬于中檔題.21、（1）