考研數(shù)學(xué)三線性代數(shù)(矩陣)模擬試卷2(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三線性代數(shù)（矩陣）模擬試卷2(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．已知A=，A*是A的伴隨矩陣，若r(A*)=1．則a=()A．3B．2C．1D．1或3正確答案：D解析：A是四階矩陣，那么由伴隨矩陣秩的公式所以a=1或a=3時(shí)，均有r(A*)=1．因此應(yīng)選D知識(shí)模塊：矩陣2．設(shè)A為n階方陣，且A的行列式｜A｜=a≠0A*是A的伴隨矩陣，則｜A*｜等于()A．a(chǎn)B．C．a(chǎn)n-1D．a(chǎn)n正確答案：C解析：對(duì)AA*=｜A｜E兩邊取行列式，得｜A｜｜A*｜=｜｜A｜E｜=｜A｜n由｜A｜=a≠0，可得｜A*｜=｜A｜=an-1．所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：矩陣3．設(shè)A和B都是n階矩陣，則必有()A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜B．AB=BAC．｜AB｜=｜BA｜D．(A+B)-1=A-1+B-1正確答案：C解析：因?yàn)椋麬B｜=｜A｜｜B｜=｜B｜A｜=BA｜，所以C正確．對(duì)于選項(xiàng)A，取B=-A，則｜A+｜B=0，而｜A｜+｜B｜不一定必為零，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，由矩陣乘法不滿足交換律知，B不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D也不正確．所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：矩陣4．設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是n階單位陣，則必有()A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正確答案：D解析：由題設(shè)ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A與BC以及Aj5}與C均互為逆矩陣，從而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比較四個(gè)選項(xiàng)，所以應(yīng)選D．知識(shí)模塊：矩陣5．設(shè)A是m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為r1，則()A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r與r1的關(guān)系依C而定正確答案：C解析：因?yàn)锽=AC=EAC，其中E為m階單位矩陣，而E與C均可逆，由矩陣的等價(jià)定義可知，矩陣B與A等價(jià)，從而r(B)=r(A)．所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：矩陣6．設(shè)三階矩陣A=，若A的伴隨矩陣的秩等于1，則必有()A．a(chǎn)=b或a+2b=0．B．a(chǎn)=b或a+2b≠0．C．a(chǎn)≠b且a+2b=0．D．a(chǎn)≠b或a+2b≠0．正確答案：C解析：根據(jù)矩陣A與其伴隨矩陣A*秩的關(guān)系可知，r(A)=2，即A為降秩矩陣，從而故有a+2b=0或a=b．但當(dāng)a=b時(shí)，r(A)=1．故必有a≠b且a+2b=0，所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：矩陣7．設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為()A．B．C．D．正確答案：D解析：由題設(shè)，有知識(shí)模塊：矩陣8．已知矩陣A=，那么下列矩陣中與矩陣A相似的矩陣個(gè)數(shù)為()A．1．B．2．C．3．D．4．正確答案：C解析：二階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值1和3，因此A～A=，那么只要和矩陣A有相同的特征值，它就一定和A相似，也就一定與A相似．(1)和(2)分別是上三角和下三角矩陣，且特征值是1和3，所以它們均與A相似，對(duì)于(3)和(4)，由可見(jiàn)(4)亦與A相似，而(3)與A不相似．所以應(yīng)選C．知識(shí)模塊：矩陣填空題9．設(shè)A=，則其逆矩陣A-1=________正確答案：解析：對(duì)已知矩陣和單位矩陣同時(shí)作初等變換，即知識(shí)模塊：矩陣10．設(shè)A=，且r(A)=2，則k=_______正確答案：-2解析：對(duì)A作初等變換，因此r(A)=2時(shí)，故k=-2．知識(shí)模塊：矩陣11．設(shè)A=，B是3階非零矩陣，且AB=O，則a=________正確答案：解析：因?yàn)锳B=0，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0．而知識(shí)模塊：矩陣12．已知n階矩陣A=，則r(A2-A)=______正確答案：1解析：根據(jù)A2-A=A(A-E)，已知矩陣A=，A是可逆矩陣，因此r(A2-A)=r(A-E)，而r(A-E)=1，所以r(A2-A)=1．知識(shí)模塊：矩陣13．設(shè)n階矩陣A滿足A2=A，E為n階單位陣，則r(A)+r(A-E)=_______正確答案：n解析：由已知A2=A，則有A(A-E)=A2-A=A-A=O，所以r(A)+r(A-E)≤n又r(A-E)=r(E-A)，則r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，因此r(A)+r(A-E)=n．知識(shí)模塊：矩陣14．已知A=，矩陣X滿足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=______正確答案：解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜X｜X=E+2AX，移項(xiàng)可得(｜A｜E-2A)X=E，因此X=(｜A｜E-2A)-1已知｜A｜=4，所以知識(shí)模塊：矩陣15．已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，-1)T，α3=(-1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(-1，1)T，Aα3=(3，-4)T，則A=_____正確答案：解析：利用分塊矩陣，得A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=，那么知識(shí)模塊：矩陣16．設(shè)A、B均為3階矩陣，E是3階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B-2E)-1=________正確答案：解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過(guò)移、添加項(xiàng)構(gòu)造出B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，則有(A-3E)(B-2E)=6E．從而知識(shí)模塊：矩陣17．設(shè)A=，且A，B，X滿足(E-B-1A)tBtX=E，則X-1=_______正確答案：解析：由(E-B-1A)TBTX=E，得[B(E-B-1A)]TX=E，即(BE-BB-1A)TX=E，也就是(B-A)TX=E，因此X-1=(B-A)T=知識(shí)模塊：矩陣18．設(shè)矩陣A與B=相似，則r(A)+r(A-2E)=_______正確答案：3解析：矩陣A與B相似，則A-2E與B-2E相似，結(jié)合已知條件，并根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)，則有r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3知識(shí)模塊：矩陣19．設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，且A2-2A-8E=O，則r(4E-A)+r(2E+A)=__________正確答案：n解析：根據(jù)已知A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4E-A)+r(2E+A)≤n，同時(shí)r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E-A)+r(2E+A)=n．知識(shí)模塊：矩陣20．設(shè)3階方陣A，B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA，且A=則B=______正確答案：解析：由題設(shè)可知，A可逆，已知A-1BA=6A+BA，在該等式的兩端右乘A-1，則有A-1B=6E+B，在該等式兩端左乘A，可得B=6A+AB，則有(E-A)B=6A，即B=6(E-A)-1A，且知識(shí)模塊：矩陣解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。21．(1)設(shè)A=，求φ(A)=A10-5A9；(2)設(shè)A=，求φ(A)=A10-6A9+5A8正確答案：(1)A的特征多項(xiàng)式為解得A的特征值為λ1=1，λ2=5．對(duì)于λ1=1，解方程(A-E)x=0，得單位特征向量對(duì)于λ2=5，解方程(A-5E)x=0，得單位特征向量于是有正交矩陣P=，使得P-1AP=diag(1，5)=A，從而A=PAP-1，Ak=PAkP-1因此(2)A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為λ1=-1，λ2=1，λ3=5．對(duì)于λ1=-1，解方程(A+E)x=0，得單位特征向量對(duì)于λ2=1，解方程(A-E)x=0，得單位特征向量對(duì)于λ3=5，解方程(A-5E)x=0，得單位特征向量于是有正交矩陣使得P-1AP=diag(-1，1，5)=A，A=PAP-1．因此φ(A)=Pφ(A)P-1=P(A10-6A9+5A8)P-1=P[A8(A-E)(A-5E)]P-1=Pdiag(1，1，58)diag(-2，0，4)diag(-6，-4，0)P-1=Pdiag(12，0，0)P-1涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣22．設(shè)A=，求一個(gè)4×2矩陣B，使AB=0，且r(B)=2．正確答案：方法一：r(B)=2，因此可設(shè)B=，由AB=O，即解此非齊次線性方程組，得唯一解故所求矩陣為B=方法二：設(shè)矩陣B按列分塊B=(b1，b2)，由于r(B)=2，所以b1，b2線性無(wú)關(guān)．因?yàn)锳B=O，即A(b1，b2)=O，得Ab1=O且Ab2=O，也就是b1，b2是方程Ax=0的解．又r(A)=2，則b1，b2是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣23．設(shè)A為n階矩陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明正確答案：(1)當(dāng)r(A)=n時(shí)，｜A｜≠0，則有｜A*｜=｜A｜N-1≠0從而A*可逆，即r(A*)=n．(2)當(dāng)r(A)=n-1時(shí)，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個(gè)n-1階子式不為零，即A*中至少有一個(gè)元素不為零，故r(A*)≥1．又因r(A)=n-1時(shí)，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知，AA*=O．因此根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n-1代入上式，得r(A*)≤1．綜上所述，有r(A*)=1．(3)當(dāng)r(A)≤n-2時(shí)，A的所有n-1階子式都為零，也就是A*的任一元素均為零，即A*=O，從而r(A*)=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣24．設(shè)矩陣A=相似，求x，y；并求一個(gè)正交矩陣P，使P-1AP=A．正確答案：A與A相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=-4，λ=y是A的特征值．因?yàn)棣?-4是A的特征值，所以有解得x=4．已知相似矩陣的行列式相同，于是由所以有-20y=-100，y=5．當(dāng)λ=5時(shí)，解方程(A-5E)x=0，得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，將它們正交化、單位化得：當(dāng)λ=-4時(shí)，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，單位化得：于是有正交矩陣使P-1AP=A．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣25．已知A=，求可逆矩陣P，使P-1AP=A．正確答案：由得矩陣A的特征值λ1=λ2=3，λ=0．當(dāng)λ=3時(shí)，有(3E-A)x=0，且得特征向量α1=(1，-2，0)T，α2=(0，0，1)T當(dāng)λ=0時(shí)，有(0E-Ax)=0，且得特征向量α3=(-1，-1，1)T那么，令涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．26．計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；正確答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A-1有涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣27．證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．正確答案：由下三角形行列式及分塊矩陣行列式的運(yùn)算，有因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αTA-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要條件是b-αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．涉及知識(shí)點(diǎn)：矩陣28．設(shè)α，β為3維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別為α，β的轉(zhuǎn)置．證明：r(A)≤2．正確答案：方法一：r(A)=r(αα