考研數(shù)學(xué)一(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))模擬試卷40(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試卷40(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相關(guān)系數(shù)ρXY=1，則A．P{Y=一2X一1}=1．B．P{Y=2X一1}=1．C．P{Y=一2X+1}=1．D．P{Y=2X+1}=1．正確答案：D解析：由于X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=1>O，因此P|Y=aX+b}=1，且a＞0．又因?yàn)閅～N(1，4)，X～N(0，1)，所以EX=0，EY=1．而EY=E（aX+b)=b,b=1．即應(yīng)選(D)．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2．已知隨機(jī)變量X與Y有相同的不為零的方差，則X與Y相關(guān)系數(shù)ρ=1的充要條件是A．C0v(X+Y，X)=0．B．Cov(X+Y，Y)=0．C．Cov(X+Y，X—Y)=0．D．Cov(X一Y，X)=0．正確答案：D解析：接用定義通過(guò)計(jì)算確定正確選項(xiàng)．已知DX=DY=σ2＞0，則故選(D)．其余選項(xiàng)均不正確，這是因?yàn)楫?dāng)DX=DY時(shí)，知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3．設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維一林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1，X2，…，XnA．有相同期望和方差．B．服從同一離散型分布．C．服從同一均勻分布．D．服從同一連續(xù)型分布．正確答案：C解析：因?yàn)榱芯S一林德伯格中心極限定理的條件是，X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布而且各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差存在．顯然4個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)(C)滿足此條件：均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差都存在．選項(xiàng)(A)不成立，因?yàn)閄1，X2，…，Xn有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不滿足列維一林德伯格中心極限定理的條件；而選項(xiàng)(B)和(D)雖然滿足同分布，但數(shù)學(xué)期望和方差未必存在，因此也不滿足列維一林德伯格中心極限定理的條件，故選項(xiàng)(B)和(D)一般也不能保證中心極限定理成立．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4．假設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立且服從同參數(shù)λ的泊松分布，則下面隨機(jī)變量序列中不滿足切比雪夫大數(shù)定律條件的是A．X1，X2，…，Xn，…B．X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C．X1，2X2，…，nXn,…D．正確答案：C涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)5．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時(shí)依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的數(shù)學(xué)期望．B．有相同的方差．C．服從同一泊松分布．D．服從同一連續(xù)型分布，f(x)=正確答案：C解析：辛欽大數(shù)定律要求：{Xn，n≥1}獨(dú)立同分布且數(shù)學(xué)期望存在．選項(xiàng)(A)、(B)缺少同分布條件，選項(xiàng)(D)雖然服從同一分布但期望不存在，因此選(C)．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6．設(shè)Xn表示將一枚勻稱的硬幣隨意投擲n次其“正面”出現(xiàn)的次數(shù)，則A．B．C．D．正確答案：C涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)填空題7．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則隨機(jī)變量X的二階原點(diǎn)矩為_(kāi)______．正確答案：解析：依題設(shè)，即求EX2．首先對(duì)所給概率密度作變換：對(duì)于x(一∞＜x＜+∞)，有由此可知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，從而于是知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)8．設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)地試驗(yàn)直到成功兩次為止，則所需進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_____．正確答案：解析：設(shè)X表示試驗(yàn)成功兩次時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，Y表示第一次試驗(yàn)成功所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，Z表示從第一次成功之后到第二次成功所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，則X=Y+Z，且Y與Z都服從同一幾何分布，其概率分布為從而有E(Y)=E(Z)=于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)9．已知隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1一e-1，則E(X1+X2)2=________．正確答案：2解析：已知Xi～P(λi)且相互獨(dú)立，所以EXi=DXi=λi，i=1，2．E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．為求得最終結(jié)果我們需要由已知條件求得λ1+λ2．因?yàn)镻{X1+X2＞0}=l—P{X1+X2≤0}=1—P{X1+X2=0}=1一P{X1=0，X2=0}=1—P{X1=0}P{X2=0}所以λ1+λ2=1，故E(X1+X2)2=1+1=2．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10．已知(X，Y)在以點(diǎn)(0，0)，(1，0)，(1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，對(duì)(X，Y)作4次獨(dú)立重復(fù)觀察，觀察值X+Y不超過(guò)1出現(xiàn)的次數(shù)為Z，則EZ2=_______．正確答案：5解析：由題設(shè)知(X，Y)的聯(lián)合概率密度為若記A=“X+Y≤1”，則Z是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，故Z～B(4，p)，其中知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11．設(shè)盒子中裝有m個(gè)顏色各異的球，有放回地抽取n次，每次1個(gè)球．設(shè)X表示n次中抽到的球的顏色種數(shù)，則EX=______．正確答案：解析：令則X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中沒(méi)有抽到第i種顏色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取結(jié)果互不影響，因此有知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12．將一顆骰子連續(xù)重復(fù)擲4次，以X表示4次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，則根據(jù)切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥______．正確答案：涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)13．設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn相互獨(dú)立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，則概率正確答案：解析：由于X1，…，Xn相互獨(dú)立同分布，因此有．應(yīng)用切比雪夫不等式，有知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)14．已知隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)式P{|X—Y|≥≤_______．正確答案：解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0，知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)15．將一枚骰子重復(fù)擲n次，則當(dāng)n→∞時(shí)，n次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂于______.正確答案：7/2解析：設(shè)X1，X2，…，Xn是各次擲出的點(diǎn)數(shù)，它們顯然獨(dú)立同分布，每次擲出點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望EX=21／6=7／2．因此，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，依概率收斂于7／2．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)16．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，記Yn=X2n一X2n-1，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時(shí)依概率收斂于_______．正確答案：2σ2解析：由于{Xn，n≥1}相互獨(dú)立，故Yn=X2n一X2n-1(n≥1)相互獨(dú)立并且都服從N(0，2σ2)，所以{Yn2,n≥1}獨(dú)立同分布且EYn2=DYn+(EYn)2=2σ2，根據(jù)辛欽大數(shù)定律，當(dāng)n→∞時(shí)依概率收斂于2σ2．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)17．設(shè)隨機(jī)變量序列X1，…，Xn，…相互獨(dú)立且都在(一1，1)上服從均勻分布，則=_______(結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)ψ(x)表示)．正確答案：解析：由于Xn相互獨(dú)立且都在(一1，1)上服從均勻分布，所以EXn=0，根據(jù)獨(dú)立同分布中心極限定理，對(duì)任意x∈R有知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)18．設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)成功的概率p=0．20，現(xiàn)在將試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行100次，則試驗(yàn)成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率α=____．正確答案：0.84解析：以X表示“在100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)”，則X服從參數(shù)為(n，p)的二項(xiàng)分布，其中n=100，p=0．20，且由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，知隨機(jī)變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)．因此試驗(yàn)成功的次數(shù)介于16和32次之間的概率=ψ(3)一ψ(一1)=ψ(3)一[1一ψ(1)]=0．9987一(1一0．8413)=0．84，其中ψ(u)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)．知識(shí)模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。19．投籃測(cè)試規(guī)則為每人最多投三次，投中為止，且第i次投中得分為(4一i)分，i=1，2，3．若三次均未投中不得分，假設(shè)某人投籃測(cè)試中投籃的平均次數(shù)為1．56次．(I)求該人投籃的命中率；(Ⅱ)求該人投籃的平均得分．正確答案：(I)設(shè)該投籃人投籃次數(shù)為X，投籃得分為Y；每次投籃命中率為p(0＜p＜1)，則X的概率分布為P{X=1}=P，P{X=2}=pq，P{X=3}=q2，EX=p+2pq+3q2=p+2p(1一p)+3(1一p)2=p2—3p+3．依題意p2一3p+3=1．56，即p2—3p+1．44=0．解得p=0．6(p=2．4不合題意，舍去)．(Ⅱ)Y可以取0，1，2，3四個(gè)可能值，且P{Y=0}=q3=0．43=0．064，P{Y=1}=pq2=0．6×0．42=0．096，P{Y=2}=pq=0．6×0．4=0．24，P{Y=3}=p=0．6，于是涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)20．甲、乙兩人相約于某地在12：00～13：00會(huì)面，設(shè)X，Y分別是甲、乙到達(dá)的時(shí)間，且假設(shè)X和Y相互獨(dú)立，已知X，Y的概率密度分別為求先到達(dá)者需要等待的時(shí)間的數(shù)學(xué)期望．正確答案：X和Y的聯(lián)合概率密度為按題意需要求的是|X—Y|的數(shù)學(xué)期望，即有(D1，D2如圖4．2)涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21．設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為記Z=X2+Y2．求：(I)Z的密度函數(shù)；(Ⅱ)EZ，DZ；(Ⅲ)P{Z≤1}．正確答案：(I)當(dāng)z≤0時(shí)，F(xiàn)(z)=0；當(dāng)z＞0時(shí)，F(xiàn)(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}由此可以看出，Z服從參數(shù)為的指數(shù)分布．(Ⅱ)由(I)的結(jié)果(指數(shù)分布)可知，EZ=2σ2，DZ=4σ4．(Ⅲ)涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22．設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且都服從數(shù)學(xué)期望為1的指數(shù)分布，求Z=min{X1，X2，…，Xn}的數(shù)學(xué)期望和方差．正確答案：Xi(i=1，2，…，n)的分布函數(shù)為由于諸Xi(i=1，2，…，n)相互獨(dú)立，則Z=min{X1，X2，…，Xn}的分布函數(shù)與概率密度分別為涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)23．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[一1，1]上服從均勻分布，隨機(jī)變量(I)Y=，試分別求出DY與Cov(X，Y)．正確答案：顯然Y是X的函數(shù)：Y=g(X)，因此計(jì)算DY可以直接應(yīng)用公式EY=Eg(X)，或用定義計(jì)算．EY2=Eg2(X)=∫-∞+∞g2(x)f(x)dx=∫-∞+∞f(x)dx=1，故DY=EY2一(EY)2=1—0=1．或者EY=1×P{Y=1}+0×P{Y=0}+(一1)×P{Y=一1}涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)24．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，已知D(X)=1，而隨機(jī)變量Y的概率密度為f(一y)，且ρXY=記Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．正確答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(一y)dy.令y=一x，則∫-∞+∞yf(一y)dy=∫-∞+∞(一x)f(x)d(一x)=一∫-∞+∞xf(x)dx，所以E(Z)=0．又D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)一[一E(X)]2，而E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫-∞+∞(一x)2f(x)d(-x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)，而E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫+∞-∞(一x)2f(x)d(一x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)所以D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1．于是D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)25．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立同分布，且X的概率分布為記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，試求：(I)(U，V)的分布；(Ⅱ)E(UV)；(Ⅲ)ρUV．正確答案：(I)設(shè)(U，V)的分布為則有p11=P{U=1,V=1}=P{max(X,Y)=1,min(X,Y)=1}=P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=，p12=P{U=1，V=2}=P{max(X，Y)=1，min(X，Y)=2}=P()=0，p22=P{U=2，V=2}=P{max(X，Y)=2，min(X，Y)=2}=P{X=2，Y=2}=P{X=2}P{Y=2}=，p21=1-p11-p12一p22=．所以(U，V)的分布為(Ⅱ)UV可能取值為1，2，4，所以(Ⅲ)由(I)可知涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)26．已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布為又P{X=1}=0．5，且X與Y不相關(guān)．(I)求未知參數(shù)a，b，c；(Ⅱ)事件A={X=1}與B={max(X，Y)=1}是否獨(dú)立，為什么?(Ⅲ)隨機(jī)變量X+Y與X—Y是否相關(guān)，是否獨(dú)立?正確答案：(I)應(yīng)用聯(lián)合分布、邊緣分布關(guān)系及X與Y不相關(guān)求參數(shù)a、b、c．由于P{X=1}=0．5，故P{X=一1}=0．5，a=0．5—0．1—0．1=0．3．又X與Y不相關(guān)E(XY)=EX.EY，其中EX=(一1)×0．5+1×0．5=0．XY可能取值為一1，0，1，且P{XY=一1}=P{X=一1，Y=1}+P{X=1，Y=一1}=0．1+b，P{XY=1}=P{X=1，Y=1}+P{X=一1，Y=一1}=0．1+c，P{XY=0}=P{X=一1，Y=0}+P{X=1，Y=0}=a+0．1，所以E(XY)=一0．1—b+0．1+c=c一b，由E(XY)=EXEY=0c一b=0，b=c，又b+0．1+c=0．5，所以b=c=0．2．(Ⅱ)由于A={X=1}B={max(X，Y)=1}，P(AB)=P(A)=0．5，0＜P(B)＜1，又P(A)P(B)=0．5P(B)＜0．5=P(AB)，即P(AB)≠P(A)P(B)，所以A與B不獨(dú)立．(Ⅲ)因?yàn)镃ov(X+Y，X—Y)=Cov(X，X)一Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一Cov(Y，Y)=DX—DY，DX=EX2一(EX)2=1，EY=0，DY=EY2一(EY)2=0．6，所以Cov(X+Y，X—Y)=1—0．6=0．4≠0，X+Y與X一Y相關(guān)X+Y與X—Y不獨(dú)立．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)27．設(shè)甲、乙兩人隨機(jī)決定次序?qū)ν荒繕?biāo)進(jìn)行獨(dú)立地射擊，并約定：若第一次命中，則停止射擊，否則由另一人進(jìn)行第二次射擊，不論命中與否，停止射擊．設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率依次為0．6和0．5．(I)計(jì)算目標(biāo)第二次射擊時(shí)被命中的概率；(Ⅱ)設(shè)X，Y分別表示甲、乙的射擊次數(shù)，求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY．正確答案：(I)設(shè)A表示甲先射擊，則表示乙先射擊，又設(shè)Bi表示在第i次射擊時(shí)目標(biāo)被命中(i=1，2)，則由題意，有由全概率公式即得(Ⅱ)由題意知P{X=0，Y=0}=0，P{X=1，Y=0}=P(AB1)=0．3，所以(X，Y)的分布律及邊緣分布律為計(jì)算得EX=0．75，EY=0．7，DX=0．25×0．75，DY=0．3×0．7，E(XY)=0．45，于是涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)28．設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為(I)求X與Y的相關(guān)系數(shù)；(Ⅱ)令Z=XY，求Z的數(shù)學(xué)期望與方差．正確答案：求X與Y的相關(guān)系數(shù)通常是計(jì)算EX，EY，DX，DY，EXY，然后根據(jù)公式求得ρXY．EX=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫0+∞∫0+∞xye-(x+y)dxdy=∫0+∞xe-xdx∫0+∞ye-ydy=1EX2=∫0+∞∫0+∞x2ye-(x+y)dxdy=∫0+∞x2e-xdx∫0+∞ye-ydy=Γ(3).Γ(2)=2DX=EX2一(EX)2=1．同樣方法可以計(jì)算出EY=DY=2．又EZ=EXY=∫0+∞∫0+∞xy2e-(x+y)dxdy=∫0+∞y2e-ydy∫0+∞xe-xdx=Γ(3).Γ(2)=2，E(XY)2=∫0+∞∫0+∞x2y3e-(x+y)dxdy=∫0+∞y3e-ydy∫0+∞x2e-xdx=Γ(4).Γ(3)=12(I)由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0，故(Ⅱ)DZ=DXY=E(XY)2一[E(XY)]2=12—22=8．涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)29．已知二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為(I)求(U，V)的概率分布；(Ⅱ)求U和V的相關(guān)系數(shù)ρ．正確答案：(I)由題設(shè)易求得U，V的概率分布進(jìn)而可求出(U，V)的概率分布．由于又P{U=0，V=1}=P{X+Y≤1，X+Y＞2}=0，故(U，V)的概率分布為(Ⅱ)由(U，V)的概率分布可求得U與V的相關(guān)系數(shù)ρ．由于U，V均服從0—1分布，故涉及知識(shí)點(diǎn)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)30．假設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=ce-λ|x|(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=|X|．(I)求常數(shù)c及EX，DX；(Ⅱ)問(wèn)X與Y是否相關(guān)?為什么?(Ⅲ)問(wèn)X與Y是否獨(dú)立?為什么?正確答案：(I)由于∫-∞+∞f(x)dx=1，所以c∫-∞+∞e-λ|x|dx=2c∫0+∞e-λxdx=又f(x)是偶函數(shù)，