2023-2024學(xué)年河北雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年河北雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里5．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件6．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或7．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或8．ΔABC中，如果lgcosA=lgsinA．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形9．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．以下關(guān)于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個(gè)單位，可得到的圖象11．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點(diǎn)在線段上，以為直徑的圓過點(diǎn).若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．12．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為________.14．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)為，，為雙曲線C上一點(diǎn)，且，若線段與雙曲線C交于另一點(diǎn)A，則的面積為______.15．若滿足約束條件，則的最大值為__________．16．若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標(biāo)函數(shù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn)，點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn)，求的最大值．18．（12分）在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).19．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過點(diǎn)（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問k1+k2是否為定值？并說明理由．22．（10分）已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)椋?，若值域?yàn)椋灾恍?，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng)；結(jié)合特殊值，即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項(xiàng)A，B；又∵當(dāng)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.4、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.5、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.8、B【解析】

化簡(jiǎn)得lgcosA＝lgsinCsinB＝﹣lg2，即cosA=sinCsinB=12，結(jié)合0<A<π，可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2，可得lgcosA＝∵0<A<π，∴A=π3，B+C=2π3，∴sinC＝12sinB＝12sin2π3-C＝34cosC+故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對(duì)稱軸，錯(cuò)誤C選項(xiàng)，，不是對(duì)稱中心，錯(cuò)誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個(gè)單位得到，正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡(jiǎn)三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因?yàn)槠矫妫矫?，所?又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡(jiǎn)得.在中，，.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.12、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，，，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設(shè)，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡(jiǎn)得；由橢圓定義知的周長(zhǎng)為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo),借助,即可解得所求.【詳解】由已知得，又，，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得，所以，，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.15、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.16、12【解析】

畫出約束條件的可行域，求出最優(yōu)解，即可求解目標(biāo)函數(shù)的最大值．【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域，如下圖，由x+y-4=02x-3y-8=0，解得目標(biāo)函數(shù)y=3x-z，當(dāng)y=3x-z過點(diǎn)(4,0)時(shí)，z有最大值，且最大值為12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標(biāo)方程；（2）寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的極坐標(biāo)，根據(jù)極徑的定義分別表示出和，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標(biāo)方程為，，極坐標(biāo)方程．（2）由題可知，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.18、【解析】

將直線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合的取值范圍進(jìn)行取舍即可.【詳解】因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以直線的普通方程為，又因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程,解得或，因?yàn)?，所以舍去，故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，，，，根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，，，如下圖所示：因?yàn)?，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易求，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量，則即令，則，，故.設(shè)平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.20、（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意知,為增函數(shù)等價(jià)于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由題意得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值求參數(shù)的取值范圍；考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力；利用導(dǎo)數(shù)把函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.21、（1）（2）k1+k2為定值0，見解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出，然后化簡(jiǎn)求解即可.【