廣東省中山市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

中山市高二級(jí)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號(hào)、座位號(hào)寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上.3.不可以使用計(jì)算器.4.考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交.第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿足，若，則()A.-1 B. C.1 D.24.過點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是()A. B.C.或 D.或5.已知是拋物線：焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A. B. C. D.16.將邊長為正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).則異面直線與所成的角的大小為()A. B.C. D.7.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.243 B.244 C.486 D.4888.已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)(點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部)，則A. B.4 C.3 D.1二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列命題正確的是()A.若，則數(shù)列為等差數(shù)列B.若，則數(shù)列為等比數(shù)列C.若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D.若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列10.(多選)已知圓，直線.則以下幾個(gè)命題正確的有()A.直線恒過定點(diǎn) B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相交 D.直線被圓截得最長弦長時(shí)，直線的方程為11.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是()A B.C.點(diǎn)O到直線的距離為 D.O，A，B，C四點(diǎn)共面12.過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則()A.若，則直線只有條 B.若，則直線有條C.若，則直線有條 D.若，則直線有條第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13.已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則直線的方程為______．14.若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則等于___________.15.空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.16.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線的對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上這些性質(zhì)可以應(yīng)用在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠(yuǎn)鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當(dāng)來自天體平行對(duì)稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會(huì)匯聚到卡塞格林焦點(diǎn)F處，但光線尚未完全匯聚時(shí)，又受到以F為焦點(diǎn)的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)處以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓過三個(gè)點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角大小.19.記數(shù)列的前n項(xiàng)之積為.(1)若為等比數(shù)列，，，求；(2)若為等比數(shù)列，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作動(dòng)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為，求證：直線過定點(diǎn).21.容器A內(nèi)裝有6升濃度為20%酒精水溶液，容器B內(nèi)裝有4升濃度為5%的酒精水溶液，先將A內(nèi)的酒精水溶液倒1升進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的酒精水溶液倒1升進(jìn)入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復(fù)操作n次，A、B容器內(nèi)的酒精水溶液濃度分別為，.(酒精水溶液濃度=(酒精水溶液中乙醇體積/酒精水溶液總體積)×100%)(1)請計(jì)算，，并判斷數(shù)列否為等比數(shù)列?若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，請說明理由；(2)至少要經(jīng)過幾次操作，A、B兩容器中溶液濃度之差小于1%?(，)(3)求，的表達(dá)式.22.如圖所示，定點(diǎn)到定直線的距離.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于它到定直線距離的2倍.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是曲線.(1)請以線段所在的直線為軸，以線段上的某一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并求曲線的方程；(2)請指出(1)中的曲線的如下兩個(gè)性質(zhì)：①范圍；②對(duì)稱性.并選擇其一給予證明.(3)設(shè)(1)中的曲線除了經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，還與軸交于另一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，求證：. 中山市高二級(jí)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷本試卷滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號(hào)、座位號(hào)寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上.3.不可以使用計(jì)算器.4.考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交.第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由得，直線的斜率為，根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系得，則.故選：C2.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D3.已知數(shù)列滿足，若，則()A.-1 B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由，且，得到所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，且，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故選：A4.過點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是()A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】就直線與平行或過的中點(diǎn)可求直線的方程.【詳解】若過的直線與平行，因?yàn)?，故直線的方程為：即.若過的直線過的中點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，此時(shí)，故直線的方程為：即.故選：D.5.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合已知條件，求出的長，進(jìn)而求得，再結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，可得,又由，所以，在等腰中，可得，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故選：A.6.將邊長為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).則異面直線與所成的角的大小為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出異面直線與所成的余弦值，即可得解.【詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、.所以，，則，所以.因此，異面直線與所成的角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求解異面直線所成角的大小，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則()A.243 B.244 C.486 D.488【答案】C【解析】【分析】通過，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可.【詳解】由，①所以，②②-①：所以當(dāng)時(shí)，所以，所以數(shù)列以首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列所以所以故選：C.8.已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)(點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部)，則A. B.4 C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】連接,設(shè)橢圓的基本量為，,故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題，關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合橢圓的定義計(jì)算.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，則下列命題正確的是()A.若，則數(shù)列等差數(shù)列B.若，則數(shù)列為等比數(shù)列C.若數(shù)列是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D.若數(shù)列是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，C，利用等差數(shù)列定義判斷即可，對(duì)于B，D，通過舉反例判斷【詳解】解：對(duì)于A，由等差數(shù)列的定義可知當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，所以，所以，，成等差數(shù)列，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為偶數(shù)時(shí)，，，均為零，所以，，不成等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤，故選：AC10.(多選)已知圓，直線.則以下幾個(gè)命題正確的有()A.直線恒過定點(diǎn) B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相交 D.直線被圓截得最長弦長時(shí)，直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷．【詳解】直線方程整理得，由，解得，∴直線過定點(diǎn)，A正確；在圓方程中令，得，，∴軸上弦長為，B正確；，∴在圓內(nèi)，直線與圓一定相交，C正確；直線被圓截得弦最長時(shí)，直線過圓心，則，，直線方程，即．D錯(cuò)．故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題．(1)直線方程整理為關(guān)于參數(shù)的方程，然后由恒等式知識(shí)可得定點(diǎn)坐標(biāo)．(2)直線與圓的位置關(guān)系的判斷，若直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交，若定點(diǎn)在圓上，則直線與圓相交或相切，定點(diǎn)在圓外，直線與圓的三種位置關(guān)系都有可能．(3)直線過圓心時(shí)弦長最長，直線所過定點(diǎn)是弦中點(diǎn)時(shí)，弦長最短．11.已知空間四點(diǎn)，則下列說法正確的是()A. B.C.點(diǎn)O到直線的距離為 D.O，A，B，C四點(diǎn)共面【答案】ABC【解析】【分析】計(jì)算數(shù)量積判斷A，求向量夾角判斷B，利用向量垂直判斷C，根據(jù)空間向量共面定理判斷D．【詳解】，，A正確；，B正確；，，所以，，所以點(diǎn)O到直線的距離為，C正確；，假設(shè)若O，A，B，C四點(diǎn)共面，則共面，設(shè)，則，此方程組無解，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)不共面，D錯(cuò)．故選：ABC．12.過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則()A.若，則直線只有條 B.若，則直線有條C.若，則直線有條 D.若，則直線有條【答案】ABD【解析】【分析】先由雙曲線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，利用弦長公式即可判斷.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，該雙曲線的漸近線方程為，若直線的斜率不存在，則的方程為，代入雙曲線，得，此時(shí)；若直線的斜率存在，可設(shè)的方程為，可設(shè)、，由聯(lián)立可得，為使與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，可得，由韋達(dá)定理可得，所以.A選項(xiàng)，由可得，無解，因此若，則的方程只有，A正確；B選項(xiàng)，由，可得，解得，因此，若，則的方程為，B正確；C選項(xiàng)，由，可得，解得，因此，若，則的方程為，C正確；D選項(xiàng)，由，可得，解得或，因此，若，則的方程為或，D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13.已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則直線的方程為______．【答案】【解析】【分析】由兩個(gè)圓的方程相減后可得直線的方程.【詳解】因?yàn)閳A與圓相交于，兩點(diǎn)故的方程為：，整理得到：.故答案為：.14.若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則等于___________.【答案】30【解析】【分析】由通項(xiàng)公式可得，從而數(shù)列項(xiàng)兩兩結(jié)合進(jìn)行求和.【詳解】解：由題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則，所以.故答案為:30.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求和的常見方法有：等差、等比數(shù)列公式法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)相消法；并向求和法等.15.空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合材料，分別求出平面的法向量和直線的方向向量，即可求解.【詳解】根據(jù)材料可知，由平面的方程為，得為平面的法向量，同理可知，與分別為平面與的法向量.設(shè)直線的方向向量，則，即，取，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.故答案為：.16.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線的對(duì)稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上這些性質(zhì)可以應(yīng)用在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面卡塞格林式望遠(yuǎn)鏡是由兩塊反射鏡組成的望遠(yuǎn)鏡，如圖中心截面示意圖所示反射鏡中大的稱為主鏡，小的稱為副鏡，通常在主鏡的中央開孔，成像于主鏡后面.主鏡是凹拋物面鏡中心截面是拋物線，當(dāng)來自天體平行對(duì)稱軸的光線投射到主鏡上，經(jīng)過主鏡反射，將會(huì)匯聚到卡塞格林焦點(diǎn)F處，但光線尚未完全匯聚時(shí)，又受到以F為焦點(diǎn)的凸雙面鏡中心截面是雙曲線D的一支的反射，穿過主鏡中心孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)處以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系若單位：米，則拋物線C的方程為___________凹拋物面鏡的口徑MN為，凸雙面鏡的口徑ST為，若所有被凹拋物面鏡匯聚的光線恰好都能被凸雙曲面鏡反射，則雙曲線D的離心率為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，求得其方程；根據(jù)，求得M的坐標(biāo)，由ST=，求得S的縱坐標(biāo)，再根據(jù)，求得其橫坐標(biāo)，再根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)為F，設(shè)雙曲線方程為，將S的坐標(biāo)代入求解.【詳解】因?yàn)榍€C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則拋物線C的方程為，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，因?yàn)镾T=，則，易知，則，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)為F，則，所以雙曲線方程為，將，代入上式，解得或，又，則，所以，故答案為：，四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓過三個(gè)點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)圓的方程為，列出方程組，求得的值，即可求得圓的方程；(2)根據(jù)題意得到，得出在以為直徑的圓上，得到以為直徑的圓的方程，再聯(lián)立兩圓的方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的軌跡方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A過三個(gè)點(diǎn)，可得，解得，所以圓的方程為，即.【小問2詳解】解：因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以點(diǎn)的軌跡方程為.18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間平面向量夾角公式【小問1詳解】如圖，過作于.由題意可知，在直角梯形中，，，，所以，.又，，所以，所以.因?yàn)椋?，面，所以?因?yàn)槊?，所以面面；【小?詳解】由(1)可知，，，兩兩垂直，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，所以，即平面和平面的夾角為.19.記數(shù)列的前n項(xiàng)之積為.(1)若為等比數(shù)列，，，求；(2)若為等比數(shù)列，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)設(shè)公比為，求出即得解；(2)設(shè)等比數(shù)列公比為，求出，當(dāng)時(shí)，，即得解.【小問1詳解】解：設(shè)公比為，因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積，由，得，，解得，，所以，所以.【小問2詳解】解：設(shè)等比數(shù)列公比為，則，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，即，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作動(dòng)直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題干條件，可求得a、c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可求得b值，即可得答案.(2)當(dāng)直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，將直線與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，表達(dá)式，化簡計(jì)算，可得直線BN的方程，即可求得定點(diǎn)；當(dāng)直線平行x軸時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得證.【詳解】(1)解：由橢圓定義知：，所以，又，則，所以橢圓方程為.(2)證明：當(dāng)直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，由消去，整理得：，所以①，②，又，所以直線BN的方程為，即③，又，所以④，將①?②式代入④式化簡得：⑤，⑤代入③化簡得直線的方程為，故直線過定點(diǎn).當(dāng)直線平行x軸時(shí)，交點(diǎn)A，為長軸兩個(gè)端點(diǎn)，則直線BN為x軸，經(jīng)過點(diǎn).綜上：直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的定義、韋達(dá)定理的應(yīng)用等知識(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)為：設(shè)直線時(shí)，需檢驗(yàn)與x軸平行的直線是否滿足題意.21.容器A內(nèi)裝有6升濃度為20%的酒精水溶液，容器B內(nèi)裝有4升濃度為5%的酒精水溶液，先將A內(nèi)的酒精水溶液倒1升進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的酒精水溶液倒1升進(jìn)入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復(fù)操作n次，A、B容器內(nèi)的酒精水溶液濃度分別為，.(酒精水溶液濃度=(酒精水溶液中乙醇體積/酒精水溶液總體積)×100%)(1)請計(jì)算，，并判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列?若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，請說明理由；(2)至少要經(jīng)過幾次操作，A、B兩容器中溶液濃度之差小于1%?(，)(3)求，的表達(dá)式.【答案】(1)，，是，；(2)至少要操作7次才能達(dá)到要求；(3)，【解析】【分析】(1)先根據(jù)題意求出，，并求出，得到數(shù)列為等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)在第一問的基礎(chǔ)上列出不等式，解不等式求出答案；(3)根據(jù)