湖北省十一校高三聯(lián)考考后提升數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練一

湖北十一校2024屆高三聯(lián)考考后提升卷數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練一一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，，由此可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以；又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)楸硎舅械钠鏀?shù)，表示部分奇數(shù)，所以；所以，故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)以及虛部的定義分析求解.【詳解】根據(jù)題意可知，則，所以其虛部為.故選：B.3.已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過角的終邊，求出角的正切值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系把原式整理成分子分母同時(shí)除以，把的值代入即可求得答案.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在函數(shù)的圖象上，所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的定義，考查齊次式的應(yīng)用，考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4.的外接圓的圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)中的向量關(guān)系可得是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合半徑及可求，根據(jù)投影數(shù)量的定義可計(jì)算投影數(shù)量，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】由題意可得：，即：，即外接圓的圓心為邊的中點(diǎn)，則是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合有為等邊三角形，故，故，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為.故選：D.5.已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點(diǎn)，則過點(diǎn)，和的平面截直四棱柱所得截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出截面，判斷截面為菱形，即可得出截面面積.【詳解】如圖，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則過點(diǎn)，和的平面截直四棱柱所得截面即四邊形．易得，所以四邊形為菱形，連接，則，又，，所以截面面積為，故選：D．6.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，求出通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】，其通項(xiàng)公式為：，當(dāng)時(shí)，，解得：.故選：A.7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)滿足，若橢圓上一點(diǎn)滿足，則的最大值是（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用的坐標(biāo)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上結(jié)合斜率關(guān)系求出，然后求出的最大值作答.【詳解】設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，又，因此，而，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足橢圓方程，借助整體思想進(jìn)行計(jì)算可以簡(jiǎn)化整個(gè)運(yùn)算過程，可起到四兩撥千斤的效果．8.若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將由不等式轉(zhuǎn)化為，令，得到，令函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到且，即可求解.【詳解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因?yàn)椋?，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，若存在，使得成立，只需且，解得，因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)?中?外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（0.9372，0.01392）.則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：若（），則，，.）A.B.C.D.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由題意可知，正態(tài)分布的.選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，且，所以，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)橐恢豢谡诌^濾率小于等于的概率為，又因?yàn)?，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.【答案】BC【解析】【分析】由題意得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可判斷ABD；進(jìn)一步有，由此可判斷C.【詳解】由題意可知，故B正確D錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；而，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：BC.11.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A：三角形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為，即可判斷；對(duì)B：將所求角度轉(zhuǎn)化為所成角，連接，取交點(diǎn)為，求得角度的最大值；考慮三角形中角度最小時(shí)的狀態(tài)為點(diǎn)與重合，再求對(duì)應(yīng)最小值即可；對(duì)C：分析點(diǎn)在不同平面下的軌跡，即可求得軌跡長(zhǎng)度；對(duì)D：求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)幾何關(guān)系求的長(zhǎng)度即可.【詳解】對(duì)A：當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點(diǎn)到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對(duì)B：連接，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，作圖如下所示：因?yàn)槊妫拭?，又面，故；?dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?/，則與所成的角即為與所成的角；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，因?yàn)?，故可得所成角為；?dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，設(shè)所成的角為，則，故當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值，最小，此時(shí)，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線所成角范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，也即與底面的夾角為；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)（異于點(diǎn)），過作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)（異于點(diǎn)），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當(dāng)點(diǎn)在平面上（異于點(diǎn)）時(shí)，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)?，易知點(diǎn)的軌跡為，；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)?，易知點(diǎn)的軌跡為，；當(dāng)點(diǎn)在平面上時(shí)，因?yàn)槊?/面，故與面所成角與與面所成角相等，因?yàn)槊?，連接，故；在三角形中，易知，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長(zhǎng)度為：；當(dāng)點(diǎn)在面上，不滿足題意；綜上所述：點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為：，故C正確；對(duì)D：取的中點(diǎn)分別為，連接，如下所示：因?yàn)?/面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長(zhǎng)度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考察立體幾何中線面位置關(guān)系，以及角度，軌跡長(zhǎng)度的求解；特別的對(duì)選項(xiàng)C，分別考慮點(diǎn)在不同平面下軌跡的情況，是解決問題的核心，屬綜合困難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)函數(shù)，則____，使得的實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】①.4②.【解析】【分析】直接根據(jù)函數(shù)的解析式可得，再代入求值；對(duì)分和兩種情況討論，即可得答案；【詳解】因?yàn)?，所以，因此；?dāng)時(shí)，可化為，即顯然恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，.故答案為4；.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13.在菱形ABCD中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，過球心作平面，則為等邊三角形的中心，分別利用三角形的的中心求出的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出外接球半徑的平方，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】設(shè)菱形的對(duì)角線交點(diǎn)為，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，又因?yàn)?，中，，，由余弦定理可得：，所以，過球心作平面，則為等邊三角形的中心，因?yàn)?，為公共邊，所以，則有，因?yàn)?，為等邊三角形的中心，則，，在中，由，可得：，在中，，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積為，故答案為：.14.設(shè)數(shù)列滿足，，若且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】【解析】【分析】由可化為，由，可得，可求得，再將的通項(xiàng)展開裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)求和方法計(jì)算即得.【詳解】因，設(shè)①，展開整理得：，對(duì)照，可得：，解得，故①式為：，因時(shí)，，即數(shù)列為常數(shù)列，故，，數(shù)列的前項(xiàng)和為：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列遞推式型如，（為非零常數(shù)）的數(shù)列的通項(xiàng)求法和數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法,屬于較難題.解題關(guān)鍵點(diǎn)有二，其一，對(duì)遞推式的處理.可設(shè)展開整理后與對(duì)照，求得，，回代入原式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即得通項(xiàng)；其二，對(duì)于分式型數(shù)列通項(xiàng)的求和處理.要觀察表達(dá)式特點(diǎn)，將其適當(dāng)裂項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可求得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖在中，，滿足.（1）若，求的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，在和中利用正弦定理，建立等量關(guān)系求的余弦值；（2）利用C、M、D三點(diǎn)共線，求得，再根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)向量數(shù)量積求，展開后利用基本不等式求最小值.【小問1詳解】由題意可設(shè)，在中①在中②由①②可得，解得，則，解得.故.【小問2詳解】，且C、M、D三點(diǎn)共線，所以，，故．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；所以.16.某機(jī)構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費(fèi)者的購(gòu)買力，界定3至8月份購(gòu)買商品在5000元及以上人群屬“購(gòu)買力強(qiáng)人群”，購(gòu)買商品在5000元以下人群屬“購(gòu)買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺(tái)消費(fèi)人群中隨機(jī)選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購(gòu)買力強(qiáng)的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，分組區(qū)間為，得到頻率直方圖（如圖）．（1）求出頻率直方圖中a的值和這200人的平均年齡．（2）從第組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率．（3）把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組．若選出的200人中“購(gòu)買力弱人群”的中老年人有20人，問：是否有的把握認(rèn)為，是否屬“購(gòu)買力強(qiáng)人群”與年齡有關(guān)？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）0.035，41.5歲（2）（3）沒有99%的把握【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各矩形面積之和為1，可求得a的值；根據(jù)平均數(shù)的估計(jì)方法即可求得平均年齡；（2）根據(jù)分層抽樣的比例可得第組中抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案；（3）計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，所以，平均數(shù)為，所以這200人的平均年齡為41.5歲．【小問2詳解】由題意可知第組中人數(shù)的必為，故利用分層抽樣的方法抽取5人，從第一組抽取2人，從第二組抽取3人．記從第一組抽取的2人為，從第二組抽取的3人為，則從這5人中隨機(jī)抽取2人共共10種情形，其中兩人恰好屬于不同組別的共種情形，故所求的概率；【小問3詳解】由題意知200人中屬購(gòu)買力強(qiáng)的人數(shù)占80%，有160人，故得列聯(lián)表：

購(gòu)買力強(qiáng)人群購(gòu)買力弱人群合計(jì)青少年組10020120中老年組602080合計(jì)16040200提出假設(shè)：是否屬“購(gòu)買力強(qiáng)人群”與年齡無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得，所以沒有99%的把握認(rèn)為，是否屬“購(gòu)買力強(qiáng)人群”與年齡有關(guān)．17.如圖，在多面體中，四邊形為矩形，直線與平面所成的角為，，，，.（1）求證：直線平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】【分析】(1)由BC∥AD，可證明平面平面(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算平面平面的法向量，利用法向量的夾角計(jì)算即可.詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCE為矩形，所以BC∥AD.因?yàn)樗云矫嫱砥矫嬗忠驗(yàn)?，所以平面平面因?yàn)槠矫?，所以平面?）因?yàn)?，，，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫孢^點(diǎn)A作于點(diǎn)，則平面所以由,得，，以為原點(diǎn)，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,則，設(shè)平面的法向量為，則由得取其一個(gè)法向量為又平面的一個(gè)法向量為所以所以二面角BEGD的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定，面面平行的判定，以及二面角大小的計(jì)算，屬于中檔題.18.已知橢圓的離心率為，且左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)兩點(diǎn)不與橢圓上、下頂點(diǎn)重合），當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率可得，由可得，即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由題意及韋達(dá)定理可得在直線PQ斜率存在或不存在兩種情況下的面積表達(dá)式，由基本不等式可得面積取最大值時(shí)需滿足條件，即可得此時(shí)的值.小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，得，可得.又，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)到直線距離為.①直線的斜率不存在時(shí).設(shè)直線的方程為，且，則，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，且，由消去并整理可得.由題意知.由韋達(dá)定理，，則.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成