重難點(diǎn)專題04 妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商問題-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁重難點(diǎn)專題04妙用等和線解決平面向量系數(shù)和、差、商問題【題型歸納目錄】題型一：問題（系數(shù)為1）題型二：問題（系數(shù)不為1）題型三：問題題型四：問題題型五：問題題型六：問題【知識點(diǎn)梳理】（1）平面向量共線定理已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然。（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時，；④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對稱，則定值互為相反數(shù)；【典型例題】題型一：問題（系數(shù)為1）【例1】在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)，，當(dāng)時，，所以，所以，從而有；當(dāng)時，因為（，），所以，即，因為、、三點(diǎn)共線，所以，即.綜上，的取值范圍是.故選：C.【變式1-1】（2024·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，若，則的值為A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)，將用、表示出來，即可找到和的關(guān)系，從而求出的值．設(shè)，，所以，又，所以．故選：．【變式1-2】（2024·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若存在實數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，且，而，所以，即，由已知，則，選項D正確.故選：D題型二：問題（系數(shù)不為1）【例2】（2024·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點(diǎn)M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時，最??；當(dāng)M與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．因為是內(nèi)一點(diǎn)，且所以O(shè)為的重心在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時所以，即當(dāng)M與C重合時，最大，此時所以，即因為在內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即所以選B【變式2-1】（2024·山東煙臺·統(tǒng)考三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.【變式2-2】（2024·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谀┰谏刃沃校?，，為弧上的一個動點(diǎn)，且．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，令，則，因為，則，,，又，則，則，則，又，易知為減函數(shù)，由單調(diào)性易得其值域為.故選：B.題型三：問題【例3】（2024·上海嘉定·高二?？计谀┤鐖D,，點(diǎn)在由射線、線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動,且.當(dāng)時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，點(diǎn)在由射線、線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動，且.，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以與的反向延長線為兩鄰邊，當(dāng)時，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，，的取值范圍為.故選：B【變式3-1】（2024·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)P在由線段AB，AC的延長線及線段BC圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），則下列說法中正確的是．（填寫所有正確說法的序號）①存在點(diǎn)P，使得；②存在點(diǎn)P，使得；③存在點(diǎn)P，使得；④存在點(diǎn)P，使得．【答案】①④【解析】設(shè)，由圖可知：且，∴①④正確，故答案為：①④【變式3-2】（2024·高一課時練習(xí)）已知△ABC中，，若點(diǎn)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)且，則實數(shù)x的取值范圍為.【答案】【解析】如圖所示，在線段BD上取一點(diǎn)G，使得，設(shè)DC=3a，則DG=a，BC=5a，BG=a；過點(diǎn)G作GH∥DE，分別交DF?AE于K?H，連接FH，則點(diǎn)K?H為臨界點(diǎn)；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以實數(shù)x的取值范圍是().故答案為：().題型四：問題【例4】（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，若的最小值為，則正數(shù)的值為【答案】【解析】因為點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，則，又由點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為，則有，即，所以，因為，所以，故答案為：.【變式4-1】（2024·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為.【答案】【解析】依題意，作出圖形如下，因為，，，則，所以，因為三點(diǎn)共線，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.【變式4-2】（2024·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數(shù)的值為(

)A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，∵E、O、F三點(diǎn)共線，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴．故選：B．題型五：問題【例5】（2024·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動，若，則.【答案】3【解析】如圖，由題意得存在實數(shù)，使得.又，所以，又∵，且不共線，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案為：3.【變式5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┰谥校c(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上移動時，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，△ABC中，，∴（），又點(diǎn)E在線段AD（不含端點(diǎn)）上移動，設(shè)k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上單調(diào)遞減，∴λ的取值范圍為（，+∞），故選C．【變式5-2】（2024·天津·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動（不含端點(diǎn)），若，則，的最小值為.【答案】2【解析】因為在中，，所以,即.因為點(diǎn)在線段上移動（不含端點(diǎn)），所以設(shè).所以，對比可得.代入，得；代入可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)時，.故答案為：題型六：問題【例6】（2024·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)階段練習(xí)）在中，點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上移動時，若，則的取值范圍為．【答案】【解析】因為點(diǎn)在射線（不含點(diǎn)）上，設(shè)，又，所以，所以，，故的取值范圍.

【變式6-1】（2024·福建福州·高三?？计谀┰凇鰽BC中，點(diǎn)D滿足BD＝BC，當(dāng)E點(diǎn)在線段AD上移動時，若，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，存在實數(shù)使得，，所以，所以，原式，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，故選：C【變式6-2】（2024·重慶北碚·高三西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，則，于是得，而，且與不共線，則，即有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時M為BC中點(diǎn)，所以的最小值為.故選：C【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三課時練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由題可設(shè)，則，N為AM中點(diǎn)，,又，，.故選：A.2．（2024·四川成都·高三階段練習(xí)）在中，為邊上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】.考點(diǎn)：平面向量.3．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，在中，為線段上異于，的任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】中，不共線，點(diǎn)D在BC上，則，存在唯一實數(shù)t使，因為為的中點(diǎn)，，而，所以，所以.故選：B4．（2024·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)P在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且，則實數(shù)對可以是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)向量加法的幾何意義可知，當(dāng)時，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域1，不符合題意；當(dāng)時，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域2，不符合題意；當(dāng)時，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域3，不符合題意；當(dāng)時，由可知，點(diǎn)應(yīng)落在區(qū)域4，符合題意.又當(dāng)時，根據(jù)向量加法的幾何意義可知，此時點(diǎn)應(yīng)落在陰影區(qū)域之外，所以.故選：D.二、填空題5．（2024·福建三明·高二三明一中?？奸_學(xué)考試）如圖，在扇形中，，C為弧AB上的一個動點(diǎn)，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意可知，，，設(shè)，．由，得，，，點(diǎn)在弧上由運(yùn)動，在，上逐漸變大，變小，逐漸變大，當(dāng)時取得最大值4，當(dāng)時取得最小值．的取值范圍是，．故答案為：．6．（2024·江西上饒·統(tǒng)考三模）在扇形中，，為弧上的一個動點(diǎn).若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，在扇形中，，為弧上的一個動點(diǎn).不妨設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，令，則，，,，又，則，則，則，又，則，則，即，故答案為：.7．（2024·江西南昌·統(tǒng)考二模）如圖,在扇形OAB中,,C為弧AB上的一個動點(diǎn).若，則的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，過C分別作OB,OA的平行線，交OA,OB與M,N，不妨設(shè)圓半徑為1.則，∵，，由圖可知.將兩邊平方得1所以,顯然得:,（負(fù)值舍去),故.不妨令顯然在上單調(diào)遞減,,得.故答案為：[1,3].8．（2024·四川綿陽·高一統(tǒng)考期中）在扇形中，，為弧上的一動點(diǎn)，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.則.不妨設(shè).因為，所以，解得：，所以.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時最大；當(dāng)時最小.所以的取值范圍是.故答案為：.9．（2024·吉林·高一階段練習(xí)）如圖，在中，分別為上的點(diǎn)，且，，.設(shè)為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)不在邊界上），若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】取BD中點(diǎn)M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)）當(dāng)與重合時，根據(jù),可知，當(dāng)與重合時,由共線可知，即，結(jié)合圖形可知.10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，經(jīng)過的重心G的直線與分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，則的值為．【答案】3【解析】設(shè)，由題意知，，由P，G，Q三點(diǎn)共線，得存在實數(shù)使得，即，從而消去，得．故答案為：311．（2024·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動時，若，則的最小值為．【答案】/【解析】由，得，即，因為點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動，所以，又因為，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以的最小值為.故答案為：．12．（2024·重慶萬州·高一萬州外國語學(xué)校天子湖校區(qū)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動（不含端點(diǎn)），若，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，則，所以，而，可得：，所以，設(shè)，由雙鉤函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，則，所以的取值范圍是.故答案為：.13．（2024·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)在弧上，，若，則.

【答案】【解析】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，即，，即，，解得．．故答案為：14．（2024·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，半徑為1的扇形AOB的圓心角為，點(diǎn)C在AB上，且，若，則．【答案】【解析】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，即，，即，，解得．．故答案為：三、解答題15．（2024·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）小郭是一位熱愛臨睡前探究數(shù)學(xué)問題的同學(xué)，在學(xué)習(xí)向量三點(diǎn)共線定理時，我們知道當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)，且時，x+y=1（如圖1)第二天，小郭提出了如下三個問題，請同學(xué)幫助小郭解答.

（1）當(dāng)x+y>1或x+y<1時，O、P兩點(diǎn)的位置與AB所在直線之間存在什么關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并說明理由（2）如圖2，射線OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OA及BA的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動，且，求實數(shù)x的取值范圍，并求當(dāng)時，實數(shù)y的取值范圍.（3）過O作AB的平行線，延長AO、BO，將平面分成如圖3所示的六個區(qū)域，且，請分別寫出點(diǎn)P在每個區(qū)域內(nèi)運(yùn)動（不含邊界）時，實數(shù)x，y應(yīng)滿足的條件.（不必證明）【解析】（1）若，則O、P異側(cè)，若，則O、P同側(cè)；理由如下：設(shè)，則由得，，當(dāng)時，與同向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P異側(cè)；當(dāng)時，與反向，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，O、P同側(cè)；（2）由圖及平面向量基本定理可知，，即實數(shù)的取值范圍是，當(dāng)時，由平面向量加法的平行四邊形法則可知，；（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．16．（2024·高一