2024中考數(shù)學(xué)特色題型之取值范圍題（原卷版）（江蘇專(zhuān)用）

中考特色題型專(zhuān)練之取值范圍題

幾何篇

題型一、與三角形結(jié)合

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系g中,已知點(diǎn)&（“一可加+每°）,若直線上總存在一點(diǎn)

C.—9<m<2^/3—1D.-9<m<2^/3—1

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0,3）,B（a,O）,C（m,n）,其中m>a,a<\,?>0,若ABC是等腰直角

三角形，且=則根的取值范圍是（）

A.2Vm<3B.m<3C.3<m<4D.m>4

3.如圖，ABC中，NB=NC=75。,BC=2,P、。分別是AB、AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足ZBPQ=75。，

求線段PB的取值范圍.

4.如圖4MN=60°,若sABC的頂點(diǎn)B在射線AM上，且A5=2,動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿

射線AN運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是秒時(shí)，ABC是直角三角形.

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的取值范圍是秒時(shí)，ABC是鈍角三角形.

5.如圖所示，ABC與一。斯是兩個(gè)全等的直角三角形，NABC=，OE尸=60。，BC=EF=8,

ZC=ZF=90°,且點(diǎn)C、E、B、尸在同一條直線上，將ABC沿CB方向平移，設(shè)邊A3與DE相交于尸點(diǎn),

設(shè)CE=x,△P3E的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.

6.如圖，在Rt^ABC中，//4。8=90。,4。=2,8。=4,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒1個(gè)單位

的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作其所在直角邊的垂線，交AB邊于點(diǎn)。，以PQ

為底邊，作等腰△PQ。，使點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

⑴直接寫(xiě)出A8的長(zhǎng).

(2)分別求出當(dāng)f=l和f=3時(shí),求線段PQ的長(zhǎng).

⑶在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)H,用含f的代數(shù)式表示

⑷當(dāng)△PQD與ABC重疊部分的圖形為三角形時(shí)，直接寫(xiě)出r的取值范圍.

題型二、與四邊形結(jié)合

1.如圖，四邊形ABCD中，8。為對(duì)角線，AB=2,CD=2.8,E,尸分別是邊AD,3C的中點(diǎn)，則立的

取值范圍是（）

A.OA<EF￡2.4B,0.4￡EF<2AC.0.8<EF￡4.8D.0.8￡EF<4.8

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,￡為AD的中點(diǎn)，尸為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，尸為跖中點(diǎn)，連接尸￡）,

則線段尸。長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.2s/2<PD<y/wB.3<PD<A/10C.2<PD<4D.272<PD<4

3.如圖所示，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,點(diǎn)、D、E分別在邊AC、BC上，點(diǎn)RG在

A3邊上，當(dāng)四邊形D￡FG是菱形，且符合條件的菱形只有一個(gè)時(shí)，則菱形的邊長(zhǎng)/的取值范圍

是.

4.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,AD=6,點(diǎn)尸是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，

折痕與矩形邊的交點(diǎn)分別為E,F,要使折痕始終與邊A8,A￡>有交點(diǎn)，則BP的取值范圍是.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZADC=90°,ZABC=45°,AD=2,3c=6,點(diǎn)F從8點(diǎn)出發(fā)，沿

著折線3-C-D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠的速度始終為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為無(wú)秒，的面積記為y,

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

⑴請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并注明X的取值范圍.

（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出該函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的其中一條性質(zhì)：.

⑶若必=-x+t與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/的取值范圍______.

6.如圖，矩形A5CD中，AB=10,AD=5.E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE作AF1DE交矩形ABCD的邊于

點(diǎn)F,垂足為G.

圖⑴

⑴如圖（工）中，由題意可知的—AFB與/QE4關(guān)系是.

⑵若CF=2,求AE的長(zhǎng)；

⑶點(diǎn)0為矩形ABC。的對(duì)稱(chēng)中心（對(duì)角線交點(diǎn)），請(qǐng)直接寫(xiě)出0G的取值范圍.

題型三、與圓結(jié)合

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（1,O）,A（l-m,O）,8（1+〃0乂->0）,點(diǎn)尸在以仇4,4）為圓心,

1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿(mǎn)足N/出8=90。，則機(jī)的取值范圍是（）

A.3<m<5.5B.3<m<6C.4<m<6D.5<m<7

2.如圖，ABC中BC=6,/4=60。，點(diǎn)。為，神。的重心，連接AO、BO、CO,若固定邊BC,使頂點(diǎn)A

在ABC所在平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持/BAC的大小不變，則線段4。的長(zhǎng)度的取值范圍為()

A.2<OA<3A/2B.3<OA<3A/2

C.3<OA<2A/3D.2<OA<2^3

3.如圖，已知。的半徑為4,A8所對(duì)的圓心角NAO8=60。，點(diǎn)C為A?的中點(diǎn)，點(diǎn)。為半徑上一動(dòng)

點(diǎn).將△CDB沿C。翻折得到CDE,若點(diǎn)E落在半徑Q4、OB、A?圍成的封閉圖形內(nèi)部(不包括邊界)，

則0D的取值范圍為.

4.如圖，在.A05中，ZAOB=90°,AO=6,BO=6拒,以點(diǎn)。為圓心，以2為半徑作優(yōu)弧QE，交

于點(diǎn)D,交3。于點(diǎn)E,點(diǎn)M在優(yōu)弧￡)￡上從點(diǎn)。開(kāi)始移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)E時(shí)停止，連接AM,連接8M,設(shè)11ABM

的面積為S,S的取值范圍為.

5.如圖1,在，ABC中，CD為高，AB=10,BC=2M,BD=2,E,歹線段AD,8上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且AE=DF,連接EF.

(1)AC=；

(2)在E、P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)幾位)。與，DER相似時(shí)，求DE的值；

(3)如圖2,若以點(diǎn)。為圓心，O尸的長(zhǎng)為半徑作半圓D.

①當(dāng)半圓。與AC邊相切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

②當(dāng)半圓。與線段BC只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出AE長(zhǎng)的取值范圍.

6.如圖，在ABC中，N54C=45。，過(guò)點(diǎn)C作CD，CB,CD=CB,連接8。，△BCD的外接圓。交48于

點(diǎn)、E,連接仞，CE.

⑴求證：AC^CE.

（2）若AC=4\/^,記BE=x,AD—y.

①請(qǐng)寫(xiě)出y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)80<y<49，貝U。面積S的取值范圍是

函數(shù)篇

題型一、與一次函數(shù)結(jié)合

1.若一次函數(shù)y=（4一3左）1—2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（//）和點(diǎn)3（%,%）,當(dāng)玉時(shí)，為<%，則上的取值范

圍是（）

3344

A.左7<—B.kz>—C.左z<一D.左z>—

4433

2.一次函數(shù)丫=爪+6的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（不⑼，且1〈尤°W3,p=10左+1,則p的取值范圍是（）

A.—61<p<—21B.—61<p<—21C.—59<p<—19D.—59<p<—19

3.如圖，己知直線4：y=k[X+仿和直線4：y=&x+4相交于點(diǎn)A（a,3）,且Q4=O3=5,當(dāng)匕》+偽>&》+仇

時(shí)，x的取值范圍是.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A6。0是正方形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,4).

(1)若直線y恰好經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)，則7〃=；

(2)直線y=〃a-2恰好把正方形A3C。的面積分成相等的兩部分，則〃2=；

(3)若直線y=如-2與正方形ABCO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

5.(1)已知直線入y=2x+3和直線4：y=-X,請(qǐng)?jiān)谙旅娴淖鴺?biāo)系中作出這兩條直線，并直接寫(xiě)出方程

2x—y=—3

組x+L的解

(2)直線4：y=2x+3與x軸，》軸的交點(diǎn)分別為A,B,第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C的坐標(biāo)為&-+3),且ABC

與，的面積相等，求C點(diǎn)坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，若線段AB與一次函數(shù)'=辰-2左+1的圖像有交點(diǎn).

①一次函數(shù)、=丘-2左+1的圖像必過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為

②一次函數(shù)>=履-2左+1中左的取值范圍是

4

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=—(x>0)圖象G與直線/：y=丘-軟+1,點(diǎn)8(1,〃)"24,"為整

x

數(shù))在直線/上.

o\123456789*

⑴對(duì)于任意的左直線必過(guò)一定點(diǎn)，直接寫(xiě)出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G與直線/圍成的區(qū)域(不含邊界)為W.

①當(dāng)”=5時(shí)，求左的值，并寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)相滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求4的取值范圍.

題型二、與反比較函數(shù)結(jié)合

1.如圖，ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),斜邊8C=4jI,AB〃x軸，ACy軸，如果反比

例函數(shù)y=A與ASC有交點(diǎn)，那么左的取值范圍是()

X

D.l<k<32

2.已知如圖，一次函數(shù)X=x+4圖象與反比例函數(shù)%=：圖象交于A。,“），3（-5,祖）兩點(diǎn)，貝!]%>%時(shí)尤

的取值范圍是（）

A.一5vxv。或無(wú)〉1B.%<—5或Ov九vl

C.-5vxv0或OvxvlD.一5Vx<1

3.在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Ov中，一次函數(shù)M=￡X+4，%=^x+"的圖象與反比例函數(shù)>=—（無(wú)>0）的圖象

X

如圖所示，則當(dāng)％>>>%時(shí)，自變量尤的取值范圍是.

4.如圖是4個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2,每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作。（機(jī)為：T4

k

的整數(shù)），函數(shù)>的圖像為曲線L.

X

（1）若曲線L過(guò)1時(shí)，上的值=;

（2）若曲線L使得工這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)，上的取值范圍是.

5.如圖，在矩形A3CD中，AB=3,3。=4,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線CfD

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)。點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AD運(yùn)動(dòng)，過(guò)。點(diǎn)

作直線/平行于A3,點(diǎn)/為直線/上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足△加2的面積為2,設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為舊>。），

△ADP的面積為%，QM的長(zhǎng)度為內(nèi).

y八

8—?—?—?—?—?—?—?

⑴分別求出%,為與/的函數(shù)關(guān)系，并注明r的取值范圍;

(2)在坐標(biāo)系中畫(huà)出外,%的函數(shù)圖象；

⑶結(jié)合函數(shù)圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)月＞以時(shí)f的取值范圍.

2

6.樂(lè)樂(lè)同學(xué)在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究函數(shù)丁二三的性質(zhì).以下是他的研究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)

x-1

充完整.

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

⑶觀察圖象，發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，則它的對(duì)稱(chēng)中心為;

⑷若直線，=2x與函數(shù)y=—；的圖象交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P（x,y）,則下面關(guān)于x的取值范圍描述正確的

X-L

是（）

A.l<x<1.25B.1.25<x<1.5C.1.5<x<1.75D.1.75<x<2

題型三、與二次函數(shù)結(jié)合

1.己知拋物線了=/（彳一占）（云一馬）經(jīng)過(guò)4（0,利）,3（2,〃）兩點(diǎn)，若0W匕W%42,則機(jī)〃的取值范圍是（）

A.0<mn<3B.0<rm<3C.0<mn<4D.0<nm<4

2.新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)，若二次函數(shù)y=x+c（c為常

數(shù)）在-2<x<4的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，貝相的取值范圍是（）

9s9

A.-44<c<-B.-2<c<-C.-4<c<-D.-10<c<-

4444

3.拋物線>=62+法+。（。工0）的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)距離為4,方程

以2+fex+c=4+4有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不，%，且-3<%V-2,貝的取值范圍是.

4.我們定義一種新函數(shù)：形如>=辰2+尿+。|的函數(shù)叫做"鵲橋”函數(shù).小麗同學(xué)畫(huà)出了"鵲橋"函數(shù)

、=|尤2一2彳-3|的圖像（如圖所示），請(qǐng)完成下列兩空：

（1）圖象具有對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)軸是直線；

（2）若關(guān)于x的方程|尤2-2尤-3|+左=0有四個(gè)不等實(shí)根，則上的取值范圍為.

5.如圖①，拋物線L：y=/+6x+c與x軸交于4（1,0）,3（3,0）兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線工的表達(dá)式；

(2汝口圖②，若。為拋物線頂點(diǎn)，連接AC,CD,BD及BC,求證：.CBD^COA；

⑶如圖③，在平面內(nèi)放置一塊玻璃片，并用記號(hào)筆畫(huà)出遮蓋部分的拋物線〃，再將玻璃片向上平移〃

個(gè)單位長(zhǎng)度，使〃與△O3C的三邊有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)求出加的取值范圍.

6.定義：若直線/：>=履+)與函數(shù)G交于4(占,乂)、3(々,%)兩點(diǎn)，將叫做函數(shù)G在直線/上的弦長(zhǎng)，

S.\AB\=s/17e\xA-xB\,其中卜-匐叫做函數(shù)G在直線/上的截距.

⑴求出、=辦2-5ax+6a在無(wú)軸上的截距；

(2)若直線過(guò)定點(diǎn)拋物線y-1在該直線上的弦長(zhǎng)等于8,求直線的解析式；

⑶若二次函數(shù)y=f+(a+17)x+38-a與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn)A,在第三象限交于3、C兩

點(diǎn).

①若3、C兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出正整數(shù)。的值;

②若一1<"2,求該二次函數(shù)在直線2C上的截距的取值范圍.

中考特色題型專(zhuān)練之取值范圍題

r題型一、與三角形結(jié)合

幾何篇

題型一、與三角形結(jié)合

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系。中，已知點(diǎn)人（"-五。），則+石⑼,若直線”『S上總存在一點(diǎn)

P,使NAPB=60。，則，"的取值范圍為（

A.-36-4Vm<4-6B.-3^-4<m<4-73

C.-9<m<2A/3-1D.-9<m<2y/3-l

【答案】B

【分析】①在A3上方取一點(diǎn)研辦3）,作EK_LAB于K,則K（辦0）,連接AE,BE,可證明4ABE是正

三角形，得至IJNAEB=6O°,作‘ABE的外接圓則4B所對(duì)A班上的圓周角為60。，當(dāng)圓M與直線

y=立尤+2相切時(shí)，如圖1,圓M與直線y=3%+2相切于點(diǎn)尸，根據(jù)勾股定理可求出圓的半徑為廠=2,

-3'3

推出NMAK=30。，延長(zhǎng)PAf交x軸于N,根據(jù)直線y=^x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得NDCO=30。，進(jìn)而可

-3

得AM_LPN,得到MN=竿，推出。4=4一2石，結(jié)合。4=機(jī)-岔，可求出機(jī)=4-百；②在A8下方

取一點(diǎn)。（祖，-3）,連接A。，BQ,同理可得是正三角形，作其外接圓/，與直線y=￥x+2切于點(diǎn)

P,連接人PF,延長(zhǎng)所交x軸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)”交x軸于點(diǎn)同理可得3c=4,結(jié)合。8=-（加+⑹

可得〃7=_4-3A/L綜合①②即可得解.

【詳解】解：①如圖1,在A3上方取一點(diǎn)E的3）,作球，轉(zhuǎn)于K,則《％0）,AK=BK=日連接AE,

BE,

貝ijAE=^AK2+KE-=J(>/3)2+32=2括，BE=^BK2+KE2=不陰2+3?=2百，

AB=/71+>/3-(W-73)=2A/3,

??.AE=BE^AB,即ABE是正三角形，

則/A￡B=60。，

作_ABE的外接圓M,則AB所對(duì)AE8上的圓周角為60°,當(dāng)圓M與直線y=^x+2相切時(shí)，如圖1,圓M

與直線y=，lx+2相切于點(diǎn)尸，

-3

^MA=ME=r,則斯=3-廠，

在RtAWK中，AM2=AK2+MK2,

解得：丫=2,

MA=ME=2,MK=3-2=1,

NM4K=30。，

延長(zhǎng)尸M交x軸于N,

在》=4尤+2中，令x=0,則y=2,令y=o,貝Ijx=-2g,

二0(0,2),C(-2^,0),

：.OD=2,OC=2yf3,CD=M+(26j=4,

ZDCO=30°,

..在RtPCN中,2PN=CN,^.ZDCO^ZMAK,

：.CD//AM,

.-.AM±PN,即NAW=90°,

MNJ3

tanZWW=——=tan30°=—,

AM3

-6…6c273

333

PN=PM+MN=2+^^,

3

CN=2PN=4+-^-,

3

OA^=C?/-OC=4+—-2^=4--

33

在RtAW中，AN=2MN=—,

3

OA=ON-AN=4---^-=4-2y/3,

33

又OA=m—^3，

4—2A/3=m—y/3J角軍得：m=4—A/3；

②如圖2,在AB下方取一點(diǎn)。(根,一3),連接AQ,BQ,

同理可得.AB0是正三角形，作其外接圓F。，與直線y=3x+2切于點(diǎn)尸，連接昉，PF,

3

同上可知毋'=尸尸=2,ZABF=30°,ZABF=ZACP,

■■■BFYPF,

延長(zhǎng)PF交x軸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)Q尸交x軸于點(diǎn)//,

同理可得BG=迪，PG=2+型，CG=2PG=4+逋，

333

BC=CG-GB=4+---=4,

33

OB=OC+BC=2y/3+4,

又'OB=-(m+^,

.-(m)=4+2*\/^,

解得：m=-4-3^3,

則當(dāng)-3g-44加工4-百時(shí)，兩圓與直線丁=且1+2相交必存在點(diǎn)尸使NAftB=60。.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，勾股定理，正三角形的判定與性質(zhì)，圓與直線相切，圓周角定

理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí).

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（O,3）,C（m,n）,其中%>a,a<\,n>Q,若ABC是等腰直角

三角形，且=則他的取值范圍是（）

A.2<m<3B.m<3C.3<m<4D.加>4

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的定義，坐標(biāo)與圖形.添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造

全等三角形是本題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)C作CQ_L無(wú)軸于由AAS可證△AOB絲△3DC,可得AO=BD=2,

BO=CD=n=a,即得出。的取值范圍，再根據(jù)OD=05+5Z）=3+。=w，即可得出加的取值范圍.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDLx軸于，

團(tuán)A（0,3）,

團(tuán)49=3.

團(tuán)ABC是等腰直角三角形，且AB=5C,

0ZABC=90°=ZAOB=NBDC,

團(tuán)ZABO+ZCBD=90°=ZABO+ZBAO,

⑦NBAO=NCBD.

ZAOB=ZBDC

在,AO3和即。中，</BAO=/CBD,

AB=BC

團(tuán)AOB絲BDC(AAS),

團(tuán)AO=BD=3,BO=CD=n=a,

團(tuán)Ovavl.

0OD=OB+BD=3+a=m,

03<m<4.

故選C.

3.如圖，ABC中，/3=NC=75。，BC=2,P、。分別是A3、AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足ZBPQ=75。,

求線段尸3的取值范圍.

【答案】瓜-C〈PB〈瓜+母

【分析】本題考查等腰直角三角形，含30。角的直角三角形及等腰三角形的知識(shí).欲求心的取值范圍即要

找到最小值和最大值時(shí)點(diǎn)?的位置，最小值即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，最大即點(diǎn)P在A處，關(guān)鍵還要作輔助線構(gòu)

造直角三角形，具體見(jiàn)詳解.

【詳解】解：如圖，當(dāng)。與C重合時(shí)，依的值最小，過(guò)點(diǎn)P作尸AC于

ZB=ZACB=75°

ZA=180?！?5。-75。=30。

ZCPB=75°,AC=AB

??.ZCPB=ZB

CP=CB=2

ZCPB=ZA+ZACP

：.ZACP=45°

PH±AC

ZPHC=ZAHP=90°

PH=CH=^/2

PA=2PH=2垃,AH=6PH=a

AC=AB=y/6+y/2

PB=y/6+y/2-2s/2=j6-y/2

46-y/2<PB<^+y/2.

故答案為：A/6-A/2<PB<V6+V2.

4.如圖NMAN=60。，若一ABC的頂點(diǎn)B在射線上，且AB=2,動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間》是秒時(shí)，ABC是直角三角形.

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間,的取值范圍是秒時(shí)，ABC是鈍角三角形.

【答案】1或40</<1或"4

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的分類(lèi)；

（1）過(guò)8作于E,BF±AM,BF交AN于F,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AE,AP的

長(zhǎng)即可求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)B作于E,BF±AM,BF交AN于F,

則NAEB=90°,ZABF=9Q°,

ZMAN^60°,

:.ZABE=30°,ZAFB=30°,

AB=2,

AE=—AB=1,AF=2AB=4,

2

團(tuán)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f為1或4時(shí)，MC是直角三角形.

故答案為：1或4.

（2）由（1）可得AE=1,AF=4；

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段的取值范圍是0</<1或Z>4秒時(shí)，ABC是鈍角三角形.

故答案為：1。<4.

5.如圖所示，ABC與』?EF是兩個(gè)全等的直角三角形，ZABC=ZDEF=6Q°,BC=EF=8,

ZC=ZF=90°,且點(diǎn)C、E、B、尸在同一條直線上，將ABC沿CB方向平移，設(shè)邊A3與DE相交于P點(diǎn),

設(shè)CE=x,△P3E的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍.

【答案】5=?（87）2（04尤<8）或5=4@+8）2（04*<8）.

【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，平移的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，由CE=x,

BC=8,得出EB=8-x,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/ABC=NOE產(chǎn)=60。，則△P3E是等邊直角三角

形，然后分①當(dāng)點(diǎn)E位于線段BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)E位于BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，進(jìn)而得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系

式，并求出自變量的取值范圍；得出△尸班是等邊直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】①如圖，當(dāng)點(diǎn)E位于線段5C上時(shí)，

團(tuán)CE=x,BC=S,

國(guó)EB=8-x,

^ZABC=ZDEF=6G0,

0ZEPB=6O°,

0APEB是等邊三角形，

過(guò)尸作P"J_3C于點(diǎn)目，

SZPHE=90°,則N￡P(guān)H=30°,

SEH=-PE,

2

回由勾股定理得：PH=《PE?—EH?=/_X?=#（8-x）,

EIS=：BExPH=gx（8_x）x￥（8_x）=Y（8__r）2=￥a_8）2（0?尤＜8）,

②如圖，當(dāng)點(diǎn)E位于BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

ElZE=ZB=60o,

0ZEPB=6O°,

El△EPS是等邊三角形，

過(guò)P作尸于點(diǎn)H,

SZPHE=90°,則NEPH=30°,

^EH=-PE,

2

回由勾股定理得：PH={PE?一EH?=3工+8)2_^^)=￥(X+8),

EIS=|BEXP/1=1X(X+8)X^(X+8)=^(X+8)2=^(X+8)2(O<X<8),

n

團(tuán)S=?x+8)9(OWx<8),

綜上可知：s與X之間的函數(shù)關(guān)系式為S=￥(8-療(04苫<8)或5=￥(%+8)2(04;(:<8).

6.如圖，在Rt^ABC中，NACB=9(r,AC=2,BC=4,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒1個(gè)單位

的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)42、C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作其所在直角邊的垂線，交A3邊于點(diǎn)。，以PQ

為底邊，作等腰△「以>,使尸。〃筋，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

備用圖

⑴直接寫(xiě)出A8的長(zhǎng).

(2)分別求出當(dāng)f=l和f=3時(shí)，求線段尸。的長(zhǎng).

⑶在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)X,用含f的代數(shù)式表示

⑷當(dāng)△PQO與ABC重疊部分的圖形為三角形時(shí)，直接寫(xiě)出f的取值范圍.

【答案】(DAB=2百

3

(2)2=1時(shí)，PQ=2；/=3時(shí)，PQ=-

-t(0<t<2)

⑶2

3--t?<t<

[2

410

(4)0<Z<r<6

【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，掌握分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理計(jì)算即可；

(2)分別畫(huà)出r=l和r=3時(shí)的圖形，然后利用正切計(jì)算即可；

(3)分0</<2和2<r<6兩種情況，借助解直角三角形解題即可；

(4)分0</<2和2<f<6兩種情況，根據(jù)PCND”,列不等式解題即可.

【詳解】(1)解：國(guó)在3ABe中AC=2,BC=4,ZC=90°,

^AB=4AC1+BC2=>/22+42=275；

(2)解：當(dāng)f=l時(shí)，如圖，則AP=1

BCPQ4PQ

團(tuán)tanAA==,即nn——,

ACAP21

PB=3,

?ACPQ2PQ

團(tuán)tanB==,BHPn—=，

BCPB43

則AP=f,

4BCPQ

團(tuán)tanA==----,

ACAP

^PQ=2t,

^PD=DQ,DH1PQ,

^PH=^PQ=t,

又I3PD〃AB,

S\ZAQP=ZQPD,

DHAP

StanZAQP=tanZQPD,即~^=而

DHt

團(tuán)----=—

t2t

如圖，當(dāng)2<f<6時(shí)，則CP=t-3,BP-6-t,

ACPQ

回tanBn=----=，

BCPB

回PQ=；（6T）,

^\PD=DQ,DHLPQ,

回PH=7Q=；（6T），

又聞尸￡)〃AB,

gNBQP=NQPD=ZA,

DH

0tanZA=tanZ2PD,即一=—=2,

PHAC

-f（0<r<2）

2

綜上，DH={

3-1/（2<r<6）

(4)解:當(dāng)0＜，＜2時(shí)，

團(tuán)△PQO與ABC重疊部分的圖形為三角形,

14

0PC>r>H,即2-rZ—f,解得0</4—；

23

當(dāng)2<r<6時(shí)，

團(tuán)△PQO與ABC重疊部分的圖形為三角形，

0PC>DH,即f—223—解得54/<6；

410

綜上所述，△PQD與ABC重疊部分的圖形為三角形時(shí)，或

題型二、與四邊形結(jié)合

1.如圖，四邊形A5CD中，為對(duì)角線，AB=2,CD=2.8,E,尸分別是邊AD,3c的中點(diǎn)，則斯的

取值范圍是（）

A.0.4<EF￡2.4B.0.4￡EF<2AC.0.8<EF￡4.8D.0.8￡￡F<4.8

【答案】A

【分析】取3。的中點(diǎn)區(qū)連接即、切，根據(jù)三角形中位線定理分別求出即、FH,根據(jù)三角形的三邊關(guān)

系解答即可.

【詳解】解：取8。的中點(diǎn)連接EH、FH,

團(tuán)6、//分別為AD、的中點(diǎn)，

回是/XABD的中位線，

B1EH=-AB=l,

2

同理可得：FH=^CD=1.4,

在IEHF中，F(xiàn)H-EH<EF<FH+,即0.4<防<2.4,

當(dāng)點(diǎn)H在上時(shí)，EF=2.4,

0O.4<EF￡2.4,

故選：A.

D

E

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系定理；添加輔助線，構(gòu)造中位線，得出線段之間的

數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在矩形A5CD中，AB=2,AD=4,E為的中點(diǎn)，尸為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為防中點(diǎn)，連接PO,

則線段尸￡>長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.2>/2<PD<y/wB.3<PD<A/10C.2<PD<4D.2\f2<PD<4

【答案】A

【分析】根據(jù)中位線定理先判斷出點(diǎn)尸的軌跡是線段《6,再根據(jù)矩形的性質(zhì)及已知條件判斷是直角三角

形，從而得出點(diǎn)。到線段耳心上各點(diǎn)的連線中，。［最小，DP2最大;

【詳解】解：如圖所示：當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)尸在點(diǎn)片處，

期=電，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合，點(diǎn)尸在點(diǎn)心處，EP2=BP2.

PR//比且勺8=gcE,

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置時(shí)，有BP=F產(chǎn);

由中位線定理可知:：PXP//CF且=

.??點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段耳心，

在矩形ABCO中，AB=2,AD=4,E為的中點(diǎn),

D

.?/龐“皈、一叫為等腰直角三角形,

，AECB=45°,4DCPI=45°,

.PR"EC,

乙P?P[B=AECB=45°,

/.=90°,

-*?￡>P的長(zhǎng)最小，。鳥(niǎo)最大,

,CD=CP】=DE=2,

DP、=2立CE=2及,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、中位線定理、勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)需注意數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題干以及圖

形確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是該題解答的重要思路，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問(wèn)題.

3.如圖所示，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,點(diǎn)、D、E分別在邊AC、2C上，點(diǎn)、F、G在

A8邊上，當(dāng)四邊形DEFG是菱形，且符合條件的菱形只有一個(gè)時(shí)，則菱形的邊長(zhǎng)/的取值范圍

是________________.

AGFB

…,180T,i5,20

【答案】/==或七</V?

3783

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，分正方形及G、A重合或產(chǎn)、5重合三類(lèi)討論

ACDEsACAB,利用邊的比例性質(zhì)求解可得到答案

設(shè)邊長(zhǎng)為x,

在RtZ\ABC中,

0ZC=9O°,AC=9,BC=12,

0AB=V92+122=15>

3S

貝|CD=《九，AD=~xf

El-x+-x=9,

45

解得：龍=翳

SDE^AB,

團(tuán)ACDEsACAB,

CDDE

0----=-----，

CAAB

9-mm

n即n----=——

915

解得：m=—

o

=一有多個(gè)菱形，不唯一,

8

團(tuán)機(jī)w—,

8

當(dāng)尸、5重合時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為小

AB,

0ACDE^AG4B,

CEDE

團(tuán)------,

CBAB

12—nn

即

12-15

解得：?=—,

入I,180Tl5,/20

綜上所述：/=="或

37o3

小田心二7180Tl5-20

故答案為：/=弁~或丁/工『

37o3

4.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,AO=6,點(diǎn)尸是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合,

折痕與矩形邊的交點(diǎn)分別為E,F,要使折痕始終與邊A8,/⑦有交點(diǎn)，則的的取值范圍是

【答案】6-2s/5<BP<4

【分析】此題主要考查了矩形的翻折變換，勾股定理，運(yùn)用極端原理求解：①眇最小時(shí)，F(xiàn)、。重合，由

折疊的性質(zhì)知：AF=PF,在Rt^PPC中，利用勾股定理可求得PC的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的值，即3尸的

最小值；②最大時(shí)，E、B重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到筋=3尸=4,即3P的最大值為4；根據(jù)上

述兩種情況即可得到BP的取值范圍.

【詳解】解:如圖:

①當(dāng)尸、。重合時(shí)，的值最??；

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：/W=PP=AD=6；

在RtZkPPC中，PF=6,FC=AB=4,貝［pc=個(gè)PF?-FC?=2?。?/p>

???BP=X36-2B,

②當(dāng)E、B重合時(shí)，的值最大;

根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到4?=3P=4,即BP的最大值為4；

故答案為：6-2y/5<BP<4.

5.如圖，在四邊形A5CD中，AD//BC,ZADC=90°,ZABC=45°,AD=2,3c=6,點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿

著折線8fCfO運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠的速度始終為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積記為y,

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并注明尤的取值范圍.

（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出該函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的其中一條性質(zhì):

⑶若％=-x+f與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出r的取值范圍

lx,0<<6

【答案】（i）y=

24-2x,6<x<10

（2）當(dāng)x=6時(shí)，y取得最大值，最大值為12

⑶f=18或0W14

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AEL8C于點(diǎn)E,根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得到CE=AD=2,AE=CD,再根據(jù)等腰

直角三角形的性質(zhì)可得AE=3E=4,求得CD=4,分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)尸在線段2c上時(shí);當(dāng)點(diǎn)尸在線

段上時(shí)，分別求解即可；

（2）由（1）中函數(shù)解析式畫(huà)出圖象，再結(jié)合圖象求解即可；

（3）把（10,4）,（0,0）,（6,12）分別代入％=-x+r求解即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEL8C于點(diǎn)E,

^AD//BC,ZAZ）C=90°,

ElZPCB=90°,

0ZD=ZC=ZAEC=90°,

團(tuán)四邊形ADCE是矩形，

團(tuán)CE=AD=2，AE=CD,

⑦BE=BC-CE=4,

團(tuán)/ABC=45。,

團(tuán),是等腰直角三角形，

國(guó)AE=BE=4,

團(tuán)8=4,

當(dāng)0WxW6時(shí)，點(diǎn)廠在線段5C上時(shí)，止匕時(shí)5尸二%,

y=35月.A￡*=；x4x=2x(0VxV6),

當(dāng)6<%<10時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在線段8上時(shí)，如圖，止匕時(shí)BC+CF=x,

y=s四邊形BA。-sADF-sBCF

=-(AD+BC\CD--ADDF--BCCF

2V722

=^(2+6)-4-^x2x(10-x)-^x6x(x-6)

=-2x+24(6<J;<10),

)

綜上所述，y關(guān)于'的函數(shù)解析式為廣’匕」2x(04(<6x<<J61。)；

AD

8月~~1c

(2)解：當(dāng)％=0時(shí)，y=0；當(dāng)％=6時(shí)，y=12；當(dāng)時(shí)％=10,y=4,

描點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象如下：

當(dāng)x=6時(shí)，y取得最大值，最大值為12(答案不唯一),

故答案為：當(dāng)x=6時(shí)，y取得最大值，最大值為12；

(3)解：若％=-工+/經(jīng)過(guò)點(diǎn)。0,4),

0-lO+Z=4,

團(tuán)f=14,

若X=-x+t經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，x=0,t=0,

團(tuán)當(dāng)0W/V14時(shí)，％=-x+f與>的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn);

若X=-x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6,12）,-6+/=12,

0f=18,

團(tuán)f=18時(shí)，％=-尤+r與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)/=18或0WQ14時(shí)，％=-尤+/與y的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面

積公式及梯形的面積公式、平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，矩形ABCD中，AB=10,AD=5.E為邊48上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE作AFLDE交矩形A3C。的邊于

點(diǎn)、F,垂足為G.

圖⑴

⑴如圖(1)中，由題意可知的/AFB與關(guān)系是.

(2)若CF=2,求AE的長(zhǎng)；

⑶點(diǎn)。為矩形ABC。的對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)角線交點(diǎn))，請(qǐng)直接寫(xiě)出0G的取值范圍.

【答案】⑴NAFB=/DE4

(2)AE=：3或§25

2o

(3)|<OG<|^

【分析】(1)由矩形的性質(zhì)得出4MB=ZB=NAGE=90。，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(2)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在上時(shí)，BF=BC—CF=3；②如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在8上時(shí)，DF=CD—CF=8.則

可求出答案；

(3)求出OGN；,當(dāng)G與A重合時(shí)，0G最長(zhǎng)，此時(shí)OG=；AC=:石，則可求出答案.

【詳解】(1)證明：如圖1,四邊形ABCD是矩形，AFLDE,

DC

SZDAB=ZB=ZAGE=90°,

SZAFB+ZFAB=ZDEA+ZFAB=90°,

SZAFB=ZDEA；

(2)解：回四邊形A3CD是矩形,

0￡>C=AB=1O,BC=AD=5.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，BF=BC-CF=5-2=3.

^ZAFB^ZDEA,

團(tuán)tanZAFB=tanZDEA.

BFAE3AE

團(tuán)一=一,BRPn—=

BAAD105

3

^AE=-

2

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在8上時(shí)，DF=CD-CF=10-2=8.

圖2

同（1）可證NZMF=NDE4,

團(tuán)tanZZMF1=tanZD￡4,

戶(hù)=絲,即",

ADAE5AE

0A￡=T

-25

團(tuán)AE=1或一；

8

(3)解：G點(diǎn)在以AZ)的中點(diǎn)為圓心，5長(zhǎng)為半徑的弧上運(yùn)動(dòng).

設(shè)AD的中點(diǎn)為M點(diǎn).連接37.則0G最小值為OM-圓M的半徑.

SDOMsADAB,

0

畔徑為1則―1弓

^OG>~,

2

當(dāng)G與A重合時(shí)，0G最長(zhǎng)，此時(shí)OG=，AC=，XJA22+BC2=工匠=’卮

2222

B-<OG<-45.

22

【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方

法，熟練掌握矩形的性質(zhì)