2019遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（3分）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）

A.0B.5C.--LD.-&

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.R+x=VB.（-3解）2=-9/

C.=2/D.（/）2=川

4.（3分）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.9.56xl06B.95.6x10sC.0.956xl07D.956xl04

5.（3分）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計結(jié)果：

縣（區(qū)）平山區(qū)明山區(qū)溪湖區(qū)南芬區(qū)IWI新區(qū)本溪縣恒仁縣

氣溫26262525252322

(℃)

則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（)

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

6.（3分）不等式組卜一3>°的解集是（）

[2x-8<0

A.x>3B.x<4C.x<3D.3<x<4

7.（3分）如圖所示,該幾何體的左視圖是（）

8.（3分）下列事件屬于必然事件的是（）

A.打開電視，正在播出系列專題片"航拍中國"

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小

D.在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)

9.（3分）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展.某化工廠要購進(jìn)甲、乙兩種型號機(jī)器人用來

進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，

兩種型號機(jī)器人的單價和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺“萬元，根據(jù)題意，所列方

程正確的是（）

A360.480B360_480

x140-x140-xx

c.360+480=140D.360-140=480

XXXX

10.（3分）如圖，點尸是以為直徑的半圓上的動點，CA±AB，02L/C于點D,連接

AP,設(shè)AP=x,PA-PD=y,則下列函數(shù)圖象能反映y與x之間關(guān)系的是（）

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若丁言在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為

12.（3分）函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過的象限是.

13.（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程A2-4x+〃=0有實數(shù)根，那么k的取值范圍

是?

14.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點4,8的坐標(biāo)分別是/（4,2）,8（5,0）,以點

。為位似中心，相們比為工，把△26?？s小，得到△4810,則點力的對應(yīng)點4的坐標(biāo)

2

為.

15.（3分）如圖，8。是矩形力8。的對角線，在外和8。上分別截取BE,BF,BE

=BF-分別以F,尸為圓心，以大于Lf尸的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點G,作

2

射線8G交于點。，若/0=3,則點P到8。的距離為.

16.（3分）如圖所示的點陣中，相鄰的四個點構(gòu)成正方形，小球只在點陣中的小正方形

內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)域的概率為.

17.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△Q48和菱形O6F的邊OZ,Of都在x

軸上，點「在邊上，S.BD=M,反比例函數(shù)片上（x>0）的圖象經(jīng)過點8,則Z

X

的值為.

18.（3分）如圖，點61在直線/:片^上，點81的橫坐標(biāo)為2,過阮作5iA±l,交

2

x軸于點4,以481為邊，向右作正方形481,延長62G交x軸于點42;以42&

為邊，向右作正方形428283G,延長63?交X軸于點4；以43&為邊，向右作正方形

力38384G延長交X軸于點4；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點［n的橫坐標(biāo)為

2

19.（10分）先化簡，再求值（一￡J_）其中a滿足/+3a-2=

-

a4a+42-aa-2a

0.

20.（12分）某中學(xué)為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團(tuán)：力.機(jī)器人，5.圍

棋，C.羽毛球，D.電影配音.每人只能加入一個社團(tuán).為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情

況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅

不完整的統(tǒng)計圖，其中圖（1）中4所占扇形的圓心角為36°.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有人；

(2)請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

(3)若該校共有1000學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計這1000名學(xué)生中有多少人參加了羽

毛球社團(tuán)；

(4)在機(jī)器人社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四

人中任選兩名參加機(jī)器人大賽.用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

四、解答題(第21題12分，第22題12分，共24分)

21.(12分)如圖，在四邊形中，ABWCD,ADS.CD,4=45。，延長。到點巳

DE=DA,連接/f.

(1)求證:AE=BC-,

(2)若/8=3,。=1,求四邊形28%的面積.

22.(12分)小李要外出參加“建國70周年”慶?；顒?需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別

是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE,

箱長BC,拉桿28的長度都相等，8,尸在AC±,C在DE上,支桿DF=30cm,CE:

Q;=1:3,z/?^=45°,zCZ?A=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列向題.

（1）求/C的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點力到水平滑桿中的距離（結(jié)果保留根號）.

圖1圖2

五、解答題（滿分12分）

23.（12分）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元、工廠將該產(chǎn)品

進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖

所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫出y與X之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；

（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是

24.（12分）如圖，點。為正方形力8。的對角線上的一點，連接8戶并延長交8于

點巳交力。的延長線于點F,O。是△。爐的外接圓，連接DP.

（1）求證：。。是。。的切線；

（2）若tan"DC=1,正方形力6。的邊長為4,求O。的半徑和線段8的長.

七、解答題（滿分12分）

25.（12分）在中,40=90。，^A<^ABC,。是/C邊上一點,且DA=DB,

。是的中點，%是△6。的中線.

（1）如圖a,連接OJ請直接寫出NOCF和NO/U的數(shù)量關(guān)系：；

（2）點例是射線尾上的一個動點，將射線。河繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON,使工

MON=Z.ADB,CW與射線C4交于點N.

①如圖b,猜想并證明線段。例和線段?！敝g的數(shù)量關(guān)系；

②若N8/C=30°,BC=m,當(dāng)4AON=15。時，請直接寫出線段怵的長度（用含加的

代數(shù)式表示）.

圖匕備用圖

八、解答題（滿分14分）

26.(14分)拋物線y=-率+6%+《與"由交于/1(-1,0),6(5,0)兩點，頂點為

C,對稱軸交x軸于點。，點。為拋物線對稱軸CD上的一動點(點戶不與右，。重

合).過點。作直線期的垂線交PB于點、E,交x軸于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△山7的面積為5時，求點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出點戶的坐標(biāo).

備用圖

2019年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.（3分）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）

A.0B.5C.-LD.-V2

2

【分析】此題利用正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念即可解答.

【解答】解：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；5是正數(shù)；J嚇口是負(fù)數(shù).

2

故選:B.

【點評】此題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念.大于0的數(shù)是正數(shù)，正數(shù)前面加上"-"的數(shù)是負(fù)

數(shù).數(shù)0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的定義即可判斷.

【解答】解：4不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

&既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：8.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形：如果一個圖形

沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：在

同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.R+x=VB.（-3A2）2=-9yl

C.A3^=2/D.（A3）2=3

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘除運算法則以及幕的乘方運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：4,故此選項錯誤；

B、（-3A2#=9d,故此選項錯誤；

G/?/=川，故此選項錯誤；

D、（三）2=川，故此選項正確；

故選：。.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運算以及幕的乘方運算，正確掌握相關(guān)運算法則

是解題關(guān)鍵.

4.（3分）2019年6月8日，全國鐵路發(fā)送旅客約9560000次，將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A.9.56xl06B.95.6x10sC.0.956xl07D.956xl04

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axl0〃的形式，其中l(wèi)<|a|<10，〃為整數(shù).確定〃的值

時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，”是負(fù)數(shù).

【解答】解：將數(shù)據(jù)9560000科學(xué)記數(shù)法表示為9.56X106.

故選：力.

【點評】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式,

其中14冏＜10，〃為整數(shù),表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

5.（3分）下表是我市七個縣（區(qū)）今年某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計結(jié)果：

縣（區(qū)）平山區(qū)明山區(qū)溪湖區(qū)南芬區(qū)高新區(qū)本溪縣恒仁縣

氣溫26262525252322

（℃）

則該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.25,25B.25,26C,25,23D.24,25

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可.

【解答】解：,.在這7個數(shù)中,25（℃）出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

，該日最高氣溫（℃）的眾數(shù)是25;

把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列位于中間位置的數(shù)是25,

則中位數(shù)為：25;

故選：力.

【點評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將

一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中

間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平

均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

6.（3分）不等式組（'a〉。的解集是（）

[2x-8＜0

A.y>3B.x<4C.x<3D.3<x<4

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

卜-3>0①

【解答】解:t2x-8<00

由①得：x>3,

由②得：屋4,

則不等式組的解集為3<七4,

故選：。.

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（3分）如圖所示，該幾何體的左視圖是（）

【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看是一個矩形，中間有兩條水平的虛線,

故選：8.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

8.（3分）下列事件屬于必然事件的是（)

A.打開電視，正在播出系列專題片“航拍中國"

B.若原命題成立，則它的逆命題一定成立

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小

D.在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)

【分析】直接利用隨機(jī)事件以及必然事件的定義分析得出答案.

【解答】解：4打開電視,正在播出系列專題片“航拍中國"，是隨機(jī)事件，不合題意；

B、若原命題成立，則它的逆命題一定成立，是隨機(jī)事件，不合題意；

G一組數(shù)據(jù)的方差越小，則這組數(shù)據(jù)的波動越小，是必然事件，符合題意；

D、在數(shù)軸上任取一點，則該點表示的數(shù)一定是有理數(shù)，是隨機(jī)事件，不合題意；

故選：U.

【點評】此題主要考查了隨機(jī)事件以及必然事件的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

9.（3分）為推進(jìn)垃圾分類，推動綠色發(fā)展.某化工廠要購進(jìn)甲、乙兩種型號機(jī)器人用來

進(jìn)行垃圾分類.用360萬元購買甲型機(jī)器人和用480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同，

兩種型號機(jī)器人的單價和為140萬元.若設(shè)甲型機(jī)器人每臺x萬元，根據(jù)題意，所列方

程正確的是（）

A360-480B360-480

x140-x140-xx

C.36。+480=140D.360-140=480

XXXX

【分析】設(shè)甲種型號機(jī)器人每臺的價格是x萬元，根據(jù)"用360萬元購買甲型機(jī)器人和用

480萬元購買乙型機(jī)器人的臺數(shù)相同"，列出關(guān)于x的分式方程.

【解答】解：設(shè)甲型機(jī)器人每臺“萬元，根據(jù)題意，可得：36°=480,

x140-x

故選：

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵正確找出等量關(guān)系，列出分式方程.

10.（3分）如圖，點戶是以為直徑的半圓上的動點，。4，力夕，在于點D,連接

AP,設(shè)AP=x,PA-PD=y,則下列函數(shù)圖象能反映y與x之間關(guān)系的是（）

【分析】設(shè)圓的半徑為月，連接。6,貝！|sinN/180="":J-x，貝51。。=/8皿。=叱工*=

2R2R2R

L2,即可求解.

2R

【解答】設(shè)：圓的半徑為R,連接PB.

貝（Isin。％研=1二,

2R-2R

：CA±AB,即/C是圓的切線，貝UN。"=4PBA=a,

貝?。??￡?=?4/%ina=xx_jL_=,

2R2R

則y=〃-PD--?！?+x,

2R

圖象為開口向下的拋物線，

故選：U.

【點評】本題考查的動點的函數(shù)圖象，涉及到解直角三角形、圓的切線的性質(zhì)、二次函數(shù)

基本性質(zhì)等，關(guān)鍵是找出相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若丁言在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為瘡2.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x-2>0,再解即可.

【解答】解：由題意得:x-2>0,

解得：x22,

故答案為：瘡2.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非

負(fù)數(shù).

12.（3分）函數(shù)片5x的圖象經(jīng)過的象限是一、三.

【分析】利用這個比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合比例系數(shù)的符號直接回答即可.

【解答】解：函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過一三象限，

故答案為：一、三

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)片kx(?0)，攵>0時，圖象在一

三象限，呈上升趨勢，當(dāng)Z<0時，圖象在二四象限，呈下降趨勢.

13.(3分)如果關(guān)于x的一元二次方程A2-4x+Z=0有實數(shù)根，那么〃的取值范圍是&

【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式的值大于等于0,列出關(guān)于k的不等式，求

出不等式的解集即可得到4的范圍.

【解答】解:根據(jù)題意得：△=16-4ao,

解得：心4.

故答案為：狂4.

【點評】此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；

根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有

實數(shù)根.

14.(3分)在平面直角坐標(biāo)系中，點4,6的坐標(biāo)分別是/(4,2),8(5,0),以點

。為位似中心，相們比為工，把△26?？s小，得到△481。，則點力的對應(yīng)點4的坐標(biāo)

2

為(2,1)或(-2,-1).

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：以點O為位似中心，相們比為上,把△26?？s小，點力的坐標(biāo)是/(4,

2

2),

則點力的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為(4XL,2XL)或(-4XL,-2x1)，即(2,1)或

2222

(-2,-1),

故答案為：(2,1)或(-2,-1).

【點評】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為

位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于〃或-Z.

15.（3分）如圖，8。是矩形的對角線，在8/和8。上分別截取BE,BF,BE

=BF-,分別以F,圓心，以大于Lf尸的長為半徑作弧，兩弧在N/W。內(nèi)交于點G,作

2

射線BG交于點。，若/P=3,則點戶到8。的距離為3.

【分析】首先結(jié)合作圖的過程確定8戶是N/8。的平分線,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得點

戶到8。的距離即可.

【解答】解：結(jié)合作圖的過程知：BP平%/ABD,

,Z=90°,AP=3,

.?點。到8。的距離等于/P的長，為3,

故答案為：3.

【點評】考查了尺規(guī)作圖的知識及角平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)圖形確定BP平分/ABD.

16.（3分）如圖所示的點陣中，相鄰的四個點構(gòu)成正方形，小球只在點陣中的小正方形

48。內(nèi)自由滾動時，則小球停留在陰影區(qū)域的概率為.

一16一

BC

【分析】如圖所示，力。與直線的交點為E,46與直線的交點為F,分別求出力￡〃所占

邊長的比例即可解答.

【解答】解：如圖所示，力。與直線的交點為E,Z8與直線的交點為F,

根據(jù)題意可知AE=yAB-AF=9Ag,

AEAFXABXAB=-AB2,

■■?SAAEF4'411^6

..小球停留在陰影區(qū)域的概率為：1-2」二?.

1616

故答案為：Il

16

【點評】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之

比.

17.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,等邊△048和菱形OCOF的邊OA,Of都在x

軸上，點C在06邊上，SFBD;如,反比例函數(shù)%K(x>0)的圖象經(jīng)過點6,則左

X

的值為_爽_.

【分析】連接OD,由△046是等邊三角形，得到NZO6=60。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N

DEO=/AOB=60：推出△OF。是等邊三角形，得到N必。=60。，得到ODll

AB,求得SABDO=S^AOD,推出S^AOB=S^ABD=M，過8作BH1.OA于H,由等邊

三角形的性質(zhì)得到OH二AH,求得S公。BH=返，于是得到結(jié)論.

2

【解答】解：連接

???△0/8是等邊三角形，

:.^AOB=60°,

.四邊形是菱形，

：.DE\\OB,

???4DEO=￡AOB=6S,

.?.△Of。是等邊三角形，

:ZDOE=4BAO=60°,

：.OD\\AB,

：$4BDO=S^AOD,

'；S四邊形48。。=SAADO+S&ABD=SABDO+S^AOB,

'''S^AOB=SAABD=M,

過8作于A,

：.OH=AH,

:.S&OBH=^~,

2

.反比例函數(shù)%K(x>0)的圖象經(jīng)過點B,

."的值為?,

故答案為：V3.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)Z的幾何意義，等邊三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)，同

底等高的三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.（3分）如圖，點bi在直線/:片Lx上，點61的橫坐標(biāo)為2,過阮作,交

2

x軸于點4,以4歷為邊，向右作正方形,延長82G交*軸于點4;以從歷

為邊，向右作正方形力2歷83G,延長63?交X軸于點力3；以4383為邊，向右作正方形

力38384Q延長B4C3交X軸于點4；…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點［n的橫坐標(biāo)為

【分析】根據(jù)點B1的橫坐標(biāo)為2,在直線/:y=XY±,可求出點B1的坐標(biāo)，由作圖可知

2

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,然后依次利用相似三角形的

性質(zhì)計算出G、?、Q、?！臋M坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律得出答案.

【解答】解：過點81、G、G、Q、Q分別作812L*軸，軸，軸，

軸,QDux軸，……垂足分別為D、4、。、Q、Q……

.?點Bi在直線/:片，點61的橫坐標(biāo)為2,

2

，點員的縱坐標(biāo)為1,

即：OD=2,B1D=1,

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1:2,

B?D]DA?CjD?D]A2

0D2B[DA]D[CJDJ

.?點G的橫坐標(biāo)為：2+1+(1)°,

22

點G的橫坐標(biāo)為：2+1+(3.)°+(1)°xl+(1)i=i_+3)0x5+(3)1

2224222'4'2

1(芻)

點Q的橫坐標(biāo)為：2+1+(1)°+(1)°xl+(1)i+(_j)x_l_+2=_5_+

222422422

(3)°x-§.+(A)1x,L++(—)2

24242

點Q的橫坐標(biāo)為：=5+(3)0x3+(A)]x5+(衛(wèi).)2xS+(3)3

22424242

點[n的橫坐標(biāo)為：=3+(3)°x—+(—)]X_L+(3)2x至.+(W)3x^_+(-5-)4X

2242424'2'4'2

且..…+(2)"-1

42

=3+包(旦)°+(—)1x+(—)2+(—)3+(—)4……]+(2)"-1

24222222

=分哈尸

故答案為：孑+6產(chǎn)1

y

-

/。D&D4瓦43型4D4A§X

【點評】考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)、在計算探索的過程中發(fā)

現(xiàn)規(guī)律，得出一般性的結(jié)論.

三、解答題(第19題10分，第20題12分，共22分)

2.

19.（10分）先化簡，再求值（；一4-^―)—,其中a滿足^+3a-2=

a-4a+42-&a-2a

0.

【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子,然后根據(jù)/+3d?2=0,可以求

得所求式子的值.

2

【解答】解：（；一4?

a-4a+42-aa-2a

-r（a+2）（a-2）,11a（a-2）

_（a+21）.a（a-2）

一a-2a-2'-T"

:a+3a（a-2）

~~^29-2

=a（a+3）

2

_a2+3a

2

,.月+3a-2=0,

；.，+3a=2,

，原式=2=1.

2

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

20.（12分）某中學(xué)為了提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，成立了以下社團(tuán)：/.機(jī)器人，6.圍

棋，C.羽毛球，D.電影配音.每人只能加入一個社團(tuán).為了解學(xué)生參加社團(tuán)的情

況，從參加社團(tuán)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅

不完整的統(tǒng)計圖，其中圖（1）中/所占扇形的圓心角為36°.

ABCD項目

圖3)圖(2)

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有200人;

(2)請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

(3)若該校共有1000學(xué)生加入了社團(tuán)，請你估計這1000名學(xué)生中有多少人參加了羽

毛球社團(tuán)；

(4)在機(jī)器人社團(tuán)活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四

人中任選兩名參加機(jī)器人大賽.用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.

【分析】(1)由/類有20人，所占扇形的圓心角為36°,即可求得這次被調(diào)查的學(xué)生

數(shù)；

(2)首先求得。項目對應(yīng)人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

(3)該校1000學(xué)生數(shù)x參加了羽毛球社團(tuán)的人數(shù)所占的百分比即可得到結(jié)論；

(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中甲、

乙兩位同學(xué)的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：(1)X類有20人,所占扇形的圓心角為36°,

這次被調(diào)查的學(xué)生共有：20+旦=200(人)；

360

故答案為：200;

(2)。項目對應(yīng)人數(shù)為：200-20-80-40=60(人);

(3)1000X_§2_=300(人)

200

答：這1000名學(xué)生中有300人參加了羽毛球社團(tuán)；

(4)畫樹狀圖得：

開始

/1\Zl\/N/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

?.共有12種等可能的情況，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種，

”(選中甲、乙)=2=L.

126

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計圖.注意概率=所求情

況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題(第21題12分，第22題12分，共24分)

21.(12分)如圖，在四邊形中，ABWCD,ADrCD,N8=45。，延長。到點

使DE=DA,連接〃.

(1)求證：AE=BC',

(2)若/8=3,。=1,求四邊形Z&T的面積.

【分析】(1)通過證明四邊形Z8&F是平行四邊形，可得結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可求DE=AD=2,即可求四邊形28%的面積.

【解答】證明:(1)-ABWCD,N8=45°

,?.zC+z5=180°

.'.zC=135°

■:DE二DA,ADlCD

"E=45°

:出"=180°

:.AE\\BC,且4811。

..四邊形48%是平行四邊形

:.AE=BC

(2)?.四邊開鄉(xiāng)是平行四邊形

■.AB=CE=3

:.AD=DE=AB-CD=2

，四邊形Z8%的面積=3x2=6

【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練運用平行四邊形的判定是本題的關(guān)鍵.

22.(12分)小李要外出參加‘建國70周年”慶?；顒?，需網(wǎng)購一個拉桿箱，圖①，②分別

是她上網(wǎng)時看到的某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿DE,

箱長8C,拉桿的長度都相等，6,尸在AC±,「在DE上,支桿DF=30cm,CE:

CD=l-3,N，Y=45。尸=30°,請根據(jù)以上信息，解決下列向題.

(1)求力U的長度(結(jié)果保留根號)；

(2)求拉桿端點/到水平滑桿。的距離(結(jié)果保留根號).

圖1圖2

【分析】(1)過尸作FH1DE于H,解直角三角形即可得到結(jié)論；

(2)過/作/GIF。交中的延長線于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)過尸作用，小于〃，

:zFHC=乙FHD=90°,

■:乙FDC=30°,DF=30,

:.FH=LDF=15,DH=?DF=15y,

22

"FCH=A5：

:.CH=FH=15,

.?.CD=CH+DH=15+15>/3Z

：CE\CD=1:3,

：.DE=旦。=20+20?,

3

:AB=BC=DE,

：.AC=(40+40A/3)cm;

(2)過/作AG1ED交。的延長線于G,

?"Q7=45°,

./G=^AC=20a+20遙，

2

答：拉桿端點力到水平滑桿&7的距離為（20&+20遙）cm.

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用

數(shù)學(xué)知識解決實際問題.

五、解答題（滿分12分）

23.（12分）某工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元、工廠將該產(chǎn)品

進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖

所示的函數(shù)關(guān)系.

（1）直接寫出y與X之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；

（2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時，工廠獲利最大？最大利潤是

【分析】（1）認(rèn)真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整

數(shù)；

（2）根據(jù)利潤=（售價-成本）x件數(shù)，列出利潤的表達(dá)式，求出最值.

【解答】解：（1）當(dāng)0<%<20且x為整數(shù)時,y=40;

當(dāng)20<%<60且x為整數(shù)時，y=-LX+50;

2

當(dāng)*>60且*為整數(shù)時，片20;

(2)設(shè)所獲利潤iv(元)，

當(dāng)0<%<20且x為整數(shù)時，片40,

.，=(40-16)x20=480元，

當(dāng)。</20且x為整數(shù)時，片40,

..當(dāng)20<%<60且x為整數(shù)時，y=-Xv+50,

2

..w-(尸16)x=(--LY+50-16)%,

2

-。+34%,

2

：.w=-工(x-34)2+578,

2

?；-Lo,

2

.,.當(dāng)x=34時，w最大，最大值為578元.

答：一次批發(fā)34件時所獲利潤最大,最大利潤是578元.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式并熟練運用

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

六、解答題(滿分12分)

24.(12分)如圖，點尸為正方形的對角線/C上的一點，連接8。并延長交。于

點E,交的延長線于點F,。。是△。生的外接圓，連接DP.

(1)求證：。戶是。。的切線；

(2)若tan/PDC=L,正方形/比。的邊長為4,求。。的半徑和線段。的長.

2

【分析】（1）連接OD,可證△。膽4CBP,可得“DP=zCBP,由4CBP+4BEC=

90。，乙BEC=aOED=LODE,可證出NO0P=9O°,貝!］。尸是O。的切線；

（2）先求出。長，在Rt/\Z?房中可求出EF長,證明△。。?△內(nèi)戶。,由比例線段可求

出EP長,則。戶可求出.

【解答】（1）連接。。，

.,正方開鄉(xiāng)中,CD=BC,CP=CP,N〃CP=N6O=45°,

：.^CDf^^CBP{SAS],

：.^CDP=z.CBP,

?280=90°,

:.乙CBP+乙BEC=90°,

：OD=OE,

.zODE=乙OED,

乙OED=4BEC,

乙BEC:乙OED二乙ODEi

?..4CDP+乙ODE=9G,

.?.N。。2=90。，

，。戶是。。的切線；

(2):^CDP=z.CBE.

，tan/cBE=tanNCDp，

ODUz

■■^=yX4=2，

.3=2,

.zEDF=90：

，斤是。。的直徑，

；ZF+NDEF=9G,

:.乙F=zCDP,

在Rt^AE尸中，叫』，

DF-2

:.DF=A,

EF=^DE2+DF2=742+22=2娓'

?-0E=V5,

.zF=4PDE,aDPE=aFPD,

:.4DPEs4FPD,

.PE_PD_DE

一而二PF=DF'

設(shè)PE=x,貝!]PD=2x,

-X（X+2V5）=（2X）2，

解得“三通，

：.OP=OE+EP=庭+2述J標(biāo)

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的運用；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)

并結(jié)合銳角三角函數(shù)進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵.

七、解答題（滿分12分）

25.（12分）在R3/6U中,N8C4=90。，^A<^ABC,。是/C邊上一點,且DA=DB,

。是的中點，%是△8。的中線.

（1）如圖a,連接OC,請直接寫出N。％和NO/C的數(shù)量關(guān)系：/OCE=/OAC;

（2）點例是射線紇上的一個動點，將射線。河繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON,使N

MON=^ADB,CW與射線C4交于點N.

①如圖b,猜想并證明線段。例和線段?！敝g的數(shù)量關(guān)系；

②若30°,BC=m,當(dāng)/AON=15°時，請直接寫出線段柱的長度（用含刀的

代數(shù)式表示）.

【分析】（1）結(jié)論：理由直角三角形斜邊中線定理，三角形的中位線定

理解決問題即可.

(2)①只要證明zX。惦4AoN(ASA),即可解決問題.

②分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)點/V在C4的延長線上時，如圖3-,當(dāng)點“在線

段〃上時，作OAUU于H.分別求解即可解決問題.

【解答】解：(1)結(jié)論：乙EC。二乙OAC.

理由：如圖1中，連接

B

：^BCD=90°,BE=ED,BO=OA,

：CE=ED=EB=LBD,CO=OA=OB,

2

:./.OCA-z.A,

:BE=ED,BO=OA,

：.OE\\AD,OE=X4Z?,

2

:.CE=EO.

:.乙EOC=LOCA=LECO,

:.AECO=AOAC.

故答案為：LOCE=LOAC.

(2)如圖2中，

3

/圖2

■.OC=OA,DA=DB,

=zOCA-乙ABD,

:.z.COA=Z.ADB,

??,乙MON二乙ADB,

:zAOC=^MONi

"COM=AAON,

■:乙ECO=cOAC,

:.乙MCO二乙NAOi

：OC=OA,

.,△COg4AON〈ASA、,

.,.OM=ON.

②如圖3-1中，當(dāng)點/V在C4的延長線上時，

B

圖3-1

??NC48=30°=乙OAN+乙ANO,乙AON=15°,

:2AON二匕ANO=15。，

:.OA=AN=m,

:/\OCmAO4AZ,

:.CM-