2021-2022學年四川省資陽市雁江區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（選用）

2021-2022學年四川省資陽市雁江區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

（選用）

一、選擇題。（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項符合題意。

1.（4分）下列運算正確的是（）

A.-12=iB.（-1）3=1C.V4=2D.=2

2.（4分）由于受疫情影響，人們減少了不必要的外出.據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，資陽高鐵站客流

量已連續(xù)兩周下降，由每周。萬人次下降至每周人萬人次，設(shè)平均下降率為羽則根據(jù)題

意列方程正確的是（）

A.a（1-x）=bB.a（1-x）2=bC.aCl-2x）=bD.a（1+x）2=b

3.（4分）如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,ZA,NB,NC的對邊分別為“，b,c,則

下列結(jié)論中不正確的是（）

A.a2+b2=c1B.sinB=cosA

C.tanA=_D.sin2A+cos2A=1

c

4.（4分）若x=0是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）/+2%+序-1=0的解，則m的值為（）

A.m=±1B.m=0C.m=lD.m--1

5.（4分）若里=A,則關(guān)于x的方程尤2+a尤+9=0的根的情況是（）

a9

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.以上都有可能

6.（4分）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，那么△AOE與四邊形。BCE

的面積之比是（)

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

7.（4分）期末考試中出現(xiàn)了如圖所示的一道題，小明同學從中任選了兩個選項（每一個選

項被選中的機會均等），請問小明答對的概率是（）

（不定項選擇題）下列選項中，正確的有（）

A.拋擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)一次正面、一次反面是必然事件

8我與W5是同類二次根式

C.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

D.相似三角形的周長之比等于相似比

A.AB.Ac.AD.-L

62412

8.（4分）一次函數(shù)＞=（k-1）x+k的圖象如圖所示，則化簡依-1|+Jk2-4k+4的結(jié)果

是（）

A.2左-3B.1C.-2k+3D.-1

9.（4分）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZC的平分線交AB于點D,增添下列條件仍然不

能判斷△A8CSZ\CBD的是（）

A

BC

A.ZA=36°B.BC=DCC.BC2^BDABD./B=/ACB

10.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,0）,四邊形0ABe是菱形，Z

AOC=60°,以O(shè)B為邊作菱形OBBiCi,使頂點Bi在0C的延長線上，再以。21為邊

作菱形08182c2,使頂點比在OQ的延長線上，再以082為邊作菱形。&83c3,使頂

點囪在0C2的延長線上，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則82021的坐標是（）

A.(-31011,0)

22

20231011

C.(-(V3)2021-0)D.(O——，色o——)

22

二、填空題。（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

11.（4分）函數(shù)y=Mx-l的自變量x的取值范圍是

12.（4分）如圖，△ABC與△4B1C1是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似比為1：

2,則點A（1,2）在第一象限的對應(yīng)點4的坐標是

13.（4分）某超市推出抽獎促銷活動，在一個不透明的箱子里，裝有寫著“一等獎”、“二

等獎”的乒乓球共100個，每次從中抽取一個，抽獎后放回，通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，抽中

“二等獎”的頻率穩(wěn)定在且左右，則“一等獎”的個數(shù)可能是.

4

14.（4分）若a、0是關(guān)于x的一元二次方程尤-1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式（？6+鄧2

的值是.

15.（4分）如圖，點尸是邊長為1的正方形A8C。的對角線AC上的一個動點，點E是8c

中點，連結(jié)PE,并將PE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到PF,連結(jié)EF,則EF的最小值

是

16.（4分）如圖，A、8是函數(shù)y=K（尤＞0）圖象上的兩點，分別過點4、2作x軸的垂線,

x

垂足分別為點C、點D,點E為CD中點，且AELBE,OC=BD=1,則k的值是.

三、解答題。（本大題共8小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟。

17.（9分）先化簡，再求值：）.仝2,其中

X-1x2-]x+1

18.（10分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）3f=4x；

（2）X2+2X=5.

19.（10分）“中國禁毒”教育活動已在青少年中全面展開，某興趣小組為了解本班學生對

禁毒知識的了解情況，對本班所有同學進行了問卷調(diào)查，根據(jù)了解程度分為了“特別了

解”、“比較了解”、“了解一些”和“不了解”四個等級，分別記為等級A、B、C、D,

并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖.

（1）請補全條形統(tǒng)計圖，并算出8所在扇形的圓心角度數(shù)；

（2）若A中有2名女生，現(xiàn)從A中抽出兩名學生，代表本班參加學校的禁毒知識競答,

則恰好抽中一名女生、一名男生的概率是多少？請畫出樹狀圖并求出概率.

了解了解一些

20.（10分）如圖，在4X3的正方形方格中，△ABC和△￡）￡：/的頂點都在邊長為1的小正

方形的頂點上.

（1）填空：ZABC=°,BC=；

（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論.

21.（11分）隨著“運動讓人健康”的理念深入人心，運動裝越來越受歡迎，某品牌的運動

裝在銷售中發(fā)現(xiàn)，以120元/件的價格購進，并以200元/件的價格售出時，可售出40件,

且每降價1元則可多售出2件.

（1）商家銷售此品牌運動裝要實現(xiàn)盈利4200元的目標，則應(yīng)降價多少元？

（2）當銷售價定為多少元時，銷售該品牌運動裝獲利最多？最多利潤是多少？

22.（11分）如圖，矩形A8CD中，點E是A8的中點，過點E作CE的垂線，交CD的延

長線于點G,交于點F,且F是中點.

（1）求證：AEBC^ACEG；

（2）求證：LBD2=GD,GC.

23.（12分）如圖，在操場上的A處，測得旗桿頂端N點的仰角是30。，前進20米后到達

旗臺的底端2處，測得旗桿頂端N點的仰角是45。，繼續(xù)沿著坡比為1：次的斜坡

上升到C處，此時又測得旗桿頂端N點的仰角是60°,旗桿MN垂直于水平線AD,點

A、B、。在同一直線上，CM//AD,求旗桿MN的高度.

N

24.（13分）在AABC中，點E是AB邊上一點，點。是射線BC上的點.

（1）如圖1,若△ABC是等邊三角形，與CE相交于點足點E是的中點，BD：

BC=1：4,求處的值；

FD

（2）如圖2,若去掉（1）中“△ABC是等邊三角形”這個條件，其它條件不變，則空

FD

的值是否發(fā)生改變，請證明你的判斷；

（3）如圖3,若AB=AC,tanB=2,點。在BC延長線上，CD=1且CD：BC=1：3,

AC與。E1相交于點RAE：BE=1：2,求AF的長.

圖1圖2圖3

2021-2022學年四川省資陽市雁江區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

（選用）

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項符合題意。

1.【考點】立方根；算術(shù)平方根.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根以及立方根的定義進行計算即可.

【解答】解：A.由于因此選項A不符合題意；

B.由于（-1）3=-1,因此選項3不符合題意；

C.由于22=4,所以?=2,因此選項C符合題意；

D.由于（-2）3=-8,所以小豆=-2,因此選項D不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查有理數(shù)的乘方，算術(shù)平方根、立方根，理解算術(shù)平方根、立方根的定

義，掌握有理數(shù)乘方的計算方法是正確解答的前提.

2.【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【分析】等量關(guān)系為：aX（1-下降率）2="據(jù)此列出方程即可.

【解答】解：設(shè)平均下降率為x,根據(jù)題意得：

a（1-x）2=6,

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，得到2年內(nèi)變化情況的等量關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵.

3.【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；勾股定理；同角三角函數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系逐項進行判斷即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA,/B,/C的對邊分別為a,b,c,

由勾股定理可得/+廿=02,因此選項A不符合題意；

由銳角三角函數(shù)的定義可得sinB=A=cosA,因此選項B不符合題意；

C

由銳角三角函數(shù)的定義可知，tanA=包，因此選項。符合題意；

b

222

由于sin2A+cos2A=(且)2+(A)?=*+]=_2_=1,因此選項0不符合題意；

cCcCC2C2

故選：C.

【點評】本題考查同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，勾股定理以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，

掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確判斷的前提.

4.【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義.

【分析】先把%=0代入一元二次方程得機2一i=o,解方程得到加=1或小=-1,然后

根據(jù)一元二次方程的定義確定m的值.

【解答】解：把x=0代入一元二次方程(w-1)x1+2x+m2-1=0得nr-1=0,

解得m=l或m=-1,

因為m-17^0,

所以m的值為-1.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

5.【考點】根的判別式.

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，可以判斷該方程根的情況，從而可以解答本題.

【解答】解：

a9

/.a2=36,

"."x1+ax+9=Q,

：.A=a2-4XlX9=fl2-36=0,

方程有兩個相等的實數(shù)根，

故選：A.

【點評】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用根的判別式判斷根的

情況.

6.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【分析】由。E〃8C,得△AOES/XABC且相似比為1：2,從而得面積比為1：4,則可

推出△ADE與四邊形DBCE的面積之比.

【解答】解：,：DE//BC

...AADEsAABC

???AD=1

AB2

S1

?.?-A--A--D--E-=

,△ABC4

.SAADE11

??---------------~

S四邊形DBCE4-13

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理和相似三角形的性質(zhì).（1）相似三角形周長的

比等于相似比.（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方.（3）相似三角形對應(yīng)高的

比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

7.【考點】列表法與樹狀圖法；直角三角形斜邊上的中線；隨機事件.

【分析】畫樹狀圖，共有12個等可能的結(jié)果，選擇C、。和。、C的結(jié)果有2個，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

開始

ABCD

/T\/N/K/K

BCDACDABDABC

共有12個等可能的結(jié)果，小明答對的情況只有C、。和。、C這兩種情況，

...小明答對的概率是2=1，

126

故選：A.

【點評】本題考查了列表法、樹狀圖法求概率，畫出樹狀圖得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情

況是正確解答的關(guān)鍵.

8.【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限確定有關(guān)左的不等式組，求解即可.

【解答】解：由一次函數(shù)y=（4-1）x+k的圖象知，.

10<k<2

解得l<k<2.

所以|k-1|+Vk2-4k+4=k-l+忙-2|=*-1+2-k=l.

故選：B.

【點評】考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解系數(shù)對函數(shù)圖象的影

響，難度不大.

9.【考點】相似三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【解答】解：

ZABC=ZACB,

?.?CD平分/ACB,

/ACD=/BCD,

當/A=36°時，

.?.NABC=NAC2=72°,

ZZ)CB=36°,

NA=/DCB,

又,：/DBC=ZABC,

：.△ABCs^CBD,故選項A不符合題意；

當8C=DC時，

：.ZCDB=ZCBD,

：.ZABC^ZACB^ZCBD=ZCDB,

:.△ABCsACBD,故選項B不符合題意；

當時，

???-B-C=-B-D-,

ABBC

又,：4CBD=4ABC,

：.AABC^^CBD,故選項C不符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方

法是解題的關(guān)鍵.

10.【考點】菱形的性質(zhì)；規(guī)律型：點的坐標.

【分析】連接AC、BC1,分別交。2、。21于點。、Di,利用菱形的性質(zhì)及勾股定理即可

得OB的長，進一步在菱形OBBiCi計算出OB1,過點Bi作BiCMLx軸于M,利用勾股

定理計算出OM,從而得81的坐標，同理可得比，切，Bs,Be,Bi,Bs,Bg,

Bio,Bn,Bn,根據(jù)循環(huán)規(guī)律可得B2021的坐標.

【解答】解：連接AC、BCi,分別交。8、。81于點。、￡)1,

VA的坐標為(1,0),

：.OA^1,

:四邊形。ABC是菱形，ZAOC=60°,

，OC=OA=1,OB=2OD,/CO￡)=30°,ZCDO=90",

C￡)=-L0「=」，

2UU2_

?,”=/+^)2嚕,

08=

VZAOC=60°,

ZBiOCi=90°-60°=30°,

??,四邊形0851Ci是菱形，

,

：.ZC\D\O=90°,0C1=0B=V3。31=20。1,

在Rt^OCiDi中，C,D=—OC.

Ju1(2"12

,0Di=J(遍)2_(除)2號

081=2001=3,

過點Bi作BiM±x軸于點M,

同理可得：B2（O,3V3）-B3（4'挈>B［（冬挈）,西（-27,0）,

°,812773、「,8181V3、，“E大、

B-1

B6-2-）'72-2—）'BgC-81V3>

^24373s（Z29__243際）,Bn（729,。），

;

D八2，2}Di八22

D,72973729、

B12（-^―，

由此可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每經(jīng)過12次作圖后點的坐標符號與第一次坐標符號相同，每次菱形

的邊長變成原來的?倍，即0Bn=（%）/I

V20214-12=168...5,

...32021的縱坐標符號與B5的相同，則82021在y軸的負半軸上，

又OB2028芯產(chǎn)22=3叫

.1.B2021的坐標為（-31011.0）,

故選：A.

【點評】本題考查平面直角坐標系找規(guī)律，利用菱形的性質(zhì)處理條件，掌握循環(huán)規(guī)律的

處理方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題。（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

n.【考點】函數(shù)自變量的取值范圍.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于o列式計算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，x-1》0,

解得尤21.

故答案為x'l.

【點評】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

12.【考點】位似變換；坐標與圖形性質(zhì).

【分析】若兩個圖形5c和B'C以原點為位似中心，相似比是左，△ABC上

一點的坐標是（尤，y）,則在△4'B'C中，它的對應(yīng)點的坐標是（kx,外）或（-fcc,

ky）,進而求出即可.

【解答】解：：△ABC與△ALBICI是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似比為1：

2,

VA(1,2),點A(1,2)在第一象限的對應(yīng)點是4,

...點4的坐標為：(2,4).

故答案為：(2,4).

【點評】此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點

位似的兩個圖形對應(yīng)點坐標之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.【考點】利用頻率估計概率.

【分析】用球的個數(shù)乘以“一等獎”頻率穩(wěn)定值.

【解答】解：“一等獎”的個數(shù)可能是100X(1-1)=25(個)，

4

故答案為：25.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固

定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

14.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系得出a+B=-1,印=-1,再代入a2p+ap2=ap(a+0)計

算可得.

【解答】解：根據(jù)題意知a+P=-1,ap=-1,

則a2p+ap2

=aP(a+p)

=-IX(-1)

=1,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握XI,尤2是一元二次方程

ax1+bx+c=Q(aWO)的兩根時，xi+x2=--,xix2=—.

aa

15.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；垂線段最短；直角三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】當EPLAC時，EF有最小值，過點P作PM1EF于點M,由直角三角形的性

質(zhì)求出PE的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出PE=PR/EPF=120°,求出PM的長，則可得出

答案.

【解答】解：如圖，當EPLAC時，E尸有最小值，

A

過點P作PM±EF于點M,

:四邊形ABC。是正方形，

AZACB=45°,

為的中點，BC=1,

.-.CE=A,

2

??"=冬E?

??,將PE繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到PF,

：.PE=PF,NEP尸=120°,

：.ZPEF=30°,

：.EM=PE-sm600=JZ-x—=—>

428

：.EF=2EM=^L,

4

:.EF的最小值是逅.

4

故答案為：逅.

4

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段的性質(zhì),

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】由題意可知A(1,k),B(k,1),則AC=O￡)=左，CD=k-1,CE=DE=K11,

2

k~l

證得△ACES2\EZ)8,得到￡0,即一整理得9-64+1=0,解得k=

EDBDkzl1

2

3+2&.

【解答】解：由題意可知A(1,k),B(左，1),

：.AC=OD=k,

:.CD=OD-OC^k-1,

?.?點E為CO中點，

."￡=￡>￡1=.1,

2

:過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點C、點。，AE1BE,

：.ZAEC+ZBED^90°=/BED+/EBD,/ACE=/EDB=90°,

：./AEC=ZEBD,

：.△ACEs^EDB,

?ACCE

,?而同

k-1

2.>整理得后-6Z+l=0,

k-11

~2~

解得左=3+2、歷（負數(shù)舍去），

故答案為：3+2^2.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，表示

出點的坐標是解題的關(guān)鍵.

三、解答題。（本大題共8小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟。

17.【考點】分式的化簡求值.

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將尤的值代入計算即可.

【解答】解：原式=[.___________+_____I_____戶x+2

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)x^l

=x+2.x+1

(x+1)(x-l)x+2

=1

x-1,

當X=A歷時，

原式=以一

V2-1

=&+1-

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法貝人

18.【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【分析】（1）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于X

的一元一次方程，再進一步求解即可；

（2）兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得.

【解答】解：（1）V3?=4x,

3X2-4x=0,

貝Ux（3x-4）=0,

.'.x—Q或3x-4=0,

解得尤1=0,Xc=生；

X23

（2）VX2+2X=5,

.'.X2+2X+1—6,

（x+l）2=6,

貝ljx+l=士證，

；.X1=-1+&，XI—-1-遍.

【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、

因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

19.【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖.

【分析】（1）先用C等級的人數(shù)除以它所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再計算出。等

和B等級人數(shù)，從而可補全條形統(tǒng)計圖；然后用8等級人數(shù)所占的百分比乘以360。得

到B等級所在扇形的圓心角度數(shù)；

（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出一名女生、一名男生的結(jié)果數(shù)，然

后根據(jù)概率公式求解.

【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為10?20%=50（人），

D等級的人數(shù)為50X12%=6,

B等級的人數(shù)為50-4-6-10=30（人），

8等級所在扇形的圓心角度數(shù)為：毀義360°=216°；

50

條形統(tǒng)計圖為:

（2）畫樹狀圖為:

共有12種等可能的結(jié)果，其中一名女生、一名男生的結(jié)果數(shù)為8,

所以恰好抽中一名女生、一名男生的概率=_§_=2.

123

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果，

再從中選出符合事件A或2的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件A或8的概率.也考

查了統(tǒng)計圖.

20.【考點】相似三角形的判定；勾股定理.

【分析】（1）先在RtZXBCG中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/G8C的度數(shù)，再根據(jù)/

ABC^ZGBC+ZABG即可得出/ABC的度數(shù);在RtABCH中利用勾股定理即可求出BC

的長.

（2）利用格點三角形的知識求出AB,BC及CE,的長度，繼而可作出判斷.

【解答】解：（1）:△BCG是等腰直角三角形，

；./GBC=45°,

VZABG=90°,

/.ZABC=ZGBC+ZABG=900+45°=135°；

:在RtZXBHC中，BH=2,CH=2,

-,-BC=MBH24cH2=V22+22=2料?

故答案為：135°；2近；

(2)相似.理由如下：

,:BC=2?EC=如,

A-B-^-=V2>—==V2>

CE近DE2

AB

-BC

CE--,

DE

又：NA8C=NCED=135°,

：.△ABCs^DEC.

ABb

DE

【點評】此題主要考查學生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的

關(guān)鍵是認真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系.

21.【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用.

【分析】(1)設(shè)降價尤元，由利潤=單價利潤又銷量求解.

(2)設(shè)定價為加元時，獲利W元，將方程配方求解.

【解答】解：(1)設(shè)應(yīng)降價無元，則可售出(40+2尤)元，每件獲利(80-x)元，

由題意得(80-x)(40+2.r)=4200,

解得無1=10,%2=50.

答：應(yīng)降價10元或50元.

(2)設(shè)定價為初元時，獲利W元則，

W=(m-120)[40+2(200-m')]

=-2(m-170)2+5000,

.,.當定價為170元時，獲利最多，最多利潤為5000元.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，掌握求二次函數(shù)最值的方法.

22.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)可得/EBC=90°,AB//CD,從而可得/ECG,即

可解答；

(2)根據(jù)三角形的中位線定理可得EF=LBD,再證明△ABE烏△。/G,可得GF=EF

2

=%E,從而可得EG=B。，然后證明△GFDS^GCE,利用相似三角形的性質(zhì)即可解

2

答.

【解答】證明：(1)VCE±EG,

：.ZGEC=90°,

???四邊形ABC。是矩形，

:.NEBC=90°,AB//CD,

：./BEC=ZECG,

：NGEC=NEBC=90°,

AEBC^AC￡G；

(2),:E、/分別是AB、A。中點，

J.EF^AABD的中位線，

;.EF=LBD,

2

'：AB//CG,

：./AEF=NG,

VZAFE=ZDFG,AF=DF,

.?.△AFE*ADFGCAAS),

;.GF=EF=LGE,

2

：.GE=BD,

:四邊形ABC。是矩形，

AZADC=9Q°,

：.ZAZ)G=180°-ZADC=90°,

：.ZGDF=ZGEC,

,:NG=/G,

:.XGFDsXGCE,

?GF=GD；

"GCGE，

:.GD?GC=GF,GE,

:.GD?GC=LGE，GE,

2

:.LGM=GD?GC,

2

；.工BD2=GD/GC.

2

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全

等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【分析】過點C作CE±AD于點E,先證CN=CB,令CM=x米，則CN=CB=2x米，

米，再由銳角三角函數(shù)定義得出方程，解方程即可.

【解答】解：如圖，過點C作于點E,

'：CM//AD,ZD=90°,

:.NCMN=/D=90°,

VZNCM=60°,

：.ZCNM^90°-/NCM=30°,

:.CN=2CM,

又?：/NBD=45°,ZD=90°,

:./BND=90°-NA?。=45°,

：.ZBNC=15°,

的坡比為1：M=CE：BE,

V33

：.ZCBE=3Q°,

:./CBN=15°=ZBNC,

:.CN=CB,

令CM=x米，則CN=C8=2x米，MN=ax米,

又：sinNCBE=^=sin30°

CE=—CB=x（米），BE=\/~3x（米），

2

:.ND=MN+MD=MN+CE=（J§+1）x（米），

???AB=20米，

：.AD=AB+BE+ED=AB+BE+CM^[20+(1+*、笈)x](米),

又：NA=30°,

tanz^NAD=^-=tan30°=零'

AUo

(V3+l)xM

mP

20+(l^)x~

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解，且符合題意,

:.MN=10%米，

答：旗桿MN的高度為107§米.

N

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握仰

角俯角的定義和坡度坡角的定義，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.【考點】相似形綜合題.

【分析】（1）過點。作。G〃CE交于點G,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到約=

BE

坨=工，進而求出膽=邑，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算，得到答案；

BC4EG3

（2）過點。作。//〃CE交A2于點仿照（1）的證明方法解答；

（3）過點A作的平行線交。E的延長線于點作ANLBC于點N,根據(jù)正切的定

義求出AN,根據(jù)勾股定理求出A3、AC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：（1）如圖1,過點。作。G〃CE交A8于點G,

則幽=地=>1,

BEBC4

:點E是4B的中點，

：.BE=AE,

?AE=A,

"EGT

'：DG//CE,

?AF=AE=_4.

"FDEG3"

(2)不變.

證明如下：如圖2,過點。作。8〃CE交AB于點X,

則理=里=工

BEBC4

:點E是AB的中點，

：.BE=AE,

?AE=1

"EHT

'：DH//CE,

?AF=AE=1，

??而EH3"

(3)如圖3,過點A作8。的平行線交QE的延長線于點M,作ANLBC于點N,

,/CD=1,CD：BC=1：3,

:.BC=3,

'：AB^AC,AN±BC,

:.BN=NC=3,

2

在中，tan8=3m=2,

BN

:.AN=3,

：.AC=AB=A/AN2+BN2

'：AM//BD,

：.AAMEs^BDE,

?AM=AE=_1

"BCEBT

：.AM=2,

,JAM//BD,

：.AAMFs^CDF,

?AF=AM=9

FCCD

:.AF=1.AC=4S-

3

圖1

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正切的定義、等腰三角形的性質(zhì)，正

確作出輔助性、掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)尤的平方等于a,即/=a,那么這個正數(shù)

x叫做a的算術(shù)平方根.記為

(2)非負數(shù)a的算術(shù)平方根。有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根。本

身是非負數(shù).

(3)求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

2.立方根

(1)定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果/=a,那么無叫做。的立方根.記作：如.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負數(shù)的立方根是負數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中。叫做被開方數(shù).

注意：符號。3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負

數(shù)都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù),

0的立方根是0.

3.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注

意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

4.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”;

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

5.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這XI,X2是一元二次方程af+bx+c

=0QW0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axi2+bxi+c—O（aWO）,ax22+bx2+c—0（aWO）.

6.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+機）2=”的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為依（aWO）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，

則判定此方程無實數(shù)解.

7.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個■元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

8.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廬-4℃)判斷方程的根的情況.

一元二次方程af+bx+cu。(a=0)的根與△=/??-4ac有如下關(guān)系：

①當△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

9.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：XI,X2是方程x2+px+q=0的兩根時，Xl+X2=-p,

X1X2=4，反過來可得p=-(X1+X2),4=XLX2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：XI,X2是一元二次方程o?+6x+c=oQW0)

的兩根時，尤1+尤2=一旦，X1X2=—,反過來也成立，即也■=-(X1+X2),—=X1X2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，xi2W等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮△》()這兩個前提條件.

10.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找

出并全面表示問題的相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系,

即列出一元二次方程.

11.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為十位數(shù)是6,則這個兩位數(shù)表示為10b+a.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a（1+尤）；第二次增長后為a（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）

2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相

似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹！J：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

12.規(guī)律型：點的坐標

規(guī)律型：點的坐標.

13.坐標與圖形性質(zhì)

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到無軸的距離與縱

坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐標可以是負數(shù)，在由距離

求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

14.函數(shù)自變量的取值范圍

自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義.

①當表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數(shù).例如y=2尤+13中的x.

②當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零.例如y=x+2尤-1.

③當函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零.

④對于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問

題有意義.

15.一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

由于>=依+>與y軸交于（0,b）,當b>0時，（0,Z?）在y軸的正半軸上，直線與y軸交

于正半軸；當6<0時，（0,6）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

①左>0,b>0Qy=fcc+。的圖象在一、二、三象限；

②%>0,6<00y=Ax+6的圖象在一、三、四象限；

③左<0,6>0<=>、=爪+6的圖象在一、二、四象限；

@k<0,6<0oy=fcc+6的圖象在二、三、四象限.

16.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)（左為常數(shù)，左W0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（無，y）的橫縱坐標的積是定值公即町=%

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在圖象中任取一點，過這一個點向無軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的

面積是定值I川.

17.二次函數(shù)的應(yīng)用

（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關(guān)鍵是通過題意,

確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有

意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

（2）