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第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)5.3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則,并能運(yùn)用復(fù)數(shù)加減法法則進(jìn)行熟練計(jì)算.2.掌握復(fù)數(shù)的乘、除法法則,并能運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘、除法法則進(jìn)行計(jì)算.3.注意和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的四則運(yùn)算進(jìn)行類比及區(qū)分.1.重點(diǎn):復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.2.難點(diǎn):復(fù)數(shù)的乘法和除法.1.復(fù)數(shù)的加法與減法設(shè)a+bi和c+di是任意兩個復(fù)數(shù),則_______________________________,也就是說,兩個復(fù)數(shù)的和(或差)仍然是一個________.它的________是原來兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部的__________,它的_______是原來兩個復(fù)數(shù)的虛部的__________.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i復(fù)數(shù)
實(shí)部和(或差)虛部和(或差)2.復(fù)數(shù)的乘法設(shè)a+bi與c+di分別是任意兩個復(fù)數(shù),則__________________________________.也就是說,兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個________.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法是類似的,但在運(yùn)算過程中,需要用________進(jìn)行化簡,然后把_______與_______分別合并.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i復(fù)數(shù)i2=-1實(shí)部虛部溫馨提示:(1)對復(fù)數(shù)z1,z2,z和自然數(shù)m,n有:zm·zn=zm+n,(zm)n=zm·n,(z1·z2)n=z·z.實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.(2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈Z).共軛復(fù)數(shù)1.設(shè)a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)分別是任意兩個復(fù)數(shù).(1)當(dāng)b=0,d=0時(shí),復(fù)數(shù)的加減法法則與實(shí)數(shù)的加減法法則一致.(2)可以驗(yàn)證加減運(yùn)算的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立.(3)符合向量加法的平行四邊形法則.復(fù)數(shù)的加減法2.法則的記憶:可以類比合并同類項(xiàng)記為:兩個復(fù)數(shù)相加(減),就是實(shí)部與實(shí)部相加(減),虛部與虛部相加(減).3.復(fù)數(shù)的加、減可以推廣到若干個復(fù)數(shù)進(jìn)行連加、連減或混合運(yùn)算,即(a1+b1i)±(a2+b2i)±…±(an+bni)=(a1±a2±…±an)+(b1±b2±…±bn)i.【點(diǎn)評】復(fù)數(shù)運(yùn)算的先后次序與實(shí)數(shù)運(yùn)算類似,先計(jì)算括號內(nèi)的,再按由左向右的順序計(jì)算.1.(1)若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z=____________.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=____________(a,b∈R).解析:(1)z=(3-i)-(i-3)=6-2i.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=a+bi-2a+3bi-3i=-a+(4b-3)i.答案:(1)6-2i
(2)-a+(4b-3)i設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù),定義復(fù)數(shù)的乘法為(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個確定的復(fù)數(shù).兩個復(fù)數(shù)相乘類似于兩個多項(xiàng)式相乘,但在運(yùn)算過程中,需要用i2=-1進(jìn)行化簡,然后把實(shí)部和虛部分別合并.復(fù)數(shù)的乘法
計(jì)算下列各題:(1)(1-2i)(3+i);(2)(1+i)2;(3)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(4)(1+i)(1-i).
[思路點(diǎn)撥]按多項(xiàng)式乘法展開,再把i2換成-1即可.解:(1)(1-2i)(3+i)=3+i-6i-2i2=5-5i.(2)(1+i)2=1+2i+i2=2i.(3)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=9-12i+33i-44i2+2i=53+23i.(4)(1+i)(1-i)=12-i2=1+1=2.【點(diǎn)評】復(fù)數(shù)的乘法可完全類比多項(xiàng)式乘法,而不必強(qiáng)記乘法公式.解析:(1)A項(xiàng),i(1+i)2=i(1+2i+i2)=i×2i=-2,不是純虛數(shù).B項(xiàng),i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是純虛數(shù).C項(xiàng),(1+i)2=1+2i+i2=2i,是純虛數(shù).D項(xiàng),i(1+i)=i+i2=-1+i,不是純虛數(shù).(2)∵xi-y=-1+i,∴x=1,y=1,∴(1+i)x+y=(1+i)2=2i.答案:(1)C
(2)2i
(3)4+2i復(fù)數(shù)的除法[思路點(diǎn)撥]根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求值.答案:(1)D
(2)1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解一元二次方程
知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一個根.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,猜測方程的另一個根,并給予證明.
[思路點(diǎn)撥]
(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,利用復(fù)數(shù)相等求解;(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系,求方程的另一個根,并代入方程檢證.【點(diǎn)評】實(shí)系數(shù)的一元二次方程,求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律.(2)在進(jìn)行復(fù)數(shù)代
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