上海市虹口區(qū)北虹高級中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

上海市虹口區(qū)北虹高級中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A．－12 B．－14 C．10 D．82．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．103．已知四面體中，，分別是，的中點，若，，與所成角的度數(shù)為30°，則與所成角的度數(shù)為（）A．90° B．45° C．60° D．30°4．直線的傾斜角是（）A．30° B．60° C．120° D．135°5．已知數(shù)列滿足，為其前項和，則不等式的的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．106．為了得到函數(shù)，(x∈R)的圖象，只需將(x∈R)的圖象上所有的點（）.A．向右平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位7．已知不等式的解集是，則()A． B．1 C． D．38．已知點是直線上一動點、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．9．已知在中，為線段上一點，且，若，則（）A． B． C． D．10．已知的頂點坐標(biāo)為，，，則邊上的中線的長為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為________．12．已知函數(shù)，它的值域是__________.13．在△中，，，，則_________．14．三棱錐中，分別為的中點，記三棱錐的體積為，的體積為，則____________15．在中，角的對邊分別為，若，則角________.16．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長為___．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試的平均分；（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取個，求至多有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率．18．已知數(shù)列中，，.(1)令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)令，為數(shù)列的前項和，求.19．已知動點到定點的距離與到定點的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作軌跡的切線，求該切線的方程.20．某大橋是交通要塞，每天擔(dān)負(fù)著巨大的車流量.已知其車流量（單位：千輛）是時間（，單位：）的函數(shù)，記為，下表是某日橋上的車流量的數(shù)據(jù)：03691215182124（千輛）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看做函數(shù)（其中，，，）的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的近似解析式；(2)為了緩解交通壓力，有關(guān)交通部門規(guī)定：若車流量超過4千輛時，核定載質(zhì)量10噸及以上的大貨車將禁止通行，試估計一天內(nèi)將有多少小時不允許這種貨車通行？21．的內(nèi)角所對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由直線mx+4y﹣2=0與直線2x﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，能求出n．【詳解】∵直線mx+4y﹣2=0與直線2x﹣5y+n=0垂直，垂足為（1，p），∴2m﹣4×5=0，解得m=10，把（1，p）代入10x+4y﹣2=0，得10+4p﹣2=0，解得p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣1．故答案為：A【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．2、A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.3、A【解析】

取的中點,利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數(shù).【詳解】取的中點連接，如下圖所示：因為，分別是，的中點，所以有，因為與所成角的度數(shù)為30°，所以，與所成角的大小等于的度數(shù).在中，，故本題選A.【點睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點利用三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.4、C【解析】

根據(jù)直線方程求出斜率即可得到傾斜角.【詳解】由題：直線的斜率為，所以傾斜角為120°.故選：C【點睛】此題考查根據(jù)直線方程求傾斜角，需要熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系，熟記常見特殊角的三角函數(shù)值.5、B【解析】

由題意，整理得出是一個首項為12，公比為的等比數(shù)列，從而求出，再求出其前項和，然后再求出的表達(dá)式，再代入數(shù)驗證出的最大值即可．【詳解】由可得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值為8.選B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式以及數(shù)列求和的方法分組求和，屬于數(shù)列中的綜合題，考查了轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造的意識，本題難度較大，思維能力要求高．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點向左平移個單位.故選D【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記左加右減的原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】

的兩個解為-1和2.【詳解】【點睛】函數(shù)零點、一元二次等式的解、函數(shù)與x軸的交點之間的相互轉(zhuǎn)換。8、D【解析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點到直線的距離公式可求出的值.【詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點睛】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、C【解析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查平面向量基本定理，解題時用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．10、D【解析】

利用中點坐標(biāo)公式求得，再利用兩點間距離公式求得結(jié)果.【詳解】由，可得中點又本題正確選項：【點睛】本題考查兩點間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中點坐標(biāo)公式求得中點坐標(biāo).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、32【解析】

根據(jù)面積關(guān)系建立方程關(guān)系，結(jié)合基本不等式1的代換進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即3c=a時取等號；∴的最小值為32.故答案為：32.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中等題.12、【解析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【詳解】，，因此，函數(shù)的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進(jìn)行計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得的大小.【詳解】由余弦定理得，由于，故.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知設(shè)點到平面距離為，則點到平面距離為，所以，考點：幾何體的體積.15、【解析】

根據(jù)得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)余弦定理求解三角形的內(nèi)角，關(guān)鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準(zhǔn)確計算求解.16、【解析】

兩圓方程相減求出公共弦所在直線的解析式，求出第一個圓心到直線的距離，再由第一個圓的半徑，利用勾股定理及垂徑定理即可求出公共弦長．【詳解】圓與圓的方程相減得：，由圓的圓心，半徑r為2，且圓心到直線的距離，則公共弦長為．故答案為．【點睛】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，求出公共弦所在的直線方程是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.3，直方圖見解析；(2)121；(3).【解析】

（1）頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，而頻率的和等于1，可求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，即可求出矩形的高，畫出圖象即可；（2）同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，將中點值與每一組的頻率相差再求出它們的和即可求出本次考試的平均分；（3）先計算、分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，然后按照比例進(jìn)行抽取，設(shè)從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段為事件，然后列出基本事件空間包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后將包含事件的個數(shù)求出題目比值即可.【詳解】(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，補全后的直方圖如下：(2)平均分為：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：60×0.15＝9人，[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：60×0.3＝18人．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，則基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15種．事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9種，∴.18、（1）見解析（2）（3）【解析】

(1)計算，得證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)先求出的通項公式，再計算數(shù)列的通項公式.(3)計算，根據(jù)錯位相減法和分組求和法得到答案.【詳解】(1)，，，故數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，由，得數(shù)列的通項公式為.(3)由(2)知，記.有.兩式作差得，得，則.【點睛】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列通項公式，分組求和，錯位相減法，意在考查學(xué)生的計算能力.19、（1），（2）或【解析】

（1）首先根據(jù)題意列出等式，再化簡即可得到軌跡方程.（2）首先根據(jù)題意設(shè)出切線方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑即可求出切線方程.【詳解】（1）設(shè)，有題知，，所以點的軌跡的方程：.（2）當(dāng)切線斜率不存在時，切線為圓心到的距離，舍去.當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為.圓心到切線的距離，解得：或.即切線方程為：或.【點睛】本題第一問考查了圓的軌跡方程，第二問考查了直線與圓的位置關(guān)系中的切線問題，屬于中檔題.20、（1）（2）8個小時【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最大最小值可求出和，根據(jù)周期求出，根據(jù)一個最高點的橫坐標(biāo)可求得；

（2）解不等式可得．【詳解】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得:由，,解得：

由當(dāng)時，有最大值，則即，得.

所以函數(shù)的近似解析式（2）