湖南省寧鄉(xiāng)市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

湖南省寧鄉(xiāng)市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則等于（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線:.如果對任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，則點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則()A．127 B．129 C．255 D．2575．直線（，）過點(diǎn)(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．106．已知函數(shù)，且的圖象向左平移個單位后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為，1，，，則該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以是（）A． B．C． D．8．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)（為常實(shí)數(shù)）在區(qū)間上的最小值為，則的值等于（）A．4 B．-6 C．-3 D．-410．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．不確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線l過定點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為______.12．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．13．已知扇形的圓心角，扇形的面積為，則該扇形的弧長的值是______.14．382與1337的最大公約數(shù)是__________.15．已知正四棱錐的底面邊長為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是______________16．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的距離至少有一個小于1的概率是________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.18．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當(dāng)為何值時，PB⊥AC？19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的方程是（，）．（1）當(dāng)，時，求曲線圍成的區(qū)域的面積；（2）若直線：與曲線交于軸上方的兩點(diǎn)，，且，求點(diǎn)到直線距離的最小值．20．已知，，與的夾角是（1）計(jì)算：①，②；（2）當(dāng)為何值時，與垂直？21．五一放假期間高速公路免費(fèi)是讓實(shí)惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時間段內(nèi)車流量(單位:千輛/小時)與汽車的平均速度(單位:千米/小時)之間滿足的函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)），當(dāng)汽車的平均速度為千米/小時時，車流量為千輛/小時.（1）在該時間段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時車流量達(dá)到最大值？（2）為保證在該時間段內(nèi)車流量至少為千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由直線的傾斜角得知直線的斜率為，再利用斜率公式可求出的值.【詳解】由于直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，由斜率公式得，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用斜率公式求參數(shù)，同時也涉及了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出，由對任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，從而可得，求得直線的方程，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的性質(zhì)即可得到對稱點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻坑牲c(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)到直線的距離由于對任意的點(diǎn)到直線的距離均為定值，所以，即，所以直線的方程為：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故，解得：，所以設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)的求法，涉及點(diǎn)到直線的距離，兩直線垂直斜率的關(guān)系，中點(diǎn)公式等知識點(diǎn)，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于中檔題。3、D【解析】

先求得集合的補(bǔ)集，然后求其與集合的交集，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用迭代關(guān)系，得到另一等式，相減求出，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，相減得，，，又，所以，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.5、A【解析】

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程：，再利用乘1法求最值【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程：，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號【點(diǎn)睛】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。6、C【解析】

由函數(shù)圖像的平移變換得的圖象向左平移個單位，得到，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：，將的圖象向左平移個單位，得到，因?yàn)槠揭坪髨D象關(guān)于對稱，所以，可得，，，，因?yàn)?，所以的最小值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)各選擇項(xiàng)求出數(shù)列的首項(xiàng)，第二項(xiàng)，用排除法確定．【詳解】可用排除法，由數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)可排除B,D，再看項(xiàng)的絕對值，在C中不合題意，排除C，只有A.可選．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，選擇一個通項(xiàng)公式，比較方便，可以利用通項(xiàng)公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，把不合的排除即得．8、C【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖，根據(jù)長度關(guān)系計(jì)算表面積得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示：幾何體的表面積為：故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，將三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】試題分析：，，，當(dāng)時，，故.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、三角函數(shù)的性質(zhì).10、C【解析】

通過正弦定理可得可得三角形為等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故的形狀是等腰直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度中等.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或.【解析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【詳解】設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①.因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問題，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】

先求出，再根據(jù)面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.所以b的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.13、【解析】

先結(jié)合求出，再由求解即可【詳解】由，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長和面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題14、191【解析】

利用輾轉(zhuǎn)相除法，求382與1337的最大公約數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所?82與1337的最大公約數(shù)為191，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查利用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)，屬于容易題.15、【解析】四棱錐的側(cè)面積是16、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時符合要求,∴P==.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于是有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積常常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因?yàn)镺，E分別為BD.PD的中點(diǎn),所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當(dāng)時，PB⊥AC．【點(diǎn)睛】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問題找異面直線垂直，第三問難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問題．19、(1)4；(2)．【解析】

（1）當(dāng)，時，曲線的方程是，對絕對值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行討論，得到四條直線圍成一個菱形，并求出面積為4；（2）對進(jìn)行討論，化簡曲線方程，并與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，從而求得.【詳解】（1）當(dāng)，時，曲線的方程是，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，方程等價(jià)于，當(dāng)時，方程等價(jià)于，當(dāng)時，方程等價(jià)于，當(dāng)時，方程等價(jià)于，曲線圍成的區(qū)域?yàn)榱庑?，其面積為；（2）當(dāng)，時，有，聯(lián)立直線可得，當(dāng)，時，有，聯(lián)立直線可得，由可得，即有，化為，點(diǎn)到直線距離，由題意可得，，，即，可得，，可得當(dāng)，即時，點(diǎn)到直線距離取得最小值．【點(diǎn)睛】解析幾何的思想方法是坐標(biāo)法，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題，本題對運(yùn)算能力的要求是比較高的.20、（1）①；②；（2）.【解析】

利用數(shù)量積的定義求解出的值；（1）將所求模長平方，從而得到關(guān)于模長和數(shù)量積的式子，代入求得模長的平方，再開平方得到結(jié)果；（2）向量互相垂直得到數(shù)量積等于零，由此建立方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由已知得：（1）①②（2）若與垂直，則即：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求解向量的模長、利用數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系求解參數(shù)的問題.求解向量的模長關(guān)鍵是能夠通過平方運(yùn)算將問