運算律的本質、內容進階與教學建議

【摘

要】五大運算律是代數學的基石，也是小學數學的基本內容。基于加法與乘法的歸納定義可以證明運算律。小學階段運算律有四個不同的學習階段，其中第二階段即四則運算的“用而不述”階段最為復雜。教師要從更高站位了解運算律的價值，引導學生從代數結構或建構模型的角度“正式”學習運算律，而不必非從“解決實際問題”入手。【關鍵詞】加法與乘法的本質；運算律；學習進階運算的意義、定律和法則是小學數學運算教學的基本內容。在算術中，運算的意義是基礎。基于意義可進一步得到運算律，根據意義與定律即可歸納出各種運算法則。在代數中，運算律更為重要。項武義教授指出：簡樸得幾乎是笨拙的運算律就是整個代數學的基礎。［1］3運算律中具有根基性的就是加法、乘法的規(guī)律（數系擴充后，減法就是加法，除法就是乘法），即加法和乘法的交換律、加法和乘法的結合律、乘法對加法的分配律。這五大運算律在小學數學中無處不在?，F行多個版本教材都將運算律內容編排在四年級，即運算律在之前所學內容中“隱而不明”，直到四年級才“正式”學習。但基本運算律是與加法和乘法運算同在的［2］，不是到四年級才學習的，即運算律在小學數學中有不同的學習進階。那么，運算律在小學數學中的學習進階是什么？不同進階的內容要求學生理解到什么程度？教師該如何整體把握運算律內容的本質？經歷探究、歸納和概括運算律的過程能培育學生哪些核心素養(yǎng)？看似“不證自明”又很容易的運算律真的易于學生理解并掌握嗎？這些問題都有待于深入思考，并需要在教學實踐中不斷探究。一、運算律的本質與證明小學階段所涉及的這五大運算律在數系從自然數系擴充到復數系后仍然成立，根源是其在自然數系中成立。因此，要探究運算律普遍成立的緣由，就得仔細考察自然數系的運算律為什么普遍成立。小學階段通過舉例的方式驗證（采用不完全歸納法）并明確性質，但在數學上，舉例無法說明定律普遍成立，因為極有可能在無數個例子之外還存在不成立的例子。追根究底地問自然數系的運算律為什么普遍成立，此事絕非庸人自擾，而是學習代數不可缺的奠基與起步［1］4，其中蘊含證明的基本方法——數學歸納法。數學上的證明，就是以某些事物的正確性去說明其他事物的正確性。任何證明都必須要有依據，不可能“無中生有”。自然數系是一個按順序排列的體系，起始者為1（皮亞諾修訂后的公理規(guī)定起始者為0，所以0既是自然數，也是起始者），往后始終按照“后者”比“前者”多1的順序逐個加1，以至無窮。因此，加法是“+1”的復合。例如，“+n”就是連續(xù)n次“+1”的縮寫，“+（n+1）”就是“+n”之后再一次“+1”，用算式表示就是a+（n+1）=（a+n）+1。這就是自然數系加法運算的歸納定義，即加法是“+1”的復合。而乘法是自相加的縮寫，即1·a=a，2·a=a+a，3·a=2·a+a=a+a+a，也就是（n+1）·a=n·a+a。在自然數系及加法、乘法定義的基礎上，運用數學歸納法就能嚴格地證明自然數系下的五大運算律。以分配律為例，它的證明過程如下。要證明m·a+n·a=（m+n）·a成立，須對n作歸納論證。當n=1時，要證明的等式就是前述乘法的定義。假設n=k時，m·a+k·a=（m+k）·a成立。當n=k+1時，m·a+（k+1）·a=m·a+（k·a+a）

（乘法定義）=（m·a+k·a）+a

（加法結合律）=（m+k）·a+a

（歸納假設）=［（m+k）+1］·a

（乘法定義）=［m+（k+1）］·a

（加法結合律）雖然在小學階段不可能要求如上所述的嚴格的歸納證明，但通過歸納證明的過程可以看出，分配律成立的起點與邏輯基礎是乘法的意義及加法結合律。同樣，減法與除法的性質可以通過前述運算律推導出來，所以減法與除法叫“性質”而不叫“運算律”。例如，減法的性質可以這樣推導。a-b-c=a+（-b）+（-c）=a+（-1）·b+（-1）·c=a+［（-1）·b+（-1）·c］

（加法結合律）=a+（-1）·（b+c）

（乘法分配律）=a-（b+c）由此可以看出，減法與除法的性質是“流”，加法與乘法的五大運算律是“源”。更進一步說，自然數的加法是根本，是“+1”的復合，乘法是“自身相加”，而減法、除法則分別是加法、乘法的逆運算。當然，在小學階段，“源”與“流”都承載著各自的育人價值，但“源”更重要。二、小學階段運算律的內容進階以及學生理解的難點如前所述，運算律雖然簡單、樸素，但意義重大。尤其是在代數學中，只要學習四則運算，或利用運算知識解決實際問題，就要涉及運算律，運算律貫穿教學始終，只不過一開始運算律是內隱的，沒有外顯地、形式化地表述出來。那么，運算律在小學數學中的進階表現如何？學生如何從模型角度理解運算律、感悟運算律的價值呢？哪些情況下學生易出錯？出錯的根本原因是什么？為此需要整體分析運算律在小學階段的內容進階和“升階點”。下面通過對運算律本質和不同版本教材的分析，從運算律的內容、表達方式以及運用情境等方面，按照情境中感知、說理中感悟、字母符號表達及解釋運用這幾個水平層次，整體劃分運算律在小學數學中的學習階段?！倦A段1】直觀感知：具體情境中感知交換律加法、乘法交換律在學生一、二年級學習加法、乘法意義時就可以揭示，讓學生結合具體情境，通過列式知道3+5=5+3、3×5=5×3這樣的基本事實，但不需要用抽象的字母符號來表示。加法交換律、結合律的情境基于生活經驗，學生容易感知。甚至從并集的角度看，加法交換律自然成立。如俄羅斯一年級教材在加法定義之后，就立刻根據并集的意義寫出了“T+K=K+T”，加法交換律出現得很早。［3］對于選擇哪個合適的情境認識乘法交換律，目前學界觀點不同，仍有爭議。例如，在“初步認識乘法”中，如果采用“每個盤子裝3個蘋果，5個盤子一共裝多少蘋果”這一情境，所列算式“3+3+3+3+3”只能改寫為“3×5”，而不能直接寫“5×3”。只有在借助“點陣模型”求一共有多少個點時，學生才能更好地理解乘法交換律，因為這時可以從兩個角度研究點的個數：每行有3個，有這樣的5行（5個3相加）；每列有5個，有這樣的3列（3個5相加）。觀察與計算的角度不同，所列算式也不同，但結果都一樣，所以3×5=5×3，即交換乘數的位置，乘積不變。雖然現行教材不再區(qū)分被乘數、乘數，但在某些情境下二者含義不同，只有在點陣模型中二者的地位才對等。二年級學生應該能夠理解“兩個數相乘，交換它們的次序乘積不變”的結論，不過僅限于具體數相乘。至于出現a×b=b×a那樣的字母表達式，以及采用乘法交換律這樣的專有名詞，仍舊可到四年級再提出。［4］【階段2】計算中“用而不述”：說理中感悟結合律與分配律四則運算能夠“算下去”，都是在運用基本運算律。運算律是計算算理的主要依據之一，在本階段中還可以再細分為以下幾個“小階段”。（1）自然數和小數都是十進制數，其加減法的算理完全相同，計算過程中多次運用加法的交換律、結合律。（2）分數加減法的算理，本質仍然是“相同計數單位的個數相加減”。由于需要借助通分找到更小的相同分數單位，其難度要比自然數、小數更大，但比自然數乘法的難度小一些。（3）多位數乘一位數與除數是一位數的除法都需要較簡單地運用乘法分配律，處于同一層級，學生理解起來不難。其中除法也不難，如用豎式計算26÷2，就是將26拆分為（20+6），然后再分別除以2，其本質還是乘法分配律。除數是兩位數時，算理仍然運用乘法分配律。雖然由于除數較大，具體計算時要調商、試商，計算難度增加，但算理一樣。（4）多位數乘兩位數則需要兩次運用分配律，且涉及多個數相加的分配律，而不只是兩個數相加，所以該內容比前面三個階段的算理更難。例如：234×35=234×（5+30）=234×5+234×30=（200+30+4）×5+（200+30+4）×30（5）分數、小數的乘除法處于同一層級。其中，分數乘除法的本質是“計數單位的個數乘個數、計數單位乘計數單位”，在此過程中多次運用交換律與結合律。一般來說，應該先學習分數乘除法，后學習小數乘除法，將小數轉化為分數來計算并說理。這樣設計課程內容將降低小數乘除法的難度，但現行各版本教材都不是這樣編排的。運算律在上述各層級中都是“隱身”的，因此，在教學中應該讓學生通過列橫式感悟運算律。正如史寧中教授所說的：橫式比豎式重要。計算教學中，多讓學生用橫式表達計算過程非常重要，這能為他們正式地學習運算律、構建各運算律的模型積累基本的活動經驗?！倦A段3】理性符號化：整體把握用字母符號表示的五大運算律本階段內容各個版本教材都會編排，但不同教材的編寫方式不同?，F行多數版本教材都以“運算”為主線，先學習加法的交換律、結合律，再學習乘法的交換律、結合律，最后學習乘法對加法的分配律。但北師大版教材以“運算律”為主線，先學習加法、乘法的交換律，再學習加法、乘法的結合律，最后學習分配律。不同版本教材的編排方式各有優(yōu)點和不足，教學的關鍵是探究發(fā)現運算律的方式是什么。北師大版教材的編寫在這方面有很好的體現，后文將具體介紹?！倦A段4】解釋遷移：應用運算律靈活解決簡單問題小學階段要求學生簡單地運用運算律進行簡便計算。然而，有意識地、自主地進行簡便計算對小學生而言很難。其原因較為復雜，既有學習態(tài)度方面的問題，也有知識掌握不牢固、錯誤運用運算律等因素，但最主要的因素還是學生的算術思維在“作祟”，因而不能從“結構”的角度整體研究算式的特征。真正理解運算律需要學生具備一定的代數思維，或者說學習運算律是培養(yǎng)學生代數思維的重要載體。五大運算律中，加法與乘法的交換律只涉及兩個運算對象，學生容易掌握，但需要讓學生認識到“交換位置”進行運算不是在所有情況下都適用的，如在減法和除法中就不成立。而學生最易混淆的是加法、乘法的結合律及乘法對加法的分配律。它們都涉及三個運算對象、兩次運算，尤其是分配律中還要進行兩次不同的運算。雖然五大運算律是顯而易見的事實，單獨認識某一個都較為容易，但運用運算律解決實際問題時卻極易出錯。表面上看是學生容易混淆不同運算律，實際上卻是學生的算術思維在“作祟”：總想算出某個算式的具體數值，而不能有效運用運算律，從整體結構的角度觀察算式，因為這需要學生具有一定的代數思維水平。例如，計算87+38+23時，大多數學生習慣性地按照運算順序逐步計算，而不會“主動地”先觀察算式中每個數的特點，然后正確運用定律進行簡便計算。在算術運算中，按照運算法則“先算小括號里面的，再算中括號里面的；先算乘除法，再算加減法”總能計算出結果，這樣程序性的計算并不能體現運算律的價值。而代數運算不同，沒有運算律可以說“寸步難行”。如計算代數式9+2（x-3）時，因為括號里算不出具體的數，所以必須運用分配律“去掉括號”得到2x+3，這是算術運算與代數運算的真正分野。由算術運算進步到代數運算的關鍵在于數系運算律（特別是分配律）的系統(tǒng)運用，即以通性求通解。在算術運算中基本不用分配律，乃是數學的石器時代；及至代數運算，則系統(tǒng)地運用分配律去簡化各種各樣的代數式和代數關系，這就進步到數學的銅器時代了。［1］12五大運算律中最有力量的是分配律，它也是學生最難理解和運用的，在后文教學建議部分將進一步分析如何引導學生從模式建構角度學習分配律。三、運算律單元教學的幾點建議關于運算律單元的教學，筆者從學習進階、模型建構及對教師專業(yè)知識的期望角度提出以下建議。（一）“正式”學習運算律時不要從“解決現實問題”導入如前所述，如果教師在學生處于階段1、階段2時就“捅破”加法、乘法具有交換律、結合律，在學生正式認識運算律時就不需要再從解決現實問題入手。如果教師從解決問題入手，學生必然列一個算式就能計算出得數，至此已能解決問題。此時教師再引導學生通過觀察兩個結果相等的不同算式，得到兩個算式相等的活動，學生已不再有學習的需求與愿望。北師大版教材關于如何學習運算律的編排方式值得借鑒，主要包括以下幾步。第一步，直接從觀察一組純數學算式入手，尋找算式之間的等量關系，建立等式，并用語言描述其特點，初步感悟運算律（如圖1）。第二步，舉生活事例解釋等式左右兩邊算式的意義，緊扣運算的意義而不強調計算的結果。如果是解決實際問題，必然要強調計算結果。但從計算結果相等的角度認識等式，沒有必要寫出等式，且培養(yǎng)的只是學生的算術思維。而緊扣算式的意義也就是加法、乘法的意義，從而判斷兩個算式之間能不能寫“=”卻是典型的代數思維。第三、第四步，用字母表達式表示運算律，并運用運算律進行簡便計算。讓學生經歷歸納算式感悟特征、用生活事例（現實模型）解釋等式意義及理解運算律的本質、符號表示達到形式化理解等過程，既不脫離運算律的數學本質，又有助于學生的學習進階。這樣的學習不僅符合學生的學習興趣，而且能潛移默化地培養(yǎng)學生的模型意識與代數思維，使知識目標與能力、素養(yǎng)目標有機融為一體。（二）幾何直觀模型貫穿運算律單元教學的始終幾何直觀模型是理解代數知識的重要抓手，它能將抽象的代數內容可視化。對小學生而言，借助幾何直觀模型理解運算律更為重要。幾何直觀模型要貫穿運算律單元的始終，具體內容如下。加法交換律、結合律：線段圖。乘法交換律：矩形模型，可以是點陣圖、方格圖，還可以抽象為長方形面積圖。乘法結合律：長方體模型，由“小正方體”堆積而成的長方體。乘法分配律：組合的矩形模型。下面簡要說明如何用組合的矩形模型來學習乘法分配律（圖省略）。首先，用若干個有相同“長”或“寬”的長方形，拼擺成更大的長方形，并用算式表示拼前、拼后各長方形的面積，感悟能夠“拼成”的秘密——共用的邊（算式中就是“公因子”）。其次，以4×9的長方形為“基礎圖形”，再補一個長方形使之成為更大的長方形，仍用算式表示面積