運算律的本質(zhì)、內(nèi)容進(jìn)階與教學(xué)建議

【摘

要】五大運算律是代數(shù)學(xué)的基石，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容?；诩臃ㄅc乘法的歸納定義可以證明運算律。小學(xué)階段運算律有四個不同的學(xué)習(xí)階段，其中第二階段即四則運算的“用而不述”階段最為復(fù)雜。教師要從更高站位了解運算律的價值，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)結(jié)構(gòu)或建構(gòu)模型的角度“正式”學(xué)習(xí)運算律，而不必非從“解決實際問題”入手?！娟P(guān)鍵詞】加法與乘法的本質(zhì)；運算律；學(xué)習(xí)進(jìn)階運算的意義、定律和法則是小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)的基本內(nèi)容。在算術(shù)中，運算的意義是基礎(chǔ)?；谝饬x可進(jìn)一步得到運算律，根據(jù)意義與定律即可歸納出各種運算法則。在代數(shù)中，運算律更為重要。項武義教授指出：簡樸得幾乎是笨拙的運算律就是整個代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。［1］3運算律中具有根基性的就是加法、乘法的規(guī)律（數(shù)系擴(kuò)充后，減法就是加法，除法就是乘法），即加法和乘法的交換律、加法和乘法的結(jié)合律、乘法對加法的分配律。這五大運算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中無處不在?，F(xiàn)行多個版本教材都將運算律內(nèi)容編排在四年級，即運算律在之前所學(xué)內(nèi)容中“隱而不明”，直到四年級才“正式”學(xué)習(xí)。但基本運算律是與加法和乘法運算同在的［2］，不是到四年級才學(xué)習(xí)的，即運算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中有不同的學(xué)習(xí)進(jìn)階。那么，運算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)進(jìn)階是什么？不同進(jìn)階的內(nèi)容要求學(xué)生理解到什么程度？教師該如何整體把握運算律內(nèi)容的本質(zhì)？經(jīng)歷探究、歸納和概括運算律的過程能培育學(xué)生哪些核心素養(yǎng)？看似“不證自明”又很容易的運算律真的易于學(xué)生理解并掌握嗎？這些問題都有待于深入思考，并需要在教學(xué)實踐中不斷探究。一、運算律的本質(zhì)與證明小學(xué)階段所涉及的這五大運算律在數(shù)系從自然數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系后仍然成立，根源是其在自然數(shù)系中成立。因此，要探究運算律普遍成立的緣由，就得仔細(xì)考察自然數(shù)系的運算律為什么普遍成立。小學(xué)階段通過舉例的方式驗證（采用不完全歸納法）并明確性質(zhì)，但在數(shù)學(xué)上，舉例無法說明定律普遍成立，因為極有可能在無數(shù)個例子之外還存在不成立的例子。追根究底地問自然數(shù)系的運算律為什么普遍成立，此事絕非庸人自擾，而是學(xué)習(xí)代數(shù)不可缺的奠基與起步［1］4，其中蘊含證明的基本方法——數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)上的證明，就是以某些事物的正確性去說明其他事物的正確性。任何證明都必須要有依據(jù)，不可能“無中生有”。自然數(shù)系是一個按順序排列的體系，起始者為1（皮亞諾修訂后的公理規(guī)定起始者為0，所以0既是自然數(shù)，也是起始者），往后始終按照“后者”比“前者”多1的順序逐個加1，以至無窮。因此，加法是“+1”的復(fù)合。例如，“+n”就是連續(xù)n次“+1”的縮寫，“+（n+1）”就是“+n”之后再一次“+1”，用算式表示就是a+（n+1）=（a+n）+1。這就是自然數(shù)系加法運算的歸納定義，即加法是“+1”的復(fù)合。而乘法是自相加的縮寫，即1·a=a，2·a=a+a，3·a=2·a+a=a+a+a，也就是（n+1）·a=n·a+a。在自然數(shù)系及加法、乘法定義的基礎(chǔ)上，運用數(shù)學(xué)歸納法就能嚴(yán)格地證明自然數(shù)系下的五大運算律。以分配律為例，它的證明過程如下。要證明m·a+n·a=（m+n）·a成立，須對n作歸納論證。當(dāng)n=1時，要證明的等式就是前述乘法的定義。假設(shè)n=k時，m·a+k·a=（m+k）·a成立。當(dāng)n=k+1時，m·a+（k+1）·a=m·a+（k·a+a）

（乘法定義）=（m·a+k·a）+a

（加法結(jié)合律）=（m+k）·a+a

（歸納假設(shè)）=［（m+k）+1］·a

（乘法定義）=［m+（k+1）］·a

（加法結(jié)合律）雖然在小學(xué)階段不可能要求如上所述的嚴(yán)格的歸納證明，但通過歸納證明的過程可以看出，分配律成立的起點與邏輯基礎(chǔ)是乘法的意義及加法結(jié)合律。同樣，減法與除法的性質(zhì)可以通過前述運算律推導(dǎo)出來，所以減法與除法叫“性質(zhì)”而不叫“運算律”。例如，減法的性質(zhì)可以這樣推導(dǎo)。a-b-c=a+（-b）+（-c）=a+（-1）·b+（-1）·c=a+［（-1）·b+（-1）·c］

（加法結(jié)合律）=a+（-1）·（b+c）

（乘法分配律）=a-（b+c）由此可以看出，減法與除法的性質(zhì)是“流”，加法與乘法的五大運算律是“源”。更進(jìn)一步說，自然數(shù)的加法是根本，是“+1”的復(fù)合，乘法是“自身相加”，而減法、除法則分別是加法、乘法的逆運算。當(dāng)然，在小學(xué)階段，“源”與“流”都承載著各自的育人價值，但“源”更重要。二、小學(xué)階段運算律的內(nèi)容進(jìn)階以及學(xué)生理解的難點如前所述，運算律雖然簡單、樸素，但意義重大。尤其是在代數(shù)學(xué)中，只要學(xué)習(xí)四則運算，或利用運算知識解決實際問題，就要涉及運算律，運算律貫穿教學(xué)始終，只不過一開始運算律是內(nèi)隱的，沒有外顯地、形式化地表述出來。那么，運算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的進(jìn)階表現(xiàn)如何？學(xué)生如何從模型角度理解運算律、感悟運算律的價值呢？哪些情況下學(xué)生易出錯？出錯的根本原因是什么？為此需要整體分析運算律在小學(xué)階段的內(nèi)容進(jìn)階和“升階點”。下面通過對運算律本質(zhì)和不同版本教材的分析，從運算律的內(nèi)容、表達(dá)方式以及運用情境等方面，按照情境中感知、說理中感悟、字母符號表達(dá)及解釋運用這幾個水平層次，整體劃分運算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)階段?！倦A段1】直觀感知：具體情境中感知交換律加法、乘法交換律在學(xué)生一、二年級學(xué)習(xí)加法、乘法意義時就可以揭示，讓學(xué)生結(jié)合具體情境，通過列式知道3+5=5+3、3×5=5×3這樣的基本事實，但不需要用抽象的字母符號來表示。加法交換律、結(jié)合律的情境基于生活經(jīng)驗，學(xué)生容易感知。甚至從并集的角度看，加法交換律自然成立。如俄羅斯一年級教材在加法定義之后，就立刻根據(jù)并集的意義寫出了“T+K=K+T”，加法交換律出現(xiàn)得很早。［3］對于選擇哪個合適的情境認(rèn)識乘法交換律，目前學(xué)界觀點不同，仍有爭議。例如，在“初步認(rèn)識乘法”中，如果采用“每個盤子裝3個蘋果，5個盤子一共裝多少蘋果”這一情境，所列算式“3+3+3+3+3”只能改寫為“3×5”，而不能直接寫“5×3”。只有在借助“點陣模型”求一共有多少個點時，學(xué)生才能更好地理解乘法交換律，因為這時可以從兩個角度研究點的個數(shù)：每行有3個，有這樣的5行（5個3相加）；每列有5個，有這樣的3列（3個5相加）。觀察與計算的角度不同，所列算式也不同，但結(jié)果都一樣，所以3×5=5×3，即交換乘數(shù)的位置，乘積不變。雖然現(xiàn)行教材不再區(qū)分被乘數(shù)、乘數(shù)，但在某些情境下二者含義不同，只有在點陣模型中二者的地位才對等。二年級學(xué)生應(yīng)該能夠理解“兩個數(shù)相乘，交換它們的次序乘積不變”的結(jié)論，不過僅限于具體數(shù)相乘。至于出現(xiàn)a×b=b×a那樣的字母表達(dá)式，以及采用乘法交換律這樣的專有名詞，仍舊可到四年級再提出。［4］【階段2】計算中“用而不述”：說理中感悟結(jié)合律與分配律四則運算能夠“算下去”，都是在運用基本運算律。運算律是計算算理的主要依據(jù)之一，在本階段中還可以再細(xì)分為以下幾個“小階段”。（1）自然數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)，其加減法的算理完全相同，計算過程中多次運用加法的交換律、結(jié)合律。（2）分?jǐn)?shù)加減法的算理，本質(zhì)仍然是“相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減”。由于需要借助通分找到更小的相同分?jǐn)?shù)單位，其難度要比自然數(shù)、小數(shù)更大，但比自然數(shù)乘法的難度小一些。（3）多位數(shù)乘一位數(shù)與除數(shù)是一位數(shù)的除法都需要較簡單地運用乘法分配律，處于同一層級，學(xué)生理解起來不難。其中除法也不難，如用豎式計算26÷2，就是將26拆分為（20+6），然后再分別除以2，其本質(zhì)還是乘法分配律。除數(shù)是兩位數(shù)時，算理仍然運用乘法分配律。雖然由于除數(shù)較大，具體計算時要調(diào)商、試商，計算難度增加，但算理一樣。（4）多位數(shù)乘兩位數(shù)則需要兩次運用分配律，且涉及多個數(shù)相加的分配律，而不只是兩個數(shù)相加，所以該內(nèi)容比前面三個階段的算理更難。例如：234×35=234×（5+30）=234×5+234×30=（200+30+4）×5+（200+30+4）×30（5）分?jǐn)?shù)、小數(shù)的乘除法處于同一層級。其中，分?jǐn)?shù)乘除法的本質(zhì)是“計數(shù)單位的個數(shù)乘個數(shù)、計數(shù)單位乘計數(shù)單位”，在此過程中多次運用交換律與結(jié)合律。一般來說，應(yīng)該先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法，后學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來計算并說理。這樣設(shè)計課程內(nèi)容將降低小數(shù)乘除法的難度，但現(xiàn)行各版本教材都不是這樣編排的。運算律在上述各層級中都是“隱身”的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生通過列橫式感悟運算律。正如史寧中教授所說的：橫式比豎式重要。計算教學(xué)中，多讓學(xué)生用橫式表達(dá)計算過程非常重要，這能為他們正式地學(xué)習(xí)運算律、構(gòu)建各運算律的模型積累基本的活動經(jīng)驗?！倦A段3】理性符號化：整體把握用字母符號表示的五大運算律本階段內(nèi)容各個版本教材都會編排，但不同教材的編寫方式不同?，F(xiàn)行多數(shù)版本教材都以“運算”為主線，先學(xué)習(xí)加法的交換律、結(jié)合律，再學(xué)習(xí)乘法的交換律、結(jié)合律，最后學(xué)習(xí)乘法對加法的分配律。但北師大版教材以“運算律”為主線，先學(xué)習(xí)加法、乘法的交換律，再學(xué)習(xí)加法、乘法的結(jié)合律，最后學(xué)習(xí)分配律。不同版本教材的編排方式各有優(yōu)點和不足，教學(xué)的關(guān)鍵是探究發(fā)現(xiàn)運算律的方式是什么。北師大版教材的編寫在這方面有很好的體現(xiàn)，后文將具體介紹。【階段4】解釋遷移：應(yīng)用運算律靈活解決簡單問題小學(xué)階段要求學(xué)生簡單地運用運算律進(jìn)行簡便計算。然而，有意識地、自主地進(jìn)行簡便計算對小學(xué)生而言很難。其原因較為復(fù)雜，既有學(xué)習(xí)態(tài)度方面的問題，也有知識掌握不牢固、錯誤運用運算律等因素，但最主要的因素還是學(xué)生的算術(shù)思維在“作祟”，因而不能從“結(jié)構(gòu)”的角度整體研究算式的特征。真正理解運算律需要學(xué)生具備一定的代數(shù)思維，或者說學(xué)習(xí)運算律是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的重要載體。五大運算律中，加法與乘法的交換律只涉及兩個運算對象，學(xué)生容易掌握，但需要讓學(xué)生認(rèn)識到“交換位置”進(jìn)行運算不是在所有情況下都適用的，如在減法和除法中就不成立。而學(xué)生最易混淆的是加法、乘法的結(jié)合律及乘法對加法的分配律。它們都涉及三個運算對象、兩次運算，尤其是分配律中還要進(jìn)行兩次不同的運算。雖然五大運算律是顯而易見的事實，單獨認(rèn)識某一個都較為容易，但運用運算律解決實際問題時卻極易出錯。表面上看是學(xué)生容易混淆不同運算律，實際上卻是學(xué)生的算術(shù)思維在“作祟”：總想算出某個算式的具體數(shù)值，而不能有效運用運算律，從整體結(jié)構(gòu)的角度觀察算式，因為這需要學(xué)生具有一定的代數(shù)思維水平。例如，計算87+38+23時，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣性地按照運算順序逐步計算，而不會“主動地”先觀察算式中每個數(shù)的特點，然后正確運用定律進(jìn)行簡便計算。在算術(shù)運算中，按照運算法則“先算小括號里面的，再算中括號里面的；先算乘除法，再算加減法”總能計算出結(jié)果，這樣程序性的計算并不能體現(xiàn)運算律的價值。而代數(shù)運算不同，沒有運算律可以說“寸步難行”。如計算代數(shù)式9+2（x-3）時，因為括號里算不出具體的數(shù)，所以必須運用分配律“去掉括號”得到2x+3，這是算術(shù)運算與代數(shù)運算的真正分野。由算術(shù)運算進(jìn)步到代數(shù)運算的關(guān)鍵在于數(shù)系運算律（特別是分配律）的系統(tǒng)運用，即以通性求通解。在算術(shù)運算中基本不用分配律，乃是數(shù)學(xué)的石器時代；及至代數(shù)運算，則系統(tǒng)地運用分配律去簡化各種各樣的代數(shù)式和代數(shù)關(guān)系，這就進(jìn)步到數(shù)學(xué)的銅器時代了。［1］12五大運算律中最有力量的是分配律，它也是學(xué)生最難理解和運用的，在后文教學(xué)建議部分將進(jìn)一步分析如何引導(dǎo)學(xué)生從模式建構(gòu)角度學(xué)習(xí)分配律。三、運算律單元教學(xué)的幾點建議關(guān)于運算律單元的教學(xué)，筆者從學(xué)習(xí)進(jìn)階、模型建構(gòu)及對教師專業(yè)知識的期望角度提出以下建議。（一）“正式”學(xué)習(xí)運算律時不要從“解決現(xiàn)實問題”導(dǎo)入如前所述，如果教師在學(xué)生處于階段1、階段2時就“捅破”加法、乘法具有交換律、結(jié)合律，在學(xué)生正式認(rèn)識運算律時就不需要再從解決現(xiàn)實問題入手。如果教師從解決問題入手，學(xué)生必然列一個算式就能計算出得數(shù)，至此已能解決問題。此時教師再引導(dǎo)學(xué)生通過觀察兩個結(jié)果相等的不同算式，得到兩個算式相等的活動，學(xué)生已不再有學(xué)習(xí)的需求與愿望。北師大版教材關(guān)于如何學(xué)習(xí)運算律的編排方式值得借鑒，主要包括以下幾步。第一步，直接從觀察一組純數(shù)學(xué)算式入手，尋找算式之間的等量關(guān)系，建立等式，并用語言描述其特點，初步感悟運算律（如圖1）。第二步，舉生活事例解釋等式左右兩邊算式的意義，緊扣運算的意義而不強(qiáng)調(diào)計算的結(jié)果。如果是解決實際問題，必然要強(qiáng)調(diào)計算結(jié)果。但從計算結(jié)果相等的角度認(rèn)識等式，沒有必要寫出等式，且培養(yǎng)的只是學(xué)生的算術(shù)思維。而緊扣算式的意義也就是加法、乘法的意義，從而判斷兩個算式之間能不能寫“=”卻是典型的代數(shù)思維。第三、第四步，用字母表達(dá)式表示運算律，并運用運算律進(jìn)行簡便計算。讓學(xué)生經(jīng)歷歸納算式感悟特征、用生活事例（現(xiàn)實模型）解釋等式意義及理解運算律的本質(zhì)、符號表示達(dá)到形式化理解等過程，既不脫離運算律的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階。這樣的學(xué)習(xí)不僅符合學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識與代數(shù)思維，使知識目標(biāo)與能力、素養(yǎng)目標(biāo)有機(jī)融為一體。（二）幾何直觀模型貫穿運算律單元教學(xué)的始終幾何直觀模型是理解代數(shù)知識的重要抓手，它能將抽象的代數(shù)內(nèi)容可視化。對小學(xué)生而言，借助幾何直觀模型理解運算律更為重要。幾何直觀模型要貫穿運算律單元的始終，具體內(nèi)容如下。加法交換律、結(jié)合律：線段圖。乘法交換律：矩形模型，可以是點陣圖、方格圖，還可以抽象為長方形面積圖。乘法結(jié)合律：長方體模型，由“小正方體”堆積而成的長方體。乘法分配律：組合的矩形模型。下面簡要說明如何用組合的矩形模型來學(xué)習(xí)乘法分配律（圖省略）。首先，用若干個有相同“長”或“寬”的長方形，拼擺成更大的長方形，并用算式表示拼前、拼后各長方形的面積，感悟能夠“拼成”的秘密——共用的邊（算式中就是“公因子”）。其次，以4×9的長方形為“基礎(chǔ)圖形”，再補一個長方形使之成為更大的長方形，仍用算式表示面積