甘肅省天水市第二中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

甘肅省天水市第二中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的體積為()A． B． C． D．2．在中，“”是“”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．若一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為，則目標(biāo)受損但未被擊毀的概率為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A． B． C． D．5．已知向量滿足，．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．曲線，區(qū)域．若是兩段分離的曲線，則（）A． B． C． D．6．下面四個(gè)命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”；其中正確命題的序號是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④7．若直線x＋（1＋m）y－2＝0與直線mx＋2y＋4＝0平行，則m的值是（）A．1 B．－2 C．1或－2 D．8．對于不同的直線l、、及平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．10．對于復(fù)數(shù)，定義映射.若復(fù)數(shù)在映射作用下對應(yīng)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，它的值域是__________.12．某中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，高二年級有學(xué)生900人，高三年級有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取_____人．13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.14．直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則______．15．已知是第二象限角，且，且______.16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出結(jié)果_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）在區(qū)間內(nèi)是否存在數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，請說明理由.18．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個(gè)級別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重?fù)矶?在晚高峰時(shí)段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范沃泄渤槿?個(gè)路段，求依次抽取的三個(gè)級別路段的個(gè)數(shù)；(3)從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.19．設(shè)函數(shù)和都是定義在集合上的函數(shù)，對于任意的，都有成立，稱函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”．（1）函數(shù)與在上互為“互換函數(shù)”，求集合；（2）若函數(shù)（且）與在集合上互為“互換函數(shù)”，求證：；（3）函數(shù)與在集合且上互為“互換函數(shù)”，當(dāng)時(shí),，且在上是偶函數(shù),求函數(shù)在集合上的解析式．20．某工廠共有200名工人，已知這200名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成14萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成5組，第1組、第2組第3組、第4組、第5組對應(yīng)的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）選取合適的抽樣方法從這200名工人中抽取容量為25的樣本，求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）現(xiàn)從（1）中25人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機(jī)選取2名傳授經(jīng)驗(yàn)，求選取的2名工人在同一組的概率.21．已知，其中，求：（1）；；（2）與的夾角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

在三棱錐中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,進(jìn)而得到三棱錐外接球的直徑，得到，利用體積公式，即可求解.【詳解】由題意知，在三棱錐中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根據(jù)球的性質(zhì)，可得三棱錐外接球的直徑為，即，所以球的體積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與球有關(guān)的組合體中球的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2、A【解析】

余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減【詳解】因?yàn)锳,B是的內(nèi)角，所以,在上余弦函數(shù)單調(diào)遞減,在中，“”“”【點(diǎn)睛】充要條件的判斷，是高考?？贾R點(diǎn)，充要條件的判斷一般有三種思路：定義法、等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)化法、集合關(guān)系法。3、D【解析】

由已知條件利用對立事件概率計(jì)算公式直接求解．【詳解】由于一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為，目標(biāo)未受損的概率為；所以目標(biāo)受損的概率為：；目標(biāo)受損分為擊毀和未被擊毀，它們是對立事件；所以目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率目標(biāo)受損未被擊毀的概率；故目標(biāo)受損但未被擊毀的概率目標(biāo)受損的概率目標(biāo)受損被擊毀的概率，即目標(biāo)受損但未被擊毀的概率；故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，注意對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由圓的定義及平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算可得：點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動且點(diǎn)P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運(yùn)動，由圖可得解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，由，則，即點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動，又，則點(diǎn)P在以Q為圓心，半徑為1和2的圓環(huán)區(qū)域運(yùn)動，由圖可知：當(dāng)C∩Ω是兩段分離的曲線時(shí)，r的取值范圍為：3<r<5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合思想，將向量問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題.6、B【解析】

逐項(xiàng)分析見詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對角線平行于下底面，但上底面的一條對角線卻不平行于下底面非對應(yīng)位置的另一條對角線，故錯(cuò)誤；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”是“l(fā)⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中平行與垂直關(guān)系的判斷，難度一般.對可以利用判定定理和性質(zhì)定理直接分析的問題，可直接判斷；若無法直接判斷的問題可采用作圖法或者排除法判斷.7、A【解析】

分類討論直線的斜率情況，然后根據(jù)兩直線平行的充要條件求解即可得到所求．【詳解】①當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，此時(shí)兩直線相交，不合題意．②當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得，解得．綜上可得．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的等價(jià)條件，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對直線斜率存在性的討論．也可利用以下結(jié)論求解：若，則且或且．8、C【解析】

由平面的基本性質(zhì)及其推論得：對于選項(xiàng)C，可能l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，得解．【詳解】由平行公理4可得選項(xiàng)A正確，由線面垂直的性質(zhì)可得選項(xiàng)B正確，由異面直線所成角的定義可得選項(xiàng)D正確，對于選項(xiàng)C，若l∥α，n∥α，則l∥n或l與n相交或l與n異面，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面中線線、線面的關(guān)系及性質(zhì)定理與推論的應(yīng)用，屬簡單題．9、A【解析】

分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值.詳解：因?yàn)?，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)周期(3)由求對稱軸，(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.10、A【解析】，對應(yīng)點(diǎn)，在第四象限.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【詳解】，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用和的關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了和的關(guān)系，忽略的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.14、或【解析】

根據(jù)題意可得圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程解出即可.【詳解】圓，即，圓的圓心為，半徑為，∵直線與圓交于兩點(diǎn)且為等邊三角形，∴，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓相交的弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式可求出的值.【詳解】是第二象限角，則，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

弄清程序框圖的算法功能是解題關(guān)鍵．由模擬執(zhí)行程序，可知，本程序的算法功能是計(jì)算的值，依據(jù)數(shù)列求和方法——并項(xiàng)求和，即可求出．【詳解】根據(jù)程序框圖，可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出，輸出的為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的算法功能的理解以及數(shù)列求和的基本方法——并項(xiàng)求和法的應(yīng)用．正確得到程序框圖的算法功能，選擇合適的求和方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）只有一項(xiàng)【解析】

（1）根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解（2）根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果【詳解】解：（1）；（2）解不等式得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，因此在區(qū)間內(nèi)只有一項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題18、（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重?fù)矶碌穆范蔚膫€(gè)數(shù)分別為6，9，3；（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1；（3）【解析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù)；（2）根據(jù)（1）求出擁堵路段的個(gè)數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個(gè)數(shù)；（3）先求出從(2)中抽取的6個(gè)路段中任取2個(gè)，有多少種可能情況，然后求出至少有1個(gè)路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個(gè)交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個(gè))，中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個(gè))，嚴(yán)重?fù)矶碌穆范斡?0.1＋0.05)×1×20＝3(個(gè)).(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個(gè))，按分層抽樣，從18個(gè)路段抽取6個(gè)，則抽取的三個(gè)級別路段的個(gè)數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個(gè)數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個(gè)輕度擁堵路段為，，抽取的3個(gè)中度擁堵路段為，，，抽取的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢?，則從這6個(gè)路段中抽取2個(gè)路段的所有可能情況為：，共15種，其中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的情況為：，共9種.所以所抽取的2個(gè)路段中至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率直方圖的應(yīng)用、分層抽樣、古典概型概率的求法.解決本題的關(guān)鍵是對頻率直方圖所表示的意義要了解，分層抽樣的原則要知道，要能識別古典概型.19、（1）（2）見解析（3），【解析】

（1）利用列方程，并用二倍角公式進(jìn)行化簡，求得或，進(jìn)而求得集合.（2）由，得（且），化簡后根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍.（3）首先根據(jù)為偶函數(shù)，求得當(dāng)時(shí)，的解析式，從而求得當(dāng)時(shí)，的解析式.依題意“當(dāng)，恒成立”，化簡得到，根據(jù)函數(shù)解析式的求法，求得時(shí)，以及，進(jìn)而求得函數(shù)在集合上的解析式.【詳解】（1）由得化簡得，，所以或．由解得或，，即或，．又由解得，．所以集合，或，即集合．（2）證明：由，得（且）．變形得，所以．因?yàn)?，則，所以．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上是偶函數(shù)，則．當(dāng)，則，所以．所以，因此當(dāng)時(shí)，．由于與函數(shù)在集合上“互換函數(shù)”，所以當(dāng)，恒成立．即對于任意的恒成立．即．于是有，，．上述等式相加得，即．當(dāng)（）時(shí),，所以．而，，所以當(dāng)時(shí)，，【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運(yùn)用，考查二倍角公式和特殊角的三角函數(shù)值，考查指數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的值域，考查根據(jù)函