2023屆高考復習系列模擬數(shù)學試卷4（新高考II卷）（解析版） - 副本

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023屆高考復習系列模擬數(shù)學試卷4（新高考II卷）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為集合，，所以.故選：A.2．已知復數(shù)，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為復數(shù)，,所以，故選：A.3．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺〖答案〗D〖解析〗設十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構成的等差數(shù)列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D4．已知平面向量，其中，且與和與的夾角相等，則=（

）A． B．1 C． D．2〖答案〗B〖解析〗由題意，得，由于與和與的夾角相等，故，即，即，故選：B.5．某校在重陽節(jié)當日安排4位學生到三所敬老院開展志愿服務活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（

）A．81 B．72 C．48 D．36〖答案〗D〖解析〗先將4位學生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，則有種分配方法，故選：D．6．若，則的值為（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由可得，，所以，所以.故選：A.7．已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為和，高為3，則該正四棱臺的外接球的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗過正四棱臺的對角面作截面，得等腰梯形，該梯形的外接圓是正四棱臺外接球的大圓，如圖，設球心為，設分別是中點，則是棱臺的高，在直線上，設球半徑為，由已知，，若在線段上，如圖1，，，，，此方程無實解若在線段延長線上，如圖2，，即解得，∴球體積為．故選：D．8．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)關于直線對稱C．函數(shù)關于點中心對稱 D．〖答案〗C〖解析〗∵為偶函數(shù)，∴，∴，故即，∴函數(shù)的圖象關于直線對稱.∵為奇函數(shù)，∴，∴，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故B錯誤，C正確；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函數(shù)的周期為4，A錯誤，，故D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后所得的函數(shù)圖象過點，則函數(shù)滿足（

）A．是的一個對稱中心 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．是的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AB〖解析〗函數(shù)圖象向左平移個單位長度后的〖解析〗式為：，由題得，∴，解得，又，可得，所以，因為，所以是的一個對稱中心，故A正確；令，解得，，即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，所以當時，時函數(shù)單調(diào)遞增，故B正確；因為，故不是的一條對稱軸，故C錯誤；由B知，當時，時單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：AB10．已知點為坐標原點，直線與拋物線相交于兩點，則（

）A． B．C．的面積為 D．線段的中點到拋物線準線的距離為〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立得，，設，則，，∴，.,A選項正確.，∴不成立，B選項錯誤；到直線的距離為，的面積，C選項正確；∵，準線方程為∴，線段AB的中點到拋物線準線的距離為4，D選項正確.故選：ACD11．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱上一點，是的中點，則（

）A．存在棱上的點，使得B．四面體的體積為C．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為D．當為棱的中點時，平面平面〖答案〗ABD〖解析〗對A，取線段上點滿足，連接.因為，且，故四邊形為平行四邊形，故.因為為正方體，故均為等腰直角三角形，故，故，則，故A正確；對B，四面體的體積，故B正確；對C，三棱錐為棱長為的正四面體，體積為，且每個面的面積均為，故內(nèi)切球半徑滿足，解得，故內(nèi)切球的表面積，故C錯誤；對D，由題意，因為是的中點，且，故.由正方體可得也為的中點.則，故在直角和直角中，故，則，又，故，所以.又，平面，故平面.又因為平面，故平面平面，故D正確；故選：ABD.12．已知，，且，則（

）A． B．C． D．〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，正確；對于B選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，所以，錯誤；對于C選項：因為，，且，所以，所以，記，則，易知在上單調(diào)遞減，且，所以當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，所以，正確；對于D選項：記，則恒成立，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即當時，，即，因為，，且，所以，所以，又，即，則，所以，正確；故選：ACD第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知隨機變量，且，其中，則___________.〖答案〗〖解析〗由正態(tài)分布曲線的對稱性可知：，.故〖答案〗為：.14．已知動點，分別在圓：和圓：上，動點在直線上，則的最小值是_______〖答案〗##〖解析〗由題知圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，如圖，設點關于直線對稱的點為，所以，，解得，即，所以，所以，，即的最小值是.故〖答案〗為：.15．已知橢圓C：，經(jīng)過原點O的直線交C于A，B兩點．P是C上一點（異于點A，B），直線BP交x軸于點D．若直線AB，AP的斜率之積為，且，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設，，，則直線AP的斜率為，BP的斜率為，由題知，兩式相減得，即，即，即，又，則，即，即，則，所以，即，則橢圓C的離心率為.故〖答案〗為：16．已知（1）函數(shù)的零點個數(shù)為________個；（2）若的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為_______．〖答案〗

1

〖解析〗（1）因為，所以零點個數(shù)為1；（2）由題設，當時，，故值域為且單調(diào)遞增；當時，，故值域為且單調(diào)遞減；∴在上值域為且單調(diào)遞減；在上值域為且單調(diào)遞增；要使與x軸有3個不同的交點，即與有3個不同交點，它們的圖象如圖所示，由圖知：要使函數(shù)圖象有3個交，則與在上有2個交點，當時，設，則，此時，若與相切，設切點為，∴可得，當過點時，有，得，∴．故〖答案〗為：1，四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若設的前項和為，求．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，或是正項等比數(shù)列，，．（2）由（1）知，，．18．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點在邊上，且，.（1）求的值；（2）若，的面積為，求.（1）解：設，，在中，由正弦定理可得，即，即，由正弦定理可得，所以，，因此，.（2）解：因為，，，則為等腰直角三角形，且，所以，，所以，，則，，，由余弦定理可得，故.19．為了保障學生們的合法權益，并保證高考的公平性，重慶市施行的新高考方案中再選科目的高考成績采用賦分制.賦分制在一定程度上縮小了試題難度不同帶來的分數(shù)差，也在一定程度上減少了學科難度不一造成的分數(shù)差.2022年高考成績公布后，重慶市某中學收集了部分學生的高考成績，其中地理成績均在（單位：分），將收集到的地理成績按分組，得到頻率分布直方圖如下.（1）求，并估計該校2022年高考地理科的平均成績；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）已知該校2022年所有參加高考的學生中歷史類考生占20%，物理類考生占80%，歷史類考生中選考地理的占90%，物理類考生中選考地理的占5%，歷史類考生中高考地理成績不低于90分的占8%，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學生中任選1名代表進行經(jīng)驗交流，求選到歷史類考生的概率（以樣本中各區(qū)間的頻率作為相應事件的概率）.（1）由題意可得：，解得，估計該校2022年高考地理科的平均成績?yōu)椋?）該校2022年所有參加高考的學生中任選1名，記“選到歷史類考生”為事件A，“選到物理類考生”為事件B，“選到選考地理的考生”為事件C，則有，∴，記“選到高考地理成績不低于90分”為事件D，則，∴，故，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學生中任選1名代表進行經(jīng)驗交流，選到歷史類考生的概率.20．（安徽省六安市省示范高中2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，，，，平面，，為線段上一點且．（1）證明：∥平面；（2）若，二面角的正弦值為，求PD的長．（1）證明：過點作交DC于點G，連接BG，又∵，又，又，故四邊形是平行四邊形.∴，面，面，面，同理面，∴平面平面又平面，∴平面．

（2）解：以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，令，則，，，，

設平面的法向量為∴，，令，則，易知平面的法向量為

∴，可得∴

21．已知雙曲線的左頂點為，點在漸近線上，過點的直線交雙曲線的右支于兩點，直線分別交直線于點.（1）求雙曲線的方程；（2）求證：為的中點.（1）解：依題意得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）證明：如圖所示：法1.設直線，則，由消去x得，當時由韋達定理得，直線方程為，直線AB：直線由

得同理可得要證為的中點，只需證，即證，.得證.法2.設直線BC：，則，由得當時由韋達定理得，直線方程為，直線，直線，由得，同理可得，要證為的中點，只需證，即證，即證，由，只需證，即證，只需證即證，由可知顯然成立.得證.22．己知函數(shù),其中．（1）當時,求曲線在點處的切線方程;（2）當時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;（3）當時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．（1）解：由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;（2）解：由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個零點;（3）證明：由題,,,令,,即在上單調(diào)遞增,,且,故,使得,即在上單調(diào)遞增,即,單調(diào)遞減,即,單調(diào)遞增,故,若恒成立,只需,即即可,故存在實數(shù)m,使恒成立.2023屆高考復習系列模擬數(shù)學試卷4（新高考II卷）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為集合，，所以.故選：A.2．已知復數(shù)，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因為復數(shù)，,所以，故選：A.3．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺〖答案〗D〖解析〗設十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構成的等差數(shù)列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D4．已知平面向量，其中，且與和與的夾角相等，則=（

）A． B．1 C． D．2〖答案〗B〖解析〗由題意，得，由于與和與的夾角相等，故，即，即，故選：B.5．某校在重陽節(jié)當日安排4位學生到三所敬老院開展志愿服務活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（

）A．81 B．72 C．48 D．36〖答案〗D〖解析〗先將4位學生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，則有種分配方法，故選：D．6．若，則的值為（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由可得，，所以，所以.故選：A.7．已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為和，高為3，則該正四棱臺的外接球的體積為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗過正四棱臺的對角面作截面，得等腰梯形，該梯形的外接圓是正四棱臺外接球的大圓，如圖，設球心為，設分別是中點，則是棱臺的高，在直線上，設球半徑為，由已知，，若在線段上，如圖1，，，，，此方程無實解若在線段延長線上，如圖2，，即解得，∴球體積為．故選：D．8．已知是定義在上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)關于直線對稱C．函數(shù)關于點中心對稱 D．〖答案〗C〖解析〗∵為偶函數(shù)，∴，∴，故即，∴函數(shù)的圖象關于直線對稱.∵為奇函數(shù)，∴，∴，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故B錯誤，C正確；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函數(shù)的周期為4，A錯誤，，故D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)，將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后所得的函數(shù)圖象過點，則函數(shù)滿足（

）A．是的一個對稱中心 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．是的一條對稱軸 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AB〖解析〗函數(shù)圖象向左平移個單位長度后的〖解析〗式為：，由題得，∴，解得，又，可得，所以，因為，所以是的一個對稱中心，故A正確；令，解得，，即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，所以當時，時函數(shù)單調(diào)遞增，故B正確；因為，故不是的一條對稱軸，故C錯誤；由B知，當時，時單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：AB10．已知點為坐標原點，直線與拋物線相交于兩點，則（

）A． B．C．的面積為 D．線段的中點到拋物線準線的距離為〖答案〗ACD〖解析〗聯(lián)立得，，設，則，，∴，.,A選項正確.，∴不成立，B選項錯誤；到直線的距離為，的面積，C選項正確；∵，準線方程為∴，線段AB的中點到拋物線準線的距離為4，D選項正確.故選：ACD11．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱上一點，是的中點，則（

）A．存在棱上的點，使得B．四面體的體積為C．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為D．當為棱的中點時，平面平面〖答案〗ABD〖解析〗對A，取線段上點滿足，連接.因為，且，故四邊形為平行四邊形，故.因為為正方體，故均為等腰直角三角形，故，故，則，故A正確；對B，四面體的體積，故B正確；對C，三棱錐為棱長為的正四面體，體積為，且每個面的面積均為，故內(nèi)切球半徑滿足，解得，故內(nèi)切球的表面積，故C錯誤；對D，由題意，因為是的中點，且，故.由正方體可得也為的中點.則，故在直角和直角中，故，則，又，故，所以.又，平面，故平面.又因為平面，故平面平面，故D正確；故選：ABD.12．已知，，且，則（

）A． B．C． D．〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，正確；對于B選項：因為，，所以，當且僅當“”，即“”時，等號成立，所以，錯誤；對于C選項：因為，，且，所以，所以，記，則，易知在上單調(diào)遞減，且，所以當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，即，所以，正確；對于D選項：記，則恒成立，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即當時，，即，因為，，且，所以，所以，又，即，則，所以，正確；故選：ACD第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知隨機變量，且，其中，則___________.〖答案〗〖解析〗由正態(tài)分布曲線的對稱性可知：，.故〖答案〗為：.14．已知動點，分別在圓：和圓：上，動點在直線上，則的最小值是_______〖答案〗##〖解析〗由題知圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，如圖，設點關于直線對稱的點為，所以，，解得，即，所以，所以，，即的最小值是.故〖答案〗為：.15．已知橢圓C：，經(jīng)過原點O的直線交C于A，B兩點．P是C上一點（異于點A，B），直線BP交x軸于點D．若直線AB，AP的斜率之積為，且，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗設，，，則直線AP的斜率為，BP的斜率為，由題知，兩式相減得，即，即，即，又，則，即，即，則，所以，即，則橢圓C的離心率為.故〖答案〗為：16．已知（1）函數(shù)的零點個數(shù)為________個；（2）若的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為_______．〖答案〗

1

〖解析〗（1）因為，所以零點個數(shù)為1；（2）由題設，當時，，故值域為且單調(diào)遞增；當時，，故值域為且單調(diào)遞減；∴在上值域為且單調(diào)遞減；在上值域為且單調(diào)遞增；要使與x軸有3個不同的交點，即與有3個不同交點，它們的圖象如圖所示，由圖知：要使函數(shù)圖象有3個交，則與在上有2個交點，當時，設，則，此時，若與相切，設切點為，∴可得，當過點時，有，得，∴．故〖答案〗為：1，四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若設的前項和為，求．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，或是正項等比數(shù)列，，．（2）由（1）知，，．18．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點在邊上，且，.（1）求的值；（2）若，的面積為，求.（1）解：設，，在中，由正弦定理可得，即，即，由正弦定理可得，所以，，因此，.（2）解：因為，，，則為等腰直角三角形，且，所以，，所以，，則，，，由余弦定理可得，故.19．為了保障學生們的合法權益，并保證高考的公平性，重慶市施行的新高考方案中再選科目的高考成績采用賦分制.賦分制在一定程度上縮小了試題難度不同帶來的分數(shù)差，也在一定程度上減少了學科難度不一造成的分數(shù)差.2022年高考成績公布后，重慶市某中學收集了部分學生的高考成績，其中地理成績均在（單位：分），將收集到的地理成績按分組，得到頻率分布直方圖如下.（1）求，并估計該校2022年高考地理科的平均成績；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（2）已知該校2022年所有參加高考的學生中歷史類考生占20%，物理類考生占80%，歷史類考生中選考地理的占90%，物理類考生中選考地理的占5%，歷史類考生中高考地理成績不低于90分的占8%，若從該校2022年高考地理成績不低于90分的學生中任選1名代表進行經(jīng)驗交流，求選到歷史類考生的概率（以樣本中各區(qū)間的頻率作為相應事件的概率）.（1）由題意可得：，解得，估計該校2022年高考地理科的平均成績?yōu)椋?）該校2022年所有參加高