考查數(shù)學(xué)思維引導(dǎo)有效教學(xué)

【摘要】2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)試題立足基本知識(shí)與基本思想，拓寬解題入口，打破常規(guī)套路，通過少算多想，注重知識(shí)的融合，分別考查了數(shù)學(xué)思維的深刻性、嚴(yán)密性、發(fā)散性、靈活性、批判性與創(chuàng)新性，落實(shí)素養(yǎng)立意的理念，突出關(guān)鍵能力的考查，實(shí)現(xiàn)人才的選拔。文章在理論上首先闡述了數(shù)學(xué)思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)；然后，結(jié)合具體試題對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查進(jìn)行評(píng)析；最后，在問題命制、學(xué)生學(xué)法和教師教法三個(gè)層面提出了相應(yīng)的建議。【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；全國(guó)乙卷；試題評(píng)析；數(shù)學(xué)思維；引導(dǎo)教學(xué)一、問題的提出數(shù)學(xué)教育的主要目的應(yīng)該是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展［1］，通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生更清晰、全面、深入、合理地學(xué)會(huì)思考，并從低階的具體數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能和各種解題技巧層面上升到高階的數(shù)學(xué)思維層面，促進(jìn)普遍性思維策略和思維品質(zhì)的提升，并能由“理性思維”走向“理性精神”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）［2］在課程性質(zhì)部分指出：數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界（以下簡(jiǎn)稱“三會(huì)”），促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，并在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中首次界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育改革也正式過渡到素養(yǎng)立意時(shí)代。《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《評(píng)價(jià)體系》）［3］也指出：新時(shí)代高考數(shù)學(xué)試題的命題理念是以價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基，關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標(biāo)，也是測(cè)試和評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素。然而，不論《課程標(biāo)準(zhǔn)》還是《評(píng)價(jià)體系》，數(shù)學(xué)思維能力是“三會(huì)”和諸多關(guān)鍵能力的核心，各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都離不開數(shù)學(xué)思維能力。要體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》理念和落實(shí)《評(píng)價(jià)體系》要求，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)立意、人才選拔和變革機(jī)械教學(xué)，高考在考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面作出了很多努力。因此，本文擬對(duì)以下問題進(jìn)行探討和分析：（1）數(shù)學(xué)思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)是什么？（2）2023年全國(guó)乙卷高考數(shù)學(xué)試題對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查有什么要求？（3）在教學(xué)上，對(duì)試題的命制、學(xué)法與教法有什么啟示？二、數(shù)學(xué)思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)分析數(shù)學(xué)思維從屬于一般思維，一般思維指具有意識(shí)的人腦對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性和相互聯(lián)系的概括和間接的反映［4］。而數(shù)學(xué)思維指人腦與空間形式、數(shù)學(xué)關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。數(shù)學(xué)思維的深刻性、嚴(yán)密性、發(fā)散性、靈活性、批判性與創(chuàng)新性等是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)，直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、符號(hào)表達(dá)、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象、抽象概括、演繹與證明、反思與構(gòu)建等思維活動(dòng)是數(shù)學(xué)思維能力的具體表現(xiàn)［5］。其邏輯關(guān)系如圖1。三、高考數(shù)學(xué)思維的考查評(píng)析（一）挖掘基本知識(shí)，考查思維的深刻性思維的深刻性主要指思維活動(dòng)的抽象程度、邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深度和難度等。而數(shù)學(xué)思維的深刻性是指在分析與解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠抓住問題的實(shí)質(zhì)以及問題間的相互聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)思維的深刻性既表現(xiàn)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維活動(dòng)過程中，又表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)結(jié)果的廣度和深度上，并能經(jīng)受數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的檢驗(yàn)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。數(shù)學(xué)思維深刻性的反面是思維的表面性，它表現(xiàn)為認(rèn)識(shí)的膚淺性，思維活動(dòng)的淺嘗輒止，只知其現(xiàn)象而不知其本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，提高學(xué)生的邏輯思維能力，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘基本知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性。如2023年全國(guó)乙卷理科第16題深入挖掘了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)思維的深刻性。例1（2023年全國(guó)乙卷理科第16題）設(shè)a[∈（0，1）]，若函數(shù)f（x）=ax+（1+a）x在（0，[+∞]）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

。例1需要對(duì)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，然而含參指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)是比較繁雜的，并且求一次導(dǎo)并不能解決問題，若不深入挖掘，停留于表面，思維停滯不前，很容易導(dǎo)致解題失敗，所以需要透過表面，繼續(xù)深入求導(dǎo)，然后小題小做，再用端點(diǎn)效應(yīng)解決。當(dāng)然，也可以另辟蹊徑，深入挖掘構(gòu)成f（x）的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的增減趨勢(shì)，即g（x）=（1+a）x在（0，[+∞]）上的增加速度一定大于y=ax在（0，[+∞]）上的減少速度，則將y=ax沿直線y=1對(duì)折統(tǒng)一單調(diào)性后，得出函數(shù)h（x）=2-ax在x=0處的導(dǎo)數(shù)g′（0）≥h′（0）即可解決。本題雖然表面上只是考查了最基本的函數(shù)性質(zhì)，但是深入挖掘了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，扎實(shí)考查了數(shù)學(xué)思維的深刻性，對(duì)教師的教學(xué)來(lái)說(shuō)具有很好的導(dǎo)向作用。（二）立足基本思想，考查思維的嚴(yán)密性數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)和理性認(rèn)識(shí)，是在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容提煉上升的觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中應(yīng)用廣泛，具有普遍的指導(dǎo)意義，是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想［6］。數(shù)學(xué)是一門高度抽象與邏輯嚴(yán)密的科學(xué)，數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，解決數(shù)學(xué)問題時(shí)規(guī)范、準(zhǔn)確，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。高考中常見的分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等都對(duì)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性有較高要求，如2023年全國(guó)乙卷文科第7題和第20題等。例2（2023年全國(guó)乙卷文科第7題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域[x，y|1≤x2+y2≤4]內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A.[18]

B.[16]

C.[14]

D.[12]例2考查了幾何概型的相關(guān)計(jì)算，若緊扣題意直線OA的傾斜角在0到之間，那么很容易只考慮到第一象限的陰影部分，從而錯(cuò)選A，然而當(dāng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想畫出如圖2所示的圖象后，則會(huì)很精準(zhǔn)地找到兩個(gè)陰影部分，從而獲得正確答案C。例3（2023年全國(guó)乙卷文科第20題）已知函數(shù)[f（x）=1x+aln1+x]。（1）當(dāng)[a=-1]時(shí)，求曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[1，f（1）]處的切線方程；（2）若函數(shù)[f（x）]在[0，+∞]單調(diào)遞增，求[a]的取值范圍。例3轉(zhuǎn)化為[f（x）]的導(dǎo)數(shù)[f′（x）≥0]恒成立后，還需要局部構(gòu)造函數(shù)[g（x）]。當(dāng)對(duì)[g（x）]第一次求導(dǎo)后，需要展開第一層分類討論，即a[≤0]和a[>0]；當(dāng)對(duì)[g（x）]第二次求導(dǎo)后，需要展開第二層分類討論，即a[≥12]和0[<]a[<12]。分類討論要求有序，并不重不漏。綜上所述，例2、例3都需要立足基本數(shù)學(xué)思想，才能減少很多不必要的失誤，考查了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。（三）拓寬解題入口，考查思維的發(fā)散性發(fā)散思維是20世紀(jì)50年代，由美國(guó)心理學(xué)家吉爾福特在研究智力結(jié)構(gòu)模型時(shí)提出來(lái)的，發(fā)散思維是從同一對(duì)象中產(chǎn)生多種分化因素，或者揭示同一本質(zhì)所表現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象、形式之間的差異性思維過程。發(fā)散性思維要求思維流暢、獨(dú)特與開闊，對(duì)已知信息進(jìn)行多方向、多角度的聯(lián)想，從而幫助問題的解決。在日常教學(xué)中，一題多解、一題多用往往有益于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性，如2023年全國(guó)乙卷文科第11題等解答方法多樣，入口寬，有利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性。例4（2023年全國(guó)乙卷文科第11題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（

）A.1+[322]

B.4

C.1+3[2]

D.7例4雖然處在選擇題次壓軸位置，但是這道高考試題解答入口寬，學(xué)生容易上手，其主要解答方法如下：方法一先換元令x-y=t，即將x=y+t代入條件獲得主元為y的一元二次方程，且方程有解，判別式非負(fù)，建立關(guān)于t的不等式，解得其范圍即可。方法二將條件化為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式（x-2）2+（y-1）2=9后，運(yùn)用圓的參數(shù)方程，令x=3cos[α]+2，y=3sin[α+1]，即x-y=3[2cos]+1，然后再運(yùn)用三角函數(shù)的有界性即可解決。方法三將條件化為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式（x-2）2+（y-1）2=9后，圓心到直線x-y=t的距離小于等于圓的半徑，建立關(guān)于t的不等式，即可解得其范圍。綜上所述，例4的三種解法分別基于一元二次方程、三角函數(shù)、解析幾何視角，這些解法都很常規(guī)，相關(guān)內(nèi)容學(xué)生比較熟悉，較好地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性。（四）打破常規(guī)套路，考查思維的靈活性學(xué)生的成績(jī)受試題的難度和分布順序等因素的影響，在以前的高考數(shù)學(xué)中，特別是每道解答題的考試內(nèi)容、解法和難易程度都是相對(duì)固定的。通常來(lái)說(shuō)六道解答題的內(nèi)容順序是：解三角形或數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、選考（極坐標(biāo)參數(shù)方程或不等式）。六道解答題的難度順序是：前三道試題和最后的選考題簡(jiǎn)單；圓錐曲線試題第一問簡(jiǎn)單，第二問難度中等偏上，是次壓軸點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)試題第一問簡(jiǎn)單或中等難度，第二問難度較大，是真正的壓軸點(diǎn)。這種試題固化的局面很容易造成高考考什么有的教師就只教什么、學(xué)生也就只學(xué)什么的機(jī)械學(xué)習(xí)態(tài)勢(shì)，不利于國(guó)家選才。因此，2023年的全國(guó)數(shù)學(xué)乙卷在試題順序方面打破了連續(xù)四年的“第四題效應(yīng)”，并把概率統(tǒng)計(jì)放在了解答題第一題。在考查內(nèi)容與解題方法上，試題也打破了固有套路，如理科第9、19題求線面角和二面角時(shí)，教師常教的、學(xué)生熟悉的建系、利用空間向量的解答套路失去了應(yīng)有的效果。這種從試題順序與解法等多方面打破試題套路和固化的現(xiàn)象，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的心理素質(zhì)，而且考查了思維的靈活性，還引導(dǎo)教學(xué)摒棄猜題、押題和疲勞刷題的高三復(fù)習(xí)模式［7-8］。例5（2023年全國(guó)乙卷理科19題）如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2[2]，PB=PC=[6]，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD=[5DO]，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO。（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值。例5是2023年全國(guó)乙卷理科試題中典型的“反套路”題。首先，證明F為AC的中點(diǎn)是解決第（1）（2）問的關(guān)鍵，然而用常見證明中點(diǎn)的平面幾何方法基本失效，學(xué)生雖然熟悉，但是在立體幾何中運(yùn)用得較少。若學(xué)生分別以BA、BC建立x、y軸的解析幾何方法和平面向量的方法則不難解答。其次，第（3）問在求二面角時(shí)，由于題目條件的限制，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的解法套路很難展開。最后，運(yùn)用二面角的定義，轉(zhuǎn)化為平面幾何也可以求解二面角的正弦值，然而要找到二面角D-AO-C的平面角卻很困難，且計(jì)算量較大，比較恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ菍⑵滢D(zhuǎn)化為[DO]與[BF]的夾角，然后再用基底向量[BA]、[BP]、[BC]解答。顯然，該題打破了立體幾何在求角時(shí)的固有套路，深入考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。（五）通過少算多想，考查思維的批判性數(shù)學(xué)批判性思維能力是指面對(duì)各類數(shù)學(xué)問題情境，運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行嚴(yán)密思考、分析推理和評(píng)價(jià)重構(gòu)的多種思維能力，是學(xué)生優(yōu)化問題解答的重要能力［9-10］。批判性思維能力也是國(guó)家培養(yǎng)創(chuàng)新人才的迫切需要。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思辨問題、優(yōu)化問題策略，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行大膽猜測(cè)和通過邏輯推理驗(yàn)證猜想的心路歷程就是批判性思維的具體表現(xiàn)，然而學(xué)生要在高考短時(shí)間內(nèi)充分展開上述批判性思維過程，就需要高考數(shù)學(xué)試題適當(dāng)?shù)臏p少運(yùn)算量，增加思維含量，讓學(xué)生少算多想，為學(xué)生批判性思維的蔓延提供空間，從而才能達(dá)到真正考查學(xué)生思維批判性的目的。如2023年全國(guó)乙卷理科第12題就需要學(xué)生認(rèn)真分析、自主探究，不斷辨析和優(yōu)化思維策略，增加思維含量，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生批判性思維能力的深入考查。例6（2023年全國(guó)乙卷理科第12題）已知[⊙O]的半徑為1，直線PA與[⊙O]相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B、C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若[PO]=[2]，則[PA]·[PD]的最大值為（

）A.[1+22]B.[1+222]C.1+[2]D.2+[2]例6是一道選擇壓軸題，若按常規(guī)引入角分類討論后，再利用三角函數(shù)的有界性解決比較麻煩。因此，學(xué)生需要積極思辨和及時(shí)優(yōu)化思維策略，聯(lián)系初中平面幾何知識(shí)與高中投影概念，獲得如下簡(jiǎn)解：由OD⊥PD，即動(dòng)點(diǎn)D在以O(shè)P的中點(diǎn)E為圓心，[22]為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，[PA]·[PD]=|[PA]|[×]|[PD]|cos<[PA]，[PD]>=|[PD]|cos<[PA]，[PD]>，根據(jù)向量投影的概念只需求[PD]在[PA]上的最長(zhǎng)投影即可，如圖4，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到最左F點(diǎn)的位置時(shí)，投影最長(zhǎng)為|EF|+[|PA|2=22+12]。因此，只有當(dāng)學(xué)生具備這種少算多想的能力后，解題思維才會(huì)自然地流淌，批判性思維才得以充分的考查。（六）注重知識(shí)的融合，考查思維的創(chuàng)新性數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)實(shí)踐研究活動(dòng)中不斷提供具有原創(chuàng)價(jià)值、學(xué)術(shù)價(jià)值、發(fā)展價(jià)值的新思想、新理論和新方法的能力。當(dāng)今社會(huì)的競(jìng)爭(zhēng)，與其說(shuō)是人才的競(jìng)爭(zhēng)，不如說(shuō)是人的創(chuàng)造力的競(jìng)爭(zhēng)，加強(qiáng)對(duì)創(chuàng)新能力的考查是社會(huì)進(jìn)步和民族振興對(duì)高考改革的迫切要求，也是高考數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科和基礎(chǔ)學(xué)科的重要體現(xiàn)。高考數(shù)學(xué)對(duì)創(chuàng)新能力考查的主要特點(diǎn)有：一是借助試題相對(duì)的新穎性，即考查的對(duì)象不是學(xué)生沒見過的，而是學(xué)生不熟悉的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)新穎；二是注重知識(shí)的融合，在考查學(xué)生解決綜合問題的過程中，突出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新能力，如2023年全國(guó)乙卷理科第21題。例7（2023年全國(guó)乙卷理科第21題）已知函數(shù)[f（x）=1x+aln1+x]。（1）當(dāng)[a=-1]時(shí)，求曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[1，f（1）]處的切線方程。（2）是否存在a，b，使得曲線y=[f1x]關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a，b的值；若不存在，說(shuō)明理由。（3）若[f（x）]在[0，+∞]存在極值，求a的取值范圍。例7綜合了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的對(duì)稱性與函數(shù)的極值等核心知識(shí)，不僅考查了學(xué)生的問題分析能力、運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)，更重要的是綜合考查了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，即在解決這種壓軸題的思維瓶頸之處，學(xué)生能夠表現(xiàn)出積極的心理狀態(tài)，運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思維策略，獨(dú)立思考與頑強(qiáng)探索，創(chuàng)造性地突破思維的障礙，使得問題的