2024年高考數(shù)學考前信息必刷卷（新高考新題型專用）（附答案）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.（1—奴）6的展開式中V的系數(shù)為160,則（）

B.-2D.-4

2.設是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若其=4,4+%+/=8,

3.某學校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：s）分別為：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,X,13.24,則下列說法錯誤的是（）

A.若該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為13.155,貝鼠=13.15

B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為13.15,貝鼠=13.15

C.若該八名選手成績的極差為0.34,則12.90VxV13.24

D.若該八名選手成績的平均數(shù)為13.095,則x=13.15

4.在“8C中，C=y,AB=413,AC+BC=5,則OBC的面積為（）

A.GB.2GC.373D.4A/3

兀.17

5.已知0</?<cr<5，sinasin〃=歷,cosacos/=歷，貝|cos2a=（）

724

A.0B.—C.—D.1

2525

6.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3

個場館4民。開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館A時，場館8僅有2

名志愿者的概率為（）

321「63

A.—B.—C.—D.一

550114

TT

7.在平行四邊形N8C。中，AB=2AD=4,ZBAD=-,E,反分別為48,。的中點，將V/OE沿直線

折起，構成如圖所示的四棱錐4-8CDE,尸為4c的中點，則下列說法不正確的是（）

A'

A.平面平面4OE

B.四棱錐體積的最大值為3

c.無論如何折疊都無法滿足⑷DLBC

D.三棱錐H-DE"表面積的最大值為2g+4

8.曲線C是平面內(nèi)與三個定點片（-1,0）,巴0,0）和瑪（0」）的距離的和等于2后的點的軌跡.給出下列四個

結論：

①曲線C關于x軸、了軸均對稱；

②曲線C上存在點P,使得|尸閭=手；

③若點?在曲線C上，則△片尸&的面積最大值是1；

④曲線C上存在點尸，使得/耳尸鳥為鈍角.

其中所有正確結論的序號是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知函數(shù)/（xhcos,x+zGsinxcosx-sii/x,則下列說法正確的是（）

A.最小正周期為萬

B.函數(shù)〃x）在區(qū)間（-兀，動內(nèi)有6個零點

C.“X）的圖象關于點住,寸稱

D.將〃x）的圖象向左平移:個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在［0川上的最大值為g（0）,貝曠

的最大值為5兀?

6

10.已知直線/:（。+2）%—（4+1刀—1=0與圓。：/+必=4交于點45,點尸（1,1）,48中點為。，

則（）

A.的最小值為2企

B.|2用的最大值為4

C.可.而為定值

D.存在定點使得為定值

11.已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(x)的定義域均為R,若/(X)是奇函數(shù)，〃2)=-〃1)40,且對任意

xjeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),則()

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.后)=1D.''㈤=-i

左=1k=\

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

-2023_

12.若復數(shù)z=^—,則「=_______

1-21

n—2c

13.已知三個實數(shù)a、b、c,當c>0時，6W2a+3c且6c=",則的取值范圍是________.

b

14.已知棱長為8的正四面體，沿著四個頂點的方向各切下一個棱長為2的小正四面體(如圖)，剩余中

間部分的八面體可以裝入一個球形容器內(nèi)(容器壁厚度忽略不計)，則該球形容器表面積的最小值為一

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)8(無)='--ax?-2xlnx+2尤.

4

(1)當a=1時，求g(x)的圖象在點(1,g(l))處的切線方程；

(2)若g'(x)20,求實數(shù)。的取值范圍.

22

16.(15分)已知橢圓C:鼻+5=1(。>6>0)的右焦點外與拋物線必=4x的焦點重合，且其離心率為

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)己知與坐標軸不垂直的直線/與橢圓C交于N兩點，線段M2V的中點為尸，求證km-kOP(O

為坐標原點)為定值.

17.(15分)如圖，在正四棱臺/BCD-4片GA中，/8=2/4=4.

(1)求證：平面48CD1平面/CG4；

(2)若直線4c與平面ACQ4所成角的正切值為正，求二面角B-CQ-A的正弦值.

6

18.(17分)某學校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙

餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學生的不同口味和需求.

(1)現(xiàn)在對學生性別與在南北兩個區(qū)域就餐的相關性進行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)

a=0.100的獨立性檢驗，能否認為在不同區(qū)域就餐與學生性別有關聯(lián)？

就餐區(qū)域

性別合計

南區(qū)北區(qū)

男331043

女38745

合計711788

(2)張同學選擇餐廳就餐時，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為g；如果前

12

一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為可，如果前一天在丙餐廳，那么后一天去

甲，乙餐廳的概率均為;.張同學第1天就餐時選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為工，--

2442

(i)求第2天他去乙餐廳用餐的概率；

(ii)求第〃(〃eN*)天他去甲餐廳用餐的概率p“.

n(ad-be)?

附：z2n=a+b+c+d；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

19.(17分)已知定義域為R的函數(shù)〃(x)滿足：對于任意的XER,者B有〃(x+2兀)=%(1)+〃(2兀)，則稱函

數(shù)〃(x)具有性質(zhì)p.

(1)判斷函數(shù)/(x)=2x,g(x)=cosx是否具有性質(zhì)p；(直接寫出結論)

(2)已知函數(shù)/(xbsiMox+dmvov'MvlJ，判斷是否存在。，?，使函數(shù)“X)具有性質(zhì)?？

若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

(3)設函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2向上的值域為［〃。),/(2兀)］.函數(shù)8@)=5詞〃切，滿

足g(x+27t)=g(x),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個零點.求證：/(27I)=2K.

絕密★啟用前

2024年高考考前信息必刷卷（新高考新題型）02

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

/--------------------------------------------------------------------------------

隨著九省聯(lián)考的結束，全國陸續(xù)有多個省份宣布在2024年的高考數(shù)學中將采用新題型模式。

新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填空題）+5（解

答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分

三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分

值依次為13分、15分、15分、17分、17分。

新的試題模式與原模式相比，各個題目的考查內(nèi)容、排列順序進行了大幅度的調(diào)整。多年不變的集合

題從單選題的第1題變?yōu)樘羁疹}，且以往壓軸的函數(shù)與導數(shù)試題在測試卷中安排在解答題的第1題，難度

大幅度降低；概率與統(tǒng)計試題也降低了難度，安排在解答題的第2題；在壓軸題安排了新情境試題。這些

變化對于打破學生機械應試的套路模式，對促使學生全面掌握主干知識、提升基本能力具有積極的導向作

用。

九省聯(lián)考新模式的變化，不僅僅體現(xiàn)在題目個數(shù)與分值的變化上，其最大的變換在于命題方向與理念

的變化，與以往的試題比較，試題的數(shù)學味更濃了，試卷沒有太多的廢話，也沒有強加所謂的情景，體現(xiàn)

了數(shù)學的簡潔美，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導性質(zhì)，考查考生的數(shù)學學習能力和數(shù)

學探索能力，這就要求考生在平時的學習中要注重定理、公式的推導證明，才能培養(yǎng)數(shù)學解決這類問題的

思維素養(yǎng)。

試卷的命制體現(xiàn)‘多想少算”的理念，從重考查知識回憶向重考查思維過程轉(zhuǎn)變，試卷題目的設置層次遞

進有序，難度結構合理，中低難度的題目平和清新，重點突出；高難度的題目不偏不怪，中規(guī)中矩，體現(xiàn)

了良好的區(qū)分性，可有效的引導考生在學習過程中從小處著手，掌握基本概念和常規(guī)計算；從大處著眼，

建構高中數(shù)學的知識體系。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.（1—奴）6的展開式中V的系數(shù)為160,則（）

A.-4B.2C.4D.-2

【答案】D

【解析】二項式（1—奴）6展開式的通項為￡+1=晨（—"），（其中0<r<6且reN）,

令廠=3可得［=C：（—ax?=C：（—ay./,所以C：（—不=160,解得。=-2.

故選：D

2.設$“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若$3=4,為+%+〃6=8,貝（）

?6

753

A.2B.-C.-D.

337

【答案】B

【解析】由題意得$6-$3=8,Se=$3+8=4+8=12,

因為$3,5一反，$9—及成等比數(shù)歹U，故（$6—$3）2=邑（§9一5）,

即82=4（S「12）,解得$9=28,

成$6123■

故選：B

3.某學校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：s）分別為：13.09,13.15,12.90,13.16,

12.96,13.11,x,13.24,則下列說法錯誤的是（）

A.若該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為13.155,則x=13.15

B.若該八名選手成績的眾數(shù)僅為13.15,貝鼠=13.15

C.若該八名選手成績的極差為0.34,則12.90VxV13.24

D.若該八名選手成績的平均數(shù)為13.095,則x=13.15

【答案】A

【解析】對A,因為8x75%=6,當x=13,八名選手成績從小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故該八名選手成績的第75%百分位數(shù)為且”詈丑=13.155,但

X=13N13.15,故A錯誤；

對B,由眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，B正確;

對C,當x<12.9,極差為13.24-x>0.34,不符合題意舍去；

當12.90MxM13.24,極差為13.24-12.9=0.34,符合題意

當x>13.24,極差為。-12.9>0.34不符合題意舍去,綜上，12.90<x<13.24,C正確;

j皿d12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+X.切?小八—

對D,平均數(shù)為-----------------------------------------=13.095,解得x=13.15,故D正確.

O

故選：A

4.在。8C中，C=],AB=4U,AC+BC=5,則的面積為()

A.4GB.2A/3C.373D.百

【答案】D

【解析】在“8C中，C=y,AB=C=屈,AC+BC=b+a=5,

由余弦定理可得c?=/+〃-2aZ?cosy=(a+b'f-lab-ab,解得出?=4,

所以S/Be='a6sinC=!，4，—=^3,

加2322

故選：D

7t17

5.已知0</?<a<5，sinasin/?=5,cosacos/7=歷，則cos2a=()

724

A.0B.—C.—D.1

2525

【答案】A

17

【解析】已知sinasin/?=m，cosacos/=m，

714

貝ijcos(a-/?)=cosacos/?+sinsin/?=—+—=j,

713

cos(tz+/)=cosacos-sin6ifsin=---=—,

兀71

'：Q</3<a<—,<a-(3<a+/3<TI,

i-------------------3i-------------------4

貝lJsin(a-/)=Jl-cos2(a—a)=—,sin(6r+J3)=y]l-cosi2(3*5a+y0)=—,

則cos2a=cos[(cr+/7)+(a-/7)]=cos(a+/7)cos(a-77)一sin(a+0)sin(a-/7)

3443c

=—x------x—=0.

5555

故選：A.

6.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3

個場館4瓦。開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館A時，場館3僅有2名

志愿者的概率為（）

二213

B.—c.gD.

50114

【答案】B

【解析】不考慮甲是否去場館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為

2

甲去場館42,C的概率相等，所以甲去場館8或C的總數(shù)為150x§=100,

甲不去場館A,分兩種情況討論，

情形一，甲去場館B,場館8有兩名志愿者共有C：GW=24種;

情形二，甲去場館C,場館B場館C均有兩人共有C；C；=12種,

場館3場館A均有兩人共有C；=6種，所以甲不去場館A時，

場館3僅有2名志愿者的概率為分版上=急=合.

故選：B.

TT

7.在平行四邊形/BCD中，AB=2AD=4,ZBAD=-,E,H分別為AB,CD的中點，將V4DE沿直線

DE折起，構成如圖所示的四棱錐4-BC￡>￡,尸為4c的中點，則下列說法不正確的是（）

B.四棱錐4-8CAE體積的最大值為3

C.無論如何折疊都無法滿足

D.三棱錐4表面積的最大值為2月+4

【答案】C

【解析】選項A,平行四邊形”80,所以2E//DH,又/2=2/。=4,瓦"分別為/瓦。。中點，所以

BE=D”,即四邊形BEDH為平行四邊，所以8"/,又AWO平面/為E,DEu平面A^DE，所以8〃//平

面/DE，又尸是HC中點，所以"http:///'。,又"/'a平面期平面期OE,所以9//平面才力￡,又

FHC]BH=Hu平面BHF,所以平面BHF//平面A，DE,故A正確；

TT

選項B,當平面平面8coM四棱錐/-8CDE的體積最大，因為/540=§,所以最大值為

1I—（2+4）X\/3itT

K=-xV3x-^---1----二3，故B正確；

32

選項C,根據(jù)題意可得，只要BCLHB,=u平面HOB,所以3C1平面

4DB,即5C_LH。,故C錯誤；

選項D,當￡〃，H￡,根據(jù)對稱性可得。此時的面積最大，因此三棱錐4-表

面積最大，最大值為s=SAA,DE+S.WDH+S.DEH+S：=；x2xgx2+；x2x2x2=2百+4，選項D正確.

故選：C

8.曲線C是平面內(nèi)與三個定點片（TO）,月。,0）和鳥（0,1）的距離的和等于2萬的點的軌跡.給出下列四個

結論：

①曲線c關于X軸、夕軸均對稱；

②曲線C上存在點P,使得戶閭=半；

③若點p在曲線C上，則△與尸耳的面積最大值是1；

④曲線C上存在點尸，使得/KP&為鈍角.

其中所有正確結論的序號是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

【答案】C

【解析】設曲線C上任意一點尸（X/）,由題意可知C的方程為

J（X+1/+/,|_+/=2^2.

①錯誤，在此方程中用-x取代x,方程不變，可知c關于了軸對稱；

同理用r取代了，方程改變，可知c不關于x軸對稱，故①錯誤.

②錯誤，若忸閶=孚，則閥|+附|=殍＜陽閶=2,

曲線C不存在，故②錯誤.

③正確，|尸胤+|尸鳥歸尸耳|+|尸馬+|尸閶=2&,

丫2

尸應該在橢圓D：—+y2=l^（含邊界），

曲線C與橢圓。有唯一的公共點鳥（0,1）,此時E勾=2,|。閶=1,

當點P為月點時，△片仍的面積最大，最大值是1,故③正確；

④正確，由③可知，取曲線C上點￡（0,1）,此時/4片月=90。，

下面在曲線C上再尋找一個特殊點P（0j）,0<y<l,

貝!12gy。+］-尸2會，

把2J1+/2=2也-1+。兩邊平方,

整理得3/+（2-4亞）了+4應-5=0,

解得k4也-2±（8-4揚,即尸1或逑二1

63

因為0<拽二則取點尸。,空二1］,

3I3）

此時/耳尸6>90°.故④正確.

故答案為：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=cos4x+2Gsinxcosx-sin4x,則下列說法正確的是（）

A.最小正周期為乃

B.函數(shù)/（%）在區(qū)間（-兀，兀）內(nèi)有6個零點

C.“X）的圖象關于點］1,o］對稱

D.將〃x）的圖象向左平移二個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在［0用上的最大值為g⑼，貝/

的最大值為?

O

【答案】AD

【解析】/（X）=COS4X+2A/3sinxcosx-sin4x

二（cos2x-sin2%）（cos？x+sin2x）+2百sinxcosx

=cos2x+A/3sin2x

=2sinf2x+^

對于A：T=—=TZ,A正確；

對于B：當-兀<X<71時，-坐<2x+5〈學，則2x+?分別取-私0,兀,2兀時對于的X的值為函數(shù)〃x）在區(qū)

6666

間（-兀，兀）上的零點，只有4個，B錯誤;

對于C：/S=2sin2x^+7=2$也9=石片0,故點3,0不是〃x)的對稱中心，C錯誤;

viz/V12o73\12)

兀

對于D：由己知g（無）=2sin+=2cos\2x+—

6I6

yrJTJi

當/時，一《2x4—?2/T—,/>0,

666

因為g（x）在［0,4上的最大值為g（o）=2cos5，

6

TT11jrSjr

所以21+?4丫，解得0</49,D正確.

6oo

故選：AD.

10.已知直線/：（。+2）》一（4+1A一1=0與圓。：/+必=4交于點45,點尸。,1）,48中點為。,

則（）

A.的最小值為2J5

B.目的最大值為4

C.莎.而為定值

D.存在定點M,使得|九@|為定值

【答案】ACD

【解析】直線/：（a+2）x-（a+l）歹一1=0,即a（x—y）+2x-y—1=0,

故直線過定點尸（1,1）,且圓C:一+r=4的圓心為（0,0）,半徑為2,

-/12+12<4.故尸（U）在圓。內(nèi)，

對于A,當c尸和直線/垂直時，圓心到直線的距離最大，距離d=|c?=J5,

此時,司最小，|幺同=2〃^67^=2泥,故A正確；

對于B,當|48|=4時，4s為圓的直徑，此時直線過圓心，

?.?（a+2）x0-.+1）x0-1=0方程無解，故直線不可能過圓心，故B錯誤；

對于C,設4（再,必）,3（孫力）,則

P^-P5=（X1-1）（X2-1）+（J1-1）（J2-1）=X1X2-（X1+X2）+V1J2-（J1+J2）+2,

當直線/斜率不存在時，l；X=l,聯(lián)立圓=4得，y=±5

止匕時萬?方=1—3—2+2=—2

當直線/斜率存在時，設直線^-1=左（》一1）,聯(lián)立圓。：/+/=4,

得一+[左（》_1）+17即（r+1）%2+（2左一2-）%+《2一2左一3=0,

-2k—2k2

+x=-------------

,192F+l

k2-2k-3

I12k2+l

yx+>2=4（再+々）+2—2左，

%為=[%（》1—1）+1]義[左（》2—1）+1]=左?X]/+（"—+》2）+（1—k）一,

PA-PB=X[X2—（X[+x,）+—（乂+,2）+2=（左，+]）西工。-（k~+l）（x[+x2）+左?+1,

帶入得：PA-PB=k2-2k-3+2k-2k2+k2+1=-2，

故》?而為定值-2，故C正確；

對于D,Z5中點為。，故23,且尸（U）在45上，

所以C。，尸。，故△尸0c是直角三角形，

當M為尸C中點時，的0|=3尸。|=字為定值，故D正確.

故選：ACD

11.已知函數(shù)/（x）及其導函數(shù)/'（無）的定義域均為R,若〃x）是奇函數(shù)，/（2）=-/（1）^0,且對任意

x/eR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'[x}f{y},則()

A.r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.￡/(左)=1D.

k=\k=\

【答案】ABD

【解析】因為f(x+y)=/(x)/'(力+/'(x)/3,

令x=y=l得：〃2)=2〃1)/”)，又因為〃2)=-7?⑴wo,所以r(1)=一；，故A正確;

因為/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(0)=0,且/'(X)為偶函數(shù).

令尸1,可得:/(x+i)=〃x)—(i)+r(x)/(i)①

再用一%代替x可得:/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/(x)r(i)+/,(x)/(i)

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)=>/(x+l)=-/W-/(x-l)

所以：/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

/(x+3)=-/(^+2)-/(x+l)=/(x+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以〃x)是周期為3的周期函數(shù)，所以：/(6)=/(3)=/(0)=0,故B正確.

因為:/(0)=0,/(2)=-/(1)^/(1)+/(2)=0,所以:/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：笈)=674X[〃1)+〃2)+〃3)[+[〃1)+〃2)]=0,故C錯誤；

k=\

又因為了'(X)亦為周期為3的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以r(_2)=/p)=/''⑵

令x=i,y=o可得：/(i>/(i)r(o)+r(i)/(o)r(o)=i=r(3)-

所以/'⑴+/'(2)+/'(3)=0.

2024

所以：￡/")=674x〃⑴+八2)+八3)]+[/⑴+/⑵]=一1.故D正確.

k=\

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

?2023_

12.若復數(shù)z=^—,則「=_________

l-2i

【答案】I

「河*白、??一產(chǎn)--iM23_-i_-i(l+2i)_2i_2+i-1

［斛析］?z=---z=}~~^=；-^=7\""oxm=￡一￡，則mz=—^―,ZZ--.

1-211-211-21(1-21)(1+21)5555

a—2c

13.已知三個實數(shù)a、b、c,當c>0時，6V2a+3c且兒=",則的取值范圍是__________.

b

【答案】1

【解析】當。>0時滿足：a,2a+3c且bc="2,

2a+3c,即/-2QC—3c2V0,?ffO(_)2-2?--3?0,解得一1”2,3.

cccc

c

所以二1或c

a3a

a-2￡=a￡-2r=￡_y￡Y/(￡))

ba2a\a)a

令—=t、te—,+oolu(-co-l］,

f(t)=-2t2+1=-2^t+1,

由于te1,-Ko^u(-oo-l］

所以/?)在fe(一如-1］單調(diào)遞增，在fe；,+，(單調(diào)遞減，

當/=；時，當/=-1時，/(-1)=-3,

所以&)4

故答案為：^-00,—.

14.已知棱長為8的正四面體，沿著四個頂點的方向各切下一個棱長為2的小正四面體(如圖)，剩余中間

部分的八面體可以裝入一個球形容器內(nèi)(容器壁厚度忽略不計)，則該球形容器表面積的最小值為

【答案】4871

【解析】如圖:

設。為正四面體尸—4SC的外接球球心，Q為△44G的中心，〃為A48C的中心，M為BC的中點,

因為正四面體尸—48C棱長為8,易得尸平面4BC,

易得AH=@~X8=M3,P//，平面28。，2/7匚平面88,

33

則PH1AH,PH=卜2_(?>=半,

由正四面體外接球球心為0,則。在,則。尸=CU=火為外接球半徑，

由=5。2得(容尸+(半一及)2=及2,解得R=2直，

即P0=246,

在正四面體尸—4片。1中，易得4a=gj?=F=213，尸。]=『二半=當,所以

OO[=PO-PO[=乎，

則該八面體的外接球半徑4。=Joo；+4。；=26,

所以該球形容器表面積的最小值為4兀(2道『=48兀.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)己知函數(shù)g(x)=；/-ax?-2xlnx+2x.

(1)當。=1時，求g(x)的圖象在點(l,g⑴)處的切線方程；

⑵若g，(x)20,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)當。=1時，g(x)=—x4-x2-2xlnx+2x,求導得g，(x)=V-2x-21nx,

559

則g'⑴=T，而g(l)=]，于是F一^=一("—1)，即x+y-4=0,

所以g(x)的圖象在點(Lg⑴)處的切線方程是％+尸：9=0.

4

(2)函數(shù)g(x)=；%4一。%2一2x]nx+2x定義域為(0,+oo),求導得g<x)=/—2q%—21nx,

由g'(x)20,得令/(X)=、2_￡^^〉0,

XX

求導得/'(x)=2%-2~2h.x=2d+2?x-2，令函數(shù)以幻=2d+2In尤-2,尤>0,

XX

顯然函數(shù)力⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增,而〃(1)=0,則當O<X<1時,Kx)<0,f'(x)<0,

當x>l時，h(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)，(x)在(0,1)上遞減，在(1,+功上遞增,/?in=/(1)=1,

因此2a<1,解得。,

所以實數(shù)。的取值范圍是

22

16.(15分)已知橢圓C:=+2=l(a>6>0)的右焦點與與拋物線/=4x的1焦點重合，且其離心率為］

ab2

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知與坐標軸不垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點，線段九W的中點為P,求證kMN-kOP為坐

標原點)為定值.

【解析】(1):拋物線/=4x的焦點為(1,0),

???橢圓C的半焦距為c=l,

c1______

又e=—=不，得。=2，b=yla2—c2=>/3?

a2

22

J橢圓。的方程為土+匕=1

43

(2)證明：由題意可知，直線/的斜率存在且不為0,設直線/的方程為y=Ax+加(左。0),

y=kx+m

22

聯(lián)立xy,得(3+4左2)12+8左加x+4加2-12=0

T+T=

A>0,即加2<4左2+3,

設必),

rm8km7/\c6m

則$+%2=_j，必+/2=后(再+工2)+2加=R，

J-r4/C3~r^TK

,(4km3m)

3m

一3+4左2—3

4km4人?

~3+4k2

17.(15分)如圖，在正四棱臺/8CD-4片GA中，AB=2AlB1^4.

(1)求證：平面48CD1平面/CC/i；

(2)若直線BXC與平面ACC.A,所成角的正切值為正,求二面角B-CC.-A的正弦值.

6

【解析】(1)延長叫,CCMA交于一點p,連接助交/c于。

由正四棱臺定義可知，四條側(cè)棱交于點尸，且四棱錐尸-/BCD為正四棱錐,

^PA=PB=PC^PD,又點。分別為NC,8。的中點，

故尸。L/C,P。，50,^jAC^BD=O,/C,RDu平面/BCD,

故尸。/平面/BCD,又尸Ou平面NCQ4,

故平面ACCXAX1平面ABCD,即平面ABCD1平面ACC}A}；

（2）由（1）知兩兩垂直，

故分別以方，礪，而為x，%z軸建立空間直角坐標系，

設棱臺的高為刀，則Cj啦,0,0）,4（0,后,〃

又平面ACQA,的法向量可取為應=（0,1,0），而配=（-2V2,-V2,-A）,

由題意知直線qC與平面NC￡4所成角的正切值為也，

6

61

則其正弦值為高春［無’

\m-B［C\y［21

則sin6=解得〃=4,

尻H窕「赤奇一而

BC-n=-2y/2x-2y/2y=0

設平面2CC4的法向量為。=（》//）,貝卜

函.萬=_伍+42=0

令z=l,貝U力=（-20,2痣,1）,

\m-n\2^2

故cos〈流元〉=KT=y,而二面角范圍為［0,兀］,

\m\-\n\V17

故二面角B-CC「4的正弦值為1一（婆了=處

VVI717

18.（17分）某學校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙

餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學生的不同口味和需求.

(1)現(xiàn)在對學生性別與在南北兩個區(qū)域就餐的相關性進行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)a=0.100

的獨立性檢驗，能否認為在不同區(qū)域就餐與學生性別有關聯(lián)？

就餐區(qū)域

性別合計

南區(qū)北區(qū)

男331043

女38745

合計711788

(2)張同學選擇餐廳就餐時，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為g；如果前一天

12

在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為鼻，如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐

廳的概率均為;.張同學第1天就餐時選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為,，

2442

(i)求第2天他去乙餐廳用餐的概率;

(ii)求第天他去甲餐廳用餐的概率

n(ad-be)2

附：z2n=a+b+c+d；

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.010

%2.7063.8415.0246.635

288x(33x710x38)

【解析】(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，z=~-?0.837<2.706=x0,,

43x45x71x1701

依據(jù)a=0.100的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷5。不成立，因此可以認為80成立，即認為在不同區(qū)域

就餐與學生性別沒有關聯(lián).

(2)設&="第i天去甲餐廳用餐"，耳="第i天去乙餐廳用餐”，C="第i天去丙餐廳用餐”，

則4、4、G兩兩獨立，i=l,2,

根據(jù)題意得尸(4)=尸⑻=jp(G)=g尸(4/4)=；,尸(4/g)=r(4+/G)=；,

119

尸(加⑷=5，尸(加IG)=5，P(G+I國)=j-

(i)由層=與4+44,結合全概率公式，得

尸(生)=尸(生4+與6)=尸(4)尸(鳥|4)+尸(G)尸(鳥|G)=；x；+