2024年廣東省肇慶市高要區(qū)九年級中考一模數(shù)學試題

2024年中考模擬試題（一）數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上．2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚．請按照題號在各題答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效．一、單項選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，數(shù)軸上點表示向東走了，則點表示（）A.向東走 B.向南走 C.向西走 D.向北走【答案】C【解析】【分析】本題考查了相反意義的量，根據(jù)數(shù)軸可得點、點分別在數(shù)軸原點的兩邊，且距離原點的距離相等，得出表示相反意義的量，即可得出答案．【詳解】解：數(shù)軸可得，點、點分別在數(shù)軸原點的兩邊，且距離原點的距離相等，點表示向東走了，則點表示向西走，故選：C．2.2024年3月31日，肇慶市舉行了半程馬拉松比賽，在春天的懷抱中，來自四面八方約14000名跑者們共襄盛舉，用他們的汗水和堅持在肇慶這片歷史與自然交融的土地上譜寫了一曲壯麗的奔跑樂章．半程馬拉松的距離是21.0975公里，即21097.5米．21097.5可以用科學記數(shù)法表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查科學記數(shù)法．將一個數(shù)字表示成的形式，而且表示整數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：．故選C．3.如圖，將一個直角三角板按如圖的方式擺放，已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了根據(jù)平行線性質求角度，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得解．【詳解】解：，，，故選：B．4.將直線向上平移3個單位長度，得到的直線的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移，根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：直線向上平移個單位得到的直線解析式是．故選：C．5.生活中到處可見黃金分割的美．如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感．若圖中b為2米，則a約為（）A.1.37米 B.0.76米 C.1.22米 D.1.24米【答案】D【解析】【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，∴，∵米，∴（米），∴a約為1.24米，故選：D．6.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式組的解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：由得，由得，解集在數(shù)軸上表示為：，則不等式組的解集為．故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．7.如圖，是的兩條直徑，E是的中點，連接，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理等知識，連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)直角三角形的性質求出，再根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵E是的中點，∴，∴，故選：B．8.下列運算正確的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底冪相乘法則，冪的乘方和積的乘方運算法則逐一計算作出判斷：【詳解】A．和不是同類項，不可合并，選項錯誤；B．應為，選項錯誤；C．，選項正確；D．應為，選項錯誤．故選C．9.如圖，在正方形中，E為的中點，F(xiàn)為上一點（不與B，C重合），將沿所在的直線折疊，得到，連接．當時，的值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方形的性質得，由E為的中點，得，由折疊得，則，而，可證明是等邊三角形，則，求得，，則，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，由折疊得，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查正方形的性質、軸對稱的性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，求得是解題的關鍵．10.如圖，拋物線的頂點為點，與軸交于點，點是軸上的一個動點，當?shù)闹底钚r，的值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點問題，最短路徑問題的解決方法．先求出，從而得到點關于軸的對稱點的坐標為，再把解析式配成頂點式得到，連接交軸于，如圖，根據(jù)兩點之間線段最短可判斷此時的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，然后確定點坐標，從而得到的值．【詳解】解：當時，，則，點關于軸的對稱點的坐標為，，，連接交軸于，如圖，，此時的值最小，設直線的解析式為，把代入得，解得，直線的解析式為，當時，，解得，此時點坐標為，即．故選：D．二、填空題（每小題3分，共15分）11.計算______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則計算即可得出答案．【詳解】解：，故答案為：．12.某一個十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當你抬頭看信號燈時，是黃燈的概率為_______．【答案】【解析】【詳解】解：每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，所以黃燈的概率是

故答案是：13.如圖是一種常用于危險區(qū)域的告示牌，其主體由2塊長度相等的支撐板組成，通過改變2塊支撐板夾角的度數(shù)可以調整告示牌高度，如圖是告示牌打開后的側面示意圖，經(jīng)測量支撐板的長度，支撐板與地面的夾角，則點處到地面的距離______．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)，，）【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，在中，直接利用正弦的定義求解即可得出答案，熟練掌握正弦等于對邊與斜邊的比是解此題的關鍵．【詳解】解：由題意得：在中，，，，，故答案為：．14.如題圖，在中，，，以為直徑的與相交于點．若，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了扇形面積的計算、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質，求出，結合推出，，再根據(jù)，計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接、，，，，是的直徑，，，，，，，，故答案為：．15.如圖，點在以為直徑的半圓上，是半圓上不與點重合的動點．連接，是的中點，過點作于點．若，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓的性質、三角形中位線定理，延長至，使，連接，結合題意得出即點在圓上，由三角形中位線定理得出，則當經(jīng)過原點時，有最大值為，此時有最大值，即可得解．詳解】解：如圖，延長至，使，連接，，，點、關于直線對稱，即點在圓上，是的中點，，當經(jīng)過原點時，有最大值為，此時有最大值，為，故答案為：．三、解答題（每小題8分，共24分）16.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算、分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）先計算絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、乘方，再計算加減即可得出答案；（2）根據(jù)同分母分式直接相加，再約分即可得出答案．【詳解】解：（1），；（2）．17.農(nóng)歷新年前，小龍打算和媽媽一起到商場采購賀歲迎新的飾品，預算買該飾品的金額是60元，下面是兩人走到第二家商場時的對話，請根據(jù)對話，求出第一家商場該飾品的單價．【答案】第一家商場該飾品的單價是10元．【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用．設第一家商場該飾品的單價是元，則第二家商場該飾品的單價是元，根據(jù)用60元買該飾品，在第二家商場比在第一家商場少買2件，列出分式方程，解方程即可．【詳解】解：設第一家商場該飾品的單價是元，則第二家商場該飾品的單價是元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：第一家商場該飾品的單價是10元．18.如圖，在四邊形中，．（1）用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作線段的垂直平分線，分別交、于點，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法和結論）（2）在（1）所作圖形中，證明：四邊形為菱形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質、三角形全等的判定與性質、菱形的判定，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）利用基本作圖作的垂直平分線即可；（2）由平行線的性質可得，由線段垂直平分線的性質可得，，證明得出，即可得證．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，畫圖如下【小問2詳解】證明：∵，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．四、解答題（每小題9分，共27分）19.主題：用彩帶對長方體禮盒進行裝飾；素材：一個長方體禮盒，一條彩帶．步驟1：如圖1，將彩帶按粘貼到長方體禮盒上．步驟2：將禮盒展開成如圖2所示的平面板塊．猜想與計算：（1）請在圖2中畫出、兩條線段（2）已知禮盒底面的長、寬均為，高為，，點C為所在棱的中點，求彩帶全長．【答案】（1）見解析（2）彩帶全長為【解析】【分析】本題考查的是長方體的展開圖，勾股定理的應用，化為最簡二次根式，理解展開圖的形狀是解本題的關鍵．（1）結合長方體的展開圖的形狀畫出線段、即可；（2）如圖，利用勾股定理先求解，，可得B為所在棱的中點，C為所在棱的中點，再進一步解答可得答案．【小問1詳解】解：如圖所示【小問2詳解】如圖，∵底面的長、寬均為，，∴，∵高為，∴B為所在棱的中點，∵C為所在棱的中點，∴，，∴彩帶全長為：．20.有很多大學生成為職業(yè)農(nóng)民，他們被稱為“新農(nóng)人”，其中有不少人憑借自己的專業(yè)知識，做出了一番成就，小張就是一名90后“新農(nóng)人”，今年他帶領鄉(xiāng)親種植了甲、乙兩種新品西瓜，為了了解甲、乙兩種新品西瓜的品質（大小、甜度等），進行了抽樣調查，在相同條件下，隨機抽取了兩種西瓜各7份樣品，對西瓜的品質進行評分（百分制），并對數(shù)據(jù)進行收集、整理，下面是兩種西瓜得分的統(tǒng)計圖表．甲、乙兩種西瓜得分表樣品序號1234567甲種西瓜75858688909696乙種西瓜80838790909294根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）甲種西瓜中位數(shù)______；，乙種西瓜眾數(shù)______．（2）從折線統(tǒng)計圖看，兩種西瓜的得分的方差______（填“”或“”）；（3）宋超認為甲種西瓜的品質較好，李軍認為乙種西瓜的品質較好，請結合統(tǒng)計圖表中的信息分別寫出他們的理由．【答案】（1）88，91（2）（3）見詳解【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、折線統(tǒng)計圖，熟練掌握相關知識并結合題意分析問題是解題的關鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念即可解答；（2）根據(jù)方差的概念即可解答；（3）結合統(tǒng)計圖表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析即可解答．【小問1詳解】解：將甲品種的西瓜得分從小到大排列，可以發(fā)現(xiàn)一共7個數(shù)據(jù)，中位數(shù)是最中間的第4個數(shù)據(jù)為88，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為88；根據(jù)乙品種的得分，可以看出90出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90．故答案為：88，90．【小問2詳解】從折線統(tǒng)計圖可以看出，甲品種的西瓜得分比乙品種的得分數(shù)據(jù)波動更大，離散程度更大，穩(wěn)定性較小，所以，故答案為：．【小問3詳解】解：，，甲種西瓜的眾數(shù)為96，乙種的為90，甲種西瓜的中位數(shù)為88，乙種的為90，所以，當兩種西瓜的平均數(shù)都為88的時候，甲種西瓜的品質較好些，理由為：甲種西瓜得分的眾數(shù)比乙種的高；乙種西瓜的品質較好些，理由為：乙種西瓜得分的中位數(shù)比甲種的高（答案不唯一，理由合理即可）．21.已知點A在反比例函數(shù)的圖象上，以為邊長作正方形，使正方形頂點B，C在x軸上方，與y軸的夾角為．（1）如圖1，當點B在y軸上時，求點A坐標；（2）如圖2，當時，與y軸相交于點D，若，求點B的坐標．【答案】（1）點A的坐標為（2）點B坐標為【解析】【分析】（1）過點A作軸于點E，根據(jù)正方形的性質得出，，根據(jù)，得出，求出，即可得出答案；（2）過點A作軸于點E，過B作軸于點F，證明，，，設，則，得出，求出，，得出答案即可．【小問1詳解】解：如圖1，過點A作軸于點E，∵四邊形為正方形，∴，，∴為等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴點A的坐標為；【小問2詳解】解：如圖2，過點A作軸于點E，過B作軸于點F．∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，，∵，∴設，則，中，得，∵，∴，∴．∴點B坐標．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形，三角形全等的判定和性質，三角函數(shù)的應用，正方形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．五、解答題（每小題12分，共24分）22.如圖1，為直徑，為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為點，延長至．（1）求證：平分；（2）如圖2，若，，點是半圓的中點，連接，．①求；②求的長．【答案】（1）見解析（2）①；【解析】【分析】本題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形、圓周角定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．（1）由切線的性質可得，結合推出，由平行線的性質結合等邊對等角得出，即可得證；（2）①由勾股定理得出，證明，再由正弦的定義計算即可得出答案；②過點作于點，求出，結合得出，再求出的長度，即可得解．【小問1詳解】證明：∵切于點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；【小問2詳解】解：①∵為的直徑，∴，∵，，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；②過點作于點，，∵點是半圓弧的中點，∴弧弧，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．23.如圖，矩