余弦定理 教學(xué)設(shè)計 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

平面向量的應(yīng)用——余弦定理教學(xué)設(shè)計內(nèi)容教學(xué)目的1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.教學(xué)重點難點重點：探究和推導(dǎo)余弦定理的兩種形式；運用余弦定理解三角形難點：余弦定理的證明教學(xué)過程1情境引入情境：千島湖位于我國浙江省淳安縣境內(nèi)，因湖內(nèi)有星羅棋布的一千多個島嶼而得名，現(xiàn)有三個島嶼A，B，C，島嶼A與B之間距離因A，B之間有另一小島而無法直接測量，但可測得AC，BC的距離分別為6km和4km，且AC，BC的夾角為120°，那么島嶼A，B間的距離如何計算呢？問題簡化：在三角形ABC中，已知CA、CB的長度和他們的夾角，求AB的長度。引入概念：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形中的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.問題1：在三角形中已知兩邊及其夾角，第三邊可求嗎？教師引導(dǎo)：由判定三角形全等的方法：兩個三角形的兩邊和其夾角分別相等，則兩三角形全等。那么給定三角形兩邊及其夾角，這個三角形就是唯一確定的.所以AB的長度可求。因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，聯(lián)想到向量的數(shù)量積，所以我們考慮用向量的運算來探究。2余弦定理的推導(dǎo) 教師講授：如圖，我們將已知的兩邊CB、CA分別設(shè)為向量，要求的AB設(shè)為向量,根據(jù)向量的加減運算得=，求AB即向量的模長，需要將這個式子左右兩邊平方，得到：，將數(shù)量積公式代入，得，然后將模長都用邊長代替，得到。即用邊a、b和角C表示出了邊c，同理，用邊b、c和角A可以表示邊a：，用邊a、c和角B可以表示邊b：，這三個式子就是余弦定理。余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即：問題2：觀察式子的結(jié)構(gòu)有什么特點？教師引導(dǎo)：這三個等式，右邊是兩邊及其夾角，左邊是這個角的對邊，有三個平方項一個交叉項，且每個式子都涉及到三條邊和其中一個角。我們不妨將夾角的余弦值移到等式左邊，將邊留在等式右邊，對式子變型得到余弦定理的推論：，，.問題3：余弦定理及其推論能解決什么問題呢？教師引導(dǎo)：這些公式每個都涉及到四個量：三條邊長和一個夾角的余弦值，那么知道其中三個就可以求出另外一個，所以主要可以解決兩類解三角形問題：已知兩邊及其夾角求第三邊，已知三邊求夾角。3定理的應(yīng)用問題4：回到前面千島湖的測量問題，△ABC中已知邊a=4,b=6，角C=120°，求邊c。教師引導(dǎo)：已知兩邊和它們的夾角求第三邊的問題，我們知道要用余弦定理，但是余弦定理有三個式子，選擇哪個呢？觀察：每個式子都有三條邊，但是只涉及到一個角，所以要看已知的是哪個角，已知角C，所以選擇，將數(shù)據(jù)代入得，最后不要忘記，求長度還需要開根號，所以.例1在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小教師引導(dǎo)：先思考哪個角最大？因為大邊對大角，所以角A最大，已知三邊求角可以直接用余弦定理的推論。思考：另外兩個角B和C能求嗎?（根據(jù)推論的另外兩個公式，三個角都可以求。）4定理的深入理解思考1：余弦定理與勾股定理有什么關(guān)系？余弦定理：；勾股定理：結(jié)論：勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推廣。思考2：還有其他的方法證明余弦定理嗎？教師引導(dǎo)：當(dāng)角C是直角時，直接成立，當(dāng)角C是銳角或者鈍角的時候呢？要求邊c可以構(gòu)造直角三角形，所以可以作高，將邊c放在一個直角三角形里再去求。思考3：根據(jù)角可以判斷直角，那么根據(jù)和可以得到什么結(jié)