湖南省部分學校2023-2024學年高二年級上冊期末聯(lián)合考試數(shù)學試題（含答案解析）

湖南省部分學校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)合考試數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.某物體運動左后，其位移(單位：m)為產(chǎn)+》.在這段時間里，該

物體的平均速度為()

A.5m/sB.6m/sC.8m/sD.10m/s

2.直線/:岳+岳一1=0的傾斜角為()

A.45°B.60°C.120°D.135°

什1

3.在數(shù)列｛“〃｝中，已知4—1,?！?+"，右4=,，則冽二()

A.2B.3C.4D.5

4.在三棱錐P-力5C中，M為力。的中點，則兩=()

1—1―?一

B.-BA+-BC-BP

22

1—1—?1—1—1—?1—

C.-BA+-BC——BPD.-BA+-BC+-BP

222222

5.過拋物線。:/=2?(2>0)的焦點的直線與拋物線。相交于45兩點，若線段

中點的坐標為(4,2行)，則P=()

A.4B.3C.2D.1

6.若三條不同的直線4：ax+y+2=O,4：x+yT=。，/3：工->+3=0不能圍成一個三

角形，則。的取值集合為()

A.{-1,1}B.{4,1}C1-萬」：D-{4,-1/}

7.如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是

其外接正三角形各邊的中點.現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網(wǎng)格數(shù)最多的三角

形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊

長為()

試卷第1頁，共4頁

3333

A.一米B.■^米C.—米D.—米

481632

8.已知雙曲線Cf-「=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,直線/：>=2X-根與。相

交于4,3兩點，若AG/3的面積是△鳥48面積的3倍，則機=（）

A.V2B.472C.血或4啦D.血或20

二、多選題

9.等差數(shù)列缶“｝的前〃項和為S”，若%=9,$4=3%,貝U（）

A.｛%,｝的公差為1B.｛%,｝的公差為2

C.邑=18D.出023=2025

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.^^=sinx-2x,則y'=-cosx-2B,若y=（x+l）lnx,則y'=lnx+L+l

x

C.若了=貝!|y'=（2尤一3）e'J3xD.若>則/

eex

11.在棱長為2的正方體N8CD-4片GA中，￡,￡分別為棱的中點，G為線

段3。上的一個動點，則（）

A.三棱錐。-EFG的體積為定值

B.存在點G,使得平面EFG//平面48Q]

C.當歷西時，直線EG與8G所成角的余弦值為正

320

D.當G為與。的中點時，三棱錐4-￡FG的外接球的表面積為22專兀

22

12.已知尸是橢圓C:=+與=1（。>6>0）的右焦點，直線>=丘與橢圓。交于N,B

ab

兩點，M,N分別為4尸，3尸的中點，。為坐標原點，若/MGW=60。，則橢圓C的離

心率可能為（）

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.已知點才是點4-2,1,2)在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，則|兩卜.

14.已知/'(X)是函數(shù)“X)的導函數(shù)，且((%)=3,則

lim4/一叔)一/(4+2A-

——0Ax

15.若直線x+3y-l=0是圓/+/一2辦一8=0的一條對稱軸，則點尸(2,6)與該圓上

任意一點的距離的最小值為.

n

16.在數(shù)列｛%｝中，％=1,a?+an+l=e,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，令

「(l+e)S-/?e

,則ln^—」一

S=Q]H---4--2〃3-----

nee'

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足q=4,且對于任意相，〃eN*,都有%A=4“+".

(1)證明｛%｝為等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

⑵若bn=J一,求數(shù)列也力用｝的前”項和S..

18.已知四邊形/BCD的三個頂點4L0),8(3,-2),C(4,-l).

(1)求過/,B,C三點的圓的方程.

(2)設線段上靠近點N的三等分點為￡,過E的直線/平分四邊形/BCD的面積.若

四邊形/BCD為平行四邊形，求直線/的方程.

19.已知函數(shù)〃乃=/+"2+桁的圖象經(jīng)過點且在點4處的切線與直線

I:x+y=0W.

(1)求a,6的值；

⑵求經(jīng)過點(2,4)且與曲線y=/(x)相切的切線方程.

20.如圖，在三棱錐尸-/3C中，P4_L平面/BC,AB1BC,4c=2BC=4,F是PC

的中點，且4F_LPB.

試卷第3頁，共4頁

n

(1)求AP的長；

(2)求二面角B-AF-C的正弦值.

21.已知己次是首項為1的等差數(shù)列,｛4｝是公比為2的等比數(shù)列,且4=%，8=%.

⑴求也,｝和也｝的通項公式；

⑵在｛a,,｝中，對每個正整數(shù)k,在ak和ak+l之間插入左個4,得到一個新數(shù)列｛c?｝,設(

是數(shù)列｛c?｝的前n項和，比較盛與20000的大小關系.

Y2I72V2T；2

22.已知橢圓G：F+彳=1(〃>6>0)與雙曲線。2：=-4=1(。>6>0)的焦距之比為

abab

j_

(1)求橢圓C］和雙曲線C2的離心率；

(2)設雙曲線的右焦點為尸，過尸作軸交雙曲線于點P(尸在第一象限)，A,

3分別為橢圓。的左、右頂點，/尸與橢圓G交于另一點。，。為坐標原點，證明：

^BP?k°p—kOQ4-kOP.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)平均速度的含義，進行計算即可求得答案.

【詳解】當f=2時，位移為gx22+2x2=6,

當/=4時，位移為，X42+2X4=16,

2

在2VV4這段時間里，該物體的平均速度為：UT=5m/s.

4-2

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)直線方程求斜率，進而可得傾斜角.

【詳解】設/的傾斜角為則0。4。＜180。，

由題可知I的斜率為左=tana=-l,所以/的傾斜角為135。.

故選：D.

3.C

【分析】通過取倒數(shù)的方法,證得數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列，求得，=2?-1,進而求出an=,

anan2?-1

解決問題即可.

a11

【詳解】由。用=/=，%=1,取倒數(shù)得：一=一+2,

1+2%%an

則｛-U是以工=1為首項，2為公差的等差數(shù)列.

所以，=l+("-l)x2=2--l,所以q,=—!—；

an2n-\

1

由于4“=故冽=4.

2m-17

故選：C.

4.B

【分析】連接攻，根據(jù)空間向量的運算法則，準確化簡，即可求解.

【詳解】連接四，根據(jù)向量的運算法則，可得由=嬴-麗=!強+,就-麗.

22

故選：B.

答案第1頁，共15頁

【分析】利用點差法及中點與焦點坐標分別表示直線N8的斜率，可建立關于。的方程，求

解可得.

)>i=20再,

【詳解】設出演,九）,3（X2，%）,則

yl=2px2,

兩式作差得，乂2->；=81+%）&1-％）=2。（占一馬）,

當西=超時，則N8中點坐標為焦點廠（々,0；不滿足題意;

當x尸馬時，得九'

設線段中點M,因為M坐標（4,2后），且過焦點下，

所以必+%=4A/2,

,,2P2>/2-0

則AB的斜率以B--市-p,

4---

2

解得2=4.

故選：A.

6.D

【分析】分線線平行和三線共點討論即可.

答案第2頁，共15頁

【詳解】若4〃4,貝1]一。=-1，解得。=1.若〃〃3,則一。=1，解得。=一1.

fx+y-1—0[x=-1

若4，4，4交于一點，聯(lián)立方程組‘,八，解得得.，

[x-y+3=0口=2

代入辦+了+2=0,得一°+2+2=0,解得“=4,故a的取值集合為{4,-1,1}.

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造正三角形周長滿足的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前〃項和公式及指數(shù)

不等式進行求解.

【詳解】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項，g為公比的等

比數(shù)列.

設最小的正三角形的邊長為3x米,

則[(2川貝||_1]>X,即2"418,得“44,

1-l/18

1——

2

故最小的正三角形的邊長為3x米.

故選：B.

8.B

【分析】設與到直線的距離為4，鳥到直線的距離為刈，根據(jù)題意得到4=3功,

列出方程求得加，結(jié)合A〉0,即可求解.

【詳解】依題意，雙曲線c：f一1的左、右焦點分別為片卜亞,0),乙(亞,0),

設耳到直線AB的距離為4,鳥到直線AB的距離為由，

E|-2A/2-mlI2V2-ml

因為的面積是面積的3倍，所以4=34,

即|-272-m|=3|2^-m|,解得加=虛或48,

答案第3頁，共15頁

\y=2x-m,

聯(lián)立方程組，2?，整理得3/一4蛆+/+1=0,

〔尤一了=1

則A=16療72(川+1)＞0,解得小＞3,所以機=4后.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為距離的比，從而得解.

9.ACD

【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項，判斷A,B；根據(jù)等差數(shù)列通項公式以

及前〃項和公式即可判斷C,D.

[a,+6d=9

【詳解】設｛%｝的公差為d,由%=9,邑=3%，得彳「。皿，

[46+64=3a1+9a

解得It：3,故A正確,B錯誤；

\a=1

84=44+62=18,%023="1+2022d=2025,C,D正確.

故選：ACD

10.BCD

【分析】由導數(shù)的四則運算和復合函數(shù)的導數(shù)公式計算.

【詳解】對A,若y=sinx—2x,則j/=(sinx)-(2v)=cosx-2,A選項不正確;

,i

對B,若＞=(x+l)lnx,貝！Jj/=(x+l)'lnx+(x+l)(lnx)=Inx+—+1,B選項正確；

對C,若了=13，則;/=(一-3。/3=(2》一3)/3,c選項正確.

對D,若＞=則夕'=^——一以2=上」，D選項正確.

e(ex)e

故選：BCD

11.ABD

【分析】對于A項，由等體積法七一EFG=%“EF即可判斷，對于B項，運用空間向量坐標法

計算兩個平面法向量平行求解即可，對于C項，運用空間向量坐標公式計算異面直線所成

角余弦值即可，對于D項，由|。4月?！?=1。尸目。6|列方程求解即可.

【詳解】對于A項,

答案第4頁，共15頁

因為平面BCG4〃平面DEF,BtCu平面BCCiBl,

所以4c//平面DEF,所以點G到平面DEF的距離h為定值,

又VD-EFG=VG-DEF=3SAD￡F.h，AD￡F的面積為定值,

所以三棱錐。-EFG的體積為定值，故A項正確；

建立如圖1所示的空間直角坐標系，則4(2,0,0),0(0,0,2),

4（2,0,2）,C（0,2,0）,E（l,0,0）,尸（0,0,1）再（2,2,2）,3（2,2,0）,G（0,2,2）,

對于B項，福=（0,2,2）,西=（一2,0,2）,西=（2,0,2）,彷=（-1,0,1）,就=2,0）,

設歷=/西=（么02）,0.41,則函=反+歷=（%-1,2,2）.

設平面EFG的法向量為為=(%,必,zj,

n-EF=_西+Z]=0

由，令西=2,可得元=(2,1-軌2).

n-EG\+2耳+26=0

設平面4BQ1的法向量為加=6,%/2),

m-AB,=2y+2z=0一,、

由一」99，令々=1，可得冽=（1,—1,1）.

m?ADX=-2X2+2Z2=0

21-4/23

若平面即G〃平面442,則：=—1二；，解得t=；,故B項正確;

1-114

答案第5頁，共15頁

對于C項，建立如圖1所示的空間直角坐標系，當函=；礫=(：,0,：1時,

EG=(-1,2,0)+f|,0,|W-1,2,|W=(-2,0,2).

\EG-BC\3A/82

設直線EG與8G所成的角為。，則82，

即直線EG與BG所成角的余弦值為返，故C項錯誤;

82

對于D項，如下圖，當G為2。的中點時，4⑵0,2),￡。,0,0),尸(0,0,1),G0,2,1).

設三棱錐4-EFG的外接球的球心為O(x/,z),半徑為r,

7

x=—

6

r2=(X-2)2+/+(Z-2)22

y=—

r2=(x-1)2+y2+z23

則,解得

r2=x2+y2+(z-lf7

z=—

r2=(x-l)2+(y-2)2+(z-l)26

r2=一11

6

所以三棱錐4-EFG的外接球的表面積為4口2=手，故D項正確.

故選：ABD.

12.BD

【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，然后判斷四邊形尸為平行四邊形，由/MCW=60。可

得/取片=120。，進而結(jié)合橢圓的定義與基本不等式可得有關。,c的不等式，解不等式得到

離心率的取值范圍，從而逐項判斷四個選項即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：

答案第6頁，共15頁

設月為橢圓。的左焦點，因為直線了=息與橢圓。交于/,8兩點,

所以由橢圓的對稱性得=\OB\,又。叫=。耳|,

于是四邊形/￡8萬為平行四邊形.

因為"，N分別為4尸，5尸的中點，O是大廠中點,

所以/耳〃。河，BFJ/ON,

平行四邊力片AF中/AF、B=AMON=60°,/FAF、=120°,

在“FF中，1GM2=胤2+,刊2一2恒司MTcosZ1201

7

=（所+/）2-">昨（^的>（My=鄧y

因為直線、=息斜率存在，所以a8兩點不在夕軸上，即|/耳國/目,

22

又在C:=+4=l（穌6>0）中，4周+1/F卜=2a,1M|=2C,

ab

所以，山川1（l/用;14『，即4c223/,

又a>c，所以3<;<i,即@<e〈l.

4a22

綜上所述，ee券」；

故A,C錯誤;

答案第7頁，共15頁

故選：BD.

13.亞

【分析】根據(jù)給定條件，求出點4的坐標，再利用向量模的坐標表示即得.

【詳解】由點H是點月(-2,1,2)在坐標平面。中內(nèi)的射影,得4(-2,1,0),即兩=(-2,1,0),

所以國卜氐

故答案為：V5

14.-9

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導數(shù)的定義運算求解.

【詳解】由題意可得：

lim/&?)一仆0+2以)=gHm/(x°-?)-/(%+2Ax)=gf

-0A%--3\X?

故答案為：-9.

15.1

【分析】利用圓關于直線對稱可知該直線過圓心(。，0),可得。=1,再利用定點到圓上點距

離的最值的求法即可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，該圓的圓心為30),直線x+3k1=0過圓心，

貝!Ja—1=0,解得。=1,

則該圓的方程轉(zhuǎn)化為(％-1)2+/=9,該圓圓心為(1,0),半徑為3,

易知圓心與尸(2,6)的距離為“2-心+(也『=2,

故點P(2,>A)與該圓上任意一點的距離的最小值為3-2=1.

故答案為：1

16.1-n

【分析】根據(jù)題意，得至卜5,=能|+電+,%+-一+工%，兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和

ee

公式和對數(shù)的運算法則，即可求解.

【詳解】由=%+—。2+丁。3---------*■-^7%，得eS〃=e%+2+—。3■)^~~^2an>

eeeee

答案第8頁，共15頁

1%一1+?！?+擊4?

則〃+。2)+&(。2+。3)^-----

(1+e)S=e4+(%n—2

/、1(l+e]S-ne

則。+e)S“=ne+-^-an,故出-----------=\-n.

ean

故答案為：1-〃.

17.(1)證明見解析，an=4"

【分析】(1)取冽=1,得到%+1=4%,得到也J是4為公比的等比數(shù)列，求出通項公式;

(2)裂項相消得到"配,再進行求和即可.

【詳解】(1)取加=1,則由4%=飆+〃，得%+1=4%.

因為q=4,所以％討=4%,所以｛4｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)歹U,

故?！?"U〃T=4〃.

111

由(可矢口

(2)1)2=n

log2anlog242n'

1111

則他+i=

4n(n+l)4(〃n+1

故s〃=:11111n

1-—+—

223nn+1劭+4

18.(1)□一I]+卜+]=|

(2)x—5jv—5=0

【分析】(1)方法一：根據(jù)斜率分析可知4313C,結(jié)合直角三角形的外接圓的性質(zhì)分析

求解；方法二：設圓的一般方程，代入aB,C三點運算求解即可；

(2)利用向量關系求得-11方法一：根據(jù)題意可知直線/過線段/C的中點

再利用直線的兩點式方程運算求解；方法二：設/與C。相交于點尸(乙，%)，

uur1uuir<iniA

可知CF=-§DC,利用向量關系求得點尸再利用直線的兩點式方程運算求解.

【詳解】(1)方法一：因為41,0),3(3,-2),C(4,-l),

答案第9頁，共15頁

k^^=1,

貝［右B=2?=—1，BC

J—L4-3

由3B?心c=T，得4BJ.BC,

則過4B,。三點的圓的圓心為線段力。的中點；

半徑r=T'O=；J(4-1)2+(-1-0)2='

所以過4,B,c三點的圓的方程為卜—+=

方法二：設過4,B,。三點的圓的方程為/+/+外+功+尸=o,

1+D+尸=0D=-5

則《13+30—2￡+尸=0,解得土5=1

17+4?！?尸=0［產(chǎn)=4

故過Z,B,C三點的圓的方程為f+j?一5工+》+4=0,即—+]>+；]=：.

(2)設￡(石,必),

UUllULU-------?

由題意可得：DC=AB=(2,-2),4￡=(七—1,%),

因為線段N8上靠近點/的三等分點為￡,則次=；在=1|,-：

x「l=g

則

2

5_j_

方法一：直線/平分四邊形/臺。的面積，可知直線/過線段的中點

/CM2，-2

25

yH—x—

所以直線/的方程為一^=亍4,整理得x-5y-5=0；

2+32-3

方法二：設/與。相交于點尸(％，%)，貝！I赤=(9一4,%+1),

—1—22

由直線/平分四邊形的面積，可得C尸

313

答案第10頁，共15頁

所以直線/的方程為一舌二訶言，整理得x-5y-5=0.

---1---------

3333

(2)2x—y=0或6x-y-8=0

【分析】(1)求導，根據(jù)題意結(jié)合導數(shù)的幾何意義分析列式求解；

(2)設切點(%,君-2焉+2%),切線斜率后=/宙)=3君-4%+2,求直線方程并代入點

(2,4)運算求解即可.

【詳解】(1)Etl/(x)=x3+ax2+bx,貝=3x?+2辦+b,

因為/(x)的圖象在點N(l,l)處的切線與直線/：x+y=0垂直,

/⑴=1+a+6=1a=-2

則,解得

/'(1)=3+24+6=1b=2

(2)由(1)可設切線與曲線y=〃x)相切于點(X°,x；-2x；+2x0),

則切線斜率后=/'(%)=34-4%+2,

則切線的方程為-2x1+2x0)=(3x；-4x0+2)(x-x0),

將點(2,4)代入方程整理得舅-4邸+4%=X0(%(1-2)2=0,解得%=0或々=2.

當天=0時，切線方程為2x-y=0.

當/=2時，切線方程為6x-y-8=0.

故經(jīng)過點(2,4)且與曲線了=〃x)相切的切線方程為2x-y=0或6x7-8=0.

20.(1)"=2百

答案第11頁，共15頁

⑵w

4

【分析】（1）結(jié)合垂直關系，以2為坐標原點建立空間直角坐標系，利用N尸，P8計算出4P

的長度即可；

（2）利用向量法求出平面4BF的法向量與平面/尸C的法向量，進而求出二面角B-4F-C

的正弦值即可.

【詳解】（1）因為尸平面NBC,AB1BC,故以2為坐標原點，建立如下圖所示的空間

直角坐標系.

設/尸=。，由/C=28C=4,得2(0,0,0),/(0,26,0),P(0,2區(qū)a),C(2,0,0).

因為尸是尸C的中點，所以尸［1,行,名，則方=0,一百,義，麗=（0,2君,0）.

2

又AFLPB,所以酢.麗=-6+q-=0,

2

解得°=26，故/尸=2百.

(2)由(1)可知，F(xiàn)Q,區(qū)5,則方=(1,-6,6),A8=(0,-2A/3,0),就=(2,-26,0).

設平面尸的法向量為碗=（看,必，4）,

%,-V3yi+J3Z]=0_l

則廠，令4=1,得冽=(—百,0,1).

-243%=0

設平面力尸C的法向量為〃=(X2，%/2),

X、_+^^^2=0

則令%=1,得3=(6,1,0).

2X2-2>j3y2=0

麗.五3

所以cos〈而㈤=麗=一"

故二面角8-4F-C的正弦值為V7

4

答案第12頁，共15頁

21.(l)a?=w,bn=2"

⑵電<20000

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式運算求解；

（2）根據(jù)題意分析可知幾=（%+%+…+%）+（4+24+…+10瓦），利用分組求和法結(jié)合

等差、等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法運算求解.

【詳解】（1）設數(shù)列｛%｝的公差為力

b=ab=\+dd=1

因為x2x,解得

b2=%2bl=l+3d仄=2

所以%=l+〃—l=〃，b“=2x21=2〃.

(2)因為1+2+3+…+a=M/+D,

2

當后=10時，處土D=55,

2

可知(6=(。1+。2■*--------)+31+2b2HF10Z)10),

口(1+11)x11“

H.Q]+“2+1-=-----------------------OO,

令卜也｝的前"項和為S",

貝1JS"=1x2+2x22+3x23+4x2,+…+〃x2",

pf^2S?=lx22+2x23+3x24+