2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年黑龍江省佳木斯市三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(m?2)+(A.1 B.?1 C.2 D.2.已知向量a=(k,3)，向量b=A.12 B.34 C.?12 3.已知a=(2,1)，b=(1A.?310 B.?110 C.4.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=π6，b=A.34 B.43 C.835.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測(cè)畫法畫出的圖形，

A.2 B.22 C.3 6.已知圓錐軸截面為正三角形，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的體積等于

(

)A.33π B.3π 7.在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上且BA.18 B.24 C.30 D.428.托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，BD=4A.163 B.16 C.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下面說法正確的是(

)A.多面體至少有四個(gè)面

B.棱柱所有的面都是平行四邊形

C.棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形

D.以等腰梯形的一條腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺(tái)10.設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.若z1=3+5i，z2=3?2i，則z1+z2=11.對(duì)于△ABC有如下命題，其中正確的是A.若sinA=sinB，則△ABC一定為等腰三角形

B.若sin2A+sin2B+cos三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.正三棱柱所有棱長(zhǎng)都為1，則其表面積為______．13.已知向量|a|=6，e為單位向量，當(dāng)向量a，e的夾角等于45o時(shí)，則向量a在向量e14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則它的外接球的表面積為______，體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1=3+4i，z2=?2i，i為虛數(shù)單位．

(1)求z1z2；16.(本小題15分)

已知：|a|=2，|b|=3，向量a與b的夾角為π3．

(1)求a?b；

17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中A為銳角，2asinB=3b.

(1)求A；

(2)設(shè)AD為BC邊上的中線，若b=3，c=1，請(qǐng)選擇以下思路之一求出A18.(本小題17分)

某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距12km的觀測(cè)站A和B，觀測(cè)人員分別在A，B處觀測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得∠BAC=30°，∠ABC=60°，經(jīng)過一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得∠BAD=75°，∠ABD=45°.(19.(本小題17分)

在△ABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且|AO|=2|OC|，設(shè)AB=a，AC=b．

(1)試用a，b表示AR；

(答案和解析1.【答案】C

【解析】解：z=(m?2)+(m+1)i，

2.【答案】B

【解析】解：由于向量a=(k,3)，向量b=(1,4)，若a/?/3.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，求得m的值．【解答】

解：∵已知a=(2,1)，b=(1,m)，c=(4.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=π6，b=2，sinB=34，

利用正弦定理：5.【答案】C

【解析】解：如圖，

作平面直角坐標(biāo)系x?O?y，使A與O重合，AD在z軸上，且AD=2，AB在y軸上，且AB=2，

過B作BC/?/6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了圓錐的體積計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意求出圓錐的母線、底面半徑和高，再計(jì)算圓錐的體積．【解答】

解：如圖所示，

圓錐的母線為l=2，底面半徑為r=1，

所以圓錐的高為h=l2?r7.【答案】C

【解析】解：如圖，

AE?AF=(AD+DE)?(8.【答案】C

【解析】解：設(shè)AD=DC=AC=a，由托勒密定理知，AB?a+a?BC=a?BD，

∴AB+BC=BD9.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，多面體至少有四個(gè)面，A正確；

對(duì)于B，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四邊形，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形，C正確；

對(duì)于D，以等腰梯形的對(duì)稱軸所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．

故選：AC．

根據(jù)題意，由多面體的定義分析A，由棱柱的定義分析B，由棱臺(tái)的定義分析C，由圓臺(tái)的定義分析D，綜合可得答案．

10.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A：由于z1，z2為復(fù)數(shù)，z1=3+5i，z2=3?2i，則z1+z2=6+3i，故A正確；

對(duì)于B：設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，故1z1=1a+bi=a?bia2?b2，由于1z11.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，sinA=sinB，由正弦定理可得a=b，所以三角形為等腰三角形，所以A正確；

對(duì)于B，因?yàn)閟in2A+sin2B+cos2C<1，

可得sin2A+sin2B<1?cos2C=sin2C，

由正弦定理可得a2+b2<c2，

所以cosC=a2+b2?c22ab<0，所以C為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，所以B正確；

對(duì)于C，因?yàn)閎=8，c=10，B=π3，

由正弦定理可得12.【答案】3+【解析】解：因?yàn)檎庵欣忾L(zhǎng)都為1，

所以其表面積為：S側(cè)面積+S底面積=13.【答案】3【解析】解：由定義可得向量a在向量e上的投影為a?e|e|=|a||e|cos45°14.【答案】12π

4【解析】解：正方體外接球半徑R=22+22+222=3，

所以外接球的表面積S=15.【答案】解：(1)z1=3+4i，z2=?2i，

則z1z2=(3+4i)(?【解析】(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．

16.【答案】解：(1)a?b=|a|?|b|?【解析】(1)由向量數(shù)量積的定義，求解即可；

(2)根據(jù)向量模長(zhǎng)的計(jì)算方法，即可得解；

17.【答案】解：(1)由正弦定理，得2sinAsinB=3sinB，

又sinB≠0，所以sinA=32，

又A為銳角，所以A=60°

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2?2【解析】(1)直接運(yùn)用正弦定理可得出sinA=32，再由A為銳角即可得出角A的大小；(2)首先運(yùn)用余弦定理可得a=18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABD中，∠BAD=75°，∠ABD=45°，所以∠ADB=60°，

由正弦定理：ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，得ADsin45°=ABsin【解析】本題考查了正余弦定理和三角形面積的計(jì)算問題，屬于中檔題．

(Ⅰ)由三角形內(nèi)角關(guān)系求出∠ADB=60°，利用正弦定理可得AD，計(jì)算19.【答案】解：(1)由P、R、C共線，則存在λ使PR=λPC，

∴AR?AP=λ(AC?AP)，整理得：AR=(1?λ)AP+λAC