陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試文

科數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

B=[yy=lg^L則Ac\B=(

1.設(shè)集合A=)

A.RB.(0,+oo)C.0

D.(-<x>,0)u(l,+oo)

【答案】C

【分析】分別求出A=(F,O)。。,-)，B=R,然后求出為8=0,從而可求解,

【詳解】由題意得:<1,解得x>l或無(wú)<0,所以A=

由y=lg，的值域?yàn)镽,所以3=R,即"8=0,

所以Ac\2=0,故C正確.

故選：C.

2.某高校對(duì)中文系新生進(jìn)行體測(cè)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650名

學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，001,002,649,650.從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第

4行到第6行，若從表中第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是

()

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.623B.328C.072D.457

【答案】A

【分析】按照隨機(jī)數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到650內(nèi)的數(shù)，重復(fù)的

只取一次即可

【詳解】從第5行第6列開(kāi)始向右讀取數(shù)據(jù)，

第一個(gè)數(shù)為253,第二個(gè)數(shù)是313,

第三個(gè)數(shù)是457,下一個(gè)數(shù)是860,不符合要求，

下一個(gè)數(shù)是736,不符合要求，下一個(gè)是253,重復(fù)，

第四個(gè)是007,第五個(gè)是328,第六個(gè)數(shù)是623,,故A正確.

故選：A.

3.“/+_/41，，是“@-1）2+〉244”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系、充分和必要條件的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】

因?yàn)閳Ax?+y2=1內(nèi)切于圓（x-ff+,2=4,

所以“d+,2<1,,是"@_1）2+y2V4”的充分不必要條件.

故選：A

4--嬴藥—等于（）

A.1B.變C.B

222

【答案】C

【分析】

利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.

cos550+sin25°sin30°

【詳解】

cos25°

cos（25°+30°）+sin25°sin30°

cos25°

cos25。cos30?！猻in25。sin30。+sin250sin30。

cos25°

COS25℃OS3Q0=COS30O=^

cos2502

故選：c

5.在,ABC中，點(diǎn)。是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段RD上一點(diǎn)，且CZ）=D4,

9

AP=^AB+AAC,則2=（）

【答案】A

【分析】

試卷第2頁(yè)，共21頁(yè)

2

依題意可得AC=2AZ>，即可得至（JAP=：A3+22A。，再根據(jù)平面向量共線定理的推論

2

得到1+22=1,解得即可.

【詳解】因?yàn)镃￡）=D4，所以A￡>=gAC,即AC=2AO,

2.?

XAP=-AB+2AC,所以AP=§A3+22AO,

因?yàn)辄c(diǎn)尸是線段50上一點(diǎn)，即8、P、。三點(diǎn)共線，

21

所以+24=1,解得4=：.

36

故選：A

6.已知圓。：（％-2）2+（y—l）2=2,直線——，若圓。上任意一點(diǎn)關(guān)于直線/

的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓。上，則點(diǎn)（。力）必在（）

A.一個(gè)離心率為也的橢圓上B.一個(gè)離心率為2的雙曲線上

2

C.一個(gè)離心率為也的橢圓上D.一個(gè)離心率為6的雙曲線上

2

【答案】B

【分析】

首先求出圓C的圓心坐標(biāo)，依題意可得直線/過(guò)圓C的圓心C（2,l）,從而得到

2a2-b2=l,即可得到點(diǎn)（。力）所滿足的曲線方程，再求出離心率.

【詳解】圓C:（x-2y+（y-l）2=2的圓心為C（2,l）,

依題意可知直線/過(guò)圓C的圓心c（2,l）,則2/-〃=1,

匕2-1

所以點(diǎn)（。㈤必在雙曲線2爐_了2=1即17-I上，且該雙曲線的離心率

故選：D.

7.一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積與體積之和為（）

心二

主視圖左視圖

俯視圖

A.當(dāng)B.匕C,4兀D,24+8汽

333

【答案】A

【分析】由三視圖畫(huà)出直觀圖，然后求出外接球半徑1,從而可求解.

【詳解】由題意得四面體的直觀圖如圖所示，側(cè)面&4CL底面ABC,

且&4=SC=AB=BC=應(yīng)，AC=2,

故四面體的外接球球心即為AC的中點(diǎn)0,

44

所以外接球的半徑為1，外接球的體積為V=§71X13=5*

外接球的表面積為S=4兀xF=4兀，

416

所以S+V=4無(wú)+—兀=一無(wú)，故A正確.

33

故選：A.

8.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《脅子算

經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二,

五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被3除余2且被5

除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

為S.，則坐竺的最小值為（）

n

試卷第4頁(yè)，共21頁(yè)

A.60B.61C.75D.76

【答案】B

【分析】

先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公

倍數(shù)”得s“，再由基本不等式求得2S"+60的最小值.

n

【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首

項(xiàng)為8,公差為15的等差數(shù)列也｝,

3X15="〃2+4,

所以邑=8"+

222

/+；力+60

???2S/+60

=15n+—+1>2J15M—+1=61)

nnnn

當(dāng)且僅當(dāng)15〃=的,即〃=2時(shí)取等號(hào),

n

當(dāng)〃=2時(shí)2S」60取最小值為61.

n

故選：B.

9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：丫2=2/(°>0)的焦點(diǎn)為尸，M是拋物線C

上的點(diǎn)，若△<?根的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為9兀，貝UsinNOMF=

()

A.-B.叵2后

D.

333

【答案】D

【分析】

先由△ORW的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，得到圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑，再由

題意，列出方程求解得p的值，然后利用正弦定理可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)椤?根的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以的外接圓的圓心到

準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，因?yàn)閳A面積為9兀，所以圓的半徑為、怪=3,

V71

又因?yàn)閳A心在。尸的垂直平分線上，所以圓心的橫坐標(biāo)為?，

4

則圓心到準(zhǔn)線的距離為4+4=3,解得。=4,

24

在△西/中，由正弦定理得一也一二2R,其中r是40河欣外接圓半徑,

sinZOMF

2所以

即=6,sin/OMF=g,

sinZOMF

故選：D

止八堂招6則異面直線用與年所成角的正弦值為（）

c.一更D

3B-T3-f

【答案】B

【分析】先補(bǔ)形，再作出異面直線A月與4c所成角的平面角，然后結(jié)合余弦定理即可

求解.

【詳解】將直三棱柱ABC-A與G補(bǔ)形為如圖所示的正四棱柱:

連接BQ、AD,則與?！ˋC,

則異面直線A片與AC所成角的平面角為ND耳A（或其補(bǔ)角）,

試卷第6頁(yè)，共21頁(yè)

2

22

又DB]=B[A=\片+=V3，AD-A/1+1=A/2，

由余弦定理可得：cosW的+(⑹一(司二,

N—LyUy-Z1—1—r——

2xV3x^3

故選：B.

11.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)〃x),滿足/''("/<(),且/(x)+〃r)=0.若

=則滿足目的X的取值范圍是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,2]D.[-1,2]

【答案】C

【分析】由尸(?e，<0,可得函數(shù)/(X)在R上是減函數(shù)，由/(x)+/(-x)=0,可得

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】因?yàn)槭?%>e工<0?>0,所以/(“<0,

所以函數(shù)/(x)在R上是減函數(shù)，

又因?yàn)?(x)+/(f)=0,所以〃x)=-/(r)，

所以函數(shù)”X)為奇函數(shù)，

因?yàn)椤?)=T，所以/(—1)=1,

由|〃苫—1)歸1,即/(l)W/(x—l)V/(-l),

所以一14%—1<1,解得0WxW2,

所以滿足|/"-1)歸1的x的取值范圍是[0,2].

故選：C.

12.已知函數(shù)〃x)=2sinx+sin2x,關(guān)于/⑴有下面說(shuō)法：①函數(shù)的最小正周期

為2兀.②函數(shù)/(%)在單調(diào)遞減.③函數(shù)“X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱.④函數(shù)

/⑴的最小值是-孚.則正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)周期性定義推理易得①項(xiàng)錯(cuò)誤；通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)r(x)

jrjr

在-丁，丁的符號(hào)易判斷②項(xiàng)；通過(guò)函數(shù)奇偶性定義易判斷③項(xiàng)；對(duì)于④項(xiàng)，由函數(shù)的

最小正周期2無(wú)，在一個(gè)周期上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，

得到一個(gè)周期上的最值，從而得解.

【詳解】對(duì)于①項(xiàng)，由題意/(x)=2sinx+sin2x,由y=2sin元的最小正周期為2兀，

y=sin2x的最小正周期為兀，

且/(%+2兀)=2sin(x+2TI)+sin(2x+4TI)=2sinx+sin2x=f(x),故2兀是函數(shù)/(無(wú))的最

小正周期，故①項(xiàng)正確；

對(duì)于②項(xiàng)，由/(x)=2sinx+sin2x

可得：(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=2(cosx+l)(2cosx-l),

當(dāng)xe時(shí)，［wcosxWl,故此時(shí)/'(x)=2(cosx+l)(2cosx—1)20,

即函數(shù)/")單調(diào)遞增，故②項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于③項(xiàng)，因函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x定義域?yàn)镽,且

/(2兀一1)=2sin(2兀一x)+sin(4兀-2%)=-2sinx—sin2x=-f(x),

所以〃2兀-力+〃力=。故函數(shù)〃尤)關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱，故③項(xiàng)正確；

對(duì)于④項(xiàng)，由①知函數(shù)/(幻的最小正周期為2兀，

故只需考慮犬￡［。，2兀］時(shí)函數(shù)的性質(zhì).

由/'(%)=2(cosx+1)(2cos%-1)=0可得：cosx=-1,或cosx=~-

因工￡［0,2兀］,則cosx+120,

故當(dāng)時(shí)，!<cosx<l,則尸(x)>0,/*)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，TWcosxvg,貝"(x)40,/(X)在、,g1單調(diào)遞減；

當(dāng)g<x<2無(wú)時(shí)，g<cosx<l,貝i］/'(x)>0,/(x)在(g,2兀］單調(diào)遞增；

而“0)=0,f^=2sin^+sin^=-^,

即無(wú)以0,2兀］時(shí)，f(x\.=-^H,故當(dāng)xwR時(shí)，有/(x),=一班,故④項(xiàng)正確.

綜上所述：①③④正確，②錯(cuò)誤，故C正確.

故選：C.

試卷第8頁(yè)，共21頁(yè)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參

函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是

函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理；

（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解

題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；

（3）證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.

許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

二、填空題

8x-y-4<0

13.若羽y滿足約束條件%+>+420,則目標(biāo)函數(shù)Z=x-2y的最小值為.

y-2<0

【答案】-10

【分析】

畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線后可求目標(biāo)函數(shù)z=X-2y的最小值.

【詳解】

不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示，初始直線為：尤-2y=0,

將初始直線平移至A,z=x-2y取最小值,

x+y+4=0[x=-6

由、可得彳、，故A（-6,2）,

>=2[y=2

所以2血11=-6-2*2=-10,

故答案為：-10.

14.已知z=x+yi,x,ywR,i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)三+i是實(shí)數(shù).則忖的最小值為.

【答案】V2

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)三+i,依題意可得“+：+2=0,即

1-12

y=-2,再計(jì)算忖，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.

.x+yi.(x+yi)(l+i)

【詳解】因?yàn)槭?1=-+1=

1-i0T(l+i)

_x-y+(x+y)i._x-yx+y+2.

222

又復(fù)數(shù)三+i是實(shí)數(shù)，所以x+f+2=0,即y=-x—2,

l-i2

所以閆=yjx2+y2=^x1+(-x-2)2=+4x+4=,2(尤+1)~+2，

所以當(dāng)x=-l,y=T時(shí)回扁=3.

故答案為：V2

15.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了A商品最近40天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列{4},已知

q=10,Man+1-a?=1+（-1）"（?eN*）,則A商品這40天的總銷量為.

【答案】1160

【分析】

根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得〃+「=2且⑥=電1，據(jù)此可求A商品這40天的總銷

量.

【詳解】當(dāng)〃=2左（左￡N*）時(shí)，的左+1-。2k=2,

當(dāng)〃二2左一1（左EN*）時(shí)，a2k-a2k_x=0,

故。2左+1一。2"1=2且。2左=。2"1，故%I=10+("l)x2=24+8,

故前40天的總銷量為：

(20x19、

Q]+%++4()=2(〃]+/+，+。39)=2120x10H--——x2I=1160.

故答案為：1160.

16.若不等式％+aNhu-2恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】［—3,+。）

試卷第10頁(yè)，共21頁(yè)

【分析】

函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題與隱零點(diǎn)問(wèn)題構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-2re，+x,求導(dǎo)后再次構(gòu)造

函數(shù)g(x)=l-xe"求導(dǎo)分析g(x)的單調(diào)性，找到隱零點(diǎn)％,并得到e』=」，然后再

玉)

分析〃尤)的單調(diào)性，找到最大值〃小)，最后再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出函數(shù)“X)的最大

值即可.

【詳解】不等式移項(xiàng)可得a21nx-2-xe，+x,

設(shè)/(x)=lnx—2—xe*+x,x>0,則/'(x)=—(e*+xex)+1+—=(x+l)f-->0,

設(shè)g(x)=l-祀:%>0,貝I］g'(x)=-(e*+xe")<0恒成立，

所以函數(shù)g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，

因?yàn)間(0)=l-0=l，g(l)=l-e<0,

所以上0G(0,1),使得g(x0)=o=>l-/e*=0=>ea=',①

xo

所以g(元)在(O,x(>)上單調(diào)遞增，在國(guó),+<?)上單調(diào)遞減，最大值為g(x)1mx=g(x(1),

所以當(dāng)。<尤<x°時(shí)，f<^x)>0,在(0,x°)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>x。時(shí)，r(x)<0,〃尤)在說(shuō),也)上單調(diào)遞減；

/aLx=/(X。)=r)e*+尤0+InX。-2,代入①可得

f(X)max=F；+Xo+ln/-2=-3,

Aoc

所以。2-3,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-3,+e),

故答案為：［-3,+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

(1)證明帶參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)可采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析

函數(shù)的最值情況，如一次構(gòu)造不容易看出單調(diào)性可二次構(gòu)造再求導(dǎo)；

(2)對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，可求導(dǎo)后分析特殊值找到隱零點(diǎn)的大概區(qū)間，再以隱零點(diǎn)為邊

界分析函數(shù)的單調(diào)性.

三、解答題

17.我國(guó)老齡化時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，老齡人口比例越來(lái)越大，出現(xiàn)很多社會(huì)問(wèn)題.2015年

10月，中國(guó)共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會(huì)第五次全體會(huì)議公報(bào)指出：堅(jiān)持計(jì)劃生育基本

國(guó)策，積極開(kāi)展應(yīng)對(duì)人口老齡化行動(dòng)，實(shí)施全面二孩政策.隨著國(guó)家二孩政策的全面放

開(kāi)，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從不

同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.

非一線一線總計(jì)

愿生40y60

不愿生X2240

總計(jì)5842100

⑴求尤和y的值.

(2)分析調(diào)查數(shù)據(jù)，是否有95%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”？

(3)在以上二孩生育意愿中按分層抽樣的方法，抽取6名育齡婦女，再選取兩名參加育兒

知識(shí)講座，求至少有一名來(lái)自一線城市的概率.

2

金.八小.,2n(ad-bc)

參考公式：Z=7...---------~—，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(Z2叫0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(l)x=18,y=20

(2)有95%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)

【分析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)分析得到答案;

(2)計(jì)算出卡方，與3.841比較后得到結(jié)論;

(3)利用列舉法求出古典概型的概率.

【詳解】(1)由題意得x=58-4O=18,y=42-22=20；

⑵……M消…)，得/=『"’433.841,

.?.有95%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”.

20

(3)抽取6名育齡婦女,來(lái)自一線城市的人數(shù)為6、而兩=2,記為1,2,

40

來(lái)自非一線城市的人數(shù)為6X3=4,記為由b,c

試卷第12頁(yè)，共21頁(yè)

選設(shè)事件A為“取兩名參加育兒知識(shí)講座，求至少有一名來(lái)自一線城市”，

基本事件為：(1,2),(1,基(1,*),(1,c),(1,d),(2,a),(2,圾(2,基(2,d),(a,b),(a,c),

(a,d),(Z?,c),(6,d),(c,d),

事件A(1,2),(1M),(11),(1,0),(1/),(2,。),(2,力(2,0),(2,4)共有9個(gè)，

尸⑷=9話3=潸//⑷一=1F6二3)、

18.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)?>sinA=4(2+cos3).

(1)求&

(2)若ASC的面積等于百，求uABC的周長(zhǎng)的最小值.

2兀

【答案】(1)3=三

(2)4+2君

【分析】

(1)利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)即可得解；

(2)由題意可得ac=4,再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.

【詳解】(1)

解：因?yàn)閂^bsinA=a(2+cos3),

所以A/3sinBsinA=sinA(2+cosB),

因?yàn)閟inA>0,

所以A/3sinB-cosB=2,

所以2sin18|=2,

VBe(0,TI),所以

6I66J

所以8-2=3，.??BnW；

623

(2)

解：依題意?=括，...ac=4,

4

所以a+cN2?Z=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)，

又由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=a2+c2+ac>3ac=12，

b>2^/3,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào),

所以AfiC的周長(zhǎng)最小值為4+24.

19.如圖，四邊形ABCD是圓柱0E的軸截面，點(diǎn)尸在底面圓。上，圓。的半徑為1,

AF=JL點(diǎn)G是線段所的中點(diǎn).

⑴證明：EG//平面ZMF；

（2）若直線。尸與圓柱底面所成角為45。,求點(diǎn)G到平面DEF的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵姮

10

【分析】（1）取AF中點(diǎn)為通過(guò)證明〃任G,得證EG//平面ZM廣;

（2）以歹為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】（1）證明：取AF中點(diǎn)連接。M,GM,如圖所示：

G為所中點(diǎn)，則GN〃AB,又ABIIDE,得GMHDE,

由DE=-AB,得GM=DE,

22

所以四邊形DEGM為平行四邊形，DM//EG,

又DWu平面ZMR,EGO平面D4/，所以EG//平面ZM7L

（2）因?yàn)?8=1,AF=6，ZAFB=9Q,所以BF=IAB。-AF。=J4—3=L

因?yàn)閆M_L平面AB尸，且直線DF與圓柱底面所成角為45,

所以/AFD=45,則有AO=VL

如圖，以尸為原點(diǎn)，尸民網(wǎng)分別為軸，過(guò)歹垂直于底面的直線7W為z軸，建立空

試卷第14頁(yè)，共21頁(yè)

間直角坐標(biāo)系尸-孫Z,

則有*0,0,0）,4（0,忘0）,8（1,0,0）1；,0,0：可0,血@?（1,0,否），E與6

FD=（O,瓜⑹,FE=；，冬也,

FD-n=6y+\/3z=0

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）

FE?"=；%+y+>/3z=0

令y=i,有x=g,z=-i,得加=（右」,一1）,

EG=（O,--,-＞5],

I2J

設(shè)點(diǎn)G到平面DEF的距離為d,

"--+\/3[77

EGn7yJl5

?dT=---=—^-==--=——

,\n\7510?

故點(diǎn)G到平面DEF的距離—.

10

22

20.已知橢圓C:宏+9=1（。＞匕＞0）的短軸長(zhǎng)等于焦距，且過(guò)點(diǎn)（2,1）

⑴求橢圓C的方程；

⑵產(chǎn)為直線y=26上一動(dòng)點(diǎn)，記橢圓C的上下頂點(diǎn)為AB,直線以,尸3分別交橢圓C

3

于點(diǎn)M,N,當(dāng)尸MN與,的面積之比為了時(shí)，求直線肱V的斜率.

4

【答案】（1）[+4=1

OJ

⑵0

【分析】

（1）由橢圓的性質(zhì)和點(diǎn)在橢圓上再結(jié)合已知條件列方程組求出即可;

設(shè)出P9,2⑹,(/WO),四(玉,%),"(%,%)，由直線尸AM方程和曲線方程聯(lián)立，分別

(2)解出M,N點(diǎn)坐標(biāo)，再由三角形面積公式S=；MsinC和弦長(zhǎng)公式以及面積比得到

f值，最后由斜率公式得到直線MN的斜率.

a2-b2=c2

【詳解】(1)由題意可得＜26=2C，解得"力=。=百，

41,

—r+—7=1

[ab

所以橢圓的方程為]+4=1.

o3

設(shè)尸,,2@,(//0),〃(%,%)—(無(wú)2，%)，

則直線PA的方程的方程為y=*x+0,

y旦+6

t

聯(lián)立＜消去y可得+6卜:+12tx=0,

A=(12r)2>0,

’-⑵舟-6疔

解得當(dāng)=黑，代入直線方程可得y=,故M

、產(chǎn)+6'7+6-,

3G

y=---x-yjR3

直線尸8的方程為,=平一石，由,,21，消去y可得(r+54卜2-36田=0,

---F-^―=1

[63

△=(36"2>o,

試卷第16頁(yè)，共21頁(yè)

解得三"=韋羋’故N36/-舟+54疔

1+54'-F+54-,

S-\PM\-\PN\sinZMPN

設(shè)、PMN與JAB的面積分別為S.,S2,則芳=3------------------

力^\PA\-\PB\sinZAPB

因?yàn)閆MPN=ZAPB,且RAM三點(diǎn)共線，尸,3,N三點(diǎn)共線，結(jié)合距離公式化簡(jiǎn)可得

(12/Y36t12

H_"力,-x?|_]+產(chǎn)+54：_02+18『

一|PA|.|PB|一~]t\\t^~一?~(f2+6)(?2+54)

(?+18)2

=(,化簡(jiǎn)解得(產(chǎn)-嘮

由=0n『=18m=±3^2

+6)(/+54)

當(dāng)f=30時(shí)，M-乎，孝,N?，#，MN的斜率為3M3；歷=°，

~T+~T

V35/3

當(dāng)"-3拒時(shí)，〃津，斗，N-華，個(gè)，MN的斜率為有：6=0，

I’z)I2ZJ37Z、372

fr

綜上，直線的斜率0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線的面積問(wèn)題時(shí)，可用三角形面積公式S=；absinC表

達(dá)出面積，再用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，最后由面積比求出相應(yīng)的參數(shù)值.

21.已知函數(shù)/(%)=Qlnx+'—x+處〃,加￡R).

⑴討論了(%)的單調(diào)性;

⑵若〃尤)存在兩個(gè)極值點(diǎn)玉，巧，證明：

玉-x2

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)廣(m=一人：廣-1,設(shè)g(x)=—d+辦-1,在定義域(0,+e)內(nèi)

分類討論解含參不等式即可求出；

(2)結(jié)合(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明嶼二必<1,根據(jù)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為考慮

X]一%2

/z(x)=21nx-x+—(0<x<l)的單調(diào)性，證出/z(x)〉。即可.

【詳解】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(⑺,-二-1=旦嗅，

XXX

設(shè)8(%)=-犬+依一1,注意到g(0)=-l,

①當(dāng)時(shí)，g(x)<0恒成立，即/'(x)<0恒成立，此時(shí)函數(shù)在(0,+8)上是減函

數(shù)；

②當(dāng)。>0時(shí)，判別式△=/一4,

⑴當(dāng)0<<?2時(shí),A<0,即g(x)V0,即r(x)=0恒成立，此時(shí)函數(shù)“X)在(。,+s)

上是減函數(shù)；

(ii)當(dāng)a>2時(shí)，令r(x)>0,得："手工尤+

令/'(x)<0,得：o<x<匕，三或x>"尹L

所以當(dāng)a>2時(shí)，/⑺在區(qū)間］銬三,空當(dāng)三］單調(diào)遞增，在卜。-歹',

a+-4,+.單調(diào)遞減；

\7

綜上所述，當(dāng)aW2時(shí)，〃可在(0,內(nèi))上是減函數(shù)，

當(dāng)。>2時(shí)，在0,佇4^),竺耳上是減函數(shù)，

在區(qū)間「一r，”+歹］上是增函數(shù).

I7

(2)由(1)知。>2,0<%1<1<x2,玉%2=1，

貝U/(%)一/(%)="In玉H---石一aInx?-----Fx?

、石x2

(1)

H

=(%—%)1----+(2(lnx1-lnx2)

=2(w—玉)+〃(山石一In%)，

則"%)-"毛)=_2+“°n%lnj),則問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明山為T(mén)n><i即可，

X1—X2Xl—X2玉一%2

［i11

即證明In玉一Inx>x,—x,貝IjInx—In—>x,

22Y%x石

11

即Inx+lnX］>%--即證21n再>占在(0,1)上恒成立，

試卷第18頁(yè)，共21頁(yè)

^Tz(x)=21nx-x+—,0<x<l,其中"(1)=。，

求導(dǎo)得〃(x)=2—1—e=—f—：x+l=—(^￡<0,

xxxx

則MM在(o,i)上單調(diào)遞減，

所以即21nx-x+—>0,

故21nx>」，則"%)一〃尤2)<q_2成立.

X玉一%2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參

函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是

函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理；

(2)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，