2024年遼寧省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（模擬2）數(shù)學(xué)試題

按秘密級(jí)事項(xiàng)管理2024年遼寧省普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試【模擬2】數(shù)學(xué)命題：丹東宋潤(rùn)生鐵嶺謝建武注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，則z的虛部為（）A．1 B． C． D．i2．雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為6，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．33．設(shè)，則“”是的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知點(diǎn)M，N在圓上，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q為MN中點(diǎn)，若，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．35．某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測(cè)的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測(cè)的誤診率（未患病者判定為陽(yáng)性的概率）為，則某人檢測(cè)成陽(yáng)性的概率約為（）A． B． C． D．6．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．5 D．1257．圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球O表面與該圓錐側(cè)面交線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．已知a，，若，，則b的可能值為（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d，由這數(shù)據(jù)由方程得到新數(shù)據(jù)，，，…，，則所得新數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù)是2a B．中位數(shù)是 C．方差是4c D．極差是10．函數(shù)（，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圖像上距離y軸最近的最高點(diǎn)為，距離y軸最近的最低點(diǎn)為N，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C．可取 D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在C的準(zhǔn)線上，那么（）A．若PA與C相切，則PB也與C相切B．C．若點(diǎn)P在x軸上，則為定值D．若點(diǎn)P在x軸上，且滿足，則直線l的斜率絕對(duì)值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如果兩個(gè)平面垂直，那么____________________垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直．13．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若，，則__________．14．在中，若，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：為單調(diào)遞增函數(shù)．16．（15分）某學(xué)校組織游戲活動(dòng)，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個(gè)球，每次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎(jiǎng)勵(lì)；若不同，則得分多者獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．17．（15分）如圖，已知菱形ABCD和菱形ADEF的邊長(zhǎng)均為2，，，M，N分別為AE、BD上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）證明：平面EDC；（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，求AF與平面MND所成面角的正弦值．18．（17分）柯西不等式在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的n元形式為：設(shè)，，不全為0，不全為0，則，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)k，使得時(shí)，等號(hào)成立．（1）請(qǐng)你寫(xiě)出柯西不等式的二元形式；（2）設(shè)P是棱長(zhǎng)為的正四面體ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到四個(gè)面的距離分別為，，，，求的最小值；（3）已知無(wú)窮正數(shù)數(shù)列滿足：①存在，使得；②對(duì)任意正整數(shù)i、，均有．求證：對(duì)任意，，恒有．19．（17分）動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）設(shè)A，B為的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線與直線相交于點(diǎn)N，直線BM與BN的斜率之積為．記和的面積分別為，，求的最大值．?dāng)?shù)學(xué)【模擬2】試題評(píng)分參考一、選擇題1．答案：A解：，，則z的虛部為1．2．答案：D解：根據(jù)三角形相似可得C的離心率為．3．答案：C解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以是奇函?shù)．因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞增．因此．4．答案：A解：圓的圓心為，半徑為2，由垂徑定理，故點(diǎn)P在以為圓心，1為半徑的圓上．點(diǎn)C到直線的距離，于是的最小值為．5．答案：D解：由題意，未患病者判定為陽(yáng)性的概率為，患病者判定為陽(yáng)性的概率為，某人檢測(cè)成陽(yáng)性包含兩種情況：①非患者檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為；②患者檢測(cè)為陽(yáng)性的概率為，所以某人檢測(cè)成陽(yáng)性的概率為．6．答案：B解法1：是5個(gè)之積，展開(kāi)后得到有兩種可能：1個(gè)取，4個(gè)取，得到含有的項(xiàng)為．2個(gè)取，2個(gè)取，1個(gè)取，得到含有的項(xiàng)為．因此含項(xiàng)的系數(shù)為．解法2：，二項(xiàng)展開(kāi)得．二項(xiàng)展開(kāi)得．由得，或因此含項(xiàng)的系數(shù)為．7．答案：D解：作圓錐的軸截面PAB，設(shè)軸截面PAB與球O交點(diǎn)為，，為中點(diǎn)，則，，，交線長(zhǎng)為．8．答案：B解：由得，設(shè)，則．，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以．二、選擇題9．答案BC解：，，…的平均數(shù)是，中位數(shù)是，方差是4c，極差是2d．10．答案：AC解：，選項(xiàng)A正確．不妨取得可取，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．因?yàn)椋?，所以，故，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．11．答案：ABD解法1：常規(guī)解法設(shè)，代入可得，設(shè)，，則，．由可得，若PA與C相切，則，代入得，可得，也與C相切，選項(xiàng)A正確．圖（1），設(shè)，則，所以，選項(xiàng)B正確．圖（2），當(dāng)時(shí)，不是定值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．若點(diǎn)P在x軸上，且滿足，由與面積關(guān)系得，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，圖（3），A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為，，于M，根據(jù)拋物線定義可得，選項(xiàng)D正確．解法2：小題解法，需要記準(zhǔn)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)因?yàn)檫^(guò)拋物線焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可知A正確．因?yàn)橐話佄锞€焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以，選項(xiàng)B正確．設(shè)，代入可得，設(shè)，，則，．若點(diǎn)P在x軸上，設(shè)，則不是定值，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．因?yàn)?，由與面積關(guān)系得，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則，可得，從而，選項(xiàng)D正確．【拋物線焦點(diǎn)弦結(jié)論很重要，結(jié)論的證明方法更為重要！】已知AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F弦，，，那么；；．設(shè)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，那么（1）；（2）；（3）．進(jìn)一步還有：（4）以AF為直徑的圓與y相切．（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．（6）AM與交點(diǎn)在y軸上．（7）．（8）與交于原點(diǎn)．（9），，，．（10）過(guò)A，B分別作拋物線的切線，設(shè)M是兩切線交點(diǎn)，那么：①兩切線相互垂直；②點(diǎn)M一定在拋物線的準(zhǔn)線上．三、填空題12．答案：一個(gè)平面內(nèi)解：如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直．13．答案：解：設(shè)數(shù)列公比為q，由知，可得，解得．由得，所以．14．答案：解：．由余弦定理得．由正弦定理得，從而．所以．四、解答題15．解法1：（1）．……2分當(dāng)時(shí)，，．故曲線在處的切線方程為．……5分（2）定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．……7分設(shè)，則在單調(diào)遞增．……9分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，從而．……11分當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，．于是當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)．……13分解法2：（1）同解法1．（2）定義域?yàn)?，．…?分設(shè)，則為單調(diào)遞增函數(shù)等價(jià)于且沒(méi)有連續(xù)的x值使．……9分，設(shè)，則在單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以，……11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．于是當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)．……13分16．解：（1）X所有可能取值為2，3，4，且……2分，，．……4分故X的分布列為X234PX的數(shù)學(xué)期望．……6分（2）記事件為“甲最終得分為i分”，事件B為“乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)”．由題意知，若乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)i的可能取值為8，9，且，．……8分當(dāng)甲最終得8分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分或9分，則．……10分當(dāng)甲最終得9分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分，則……12分因?yàn)?，所以乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．……15分17．解：（1）延長(zhǎng)AN交直線DC于點(diǎn)G，連結(jié)EG，因?yàn)?，所以，又，所以，所以．…?分因?yàn)槠矫鍱DC，平面EDC，所以平面EDC．……6分（2）取AD的中點(diǎn)O，連接BO，F(xiàn)O，由題意為等邊三角形，所以．同理．……7分以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)得，，．因?yàn)椋云矫鍮OF，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD．因?yàn)椋?，．設(shè)，則，，所以．從而，當(dāng)時(shí)，MN取最小值，此時(shí)．……11分設(shè)為平面MND的法向量，則即可取．……13分因?yàn)?，所以AF與平面MND所成面角的正弦值為．……15分18．解：（1）柯西不等式的二元形式為：設(shè)，，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．……4分（2）正四面體ABCD的體積等于為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，即．所以，因此．由柯西不等式得．從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此的最小值為．……11分（3）對(duì)，記，，…，是1，2，…，n的一個(gè)排列，且滿足．由條件②得：，于是，對(duì)任意的，都有．……13分由柯西不等式得．所以．從而，當(dāng)時(shí)，，故．……17分19．解：（1）設(shè)，由題意，化簡(jiǎn)得線的軌跡方程為．……6分（2），，設(shè)，則，所以直線AM與BM的斜率之積為．……8分因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．……10分因?yàn)?，設(shè)，由得，．由對(duì)稱(chēng)性知MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，因?yàn)椋?，得，所以MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．……13分所以．設(shè)，因?yàn)?，所以．設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．因此，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，取等號(hào)時(shí)，，．于是當(dāng)，時(shí)，取最大值．……17分解法2：（1）同解法1．（2），，設(shè)，則，所以直線AM與BM的斜率之積為．……8分因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．……10分因?yàn)?，設(shè)，由得，．由，知，故點(diǎn)N在上．由對(duì)稱(chēng)性知MN經(jīng)過(guò)x軸上的