2024年遼寧省普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（模擬2）數(shù)學(xué)試題

按秘密級事項管理2024年遼寧省普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試【模擬2】數(shù)學(xué)命題：丹東宋潤生鐵嶺謝建武注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，則z的虛部為（）A．1 B． C． D．i2．雙曲線C的頂點到漸近線的距離為2，焦點到漸近線的距離為6，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．33．設(shè)，則“”是的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知點M，N在圓上，點P在直線上，點Q為MN中點，若，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．35．某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（）A． B． C． D．6．展開式中含項的系數(shù)為（）A． B． C．5 D．1257．圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球O表面與該圓錐側(cè)面交線長為（）A． B． C． D．8．已知a，，若，，則b的可能值為（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d，由這數(shù)據(jù)由方程得到新數(shù)據(jù)，，，…，，則所得新數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù)是2a B．中位數(shù)是 C．方差是4c D．極差是10．函數(shù)（，）經(jīng)過點，圖像上距離y軸最近的最高點為，距離y軸最近的最低點為N，若O為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C．可取 D．11．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點P在C的準(zhǔn)線上，那么（）A．若PA與C相切，則PB也與C相切B．C．若點P在x軸上，則為定值D．若點P在x軸上，且滿足，則直線l的斜率絕對值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如果兩個平面垂直，那么____________________垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直．13．記為等比數(shù)列的前n項的和，若，，則__________．14．在中，若，則__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：為單調(diào)遞增函數(shù)．16．（15分）某學(xué)校組織游戲活動，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個球，每次摸球結(jié)果相互獨立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎勵；若不同，則得分多者獲得獎勵．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎勵的概率．17．（15分）如圖，已知菱形ABCD和菱形ADEF的邊長均為2，，，M，N分別為AE、BD上的動點，且．（1）證明：平面EDC；（2）當(dāng)MN的長度最小時，求AF與平面MND所成面角的正弦值．18．（17分）柯西不等式在數(shù)學(xué)的眾多分支中有精彩應(yīng)用，柯西不等式的n元形式為：設(shè)，，不全為0，不全為0，則，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個數(shù)k，使得時，等號成立．（1）請你寫出柯西不等式的二元形式；（2）設(shè)P是棱長為的正四面體ABCD內(nèi)的任意一點，點P到四個面的距離分別為，，，，求的最小值；（3）已知無窮正數(shù)數(shù)列滿足：①存在，使得；②對任意正整數(shù)i、，均有．求證：對任意，，恒有．19．（17分）動點M到定點的距離與它到直線的距離之比為，記點M的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）設(shè)A，B為的左右頂點，點M關(guān)于x軸的對稱點為，經(jīng)過點M的直線與直線相交于點N，直線BM與BN的斜率之積為．記和的面積分別為，，求的最大值．?dāng)?shù)學(xué)【模擬2】試題評分參考一、選擇題1．答案：A解：，，則z的虛部為1．2．答案：D解：根據(jù)三角形相似可得C的離心率為．3．答案：C解：當(dāng)時，因為，所以是奇函數(shù)．因為，所以函數(shù)單調(diào)遞增．因此．4．答案：A解：圓的圓心為，半徑為2，由垂徑定理，故點P在以為圓心，1為半徑的圓上．點C到直線的距離，于是的最小值為．5．答案：D解：由題意，未患病者判定為陽性的概率為，患病者判定為陽性的概率為，某人檢測成陽性包含兩種情況：①非患者檢測為陽性的概率為；②患者檢測為陽性的概率為，所以某人檢測成陽性的概率為．6．答案：B解法1：是5個之積，展開后得到有兩種可能：1個取，4個取，得到含有的項為．2個取，2個取，1個取，得到含有的項為．因此含項的系數(shù)為．解法2：，二項展開得．二項展開得．由得，或因此含項的系數(shù)為．7．答案：D解：作圓錐的軸截面PAB，設(shè)軸截面PAB與球O交點為，，為中點，則，，，交線長為．8．答案：B解：由得，設(shè)，則．，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減．因為，所以．二、選擇題9．答案BC解：，，…的平均數(shù)是，中位數(shù)是，方差是4c，極差是2d．10．答案：AC解：，選項A正確．不妨取得可取，選項B錯誤，選項C正確．因為，，所以，故，選項D錯誤．11．答案：ABD解法1：常規(guī)解法設(shè)，代入可得，設(shè)，，則，．由可得，若PA與C相切，則，代入得，可得，也與C相切，選項A正確．圖（1），設(shè)，則，所以，選項B正確．圖（2），當(dāng)時，不是定值，選項C錯誤．若點P在x軸上，且滿足，由與面積關(guān)系得，不妨設(shè)點A在第一象限，圖（3），A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為，，于M，根據(jù)拋物線定義可得，選項D正確．解法2：小題解法，需要記準(zhǔn)拋物線焦點弦性質(zhì)因為過拋物線焦點弦端點的兩條切線的交點在準(zhǔn)線上，可知A正確．因為以拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以，選項B正確．設(shè)，代入可得，設(shè)，，則，．若點P在x軸上，設(shè)，則不是定值，選項C錯誤．因為，由與面積關(guān)系得，不妨設(shè)點A在第一象限，則，可得，從而，選項D正確．【拋物線焦點弦結(jié)論很重要，結(jié)論的證明方法更為重要！】已知AB過拋物線的焦點F弦，，，那么；；．設(shè)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，點M是的中點，那么（1）；（2）；（3）．進一步還有：（4）以AF為直徑的圓與y相切．（5）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．（6）AM與交點在y軸上．（7）．（8）與交于原點．（9），，，．（10）過A，B分別作拋物線的切線，設(shè)M是兩切線交點，那么：①兩切線相互垂直；②點M一定在拋物線的準(zhǔn)線上．三、填空題12．答案：一個平面內(nèi)解：如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直．13．答案：解：設(shè)數(shù)列公比為q，由知，可得，解得．由得，所以．14．答案：解：．由余弦定理得．由正弦定理得，從而．所以．四、解答題15．解法1：（1）．……2分當(dāng)時，，．故曲線在處的切線方程為．……5分（2）定義域為，當(dāng)時，．……7分設(shè)，則在單調(diào)遞增．……9分當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以，從而．……11分當(dāng)且僅當(dāng)且時，．于是當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)．……13分解法2：（1）同解法1．（2）定義域為，．……7分設(shè)，則為單調(diào)遞增函數(shù)等價于且沒有連續(xù)的x值使．……9分，設(shè)，則在單調(diào)遞增．當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，所以，……11分當(dāng)且僅當(dāng)時，．于是當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)．……13分16．解：（1）X所有可能取值為2，3，4，且……2分，，．……4分故X的分布列為X234PX的數(shù)學(xué)期望．……6分（2）記事件為“甲最終得分為i分”，事件B為“乙獲得獎勵”．由題意知，若乙獲得獎勵i的可能取值為8，9，且，．……8分當(dāng)甲最終得8分時，乙獲得獎勵需要最終得10分或9分，則．……10分當(dāng)甲最終得9分時，乙獲得獎勵需要最終得10分，則……12分因為，所以乙獲得獎勵的概率．……15分17．解：（1）延長AN交直線DC于點G，連結(jié)EG，因為，所以，又，所以，所以．……4分因為平面EDC，平面EDC，所以平面EDC．……6分（2）取AD的中點O，連接BO，F(xiàn)O，由題意為等邊三角形，所以．同理．……7分以O(shè)為坐標(biāo)原點，方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)得，，．因為，所以平面BOF，因為平面ABCD，所以平面平面ABCD．因為，所以，．設(shè)，則，，所以．從而，當(dāng)時，MN取最小值，此時．……11分設(shè)為平面MND的法向量，則即可?。?3分因為，所以AF與平面MND所成面角的正弦值為．……15分18．解：（1）柯西不等式的二元形式為：設(shè)，，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．……4分（2）正四面體ABCD的體積等于為頂點，四個面為底面的三棱錐體積之和，即．所以，因此．由柯西不等式得．從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．因此的最小值為．……11分（3）對，記，，…，是1，2，…，n的一個排列，且滿足．由條件②得：，于是，對任意的，都有．……13分由柯西不等式得．所以．從而，當(dāng)時，，故．……17分19．解：（1）設(shè)，由題意，化簡得線的軌跡方程為．……6分（2），，設(shè)，則，所以直線AM與BM的斜率之積為．……8分因為直線BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．……10分因為，設(shè)，由得，．由對稱性知MN經(jīng)過x軸上的定點，因為，由，得，所以MN經(jīng)過定點．……13分所以．設(shè)，因為，所以．設(shè)，，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．因此，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，取等號時，，．于是當(dāng)，時，取最大值．……17分解法2：（1）同解法1．（2），，設(shè)，則，所以直線AM與BM的斜率之積為．……8分因為直線BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．……10分因為，設(shè)，由得，．由，知，故點N在上．由對稱性知MN經(jīng)過x軸上的