2023-2024學(xué)年全國高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

2023-2024學(xué)年全國高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知taim=儂2',貝口（

）

V2）V2Jl-sm2p

c兀

A.2a+〃=gB.a/3=—

C.a-/3=-D.cc+2/7=—

4

2.函數(shù)sin2x的圖象可能是

3.已知”，夕是兩平面，I,m,〃是三條不同的直線，則不正確命題是（）

A.若m^a,nila,貝!!mVnB.若mHa,nila,貝！|瓶〃〃

C.若LLa,lUp,貝（Ja"D.若a"。,IUB，且〃/“，則〃/

為得到函數(shù)y=cos12x+1J的圖像，只需將函數(shù)y=sin2%的圖像（）

4.

A.向右平移二個長度單位B.向右平移二個長度單位

612

5兀5兀

C.向左平移二個長度單位D.向左平移一個長度單位

612

5.要得到函數(shù)＞=5M?！??]的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）

A.向右平移J個單位B.向右平移￡個單位

o3

C.向左平移￡個單位D.向左平移?個單位

3o

6.函數(shù)/（力=三-三+x的圖象在點（1"（功處的切線為/,貝!J/在y軸上的截距為（）

A.-1B.1C.-2D.2

7.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

8.已知集合用={刈-1<》<2},N={x|x(x+3)<0},則MCN=()

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

9.設(shè)全集U={xeZ|(x+l)(x—3)W0},集合A={0,l,2},貝!)<?*=()

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3}

10.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)九，如果〃為偶數(shù)就除以2,如果九是奇數(shù)，就將其乘3再加

1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入”=10,則輸出i的（）

/輸血/

CW)

A.6B.7C.8D.9

11.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60。，則雙曲線C的方程不可能為（）

22222222

A.土-乙=1B.土-乙=1C.工-土=1D.匕-土=1

155515312217

12.2021年某省將實行“3+1+2”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、

政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為

1111

A.—B.—C.—D.一

8462

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉膈，如圖，在鱉麝P(guān)-A5C中，平面ABC,

ABLBC,且AP=AC=4,過4點分別作于點E,APLPC于點歹，連接所，則三棱錐P—A所的

體積的最大值為.

14.函數(shù)/（x）=ln（l-x）+J4+3x-d的定義域是.（寫成區(qū)間的形式）

15.已知函數(shù)/（尤）=（：05%-1082（2*+1）+公（0€￡）為偶函數(shù)，則。=.

16.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開

展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)求函數(shù)y=Jl-x+j3x+2的最大值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-依+a,其中a>0.

(1)討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(2)求證：ex+sinx>xlnx+1.

19.(12分)某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)

據(jù)分為[9,10)[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]五個小組(所調(diào)查的芯片得分均在[9,14]內(nèi))，得到如圖所示的頻率分布

直方圖，其中a—〃=(M8.

jUWffl距

03sl---------------

0^F:rlIT'h.

°91011121314分敷(單位，萬分)

(1)求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替).

(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試,該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機(jī)中進(jìn)行初測。

若3個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程手機(jī)中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)

定該芯片不合格；若3個工程手機(jī)中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機(jī)中進(jìn)行二

測，二測時，2個工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程手機(jī)中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分,

手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方

法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均

為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元,

試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由.

20.(12分)已知定點4(-3,0),5(3,0),直線AM、相交于點〃，且它們的斜率之積為-土，記動點”的軌

跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)過點7(1,0)的直線與曲線C交于P、。兩點，是否存在定點S(x0,0),使得直線SP與SQ斜率之積為定值，

若存在，求出S坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=#+cosx(aeR),/(x)是/(尤)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，令//(%)=/'(%)—x+InX,"(x)為/i(x)的導(dǎo)數(shù).證明：，(x)在區(qū)間存在唯一的極小值點；

2TC

(2)已知函數(shù)y=/(2x)—-/在0,-上單調(diào)遞減，求。的取值范圍.

3_2_

x=t(x=cosO

22.(10分)已知直線/：廠廠口為參數(shù))，曲線。1：<.八(。為參數(shù)).

、y=73+<3t[y=sing

(1)設(shè)/與C]相交于A,B兩點,求|A到；

(2)若把曲線G上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的,倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的且倍，得到曲線C,設(shè)點P是曲線。2上

22

的一個動點，求它到直線/距離的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式，化簡可得tana=8s=tan+￡],即可求得結(jié)果.

l—sin2￡<4)

【詳解】

cos2(3cos2sin201+tan/

tana==tan?+夕,

1-sin2(3cos2P+sin2/?-2sinpcos/31-tan

JTIT

所以&=—+〃，即

44

故選:C.

【點睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù)，難度較易.

2、D

【解析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在4,兀)上的符號，即可判斷選擇.

詳解：令/(%)=2?sin2x,

因為九￡R,于(-Q=2Tsin2(—%)=-2Wsin2x=-f(x),所以f(x)=2?sin2%為奇函數(shù)，排除選項A,B;

jr

因為兀)時，/(x)<0,所以排除選項C,選D.

2

點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性;

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

3、B

【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面

垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.

【詳解】

A.若〃//。，則在&中存在一條直線/,使得///〃，lua,貝！JmJJ,又///〃，那么相」〃，故正確；

B.若mlla,nlla,則相〃”或相交或異面，故不正確；

C.若〃//?,則存在au/?,使///1,又:.aVa,則。，尸，故正確.

D.若a//￡,且///a,貝或////7,又由/a":.111/3,故正確.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

TTTTTC)TC57cTC

y=cos(2x+—)=sin(2x+—+—)=sin(2x+—)=sin2(x+—),所以要的函數(shù)y=cos(2x+—)的圖象，只需將

3326123

57r

函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移上個長度單位得到，故選D

12

5、D

【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可；

【詳解】

解：函數(shù)y=sin[2x+?]=sin

???要得到函數(shù)y=sin[2x+的圖象，

只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移B個單位.

O

故選：D.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在(1,7(1))處的切線方程，從而可求切線的縱截距.

【詳解】

f'(x)=3x2-2x+l,故"1)=2,

所以曲線y=/(x)在(1"(功處的切線方程為：y=2(x-l)+/(l)=2x-l.

令x=0,則y=-1,故切線的縱截距為—1.

故選：A.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與y軸交點的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題

屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高x組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量=頻會數(shù)求出班級人數(shù).

頻率

【詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是(0.005+0.010)x20=0.30,

1Q

...樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是中=60(人).

0.30

故選：D.

【點睛】

頻數(shù)

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率日的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題

樣本容量

8,C

【解析】

先化簡N={x|x(x+3)S0}={M-3SrW0},再根據(jù)M={^-1VxV2},求兩集合的交集.

【詳解】

因為N={x|x(x+3)<0}={x|-3Sc<0},

又因為M={x|-l<x<2},

所以MHN^[x\-l<x<0}.

故選：C

【點睛】

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9^A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的補(bǔ)集.

【詳解】

由(x+l)(x-3)W0解得—0K3,故。={—1,0,123},所以的人={—1,3},故選A.

【點睛】

本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值可得結(jié)論.

【詳解】

循環(huán)前，=1,”=10,循環(huán)時：n=5,i=2,不滿足條件〃=1；"=16,，=3,不滿足條件〃=1；鞏=8,，=4,不滿

足條件〃=1；n=4,i=5,不滿足條件〃=1；n=2,i=6,不滿足條件〃=1；n=l,i=7,滿足條件〃=1,退出

循環(huán)，輸出i=7.

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值，從而得出結(jié)論.

11,C

【解析】

判斷出已知條件中雙曲線。的漸近線方程，求得四個選項中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項.

【詳解】

兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與X軸的夾角時要分為兩種情況.依題意，雙曲漸近線與X軸的夾角為30?；?0。,

雙曲線C的漸近線方程為了=土/x或y=±石X.A選項漸近線為y=±gx,B選項漸近線為y=±也x,C選項

122

漸近線為y=土5X，D選項漸近線為y=±6x.所以雙曲線C的方程不可能為，一%=1?

故選：C

【點睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有12種，甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有C；=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率尸=—=一,

124

故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、逑

3

【解析】

由已知可得△AEGAPE尸均為直角三角形，且A尸=20,由基本不等式可得當(dāng)AE=E^=2時，△AEF的面積最

大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.

【詳解】

由如_L平面ABC,得四_L3C,

XAB±BC,KPAHAB^A,PAB,貝!]5cLLAE,

XPBVAE,貝！JAE_L平面尸JBC,

于是AE_LE尸，且AE_LPC,結(jié)合條件AF_LPC,得PC_L平面AEB,

：./\AEF.△PEF均為直角三角形，由已知得A尸=2起,

而SAAEF=LXAEXEFCAE2+EF2)=工4尸2=2,

244

當(dāng)且僅當(dāng)AE=E^=2時，取“="，此時AAEF的面積最大,

三棱錐P-AEF的體積的最大值為：

VP.AEF=1XPFXS*AEF=-X2V2X2=^1

333

故答案為殍

【點睛】

本題主要考查直線與平面垂直的判定，基本不等式的應(yīng)用，同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，屬

于中檔題.

14.[-1,1）

【解析】

[1-x>0Ix<1

要使函數(shù),⑶有意義’需滿足4+-。,即解得TC故函數(shù)小）的定義域是TD.

1

15、

2

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得。的值.

【詳解】

由于/（%）為偶函數(shù)，所以=

即cos（-%）-log2（2一*+1）—ax=cosx-log2（2*+1）+at,

即cosx-log2（+1）—at=cosx-log2（2*+1）+ax,

gplog2（2*+1）-log2（2-*+1）-2ax=0,

XX

即2'+1nnl（2*+1>2'c.八口“（2+1Y2AN

即l°g22一+]—2ax=0'即現(xiàn)2Q-*+1）2*—2ax=°，即log2^~2ax=0，即

log,2T-2ax=x-2ax=（l-2a^x=0,所以1一2a=0,a=g.

故答案為：一

2

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16、24

【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列,

同時它們內(nèi)部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有42=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全

排有月用=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)

為用其羯=24.

故答案為：L

【點睛】

本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

172岳

3

【解析】

試題分析：由柯西不等式(ab+cd?W(/+02)(/+/)得(6:++2)2=(J3—3x?+2?5

<(3-3x+3x+2)(1+l)=y

試題解析：因為“i二7+，3x+2)2=(V3-3x-J+\3x+2-?

<(3-3%+3%+2)(1+l)=y,

所以y=〈友5.

3

3-3%3x+2

=/

等號當(dāng)且僅當(dāng)1------1--，即工=一時成立.

312

所以y的最大值為冬叵.

3

考點：柯西不等式求最值

18、(1)。=1時，f(x)有一個零點；當(dāng)。>0且時，/(元)有兩個零點；(2)見解析

【解析】

(1)利用/(X)的導(dǎo)函數(shù)，求得了(X)的最大值的表達(dá)式，對"進(jìn)行分類討論，由此判斷出了(X)的零點的個數(shù).

(2)由lnx<x-l,得至!J%lnx+1?X2-x+i和XK/T,構(gòu)造函數(shù)"(x)=e*+sin%一犬之十九一1,利用導(dǎo)數(shù)證得

/z(x)>0,即有+sinx>x2-x+1,從而證得，+sinx>x2-x+1>xlnx+1,即ex+sinx>xlnx+L

【詳解】

(1)f(x)=-—―(a>0,%>0),

%

，當(dāng)犬￡(0,4)時，/(x)>0,當(dāng)%￡(L+8)時，f'(%)<0,「./(九)在(0—)上遞增，在(J_,+QO)上遞減，

aaaa

f{x)</(—)=-Ina+4-1.

a

令g(%)=-lnx+x-1=-(Inx-x+1),.?.g(x)在(0,1)上遞減，在(2)上遞增，

gMNg(D=。，.\-lna+a-l>09當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號.

①々=1時，/(%)有一個零點；

②a>]時，-e(0,1),/(—)=-ina+ae(0,1),/|—|=—\na+a—l>0,/(1)=0,f(―)=-<0,此時/(%)

aaa\ajee

有兩個零點；

③0<“vl時，一>1,/(—)=—In〃+〃—1〉0,/(I)=0,/(—-)=—2Inci-----ci令

aaaa9

(p(x)=-21nx--+x(x>1),/.cp(x)=――->0,(p(x)在(0,1)上遞增，

xx

°(九)<0(1)=0,/(二)=-21na--+a<Q9此時f(x)有兩個零點；

aa

綜上:a=l時，/(%)有一個零點;當(dāng)〃>0且awl時，/(%)有兩個零點；

(2)由(1)可知：111元二元—1,.??元111元+14無2一%+1,尤<6]-1,

令/i(x)=+sinx-x2+x-1,/i(x)=+cosx-2x+1>ex-2x+1+cosx>0,勿?在(。,+。)上遞增，

h(x)>h(0)=0,ex+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

【點睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

19、(1)11.57(2)預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片，理由見解析

【解析】

(1)先求出。=025,匕=007,再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；(2)先求

出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.

【詳解】

(1)依題意，(0.05+a+〃+035+028)xl=1,故a+b=032.

又因為a—Z?=0.18.所以a=025,Z?=0J07,

所求平均數(shù)為95x0.05+105x0.25+115x035+125x028+135x0X)7

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(萬分)

(2)由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=C^x03x0.72x03=01323,P(X=1500)=C；x03x072x0.7=03087,

故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因為100x1097.91>100000,

所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

2

20、(1)^-+y2=l(x^±3)；⑵存在定點S(±3,0),見解析

【解析】

(1)設(shè)動點/(X?),則左屈=上；，左皿=工土3)，利用％?上.=一!，求出曲線C的方程.

x+3x-39

x=my+1

(2)由已知直線/過點7(1,0),設(shè)/的方程為九=加,+1,則聯(lián)立方程組2：2人，

X+9y=9

消去X得(7〃2+9)y2+272-8=0,設(shè)PQ,y),Q(X2,必)利用韋達(dá)定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程,

推出結(jié)果.

【詳解】

解：(1)設(shè)動點M(x,y),貝必xw—3)

X~T~J

^MB--W3),

X—J

kMA-kMB=—J，即~~?一X=一'，

9x+3x-39

V-2

化簡得：—+y2=lo

9'

由已知xw±3,故曲線C的方程為土+y2xw±3)

9'

（2）由已知直線/過點T（1,O）,設(shè)/的方程為》=%+1,

x=my+1,

則聯(lián)立方程組%2,,消去X得(n?+9)y2+2年—8=0,

—+y=1、'

19.

2m

X+%=

m+9

設(shè)PQ（x,y）,貝卜

228

%%=--7-T-

m+9

又直線SP與SQ斜率分別為3淄%—Vi.

k%%

SQ

x2-x0my2+l-x0

則嚷?（町+1一%）（沖2+1-%）（其一9）療+9（1-%）2°

—82

當(dāng)％=3時,VmeT?,

9(17。)9;

1

當(dāng)斗；=-3時，VmGR,ksp,k

SQ18°

所以存在定點5（±3,0）,使得直線SP與SQ斜率之積為定值。

【點睛】

本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

21、（1）見解析；（2）a<\

【解析】

(1)設(shè)g(x)=〃(x)=L-cosx,g'(x)==+sinx,注意到g(x)在［0,1］上單增，再利用零點存在性定理即可

xx12J

解決；

QJTJTA.JT

(2)函數(shù)y=/(2x)--/在0,-上單調(diào)遞減，則y<0在0,-恒成立，即2ax—sin2x——在o上

3_2__2_3_2_

恒成立，構(gòu)造函數(shù)鞏x)=24a-sin2x-4gx.3,求導(dǎo)討論皿為的最值即可.

【詳解】

(1)由已知，f\x)=x-smx,所以/z(x)=lnx—sinx,

1.-1

設(shè)g(x)=/z(x)=——cosx,g(x)=—+sinx,

當(dāng)時，g’(x)單調(diào)遞增，而g'(l)<0,g'^>0,且g(x)在［0,5］上圖象連續(xù)

不斷.所以g(x)在上有唯一零點a,

當(dāng)xe(O,