八年級(jí)下冊(cè) 第一章第03講 直角三角形(7類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第03講直角三角形(7類熱點(diǎn)題型講練)1．復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；2．學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運(yùn)用其解決問(wèn)題．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．4．會(huì)用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等．知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的性質(zhì)定理及推論定理1直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2在直角三角形中，如果一個(gè)角等于300，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于.知識(shí)點(diǎn)2勾股定理及逆定理圖形名稱定理符號(hào)表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形.在中，，知識(shí)點(diǎn)3直角三角形全等的判定HL法圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記：H.L）在中，，題型01直角三角形的兩個(gè)銳角互余【例題】（2023上·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，，那么另一個(gè)銳角的度數(shù)是．【答案】/20度【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在斜邊上，且，則°．【答案】【分析】本題考查直角三角形性質(zhì)、等腰三角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，即可求解，熟練掌握等腰三角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∴，∴，故答案為：．2．（2023上·上海閔行·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，若恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于，則的度數(shù)為°【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再求出，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到結(jié)果．【詳解】解：由已知得，，，，，，，，，，在中，．故答案為：．題型02判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【例題】（2023上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、分別根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理可以判斷出結(jié)果，熟練運(yùn)用三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、設(shè)，則，，，∵，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；C、設(shè)，則，，∵，即，解得，則，∴是直角三角形，能確定，該選項(xiàng)不符合題意；D、∵，，∴即，此時(shí)不能確定或是否為，∴不確定是直角三角形，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知的三條邊長(zhǎng)，，滿足，則的面積為．【答案】6【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意義的條件、絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性，根據(jù)二次根式有意義的條件求出、、是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件求出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：，，，故答案為：6．2．（2023上·山東青島·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，給出以下4個(gè)條件：①；②；③；④．從中任取一個(gè)條件，可以判定出是直角三角形的有．（填序號(hào)）【答案】①②③【分析】由可直接得出是直角三角形，可判斷①；由，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，得出是直角三角形，可判斷②；由，可設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明是直角三角形，可判斷③；由，可設(shè)，則，，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，從而即可證明，可判斷④．【詳解】解：①可直接得出是直角三角形；②∵，，∴，∴，故是直角三角形；③∵，故可設(shè)，則，，又∵，即，∴是直角三角形；④∵，故可設(shè)，則，，∵，∴，解得：，∴，，，∴不是直角三角形．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理逆定理．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．已知a，b，c滿足．(1)求a，b，c的值；(2)試問(wèn)：以a，b，c為三邊長(zhǎng)能否構(gòu)成直角三角形，如果能，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的面積，如不能構(gòu)成三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）根據(jù)題意得：，，，解得：，，．（2）能構(gòu)成直角三角形，，，，以、、為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．三角形的面積是：．題型03在網(wǎng)格中判斷直角三角形【例題】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，求下列問(wèn)題：

(1)試說(shuō)明是直角三角形；(2)求點(diǎn)到的距離．【詳解】（1）解：由圖可知：，，．是直角三角形

（2）由（1）可知：，，點(diǎn)到的距離是．故答案為【變式訓(xùn)練】1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，的頂點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，邊上的高長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由勾股定理可得，，，由勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：，，，，為直角三角形，，設(shè)邊上的高為，，，，上的高為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，網(wǎng)格中有以格點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的面積．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，所以，所以是直角三角形；（2）的面積：．題型04利用勾股定理的逆定理求解【例題】如圖，點(diǎn)在中，，，，

(1)求的長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．【詳解】（1）解：∵，，，，（2）∵，，，是直角三角形，，．故圖中陰影部分的面積為．【變式訓(xùn)練】1．在四邊形中，，求四邊形的面積．【詳解】解：連接，∵∠B=90°，∴為直角三角形，∵，根據(jù)勾股定理得：，又∵，∴，∴，∴為直角三角形，∴，答：四邊形的面積36．2．如圖，學(xué)校有一塊三角形空地，計(jì)劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經(jīng)測(cè)量，，，，，，，求四邊形的面積．【詳解】解：由題意得：，，在中，由勾股定理得：，，，是直角三角形，且，．答：四邊形的面積為18．題型05勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用【例題】如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一?？空镜木嚯x為，?？空局g的距離為，且．

(1)求修建的公路的長(zhǎng)；(2)一輛貨車從點(diǎn)到點(diǎn)處走過(guò)的路程是多少？【詳解】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的長(zhǎng)是；（2）解：在中，（），故一輛貨車從點(diǎn)到處的路程是．【變式訓(xùn)練】1．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A，D，B在同一條直線上），并新修一條路，測(cè)得千米，千米，千米．

(1)求的度數(shù)；(2)求取水點(diǎn)A到取水點(diǎn)D的距離．【詳解】（1）∵千米，千米，千米，∴，∴，∴為直角三角形，∴，∴；（2）設(shè)千米，則千米，∴千米，∵，∴，∴，即，解得：．答：取水點(diǎn)A到取水點(diǎn)D的距離為千米．2．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖，，，，．(1)技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過(guò)測(cè)量某兩點(diǎn)間的距離，便快速確定了．寫出技術(shù)人員測(cè)量的是哪兩點(diǎn)之間的距離以及確定的依據(jù)；(2)現(xiàn)計(jì)劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價(jià)30元，這塊地全部種草的費(fèi)用是多少元？【詳解】（1）測(cè)量的是點(diǎn)A，C之間的距離；依據(jù)是：如果是三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形；（2）如圖，連接，∵由（1）得，在中，，在中，，，∵，∴，∴，∴（平方米），（元），答：這塊地全部種草的費(fèi)用是1080元．題型06全等的性質(zhì)和HL綜合【例題】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，D為邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，．求證：是等邊三角形．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定，利用三角形全等，證明，繼而證明三角形的三邊相等即可．【詳解】證明：∵D為邊的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建莆田·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，．求證：．【答案】見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先由，得，再結(jié)合，，，則通過(guò)“”證明，即可作答．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴，∴．2．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)衡陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，，垂足分別為．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等”，即可證明；（2）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，面積相等，即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：由（1）知：，∴，，∴，∴，∴．即四邊形的面積是12．題型07全等的性質(zhì)和HL綜合【例題】（2023上·吉林白城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知是上的一點(diǎn)，且．(1)和全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)．理由見解析(2)是等腰直角三角形．理由見解析【分析】本題考查的是直角三角形的全等判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的定義，熟練的證明直角三角形全等是解本題的關(guān)鍵；（1）先證明，再證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再證明，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：．理由如下：，∴，∵，∴，在和中，．．（2），∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，點(diǎn)在一條直線上，與交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)．（1）根據(jù)證明兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：證明：，，即，在和中，，．（2）解：，，由（1）知，，．2．（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州市第五十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．(1)若，求度數(shù)；(2)求證：；(3)試判斷與的位置關(guān)系．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所要證明結(jié)論需要的條件．（1）根據(jù)在中，，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，可以得到和全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)，可以得到，然后即可轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，從而可以證明所要證明的結(jié)論；（3）根據(jù)，，，結(jié)合，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）證明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，過(guò)程如下：延長(zhǎng)交于一點(diǎn)H，如圖∵，∴，由（1）知，∴，∴.一、單選題1．（2023上·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，故選：B．2．（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┲?，，，的對(duì)邊分別記為a，b，c，有下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．如果，則B．如果，則為直角三角形C．如果a，b，c長(zhǎng)分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)D．如果，則為直角三角形【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴設(shè)，∵，，∴，∴，故不符合題意；B、∵，，∴，∴不是直角三角形，故符合題意；C、∵a，b，c長(zhǎng)分別為6，8，10，∴，且a，b，c的長(zhǎng)都是正整數(shù)，∴a，b，c是一組勾股數(shù)．故不符合題意；D、∵①，②，將①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合題意．故選：B．3．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，是等腰底邊邊上的中線，，，則度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，平行線性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵是等腰底邊邊上的中線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：B．4．（2023上·重慶墊江·八年級(jí)重慶市墊江中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在和中，，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．E為BC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)斜邊直角邊定理，可得，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)，可推，．【詳解】解：A.∵∴，故結(jié)論成立，本選項(xiàng)不合題意；B.∵∴，故結(jié)論成立，本選項(xiàng)不合題意；C.如圖，∵∴.∵∴∴．故結(jié)論成立，本選項(xiàng)不合題意；

D.根據(jù)題目條件無(wú)法推證E為BC中點(diǎn)，本結(jié)論錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形全等的判定和性質(zhì)，由全等三角形得到線段相等、角相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的面積為5 D．點(diǎn)A到的距離是1.5【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積，點(diǎn)到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出長(zhǎng)可判定B；利用網(wǎng)格圖計(jì)算三角形的面積可判定C；利用面積公式求出邊的高，即可利用點(diǎn)到直線的距離判定D．【詳解】解：A、，，，，，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；B、∵，∴，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；C、，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；D、點(diǎn)A到的距離，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．二、填空題6．（2023上·甘肅武威·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，，可使用“”判定與全等，則應(yīng)添加一個(gè)條件是．

【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等含有．本題是一道開放型的題目，答案不唯一，只有符合兩直角三角形全等的判定定理即可，條件可以是或．【詳解】解：添加的條件是，理由是：∵，∴在與中，∴，故答案為：．7．（2023上·甘肅張掖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則由，，組成的三角形是三角形．【答案】直角【分析】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵，還考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、、的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到此三角形是直角三角形．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，解得，，，，此三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．8．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，將其沿折疊，使點(diǎn)A落在邊上的處，則．【答案】/20度【分析】本題考查直三角形兩銳角互余及翻轉(zhuǎn)折疊有全等，先求出，再根據(jù)折疊性質(zhì)即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，由翻折的性質(zhì)可得：，∵，∴，故答案為：．9．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，過(guò)上一點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．若，則，．【答案】22【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知易得是等邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用對(duì)頂角相等可得，從而可得，進(jìn)而利用等角對(duì)等邊即可解答．【詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，，，，，，故答案為：2，2．10．（2023上·江蘇南通·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點(diǎn)放在邊上移動(dòng)，直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜邊與交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長(zhǎng)為．

【答案】或或2【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易證四邊形是矩形，進(jìn)而證明，得到，的長(zhǎng)，由勾股定理求得，然后證明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而得到，再利用，即可求出得長(zhǎng)；③當(dāng)時(shí)，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而利用勾股定理，得出的長(zhǎng)，再利用三角形內(nèi)角和定理，易證是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G，

等腰梯形中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，；②如圖2，當(dāng)時(shí)，

，等腰梯形中，，，，，，，，，，，；③如圖3，當(dāng)時(shí)，

等腰梯形中，，，，，，在中，，，，，是等腰直角三角形，，在中，；綜上所述，CF的長(zhǎng)為或或2．故答案為：或或2．三、解答題11．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一直線上，，，求證．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證出，由證明即可．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，在和中，，∴．12．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），測(cè)得千米，千米，千米，(1)問(wèn)是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問(wèn)：與是否垂直？）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)求原來(lái)的路線的長(zhǎng)．【答案】(1)是，理由見解析(2)2.5千米【分析】本題考查勾股定理及其逆定理．（1）根據(jù)勾股定理逆定理，求出，即可；（2）設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．掌握勾股定理及其逆定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：是，理由如下：∵千米，千米，千米，∴，∴，即：，∴是從村莊C到河邊的最近路；（2）設(shè)，∵，∴，∵，∴，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴的長(zhǎng)為千米．13．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期中）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)．

(1)__________，__________，__________；(2)的形狀為__________三角形；(3)求中邊上的高_(dá)_________．【答案】(1)，，(2)直角(3)【分析】（1）本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，直接計(jì)算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形狀，直接把三邊長(zhǎng)度分別平方，可以發(fā)現(xiàn)即可判定三角形的形狀．（3）考查利用等面積法求斜邊上的高，直接計(jì)算就可以求解．【詳解】（1）由題可知，；；．（2）解：∵，，；∴；∴為直角三角形．（3）如下圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為；∴；∵是直角三角形；∴；∴；∴．

14．（2023上·山東泰安·七年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理的逆定理判斷出為直角三角形是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)勾股定理直接計(jì)算即可求解；（）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，又由勾股定理的逆定理得到，利用角的和差