3-1 微分中值定理

第一節(jié)二、羅爾(Rolle)中值定理微分中值定理三、拉格朗日(Lagrange)中值定理四、柯西(Cauchy)中值定理

第三章

一、問題的提出一、問題的提出兩個現(xiàn)象：(1)

曲線弧AB上?至少有一點處的切線是水平的，即(2)

變速直線運動在折返點處的瞬時速度為0,即不同背景的兩個現(xiàn)象，從數(shù)學的觀點看，有一個共同點:那么，在什么條件下此結論一定成立?結論：(1)在[a,b]上連續(xù);

(2)在(a,b)內(nèi)可導;(3)猜二、羅爾中值定理滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；

(3)f(a)=f(b)，使得在(a,b)內(nèi)至少存在一點定理3.1（羅爾中值定理）若證明分析：觀察此圖，曲線AB（上有哪些點的切線可能與x軸平行？（AB易看出，上有兩點：最高點C從函數(shù)的觀點看，就是和最底點D.這個結論是否具有一般性？費馬（Fermat）引理則證且在（或)的某鄰域內(nèi)有如果函數(shù)在點處可導，以為例證之.猜若AB（弧上的最高點和最低點中至少有一個不在端點,則在此點處有水平切線？費馬簡介有則導數(shù)為零的點稱為駐點極限的保號性羅爾中值定理的證明：由于f(x)在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，故在[a,b]上取得最大值M

和最小值m.

(1)

若M=m，因此則在閉區(qū)間[a,b]上

(2)

若M>m

,則至少存在一點不妨設使得則由費馬引理得時，同理可證.1o定理條件不全具備，結論不一定成立.注2o

定理條件只是充分的，并非必要條件.條件不滿足，結論不成立的例子：xyO1yxO1xyO1xyO-113°4°羅爾定理未指明例1證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證(1)存在性設且則在[0,1]連續(xù),由零點定理知,存在使得即方程有小于1的正根.假設：另有(2)唯一性但當矛盾,故假設不真!時，綜上所述，方程有且僅有一個小于1的正實根.的實數(shù)，證明方程：分析??例2

由題設條件無法確定，轉換思路：？若f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理的條件,則使得故對F(x)不能用零點定理.由羅爾定理，可知且使得證三、拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理）

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；使得在(a,b)

內(nèi)至少存在一點滿足：若注A(a,f(a))，B(b,f(b))1°與羅爾定理相比，去掉了條件(3):2°結論(1.2)亦可寫成：3°結論(1.2)的幾何意義至少有一點C,在該點處的切線平行于弦結論(1.2)表明：在條件(1),(2)（下，曲線弧AB上證明分析1弦AB方程為:曲線y=f(x)與弦AB在兩個端點A,B處重合.故在A,B兩端點處，它們的縱坐標之差為零(相等).作輔助函數(shù):作輔助函數(shù)證(方法１)=0證明分析2變形1？將結論(1.2)變形成羅爾定理結論的形式：證(方法2)作輔助函數(shù)問:1.

可取常數(shù)答：可以.2.變形2如何構造輔助函數(shù)？注1°2°3°Oxab(1.2)的其他形式：特例RL拉格朗日中值定理的有限增量形式:令增量△y的精確表達式對比：拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系.證由拉格朗日中值定理，知使推論注證明等式由推論可知令

x=0,

得證

設故例3則f(x)在[-1,1]上連續(xù)，在(-1,1)內(nèi)可導，且證明不等式因為故即證

設中值定理條件,因此應有例4例5分析拉氏中值定理的條件,因此應有證即定理3.3（柯西中值定理）至少存在一點使得(1)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)

在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)四、柯西中值定理及滿足:若幾何解釋:（在曲線弧AB上至少有一點C(F(x),f(x)),在該點處的切線平行于弦AB（證分析作輔助函數(shù):命題得證.注特例特例RLC證分析結論可變形為:例6思考：內(nèi)容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費馬引理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(4)證明有關中值問題的結論(3)確定方程根的存在性關鍵:利用逆向思維構造輔助函數(shù)兩個

不一定相同！定理來證明?或者說:

柯西定理的下述證法對嗎?及均滿足拉格朗日定理的條件,因為所以有因此思考題

錯!柯西定理是否可通過兩次應用拉格朗日有且僅有三個實根，并指出它們證備用題

例1-1在[－1,1]上連續(xù),可導，且

f(－

1)=f(1)，顯然在(－1,1)內(nèi)因此由羅爾定理知，至少存在一點使得方程所在的區(qū)間.同理，至少存在一點使得證明由于是三次函數(shù)，方程是的三次代數(shù)方程，所以它最多有三個實根.綜上，方程恰有三個實根，分別在內(nèi).區(qū)間至少存在一點使得例1-2證證