最短線段解中考題

最短線段解中考題中考“最短線段”問題的重要應(yīng)用高尚軍甘肅省定西市安定區(qū)內(nèi)官營中學743011【摘要】數(shù)學的內(nèi)容博大精深，“最短線段”問題相關(guān)中考試題可謂是千變?nèi)f化，這一問題解題的思路和方法就是根據(jù)軸對稱知識實現(xiàn)化“折”為“直”，利用“兩點之間線段最短”“垂線段最短”來解決。具備這一數(shù)學思想，中考涉及直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、拋物線等為載體的試題通過分類，可收到舉一反三，事倍功半的效果?！娟P(guān)鍵詞】中考試題；最短問題；應(yīng)用舉例一、問題探究在人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題：在這個問題中，利用軸對稱將折線轉(zhuǎn)化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”等知識得到最短線段，這一類問題是當今中考的熱點題型。二、數(shù)學模型1.兩點之間線段最短（1）如圖1，直線l和l的異側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。（2）如圖2，直線l和l的同側(cè)兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。（3）如圖3，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使△PAB的周長最小。如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B，使四邊形PAQB的周長最小。2.垂線段最短1.如圖5，點A是∠MON外的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小。圖5圖6圖7在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=8．等腰△ABC中，∠A=20°，AB=AC=20，M、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值分別作點C、B關(guān)于AB、AC的對稱點C’、B’，連接C’B’交AB、AC于點M、N，則BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值∵∠BAC’=∠BAC，∠CAB’=∠CAB∴∠B’AC’=60°∵AC’=AC，AB’=AB，AC=AB∴AC’=AB’∴△AB’C’是等邊三角形∴B’C’=209．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2，求EM+EC的最小值因為點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B，所以連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH=AH–AE=3–2=1，BH===3在直角△BHE中，BE===2(四)正方形類10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為_________。即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小故作點D關(guān)于AC的對稱點B，連接BM，交AC于點N。則DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ線段ＢＭ的長就是DN＋ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，則ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０11．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為（ ）A．2 B．2 C．3 D．即在AC上求一點P，使PE+PD的值最小點D關(guān)于直線AC的對稱點是點B，連接BE交AC于點P，則BE=PB+PE=PD+PE，BE的長就是PD+PE的最小值BE=AB=212．在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.即在AC上求一點P，使PB+PQ的值最小因為點B關(guān)于AC的對稱點是D點，所以連接DQ，與AC的交點P就是滿足條件的點DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的長就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根據(jù)勾股定理，得，DQ=13．如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm，E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；連接AE，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值在直角△ABE中，求得AE的長為5(五)矩形類14．如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PD的最小值；作點C關(guān)于BD的對稱點C'，過點C'，作C'B⊥BC，交BD于點P，則C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH=錯誤！未定義書簽。直角△BCH中，BH=8△BCC'的面積為：BH×CH=160所以C'E×BC=2×160則CE'=16(六)菱形類15．如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；點C關(guān)于BD的對稱點是點A，過點A作AE⊥BC，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的長為5(七)直角梯形類16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（）A、B、C、D、3作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'D，交BC于點P則A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的長就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中，AB=4，BP=1根據(jù)勾股定理，得AP=所以AP上的高為：2×=(八)圓類17．已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點B是︵的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直線CD上作一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于點P，則A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'，OB，則∠A'OB=90°，OA'=OB=4根據(jù)勾股定理，A'B=418．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為()A2BC1D2即在MN上求一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于MN的對稱點A'，連接A'B，交MN于點P，則點P就是所要作的點A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則△OA'B是等腰直角三角形所以A'B=(九)一次函數(shù)類19．在平面直角坐標系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當n=______時，AC+BC的值最?。cC（1，n），說明點C在直線x=1上，所以作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A'，連接A'B，交直線x=1于點C，則AC+BC的值最小設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)當x=1時，y=-(2/5)故當n=-(2/5)時，AC+BC的值最小20．一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標．(1)由題意得：0=2x+b4=b解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4(2)作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P則C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值連接CD，則CD=2，CC'=2在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理C'D=2求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0=-k+b2=k+b解得k=1，b=1，所以y=x+1當x=0時，y=1，則P(0，1)21．如圖，一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=交于點A，AM⊥x軸于點M，S△OAM=1(1)求k的值，(2)點B為雙曲線y=上不與A重合的一點，且B(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PB最小(1)由S△OAM=1知，k=2(2)作點A關(guān)于x軸的對稱點A’，連接A’B，交x軸于點P，連接PA，則PA+PB最小。用待定系數(shù)法求直線A’B的解析式為y=-3x+5，因為點P在x軸上，所以設(shè)y=0，即0=-3x+5，解得x=所以P(，0)22．如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線．（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（－2，5）關(guān)于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：B′、C′；（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（不必證明）；運用與拓廣：（3）已知兩點D（1，－3）、E（－1，－4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．(1)點B(5，3)、C(-2，5)關(guān)于直線l的對稱點B'(3，5)、C'(5，-2)(2)坐標平面內(nèi)任一點P(a，b)關(guān)于直線l的對稱點P'的坐標為(b，a)(3)作點E關(guān)于直線l的對稱點E'，連接DE'，交直線l于點Q則QE+QD的值最小設(shè)直線DE'的解析式為：y=kx+b，因為D(1，-3)、E'(-4,-1)，則-3=k+b-1=-4k+b解得：k=-，b=-所以y=-x-當x=y時，有x=y=-則Q點的坐標為(-，-)(十)二次函數(shù)類23．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）(1)B(1，)(2)3(3)因為點O關(guān)于對稱軸的對稱點是點A，則連接AB，交對稱軸于點C，則△BOC的周長最小3，當x=-1時，y=所以C(-1，)24．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的坐標為(1，-)，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C(0，-)．（1）求拋物線的表達式．（2）把△ABC繞AB的中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由．（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得△FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．(3)作點B關(guān)于AC的對稱點G，連接DG，交AC于點F，則△FBD的周長最小因為CF∥BD，CG=，所以F(3)25．如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC＋MD的值最小時，求m的值．(1)y=(3)作點C關(guān)于x軸的對稱點C’，連接C’D，交x軸于點M，則MC+MD的值最小，求出直線C’D的解析式，即可得到M點的坐標方法點撥：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數(shù)學模型，再通過找定直線的對稱點把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異側(cè)線段和，利用“兩點之間線段最短”，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建泵站問題”。26．如圖，在直角坐標系中，A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為直線l上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當AD+CD最小時點D的坐標；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作圓A；①證明：當AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；②寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標。(2)連接BC，交直線l于點D，則DA+DC=DB+DC=BC，BC的長就是AD+DC的最小值BC：y=-x+3則直線BC與直線x=1的交點D(1，2)，27．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P，使得△ABP的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標．(1)y=x2–4x-5(2)BC：y=x-5P(2，-3)28．已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對稱的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、D(3，－2)、P三點，且點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上．(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點P的坐標；(3)設(shè)M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，在直角△ACO中OA=1，AC=2根據(jù)勾股定理，得OC=故C(，0)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則3=b0=+b解得k=-，b=3(2)因為拋物線關(guān)于y軸對稱，所以設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c，則1=c-2=9a+c解得a=-，c=1在直角△ACO中AC=2，OA=1，則∠ACO=30°在直角△BCO中OC=，OB=3，則∠BCO=60°所以CA是∠BCO的角平分線即直線BC和x軸關(guān)于直線AC對稱因為點P關(guān)于直線AC的對稱點在ｘ軸上故點P應(yīng)在直線BC和拋物線上，則有方程組y=-+3y=-+1解得x1=y1=0x2=2y2=-3所以P(，0)，或(2，-3)(3)當點M在y軸上運動時，PM+CM沒有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當點P與點C重合時，即Ｐ（，０）點M在原點，PM+CM的值最小，PM+CM=2所以PM+CM≥2當點P(2，-3)時作點C關(guān)于y軸的對稱點E，過點P作x軸的垂線，垂足為F在直角△EFP中，EF=3，PF=3根據(jù)勾股定理，得EP=6所以PM+CM的最小值是6，則PM+CM≥629．如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A(4，0)、C(0，2)，D為OA的中點．設(shè)點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；（3）設(shè)點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；（4）設(shè)點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點的坐標．(1)△OCP≌△ODP(2)過點B作∠AOC的平分線的垂線于點P，點P即為所求過點P作PM⊥BC于點M，則PM==1所以點P的縱坐標為3，又因為點P在∠AOC的平分線上，則P(3，3)因為拋物線過原點，故設(shè)y=ax2+bx又拋物線經(jīng)過點P(3，3)，D(2，0)所以解得a=1，b=-2則拋物線的解析式為y=x2–2x(3)點D關(guān)于∠AOC的平分線的對稱點是點C，連接CE交OF于點P，則△PDE的周長最小拋物線的解析式為y=x2–2x的頂點E(1，-1)，C(0，2)設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，則解得k=-3，b=2直線CE的解析式為y=-3x+2點P的坐標滿足解得x=,y=所以P(，)△PDE的周長即是CE+DE=+(4)存在這樣的點P，使∠CPN=90°，坐標是(，)或(2，2)30．已知：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中A(-3，0)、C(0，-2)（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式．（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBC的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標．（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E，連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．(1)由題意得解得a=，b=，c=-2∴拋物線的解析式為y=(2)點B關(guān)于對稱軸的對稱點是點A，連接AC交對稱軸于點P，則△PBC的周長最小設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，因為A(-3，0)，C(0，-2)，則解得k=，b=-2所以直線AC的解析式為y=x–2把x=-1代入得y=，所以P(-1，)(3)S存在最大值∵DE∥PC，∴，即OE=3-，AE=OA–OE=方法一，連接OPS=S四邊形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED=+-==所以，當m=1時，S最大=方法二，S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD==(十一)建橋選址類31．如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？作法：設(shè)a、b的距離為r。①把點B豎直向上平移r個單位得到點B'；②連接AB'，交a于C；③過C作CDb于D；④連接AC、BD。證明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四邊形BB'CD是平行四邊形，∴CB'＝BD∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B在a上任取一點C'，作C'D'，連接AC'、D'B，C'B'同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B而AC'＋C'B'>AB'∴AC＋CD＋DB最短。本題是研究AC＋CD＋DB最短時的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則AC＋DB可轉(zhuǎn)化為AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，顯然，A、C、B'三點要在同一條直線上。32．如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？作法：(假設(shè)P'Q'就是在直線L上移動的定長線段)1)過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB',使它等于定長P'Q'；2)作出點A關(guān)于直線L的對稱點A'，連接A'B'，交直線L于P；3)在直線L上截取線段PQ=P'Q..則此時AP+PQ+BQ最小.略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形.下面只要說明AP+BQ<AP'+BQ'即可.點A與A'關(guān)于直線L對稱，則AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';AP'+BQ'=A'P'+B'P'.顯然,A'B'<A'P'+B'P'；(三角形三邊關(guān)系)即AP+BQ<AP'+BQ'.33．如圖，護城河在CC’處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD’，EE’，設(shè)護城河是東西——南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設(shè)計兩座橋梁DD’，EE’的位置，使由A地經(jīng)過兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BB’⊥a，AA’⊥b，且BB’=4，AA’=4，連接A’B’，交河岸于點E’，D’，分別過點E’、D’架設(shè)橋梁DD’，EE’，則ADD’E’EB是最短路線。因為四邊形ADD’A’、四邊形BEE’B’都是平行四邊形，所以BE=B’E’，AD=A’D’，因為A’，B’之間線段最短，所以ADD’E’EB是最短路線，又BF=64，AF=84，所以B’F=60，A’F=80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’=100，所以最短路線為108米34．如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線y=ax2上．(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；(2)平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點．①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．(1)直線AP的解析式為：y=-x+則Q的坐標為（，0）(2)①解法一：CQ=|-2-|=則拋物線y=x2向左移動個單位時，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y=（x+）2解法二：將拋物線y=x2向左移動m個單位，則A’(-4-m，8)，B’(2-m，2)，點A’關(guān)于x軸的對稱點是A’’(-4-m，-8)，直線A’’B’的解析式為：y=x+m-要使A’C+B’C最短，則點C應(yīng)在直線A’’B’上，將點C(-2，0)的坐標代入到直線A’’B’的解析式，得m=則拋物線y=x2向左移動個單位時，A’C+B’C最短拋物線的解析式為：y=（x+）2(2)②拋物線向左或向右平移時，使四邊形A′B′CD的周長最短，因為A’B’+CD是定值，只要使A’D+B’C最短即可當拋物線向右移動時，因為A’D>AD，B’C>BC，所以A’D+B’C>AD+BC，則在不存在一個向右的位置，使四邊形A′B′CD的周長最短當拋物線向左移動時，設(shè)A’(-4-a，8)，B’(2-a，2)，因為CD=2，則將點B’向左平移2個單位得到點B’’(-a，2).點A’關(guān)于x軸的對稱點是A’’(-4-a，-8)，直線A’’B’’的解析式為：y=x+m+2要使A’D+B’’D最短，點D應(yīng)在直線A’’B’’上將點D(-4，0)的坐標代入到直線A’’B’’的解析式，得m=故將拋物線向左平移時，否存在一個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為y=（x+）2提示：方法一，A′關(guān)于x軸對稱點A〞，要使A′C+CB′最短，點C應(yīng)在直線A〞B′上；方法二，由（1）知，此時事實上，點Q移到點C位置，求CQ=14／5，即拋物線左移14／5單位；②設(shè)拋物線左移b個單位，則A＇（-4-b，8）、B＇（2-b，2）?！逤D=2，∴B＇左移2個單位得到B″（-b，2）位置，要使A′D+CB＇最短，只要A′D+DB″最短。則只有點D在直線A″B″上。(十二)立體圖形35．桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關(guān)于杯口的對稱點A’。則BA’==15厘米36．一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點處尋找食物，已知點A到桶口的距離AC為12cm，點B到桶口的距離BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開圖如右圖所示，作點B關(guān)于CD的對稱點B’，連接AB’，交CD于點P，則螞蟻爬行路線A→P→B為最短，且AP+PB=AB+PB’，在直角△AEB’中，AE=CD=12，EB’=ED+DB’=AC+BD=12+8=20由勾股定理知，AB’=25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm四.兩點之間線段最短型37．恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運送游客．小民設(shè)計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點關(guān)于直線的對稱點是，連接交直線于點），到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大?。唬?）請你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個最小值．提示：涉及勾股定理、點對稱、設(shè)計方案。第（3）問是“三折線”轉(zhuǎn)“直”問題。再思考-------設(shè)計路線要根據(jù)需要設(shè)計，是P處分別往A、B兩處送呢，還是可以先送到A接著送到B。本題是對所給方案進行分析，似乎還容易一些，若要你設(shè)計方案，還需考慮一個方案路線，P→A→B。(1)在圖(1)中過點A作AC⊥BQ于點C，則BC=BQ-CQ=40-10=30，AB=40，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=40，所以PQ=40在Rt△BPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB=40所以S1=PA+PB=10+40在圖(2)中S1=A'B=PA+PB===10(2)如圖(2)在△EA'B中，有EB+EA'>A'B因為S1=EB+EA'，S2=A'B所以S1>S2(3)如圖(3)分別作點A、B關(guān)于x軸、y軸的對稱點A'，B'，連接A'B'，交x軸、y軸于點P、Q，則四邊形PABQ的周長最小構(gòu)造如圖在Rt△A'B'C中，B'C=30+30+40=100，A'C=10+40=50所以A'B'==5038．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當M點在何處時，AM＋CM的值最?。虎诋擬點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.(2)①連接AC，交BD于點M，則AM+CM的值最?、谶B接CE交BD于點M，則AM+BM+CM的值最小∵AM=EN，BM=NM，∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短(3)過點E作CB的延長線的垂線，垂足為F設(shè)正方形ABCD的邊長為2x則在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根據(jù)勾股定理：BF=在直角△CEF中，根據(jù)勾股定理：CE2=EF2+FC2得方程：解得：x=所以：2x=分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學生幾何、代數(shù)知識的運用能力。整個過程充分顯示了學生學習數(shù)學新知的一般過程：認知——論證——應(yīng)用。本題的難點在距離最小。第一小問設(shè)計由簡單的三角形全等的證明讓學生得出邊之間的相等關(guān)系，這里隱藏著由旋轉(zhuǎn)角60°得出的等邊三角形，從而得出BM=MN；第二小問設(shè)計的是一個探究過程，讓學生綜合學習過的基本數(shù)學知識進行探索，看學生對“兩點之間，線段最短”的掌握，要求學生具備轉(zhuǎn)化能力，建模能力等；第三小問的設(shè)計主要是將所探究的結(jié)論進行運用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想理念。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型。五.垂線段最短型39．如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____．作點B關(guān)于AD的對稱點B'，過點B'作B'E⊥AB于點E，交AD于點F，則線段B'E的長就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E=440．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值作AB關(guān)于AC的對稱線段AB'，過點B'作B'N⊥AB，垂足為N，交AC于點M，則B'N=MB'+MN=MB+MNB'N的長就是MB+MN的最小值則∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，∠ANB'=90°，∠B'=30°。所以AN=1在直角△AB'N中，根據(jù)勾股定理B'N=41．某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計），點M表示這所中學。點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處。為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請你在圖①中，畫出鋪設(shè)到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖②中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值。綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？方案一點M到甲村的最小距離是MB，MB=3，點M到乙村的最小距離是MD，MD=2，所以，最小值是3+2方案二作點M關(guān)于OE的對稱點M'，連接AM'，交CD于點P，則PA+PM=PA+PM'=AM'，AM'的長就是點P到A點和M點的距離之和的最小值.在Rt△AMM'中，用勾股定理求得AM'=4方案三作點M關(guān)于OF的對稱點M'，過點M'作M'H⊥OE于點H，交OF于點P、交AM于點G∵GM=3，∴HE=3，∵DE=3，∴H與D重合在Rt△HM'M中，M'H=2DH=442．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應(yīng)點的縱坐標相等，經(jīng)過點C（0，-2）的直線l與X軸平行，O為坐標原點。（1）求直線AB和這條拋物線的解析式：（2）以A為圓心、AO為半徑的圓記為圓A，判斷直線l與圓A的位置關(guān)系，并說明理由（3）設(shè)直線AB上的點D的橫坐標為-1，P（m，n)是拋物線y=ax2+bx+c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積。(1)AB：y=+1，拋物線：y=(2)AO=5，點A到直線l的距離這3+2=5，所以，直線l與圓A相切(3)D(-1，)，過點P作PH⊥l，垂足為H，延長HP交x軸于點G，設(shè)P(m，n)，則yp=∴OP2=OG2+GP2=m2+()2=()2，∴OP=PH=yp–yH=–(-2)=∴OP=PH要使△PDO的周長最小，因為OD是定值，所以只要OP+PD最小，∵OP=PH，∴只要PH+PD最小根據(jù)“直線外一點到這條直線上訓點的連線中，垂線段最短”，可知，當點D、P、H三點共線時，PH+PD最小因此，當點D、P、H三點共線時，△PDO的周長最小43．如圖：在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在X軸上，D在Y軸上，AB∥CD，AB=5，CD=3，AD=BC=，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點。（1）直接寫出點A、B、C、D的坐標及拋物線的解析式。（2）設(shè)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值。（3）當（2）中的M點運動到d取最大值時，記此時的點M為點N，設(shè)線段AC與y軸交于點E，F(xiàn)為線段EC上一動點，求F點到點與它到y(tǒng)軸的距離之和的最小值。(1)y=-x2+3x+4(2)設(shè)M(a，-a2+3a+4)，則d=a–a2+3a+4=-(a-2)2+8所以，當a=2時，d有最大值，且最大值是8，此時M(2，6)(3)作點N關(guān)于直線AC的對稱點N'，過點N'，作N'H⊥y軸于點H，交AC于點F，則F點到點N與它到y(tǒng)軸的距離之和的值最小直線AC的解析式為：y=x+1F點的橫坐標為2，則縱坐標為3，即F(2，3)而N(2，6)，所以FH=2，F(xiàn)N=3，則FN+FH=544．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(-6，0)、B(6，0)、C(0，)延長AC到點D，使CD=