陜西省洛南中學(xué)2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

陜西省洛南中學(xué)2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）

2.某人2018年的家庭總收人為80000元，各種用途占比如圖中的折線圖，2019年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)

如圖中的條形圖，已知2019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，則該人2019年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為（）

4040^

3535%

3()30%

2525%

2020%

|515%

|5010%

5%

儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)

A.21250兀B.2800。兀C.29750兀D.85000兀

3.《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“■一”表示一個(gè)陽(yáng)爻，表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，

這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）

333

A.B.C.D.

5628144

4.已知等差數(shù)列｛4｝中，若3%=2%,則此數(shù)列中一定為。的是（）

A.%B.%

5.已知關(guān)于x的方程Gsinx+sine-x]=/n在區(qū)間[0,21）上有兩個(gè)根X1,%，且卜一可24，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是（）

A.0,；]B.[1,2）C.[0,1）D.[0,1]

?2020

6.L=（）

1-1

A.—B.J2C.1D.-

24

7.等腰直角三角形與等邊三角形A3。中，ZC=90°,BD=6,現(xiàn)將△ABD沿折起，則當(dāng)直線AO與平

面BCD所成角為45。時(shí)，直線AC與平面所成角的正弦值為（）

A

A.3B.正C.2D.正

3223

8.等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為%若4=3,&=35,則數(shù)列｛%｝的公差為（）

A.-2B.2C.4D.7

9.已知四棱錐尸-A5CD中，K4,平面ABC。，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，=E為PC的中點(diǎn),

則異面直線BE與功所成角的余弦值為（）

AV13RV13?V15NA/15

393955

10.過(guò)點(diǎn)P（2訪26）的直線/與曲線y=J13-比交于交B兩點(diǎn),若2PA=5AB，則直線/的斜率為（）

A.2-6B.2+3

C.2+行或2-后D.2-出或拒-1

11.已知角a的終邊與單位圓好+/=1交于點(diǎn)貝bos2a等于()

12.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門(mén)廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國(guó)的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們

是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、

碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是

博士學(xué)位；⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的，學(xué)位是什么()

A.國(guó)防大學(xué)，研究生B.國(guó)防大學(xué)，博士

C.軍事科學(xué)院，學(xué)士D.國(guó)防科技大學(xué)，研究生

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.不等式依+1+lnx<xe'對(duì)于定義域內(nèi)的任意工恒成立，則。的取值范圍為.

2—lx+11,%1

14.已知函數(shù).f(x)=,?，函數(shù)g(x)=/(x)+/(r),則不等式g(x)?2的解集為一.

aln%-x2(x>0)

15.設(shè)實(shí)數(shù)a>0,若函數(shù)/(x)=1/、的最大值為則實(shí)數(shù)。的最大值為_(kāi)_____.

x+-+a+2(x<0)

3y+2%-120

16.平面區(qū)域y+4%—7<0的外接圓的方程是.

y-x-2<0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.(12分)在直角坐標(biāo)系中，橢圓c：T+[=i(a〉6〉o)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,月，點(diǎn)〃在橢圓C上且

ab

軸，直線M可交y軸于"點(diǎn)，。〃=也，橢圓C的離心率為正.

42

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)耳的直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足|。4+2。4=|54-。川,求AABO的面積.

18.(12分)改革開(kāi)放40年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車(chē)保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

（I）求。的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；

（II）已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別

有關(guān)；

（ni）在（H）的條件下，從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人，求抽到的女性人數(shù)x的分布列及期望.

n(ad-be)2

其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

20

19.（12分）已知矩陣"=]],求矩陣M的特征值及其相應(yīng)的特征向量.

20.（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)

活動(dòng)的有效開(kāi)展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前7天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，V表示第％

天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：

X1234567

y58810141517

(i)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于*的線

性回歸方程9=%+6；

(2)該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則

沒(méi)有購(gòu)物券.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為,，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為g.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本

次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

77

參考公式：$=號(hào)----------，a=y-bx,2>/=364,1>,2=140.

212z=lz=l

x.-nx

Ei=l

21.(12分)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式，為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的

普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析，從而

得到表(單位：人)

經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)

男性50100

女性70100

合計(jì)

(1)完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)？

(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券，求選取的3

人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;

②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

n[ad-bc)

參考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

P『K。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

K。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)在三棱錐S—ABC中，AABC是邊長(zhǎng)為2G的正三角形，平面5ACL平面ABC,5A=SC=2,M、

N分別為A3、SB的中點(diǎn).

(1)證明：AC±SB；

(2)求三棱錐8-OWN的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

x<y

設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為羽y,以12：oo點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有「在平面直角

坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,

10?10L創(chuàng)010-！倉(cāng)$5Q

p=22=2?

‘10,108

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2、A

【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%得到就醫(yī)費(fèi)用80000x10%=8000,再根據(jù)2019年的

就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，得到2019年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收入15%,

得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人25%求解.

【詳解】

因?yàn)?018年的家庭總收人為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%

所以就醫(yī)費(fèi)用80000x10%=8000

因?yàn)?019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，

所以2019年的就醫(yī)費(fèi)用12750元，

而2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收入15%

所以2019年的家庭總收入為12750+15%=85000

而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人25%

所以?xún)?chǔ)畜費(fèi)用：85000x25%=21250

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

分類(lèi)討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)

有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿(mǎn)足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.

【詳解】

由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿(mǎn)足條件，其種數(shù)是《=3；

僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿(mǎn)足條件的種數(shù)是C；=3,于是所求的概率

c廠

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為q,d的形式，由此確定數(shù)列為0的項(xiàng).

【詳解】

由于等差數(shù)列｛風(fēng)｝中34=2%,所以3（q+4d）=2（q+6d）,化簡(jiǎn)得4=0,所以%為0.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

7T

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn)，構(gòu)造新的函數(shù)y=2sin(x+-),將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)

題，畫(huà)出函數(shù)圖象，再結(jié)合上一可之乃，解得相的取值范圍.

【詳解】

由題化簡(jiǎn)得出sinx+cosx=7〃，m=2sin(x+—),

7T

作出y=2sin(x+：)的圖象,

又由上一百2%易知OWm<l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，方程的根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法，求得范圍.屬于中檔題.

6、A

【解析】

?2020

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)—化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】

11.

—+—1

1-z1-z(l-z)(l+z)22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

設(shè)E為中點(diǎn)，連接AE、CE,過(guò)A作于點(diǎn)O,連接。0,得到NADO即為直線AD與平面5。所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到NC4E即為直線AC與平面A5O所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設(shè)E為80中點(diǎn)，連接AE、CE,

由題可知CE±BD,所以平面AFC,

過(guò)A作AO_LCE于點(diǎn)。，連接O。，則49,平面6。。，

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,

所以sinNADO=正=也，可得AO=30，

2AD

在/\AOE中可得OE—3,

又OC=^BD=3,即點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，此時(shí)有AC,平面5C。，

2

過(guò)C作與點(diǎn)尸，

又平面AEC,所以BDLCF,所以C廠，平面板）,

從而角ZCAE即為直線AC與平面ABD所成角，sinZCAE=-=^-=^-,

AE3A/33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解，在解題的過(guò)程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

8、B

【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得的，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.

【詳解】

在等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則$5=5（4；6）=5%=35=>%=7

貝!]%=q+2d=3+2d=7=>d=2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

/、BE-PD

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用cos（3E,PD）=BWq即可得解.

【詳解】

平面ABC。，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，

..?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,川0,0,君），D（0,2,0）,

E為PC的中點(diǎn)，等;.

帥=1,1噌，PD=（0,2,-^5）,

1

/吶Pn\_BE"D_—2_如

\/\BE[\PD\恒339

異面直線班與P。所成角的余弦值為cos（BE,PD）即為巫.

'/39

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

利用切割線定理求得利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得NAPO=30°,結(jié)合NPQx=45，

求得直線I的傾斜角為15，進(jìn)而求得I的斜率.

【詳解】

曲線y=1為圓/+丁=13的上半部分，圓心為（0,0）,半徑為JR.

設(shè)P。與曲線y=二7相切于點(diǎn)Q,

則|尸0『=歸山,歸邳=歸旬,％|+|45|）=|PO「TOQ「=35

所以|Z4|=5,|AB|=2,

2G2gl土，工十

0到弦AB的距離為y/13-L=2A/3，sinZAPO=]—7==-，所以NAPO=30。，由于ZPOx=45，

\OP\2Vr6xVr22

所以直線/的傾斜角為45-30=15，斜率為f=tan（45-。）=優(yōu)|黑篙=2-后

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

11、B

【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出sina,再由二倍角公式可求cos2cr.

【詳解】

解：角a的終邊與單位圓尤2+y2=i交于點(diǎn)叫,為

1

cosa--

3

cos2a2cos之=2x

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；

則丙來(lái)自軍事科學(xué)院；

由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙為學(xué)士.

綜上可知，丙來(lái)自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(—co,l]

【解析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為aWxe'—1優(yōu)—1只對(duì)于(0,+。)內(nèi)的任意x恒成立,令

X

x_1^+lnx_l1

AXep_Z，Un

.-.g(x)==-------則只需在定義域內(nèi)a<g(x)11m即可，利用放縮法e-x+1,得出

XX

ex+]nx>x+lnx+l，化簡(jiǎn)后得出9(x)3,即可得出。的取值范圍.

【詳解】

解：已知以+1+Inx<xe”對(duì)于定義域(0,+。)內(nèi)的任意》恒成立，

即a<W-bvc-l對(duì)于(0,+勿)內(nèi)的任意x恒成立，

令g(x)=xdxT,則只需在定義域內(nèi)a<g(x)1nhi即可，

z、xex-lnx-l^-e%-lnx-lex+inx-\nx-l

，g(町=-----------=---------------=--------------，

XXX

ex>x+l>當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

由+l可知，，+inxZx+inx+l,當(dāng)x+lnx=。時(shí)取等號(hào)，

/、ex+]nx-lnx-1x+lnx+l-lnx-1

「.<?(%)=------------->-------------------=1,

xx

當(dāng)x+lnX=0有解時(shí)，

令/z(x)=%+ln%(%>0),則〃(％)=1+工>0,

x

??)(%)在(O,+8)上單調(diào)遞增，

又^=--1<0,為⑴=1>0,

玉oe(o,-H?)使得可/)=0,

???g(4n=L

則〃<1,

所以。的取值范圍為(—00,1].

故答案為：(f』.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問(wèn)題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算能力.

14、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

/(%)=<1-X,-1<X<1,/(-%)=<l+x,-l<x<1,

(x-l)2,x>1(x+1)2,x<-1

x+3x+4,x<—1

所以g(無(wú))=<2,-1<X<1

x2-3x+4,x>1

所以g(x)<2的解集為[-2,2]。

點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式。本題先對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行分段處理，再得到了(-%)的解析式，求得g(x)的分段函數(shù)

解析式，再解不等式g(x)W2即可。絕對(duì)值函數(shù)一般都去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。

15、2e3

【解析】

根據(jù)/(-1)=。，則當(dāng)％>0時(shí)，a\nx-x2<a，即a(lnx-l)Wf.當(dāng)0<xW1時(shí)，a(lnx—1)W顯然成立；當(dāng)％>i

時(shí)，由a(lnx-1)《丁，轉(zhuǎn)化為工2見(jiàn)乒，令g(x)="ll(x>l),用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.

ClXX

【詳解】

因?yàn)?(-1)=。，又當(dāng)x>0時(shí)，a\nx-x2<a，即

當(dāng)0<xWl時(shí)，a(lnx-l)Wx2顯然成立；

1l_1

當(dāng)龍>1時(shí)，由a(lnx-1)《三等價(jià)于上》吧nr「,

ax

./xInx-1/n,/x3-21nx

令g(x)=1^(x>l)，g，(x)=｛，

C3\

當(dāng)xel,e2時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

\7

r3A

當(dāng)x￡e，,+oo時(shí)，g'(尤)<0,g(x)單調(diào)遞減，

kJ

(111

g(xL=gF卜彳則L，

又a>0,得a<2e3>

因此。的最大值為2e3.

故答案為：2e3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

,211912c

16>x~+y---%——y----=0

55-5

【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域?yàn)槿切?，求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0,將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出。、E、R的值，即可得出所求圓的方程.

【詳解】

+2x-l>0

作出不等式組y+4%-7<0所表示的平面區(qū)域如下圖所示:

y-x-2<0

y-x-2=0\x=l/、

由圖可知，平面區(qū)域?yàn)锳BC,聯(lián)立《“rc，解得C，則點(diǎn)4(1,3),

y+4x-7=0[y=3、7

同理可得點(diǎn)8(2,-1)、C(-l,l),

設(shè)ABC的外接圓方程為犬+^+6+4+/=0,

D+3E+F+10=0

11912

由題意可得2。—E+R+5=0,解得。=——,E=—,F=——,

355

-D+E+F+2=Q

,,11912

因此，所求圓的方程為f+丁一丁工―,丁一三=0.

M田田4，211912

故答案為：x+y——x——y——=n0.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形外接圓方程的求解，同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以

及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)—+/=1；(2)濁.

25

【解析】

(1)根據(jù)離心率以及颯=20”,即可列方程求得仇c,則問(wèn)題得解;

(2)設(shè)直線方程為x=1,聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的。4。3=0,即可求得參數(shù)加，

則三角形面積得解.

【詳解】

r2V2b1

(1)設(shè)8(c,0),由題意可得工+4=1,為1=±￡_.

ab"a

因?yàn)?”是的中位線，且?！?變，

4

所以|〃居|=受，即,=也，

2a2

因?yàn)閑=￡==/+/

a2

進(jìn)而得〃2=1,〃2=2,

所以橢圓方程為］+v=l

(2)由已知得|。4+204=|。4-2。4兩邊平方

整理可得0A.08=0.

當(dāng)直線/斜率為0時(shí)，顯然不成立.

直線/斜率不為。時(shí)，

設(shè)直線I的方程為x=my-l.A(x1,^).B(x2,y2),

x=my—1

聯(lián)立爐消去七得（加2+2）,2—2my—1=0,

——+y=1

―—2m—1

所以％+%=y—心

由。3=0得%/+%%=0

將為^myx-l,x2=my2T代入

整理得（，孫-1）。孫2-1）+%%=0，

2

展開(kāi)得myxy2-力z（x+%）+1+%%=0，

整理得加=±變，

2

所以％BL］。制孚?即為所求?

【點(diǎn)睛】

本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.

2

18、(I)a=0.016.0.2(II)見(jiàn)解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(DI)見(jiàn)解析，|

【解析】

(I)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.

(II)完善列聯(lián)表，計(jì)算K?=9>7,879，對(duì)比臨界值表得到答案.

(in)X的取值為0」,2,,計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(I)10(0.004x2+0.008+?+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率P=0.16+0.04=0.2.

(II)

安全意識(shí)安全意識(shí)合

強(qiáng)不強(qiáng)計(jì)

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

計(jì)

(16x46—4x34)2x1000

K~=--------------------------=9>7,879，

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)

(HI)X的取值為0,12

噂=0)當(dāng)嘿"=1)=等=||，P(X=2)=卷=[,

所以X的分布列為

X012

12323

P

199595

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

-01「「

19、矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為］,矩陣/屬于特征值2的一個(gè)特征向量為］

【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令/")=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特

征向量.

【詳解】

/、彳—20,

由題意，矩陣M的特征多項(xiàng)式為."4)=［,=萬(wàn)一34+2,

—1/L—1

令/“)=0,解得4=1，4=2,

(2_2),犬+0,y=0

將4=1代入二元一次方程組'Z八.八，解得％=0,

-x+［A-l)y=0

「01

所以矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為］；

T

同理，矩陣"屬于特征值2的一個(gè)特征向量為］v

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)y=2x+3;(2)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：

(I)由題意可得亍=4,y=U,則3=2，a=3,V關(guān)于x的線性回歸方程為》=2x+3.

(II)由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額X的可能取值有0、300>600>900、1200元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:

P（X=0）=：,P（X=300）=|,P（X=600）=^,P（X=900）=京.據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期

望為￡X=400元.

試題解析:

（I）依題意：%=1（1+2+3+4+5+6+7）=4,

177

2

y=-（5+8+8+10+14+15+17）=11,2xz=140,?/=364,

7i=\z=i

￡工群一手

364-7x4x11「

140-7x16=2,S=J麻=11-2x4=3,

訃-7丁

則y關(guān)于X的線性回歸方程為夕=2x+3.

（II）二人所獲購(gòu)物券總金額X的可能取值有0、300、600、900、1200元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:

P（X=0}=-x-=-,P（X=300）=2x-x-=-,P（X=600）=-x-+2x-x-=—

'7224'7233''332618

P（X=900）=2x-x-=-,P（X=1200）=-x-=—.

[7369v76636

所以，總金額X的分布列如下表：

X03006009001200

￡15j_1

P

4318936

總金額X的數(shù)學(xué)期望為m=0義工+300義工+600*』+900><工+1200><工=400元.

4318936

21、（I）詳見(jiàn)解析；（II）①4券9；②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.

60

【解析】

（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得K?=三六8.333>6.635,由此