2024年中考數(shù)學幾何模型復習-共頂點模型

共頂點模型

破解策略

L等邊三角形共頂點

已知等邊AABC與等邊ADCE,B,C,E三點共線.

如圖，連接BD,AE,交于點F,BD與AC交于點G,AE與DC交于點H,連接CF,GH,則:

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

⑶NAFB=NDFE=60°;

(4)FC平分NBFE;

(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC;

(6)ACGH為等邊三角形.

(CA=CB,

證明(1)由已知條件可得)N4CE=NBCD,

(EC=DC,

貝!]AACE名Z\BCD.

⑵由⑴可得AE=BD.

(3)由(1)可得/GAF=NGBC,而ZAGF=NBGC,所以NDFE=NAFB=NACB=60。.

(4)方法一:如圖，過點C分別作BD,AE的垂線，垂足為M,N.

由(1)知SACE=S/WD即加-CM=-CN,所以CM=CN,故FC平分/BFE.

方法二:由NCAF=NCBF可得A.B,C,F四點共圓,所以NBFC=NBAC=60。.

同理可得NCFE=NCDE=60。.

所以FC平分/BFE.

(5)如圖，在BD上取點I,使得NFCI=60。則ACFI為等邊三角形.

易證ABCI之ZXACF,所以BI=AF,IF=CI=CF.

從而BF=BI+IF=AF+CF.

同理可得EF=DF+CF.

(6)易證AACH名△BCG(ASA),所以CG=CH.

而NGCH=60。,所以ACGH為等邊三角形.

2.等腰直角三角形共頂點

已知在等腰RtAACB與等腰RtADCE中,NACB=/DCE=90。.

A

DD

圖】

如圖1,連接BD,AE,交于點F.連接FC.AD,BE,則:

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

(3)AE±BD;

(4)FC平分NBFE;

(5)4爐+DE2=AD2+BE2-,

(6)BF=4F+V2FC,EF=DF+V2FC;

(7)如圖2,GJ分別是BE,AD上的點，①若G是BE的中點，則(GC1AD(反之亦然);②若IC_LBE.則I是AD的中點(反之

亦然)；

(8)SACD=SB.E,

證明(1)(2)⑶(4)的證明可參閱本節(jié)“1.等邊三角形共頂點”；

(5)由(3)和勾股定理可得A.B2+DE2=(AF2+BF2}+(DF2+EF2)=(4產+DF2}+(BF2+EF2)=AD2+BE2.

(6)如圖，過點C作CKUC與BD交于點K,則ACFK為等腰直角三角形.

易證ABCK冬Z\ACF,所以BK=AF.

從而BF=BK+KF=AF+y[2FC.

同理可得EF=DF+V2FC.

⑺①如圖，延長AD,GC,交于點H,延長CG至點K,使得(GK=GC,,連接BK.

易證NKBG=NCEG,BK=EC=CD.

由題意可得ZACD+NBCE=NCBE+/CEB+/BCE=180。，

所以NACD=ZCBE+ZCEB=ZCBG+ZGBK=ZCBK.

Ak[fOAACD^ACBK(SAS),fiFfUZZCAD=ZBCK.

所以NACH+NCAH=NACH+NBCK=90。,故GC±AD.

②如圖,延長IC交BE于點J,分別過點A,D作直線CI的垂線，垂足為M,N.

由弦圖模型可得AAMC/aCJBADNC當

所以AM=CJ=DN.S^WAAMIADNI,

所以AI=DI,即得證.

(8)在⑺的證明過程中可得到SAACD=SABE;t也可以用下面的方法來證明.

如圖，過點D作DP±AC于點P,過點E作EQ_LBC,與BC的延長線交于點Q.

易證ADPCdEQC(AAS),所以DP=EQ.

所以觸P-AC=^EQ-BC,即SAACD=SABCE.

3.等腰三角形共頂點

已知在等腰AACB與等腰ADCE中,CA=CB.CD=CE,且NACB=NDCE.

如圖.連接BD,AE,交于點F,則：

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

(3)ZAFB=ZACB;

(4)FC平分NBFE.

4相似三角形共頂點

已知在AACB和AECD中，”=—,Z.ACB=乙ECD.

如圖，連接BD,AE,交于點F,則:

(l)ABCD^AACE;

(2)ZAFB=ZACB.

(BC_AC

證明(1)由已知條件可得法=Q

JBCD=/.ACE.

所以AACEs/iBCD.

(2)令AC與BD交于點G,則ZAGF=ZBGC.

由(1)可彳導NCAF=NCBF,所以NAFB=NACB.

例題講解

例1如圖.AABC和ACDE都是等邊三角形,且點A,C,E在同一直線上,AD與BE,BC分別交于點F,M,BE與CD交

于點N,連接MN.下列結論中正確的是一(寫出所有正確結論的序號).

①AM=BN;

②4ABF當/WNF;

③NFMC+NFNC=180°;

JMNACCE

分析本題為兩個等邊三角形共頂點，利用模型的結論即可解決問題.

解答

例2⑴【問題】如圖1,在RtAABC中,AB=AC,D是BC邊上一點(不與點B,C重合)，將線段AD繞點A按逆時針方向旋

轉90。得到AE,連接EC，則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關系式為____；

(2)【探索】如圖2,在RtAABC與RtAADE中,.AB=AC,AD=4E,,將AADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探

索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

(3)【應用】如圖3,在四邊形ABCD中,NABC=NACB=NADC=45。.若8。=9,。。=3,,求人口的長.

圖1圖2圖3

分析⑴顯然AABD竺4ACE；⑵圖2為等腰直角三角形共頂點模型，從而得三角形全等；⑶構造等腰直角三角形共

頂點模型，從而解決問題.

解答

例3如圖1,點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE_LBC于點E,GF_LCD于點F.

⑴【推斷】意的值為；

(2)【探究與證明】如圖2,將正方形CEGF繞點C順時針旋轉(a(0°<a<45。),,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關

系，并說明理由；

⑶【拓展與運用】如圖3,正方形CEGF在旋轉的過程中，當B,E,F三點在一條直線上時，延長CG,與AD交于

點H.若AG=6,GH=2則BC=.

圖1圖2圖3

分析⑴平移BE與AG可構成等腰直角三角形；⑵連接CG,圖中有相似三角形共頂點，進而得線段間的關系；(3)

正方形共頂點的圖形中既有等腰直角三角形共頂角頂點，又有等腰直角三角形共底角頂點，充分利用所得的結論即可.

解答

例4在AABC中,CA=CB,NACB=a.P是平面內不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉a得

到線段DP,連接AD.BD.CP.

(D【觀察猜想】如圖1,當a=60。時噌的值是_____直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是—.

(2)【類比探究】如圖2,當a=90。時,請寫出詈的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖2的情形說

明理由.

(3)【解決問題】當a=90。時，若E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上,請直接寫出點C,P,D在同一直線上時黨的

備用圖

分析圖1為兩個等邊三角形共頂點，圖2為兩個等腰直角三角形共銳角頂點，即相似三角形共頂點，(1)(2)問均可直接利

用模型的結論得解；⑶問中需要注意的是別漏解，先畫出滿足要求的圖形，再利用模型的結論解決問題.

解答

例5(1)【問題提出】如圖1.在AABC中,AB=AC,點D在AB上.過點D作DE〃:BC與AC交于點E.連接CD.F,G,H分

別是線段CD,DE,BC的中點，則線段FG與FH的數(shù)量關系是;

(2)【類比探究】將圖1中的AADE繞點A旋轉到圖2中所示的位置，上述結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不

成立，請說明理由；

(3)【拓展延伸】如圖3,在RtAABC中,NC=90o,AC=5,BC=12,點E在BC上,BE=鬧,，過點E作ED_LAB于點D將

△BDE繞點B按順時針方向旋轉，連接AE,取AE的中點F,連接DF.當AE±AC時，線段DF的長度為.

分析⑴利用等腰三角形的性質和中位線的性質即可；⑵圖2為等腰三角形共頂點，得三角形全等，再根據(jù)中位線的

性質來證明；(3)構造等腰三角形共頂點模型,即可解決問題.

解答

進階訓練

1.在菱形ABCD中,NABC=6(T,P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE,點E的位置隨點P的位置變化而

變化.

⑴如圖1,當點E在菱形ABCD內部或邊上時,連接CE,貝!]BP與CE的數(shù)量關系是_____,CE與AD的位置關系是

(2)如圖2,當點E在菱形ABCD外部時，(1)中的結論是否還成立?若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；

⑶如圖3,當點P在線段BD的延長線上時，連接BE若AB=2低BE=2內,求四邊形ADPE的面積.

⑴請直接寫出HD:GC:EB的結果;

(