青海2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)(理)第一次模擬考試試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=(aT)-2a1("?,且忖=5,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，貝抬=()

“c1212

A.—2B.----C.2D.—

55

【答案】A

解析：由題意忖=—+(_2才=5，得5a2-2a—24=0,得。=一2或a=￡,

。一1<0

因Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以〈，故4<0,故a=-2,

—2a>0

故選：A

2.已知集合4=卜|丁=坨(一/+2%+3)｝,B=1%|%2-4<0｝,則()

A.(-1,3)B.(-1,2)c.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】c

解析：由一無2+2無+3>0得：X2-2X-3=(X+1)(X-3)<0,.-,-1<X<3,.,.A=(-l,3)；

由》2一4<0得：(x+2)(無一2)<0,2<x<2,...8=(—2,2),...AUB=(—2,3).

故選：c.

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為S"，若%=7,%=16,則幾=()

A.325B.355C.365D.375

【答案】D

解析：因?yàn)閿?shù)列｛g｝為等差數(shù)列，4=7,a5=16,

公差d=~~~=3,4=出一d=4,

5-2

,15x(15-1)

所以SB=4x15+——----^x3=375,

152

故選：D.

4.某中學(xué)的高中部共有男生1200人，其中高一年級(jí)有男生300人，高二年級(jí)有男生400人.現(xiàn)按分層抽樣

抽出36名男生去參加體能測(cè)試，則高三年級(jí)被抽到的男生人數(shù)為()

A9B.12C.15D.18

【答案】C

解析：高三年級(jí)被抽至ij的男生人數(shù)為36x120°—300—40°=36-9=15.

120012

故選：C.

5.已知雙曲線C：0—5=1（。〉0,6〉0）的一條漸近線的方程為2x—3y=。，若C的焦距為2JIi,

則。+〃=（）

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

f

解析：由于雙曲線?！嗟臐u近線是y=—b九和丁=—b—%,故漸近線的斜率的絕對(duì)值為一b,

abciaa

22

而直線2x—3y=0即直線y=—x的斜率為女，故h一=一2.

33a3

又由于該雙曲線的焦距為2JW，故,=加，從而，片+不=c=JB.

故選：B.

6.現(xiàn)從含甲、乙在內(nèi)的10名特種兵中選出4人去參加搶險(xiǎn)，則在甲被選中的前提下，乙也被選中的概率為

)

11

B.C.一D.

456

【答案】A

解析：記A3分別表示“甲被選中”和“乙被選中

42

由于一共有10名特種兵，而要從中選出4名，故尸（4）=歷=1.

而從10名特種兵選出4名時(shí)，如果甲和乙被選中，則剩余2個(gè)被選中的人可從甲和乙之外的8名特種兵中

任意選擇2名，

Q2289

故選取方式有C；種，從而P（AB）=不=不引=工.

<-?4J.U_LJ

2

故P（.A）=彳果吟。A正確,

5

故選：A.

7.如圖所示，該圖形由一個(gè)矩形和一個(gè)扇形組合而成，其中矩形和扇形分別是一個(gè)圓柱的軸截面和一個(gè)圓

TT

錐的側(cè)面展開圖，且矩形的長(zhǎng)為2,寬為3,扇形的圓心角為一，半徑等于矩形的寬，若圓柱高為3,則圓

3

柱和圓錐的體積之比為（）

A.72:37B.72:35C.72:歷D.72:底

【答案】D

解析：因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)為2,寬為3,所以圓柱的底面半徑為1,高為3,

所以圓柱的體積為jir2h=71x12x3=371，

TT

因?yàn)樯刃蔚膱A心角為一，半徑等于矩形的寬，所以半徑為3,

3

71

根據(jù)弧長(zhǎng)公式可以得到扇形的弧長(zhǎng)為3oo，

▲一x2兀x3=7i

2兀

兀1

又扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，所以圓錐底面圓的半徑為一=—,

2兀2

所以根據(jù)圓錐的體積公式得到圓錐的高為，二:=半

所以圓錐的體積為工兀/丸='*兀><0.52*痘=返兀，

33224

3K_72

所以圓柱和圓錐的體積之比為7嬴=而，

24

故選：D.

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=10,則判斷框中應(yīng)填（)

A.〃V10B.Z2<10c.n>10D.〃三10

【答案】C

解析：第一次循環(huán)S=0+l,〃=2,第二次循環(huán)S=l+1,〃=3

第九次循環(huán)s=9,〃=io,第十次循環(huán)s=io,〃=n,此時(shí)結(jié)束循環(huán)，所以〃>io.

故選：C

9.在梯形ABC。中，AD//BC,AD=6,BC=8,AB=4,CD=5,E,F分別為/W,BC的中點(diǎn)，則￡F=

）

C.J19

過點(diǎn)E作EG//AB,交3c于G,EHIICD,交BC于H,

又因?yàn)锳D//BC,EG//AB,EH//CD,

所以四邊形ABGE和四邊形CDEH為平行四邊形，

所以AE=BG,DE=CH,AB=EG,DC=EH

因?yàn)锳D=6,BC=8,AB=4,CD=5,

所以GH=BC—（BG+CH）=BC—AD=2,

因?yàn)镋,F分別為A。，BC的中點(diǎn),

所以AE=DE,BF=CF,

所以GF=FH,

EG~+GH~-EH242+22-525

所以在一EGH中，cosNEGH=

2EGGH2x4x216

所以在EG歹中，EF2=EG2+GF--2EG-GF-cosZEGH=—,

2

所以匹=也?，

2

故選：A.

10.已知函數(shù)/（x）=Asin（°x+0）［A〉0,0〉0,閣＜'J圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為,距離

C點(diǎn)最近的一個(gè)零點(diǎn)為彳，設(shè)B點(diǎn)在y軸左側(cè)且為了（尤）圖象上距離y軸最近的一個(gè)對(duì)稱中心，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，則3OC的面積為（）

兀兀兀

A.兀B.—C.—D.一

236

【答案】C

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/（X）圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為,

故A=2，

又距離c點(diǎn)最近的一個(gè)零點(diǎn)為0,

3

所以4=4一即7=兀，

43124

所以。二2,

將21代入/（%）=2sin（2x+0）,得2*得+夕=］+2E,左eZ,

,，71

解得夕=—§+2左兀/￡Z,

因?yàn)閨。|＜］，所以9=-1，

所以/（X）=2sinj^2x-,

-^2x--=kn,keZ,則》=&+如,左eZ,

362

因?yàn)锽點(diǎn)在y軸左側(cè)且為了（X）圖象上距離y軸最近的一個(gè)對(duì)稱中心，

叫一則，

所以SB0C=gx/x2=g.

故選：C

11.我們把函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積稱為該點(diǎn)的''積值〃.設(shè)函數(shù)

,z、一九2—6x+5,九(0

圖象上存在不同的三點(diǎn)4B,C,其橫坐標(biāo)從左到右依次為耳，巧，￡，且

er-1,x>0

其縱坐標(biāo)均相等，則48,C三點(diǎn)〃積值〃之和的最大值為()

A.51n6—30B.51n6—60C.61n5—30D.61n5—60

【答案】A

解析：依題意，A,B,c三點(diǎn)"積值"之和為(％+/=/(%)=/(X2)=/(%3)，

—2%—6x<0

因?yàn)榱?(%)={x；—，可得“X)在(—8,—3)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(—3,0)上單調(diào)遞減，

e,x>u

當(dāng)Xf—co時(shí)，-,"—3)=14,y(-6)=/(O)=5；

當(dāng)xf+co時(shí)，/(X)f+8,可畫出大概圖象:

且有玉<%<%3，使得/(石)=/(%2)=/(七)，那么必有七G[-6,-3),X2e(-3,0],x3e[in6,In15),

且占,%關(guān)于％=-3對(duì)稱，即西+々=一6,y=/(^)=/(x2)=/(x3),JG[5,14),

石=-3_\14-。,9=-3+J14-y,演=ln(l+y),

則AB,C三點(diǎn)“積值”之和(%+%2+&)丁=丁皿1+丁)一6y，

(1+y)ln(l+y)5y—6

令0(y)=yg(i+y)—6y,°'(y)=<0,o(y)單調(diào)遞減,

i+y

當(dāng)y=5時(shí)取最大值,0（5）=51n6—30,

故選：A.

12.已知過拋物線C：V=8x焦點(diǎn)F的直線/與C交于4,B兩點(diǎn)，以線段48為直徑的圓與y軸交于D,E

\DE\

兩點(diǎn)，則口的取值范圍為（）

(04仕叵

A.(0,1]B.C.1D.

r\2'V」

【答案】B

拋物線C/=8%,所以焦點(diǎn)/（2,0）,

所以當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線/的方程為y=左（％—2）（左wO）,8（%2，%），

，二：2），得上2%2—（4左2+8）x+4%2=0,

由＜

必由于圓心”為的中點(diǎn)則川

2+8A8AB，2+p■，%

所以X1+Z=4+F

根據(jù)拋物線的定義可知\AB\=Xl+x2+p=8+—,

所以圓H的半徑r=g|A3|=4+W，

過H作HGLOE,垂足為G,則|"G|=2+W，根據(jù)垂徑定理,

得|DE|=2|DG|=2/2THG1=2,12+1|,所以

則西二「\"12+，=彳=%

k24（k2）t

又知/在（26,+。）上單調(diào)遞增，

所以“（，）〉丸（2逝）=卓，所以押

III

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=2,

此時(shí)|AB|=石+%+P=8,0同=2\DG\=2d42-*=46，

幽=如

所以畫一三

片\D的E取值范圍為

綜上,H：

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.已知向量a=（3,2）,匕=（一2,1）,則向量a+b在匕方向上的投影為

【答案】

55

解析：因?yàn)橄蛄縜=（3,2）,&=（-2,1）,所以a+b=（l,3）,

/.（a+b\b1J5

則（a+b）z=-2+3=1,所以向量a+匕在沙方向上投影為：,―,---=—t==——

',問V55

故答案為：旦

5

14.已知函數(shù)/（x）=e*—ef+%,則不等式〃2nz-2）+/（m+l）＞0的解集為

【答案】11,+00

解析：/（￡）的定義域?yàn)镽,/（-%）=e-x-ev-x=-/（%）,

\/（x）為定義在R上的奇函數(shù)；

-y=e*與y=x均為R上的增函數(shù)，y=e-，為R上的減函數(shù)，

\/'（x）為定義在R上的增函數(shù)；

由/（2加一2）+/（機(jī)+1）>0得：f（2m-2）>-f（m+1）=/（-m-1）,

,解得：機(jī)〉；，；./（2加一2）+/（m+l）>0的解集為，,+（?].

故答案為：+°°^.

15.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且％=1,an-an_^T~\n>2）,若對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式

2

（2+2）（l+S?）log2a2n>n恒成立，則％的取值范圍為.

【答案】]一|，+81

解析：因?yàn)?=1,=2"-2（n>2）,

所以由累加法可得

an=a\+（為一6）+（%一。2）++（4一?！?1）

=1+2°+21++2"號(hào)

2

=2+-

=2+2x（2"-2—1）

=2”T

當(dāng)”=1時(shí)，4=1符合上式，所以4,=2"一，

所以SJ'。--J"—1，々”222,

“1-2

（2+X）（l+S.）log2a2"

,,2n-1

=（2+2）（l+2-l）log22

=（2+2）x2"x（2n-l）

因?yàn)椴坏仁剑?+4）（l+S"）k）g2%＞“2恒成立，即（2+丸）義2"＞＜（2〃一1）＞“2恒成立,

rT

即2+彳＞折mE亙成立，

又2〃-121,所以

n2n22"1

2

當(dāng)〃＞4時(shí),n<2",貝！J~~~7~------<~~~二<~~~二=—，

2"X（2H-1）2"X72"X77

n2_9_9

當(dāng)〃二3時(shí),

2,lx（2n-l）―8^5~40，

n2_4_1

當(dāng)〃=2時(shí),2nx（2n-l）―4^3"3'

n2_1_1

當(dāng)〃=1時(shí)，

2nx（272-l）

所以當(dāng)〃=1時(shí)，不等式右邊取得最大值

13

所以2+2〉不解得兄＞一:，

22

故答案為：[~^2，+°°],

16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：斜解立方，得兩塹堵.其意思是：一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面一分為

二，得到兩個(gè)一模一樣的塹堵.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—A4Goi中，AB=3,BC=4,M=5,將

長(zhǎng)方體ABC。-沿平面ABGR一分為二，得到塹堵3CG-AD2,下列結(jié)論正確的序號(hào)為

①點(diǎn)C到平面ABC.D.的距離等于生叵；

41

②GS與平面A5CD所成角的正弦值為生包;

41

③塹堵BCQ-AD"外接球的表面積為100兀；

④塹堵BCQ-沒有內(nèi)切球.

【答案】①④

解析：如圖所示：

由于A5垂直于平面3CG4，在平面BCC4內(nèi)，所以GBLAB.

而AB=DC=D￡,所以有平行四邊形從而四邊形是矩形.

對(duì)于①，由于四面體A5CG的體積V=1Q|AB|-|BC|^-|AA1|=jxQx3x4^|x5=10,

同時(shí)=|3C「+|CG「=16+25=41,

所以忸Cj=屈，這表明矩形A3CQ的面積為|4斗忸0|=3屈，

從而三角形ABC,的面積5=2叵.

2

設(shè)點(diǎn)C到平面ABC.D,的距離為h,則有V=；S/z,

20A/41

h,—_3_V—__3-1—0_______

從而-S-3al-41，①正確；

2

對(duì)于②，由于CBLAB,A5在平面A5CD內(nèi)，

所以QB與平面ABCD所成角的正弦值為sinZC.BC=怛4=-^==*生，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，記長(zhǎng)方體ABC?！?與G2的中心為。，

則。到長(zhǎng)方體ABC。-44GR的每個(gè)頂點(diǎn)的距離都是體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即49+16+25="二

22

故以。為球心，半徑為述的球同時(shí)經(jīng)過塹堵的每個(gè)頂點(diǎn)，

2

故是塹堵5CG—ADD］的外接球，

從而塹堵3CG—ADD1的外接球表面積S=47i1孚j=5071,③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，假設(shè)塹堵ADD有內(nèi)切球，設(shè)該內(nèi)切球的球心為/,半徑為廠，

則I在塹堵BCC「內(nèi)部，且到塹堵BCC「AD"的每個(gè)面的距離都是廠.

所以塹堵5CG—ADA的體積等于四棱錐/—A5c。、四棱錐/—ABGA、三棱錐/-BCG和三棱錐

I-ADDX,四棱錐/—CDDG的體積之和，

記矩形A5CD、矩形、三角形3CG和三角形AD2、矩形CDOg的面積分別為H，52,83,84,55,

則H=3X4=12,S2=3XA/41=3A/41,S3=1X4X5=10,S4=1X4X5=10,S5=3X5=15.

同時(shí)，塹堵BCC「A￡>2是對(duì)長(zhǎng)方體ABCD-4與e，一分為二得到的，

故塹堵5CCi-的體積是長(zhǎng)方體ABC?！囊话耄?/p>

從而塹堵BCCX-ADDX的體積％=gx3義4義5=30,這就說明：

r

7(^i+S2+S3+邑+S5)-rSl+-rS2+-rS3+-rS4+-rS5

y___________________JJJJJ__

―_i_i

3(\+S2+S3+S4+S5)+s2+s3+s4+s5)

=X_________=3%=90

1(51+52+53+54+55)H+S2+S3+S4+S547+3741-

但是/到平面BCCX和平面的距離相等，且平面BCC］和平面ADD,是長(zhǎng)方體ABCD-A4GR的

一組對(duì)面，

故它們平行，且距離為|A同=3.

所以/到平面BCC｝和平面的距離都等于平面Beg和平面ADD,距離的一半,

』3

從而r=—.

2

這就導(dǎo)致了矛盾，所以塹堵BCG-ADD］不存內(nèi)切球，④正確.

故答案為：①④.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2qin/AwinR

17.已知,ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且------+——=6cosC.

sinBsinA

（1）證明：a2+2Z?2=3c2；

（2）若c=當(dāng)C取最大值時(shí)，求JRC的面積.

【答案】（1）證明見解析

⑵加

10

（1）

2sinAsin5,「

因?yàn)?-----+-----=6cosC,

sinBsinA

?…2。b,「

所以--1——6cosC,

ba

匚2ab

所以一+—=6x---------------,

balab

化簡(jiǎn)得〃2+2/=3C2.

(2)

用出「\(2ab\1°\2ab亞

因?yàn)閏osC=———+—>—x2J-------=——，

61ba)6\ba3

r\1

當(dāng)且僅當(dāng)/=—,即匕=缶時(shí)等號(hào)成立，即c取最大值，

ba

即cosC==a”———，又b=-Jia，c=近，sinC=-cos2C=—,

3lab3

即。二巫|

55

1^05A/210@7714

所以s=—X-----x------X----=------

ABC255310

18.某公司自去年2月份某項(xiàng)技術(shù)突破以后，生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量得到改進(jìn)與提升，經(jīng)過一年來的市場(chǎng)檢驗(yàn)，信

譽(yù)越來越好，因此今年以來產(chǎn)品的市場(chǎng)份額明顯提高，業(yè)務(wù)訂單量明顯上升，如下表是2023年6月份到12

月份的訂單量數(shù)據(jù).

月份6789101112

月份代碼t1234567

訂單量y（萬件）4.75.35.65.96.16.46.6

⑴試根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單量y與t的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（0.75<|r|<1,則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)

性較強(qiáng)；卜|<0.75,則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較弱）；

（2）建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2024年3月份接到的訂單數(shù)量；

（3）為進(jìn)一步拓展市場(chǎng)，該公司適時(shí)召開了一次產(chǎn)品觀摩與宣傳會(huì)，在所有參會(huì)人員（人數(shù)很多）中隨機(jī)

抽取部分參會(huì)人員進(jìn)行問卷調(diào)查，其中評(píng)價(jià)“產(chǎn)品質(zhì)量很好”的占50%,“質(zhì)量良好”、“質(zhì)量還需改進(jìn)”

的分別各占30%,20%,然后在所有參會(huì)人員中隨機(jī)抽取5人作為幸運(yùn)者贈(zèng)送禮品，記抽取的5人中評(píng)價(jià)“產(chǎn)

品質(zhì)量很好”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：t（％-汀=2.6,-丁）=8.4,底立標(biāo)4.27.

1=14=1

【答案】（1）訂單量y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng)；

（2）y=0.3x+4.6,7.6萬件；

（3）分布列見解析，期望為之.

2

（1）

,,,._-1+2+3+4+5+6+7—4.7+5.3+5.6+5.9+6.1+6.4+6.6_

由表格可知t=--------------------=4,y=----------------------------------=5.o8,

-于=28,

i=l

84。色〉075,

所以“

718.2x44.27

-nJE（x-y）2

即訂單量y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng);

(2)

Z&-?。?-了）

結(jié)合數(shù)據(jù)及（1）可知：3=上一------------="=0.3,

_\228

1=1

則》=3—=5.8—0.3x4=4.6，

所以y關(guān)于t的線性回歸方程為：y=0.3九+4.6,

顯然/=10ny=7.6,即預(yù)測(cè)該公司2024年3月份接到的訂單數(shù)量為7.6萬件;

（3）

易知X=0,1,23,4,5,

P(x=0)=c*[W，P(X=I)"U用喙

p—加端L啜p(x=*qm嚶

P(X=4)=C&*-；J噎P(X=5)=O一步!

分別列表如下：

X012345

155551

P（x）

323216163232

則E（X）=（1+4）V+（2+3）X[+K=M*

52lo32522

19.如圖，圓柱。。的軸截面A8C。是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)F在底面圓。上，5尸=2,點(diǎn)G在線段BF

上運(yùn)動(dòng).

（1）當(dāng)O1G//平面OAF時(shí)，求線段O]G的長(zhǎng)度;

當(dāng)@G與平面OAF所成角的正弦值為亞1時(shí)，求4的值.

(2)設(shè)=

86

【答案】（1）M

(2)一或一

33

(1)

取A尸,5尸的中點(diǎn)P,Q,連接尸。,尸。,。。1，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為邊長(zhǎng)是4的正方形，所以PQ//AB,PQ=2,

所以AB//CD,所以。O"/PQ,DO]=PQ,四邊形PQDQ為平行四邊形,

所以PD//O?,

因?yàn)镻Du面。LF,「。//。1。且。|。不在平面04戶內(nèi),

所以QQ//面ZM產(chǎn)，

所以當(dāng)G,Q兩點(diǎn)重合時(shí)，&G//面ZM產(chǎn)，

因?yàn)?，面A&F,

可以以AB,。。1為羽z軸，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，

所以5(2,0,0),5尸=2,帥=4,

則可1,一行,0)0，,—4,0]0(0,0,4),

(22J

『￡1+閆+42=匹

(2)

設(shè)G(尤,y,0),

FB=(l,V3,0),FG-(x-l,y+73,0),

因?yàn)镋G=/IFB(OW/IW1),則G(l+2,四—也,0)，aG=(l+4,岳—逝,—4),

由直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，易得斯，面ZM產(chǎn)，所以面ZM產(chǎn)的法向量EB=(1,6,0),

設(shè)OQ與平面DAF所成角為。，則

II11+A+3A—3|,43

sin6:cosOXG.FB\二——11.二-—

222

2X^(1+A)+(732-V3)+486，

21

化簡(jiǎn)可得9萬—92+2=0,解得彳=§或

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)(1,0),且與直線x=—1相切.

(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

⑵過點(diǎn)A(l，2)作斜率分別為匕，后的直線AB,AD,與C分別交于點(diǎn)8,D,當(dāng)直線8D恒過定點(diǎn)(-1,0)

時(shí)，證明：匕+&=2.

【答案】(1)V=4%

(2)證明見解析

(1)

設(shè)M(x,y),由題意可知J(x_l)2+y='+小

兩邊平方后化簡(jiǎn)可得/=4x,

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為/=4%.

(2)

證明：由題意可知直線5。的斜率存在且不為零，設(shè)為3

則直線的方程為y=%(x+1),同時(shí)設(shè)8(%,yJ,。(9，%)，

<，2一,『十"，消去V可得kV+(2左2—4)X+K=0,A=(2左2—4)2

聯(lián)立—4左4=—16左2+16>0,

2r—4j%—2%—2

X1+X2=------,中2=1，又％

%—2y2—2［左（無［+1）—2］（々—1）+［后（尤2+1）—2］（X］—1）2辰逮2—2（無1+尤,）—2%+4

所以勺+左2=

玉一1x2-l再%一（再+無2）+1占尤2-（玉+%）+1

（2k2-4

c,C242一4C,,2x+2

2k+2x----------2k+4nr

左27

代入韋達(dá)定理后化簡(jiǎn)可得二2，

2左2—42左2—4

1++i+2

nrnr

所以4+左2=2.

0

21.已知函數(shù)/(x)=x-------Inx+<7.

(1)若〃x)V0,求。的取值范圍；

(2)若/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)巧，證明：%1-x2<1.

【答案】⑴,e-1］

(2)證明見解析

⑴

xex-ex1_(%-l)(x-ex)

由題意可知〃力的定義域?yàn)椋╫,+“），且/（%）=1—

22

XXX

對(duì)于y=x-e*,有y'=l-e*＜0（0,+。）上恒成立，即丁二犬一6”遞減,

所以x—e%＜0—e°=—1，即％—e"vO在（0,+。）上恒成立,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，>0,當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，/,(x)<0,

所以〃龍）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）時(shí)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/（X）有最大值，/（l）=l-e+a,所以1—e+aWO,

即aWe—1,所以a的取值范圍為（f,e—1]

(2)

/

1±1、

不妨設(shè)再＜%2，由（1）知。＜玉＜1＜犬2，即1>i,令/a)=〃xi)-7一,

1x1-

構(gòu)造p(x)=x_^lnx--+-^j-e

+ln—=x-----2In%----卜xe*,且％w(0,l),

—XXXXX

X

1

所以尸'(x)=l—二

32+4+1+4

Xx%,、九2

1_

x2-eX(x-l)-2x+l+x2ex-xexX-1)+xex(x-1)

x2X2

x-11、

x-l-ex+xex,

X2

\7

1l-ev+e"|1--I

令g(x)=x-l-ex+xex'則S(x)=1-e"+e“+xeX

X

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(%)<0,g(x)遞減，故g(x)>g(l)=O,

所以xe（O,l）時(shí)尸'（力＜0,*尤）單調(diào)遞減,故八

(1、

即在（0,1）上“對(duì)一/>歹(1)=0,所以/'(玉)—/->0,

X\7

/、/

11、

又/(石)=/(%)=0，所以/(%)—/—>0,即/(%2)>/—，

x

\77

由（1）知/（%）在（1,+°。）上單調(diào)遞減，所以％2<一，故再，入2<1得證?