2024年湖南省長沙市中考月數(shù)學(xué)試題(含答案)

2024年長沙市初中學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷

數(shù)學(xué)（一）

注意事項：

1.答題前，請考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證

號、考室和座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學(xué)科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意

的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.數(shù)軸上表示數(shù)。的點在原點右側(cè)，與原點相距2024個單位長度，則數(shù)。為（）

A.2024B.-2024C.±2024D.不確定

2.為了減碳，提高充電效率，某科技公司研發(fā)了全液冷超充技術(shù)，電動汽車充電100度僅需10分鐘，實現(xiàn)了

“一秒一公里”，預(yù)計2024年裝車量達(dá)到800萬輛.數(shù)據(jù)“800萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.8xlO7B.8xl06C.80xl05D.8xl05

3.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

4.下列計算正確的是（）

/、22

11122/236

A.--------=---------B.一=一C.（m-n）=m-nD.ymnI=mn

mnm-n）m'

5.如圖，將等腰直角三角形板和直尺擺放如下，直角頂點E正好落在直尺的邊上.如果NABC=75。，那么

的大小為（）

6.如圖，點A,B,C,D,片是：。上的五等分點，則的度數(shù)為（）

1

（第6題圖）

A.32°B.34°C.36°D.38°

7.《九章算術(shù)》中記載有盈不足問題、今有共買金、人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，問人數(shù)、金

價各幾何？其大意是：今有人合伙買金，每人出錢400,會多出3400錢；每人出錢300,會多出100錢，問合

伙人數(shù)、金價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為尤人，金價為y錢，則可列方程為（）

Affix坐地鐵

B組?坐公交

C3L步行

Dm：騎自行車

E組?箕他方式

ABCDE交通方式

（第7題圖）

y+3400=400xy+3400=400x

y-100=300xy+100=300x

y—3400=400%y-3400=400%

y-100=300xy+100=300%

9.已知關(guān)于尤的一次函數(shù)y=3x+2,則該一次函數(shù)圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第二、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

10.如圖，已知線段BC,按照如下步驟作圖：

第一步：分別以點8,C為圓心、大于長為半徑畫?。?/p>

2

第二步：過兩弧的交點作直線/交8c于點。

第三步：以點。為圓心、8。長為半徑畫弧交直線/于點O；

第四步：以點。為圓心、OB長為半徑畫圓.

若（。的半徑為3,點A是圓上的動點.當(dāng)點A在8c所對的優(yōu)弧上運動時，記△ABC面積的最大值為5,

當(dāng)點A在2C所對的劣弧上運動時，記△ABC面積的最大值為S2,則斗+邑的值等于（）

（第10題圖）

2

A.8A/2B.9A/2C.I0V2D.1172

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.已知函數(shù)y=J6a2無一19,則自變量x的取值范圍是.

12.分解因式：（4a）2—8。+1=.

13.為營造“全民亞運，全民健身”的氛圍，提升全民健身的熱情，某校舉行了“2023年亞運會知識”競賽.隨

機抽取部分學(xué)生成績，統(tǒng)計如下表，則這一部分學(xué)生成績（分）的中位數(shù)位于.（填或

“D”）組.

學(xué)生成績（分）A組（60WXW70）B組（70CW80）C組（80W90）D組（90WE00）

學(xué)生人數(shù)（人）10203015

k

14.如圖，已知等邊的頂點8在x軸正半軸上，點A在第一象限，OB=6,反比例函數(shù)y=—（x>0）

X

的圖象正好經(jīng)過點A,則％的值為

（第14題圖）

15.為接續(xù)推進(jìn)全面脫貧與鄉(xiāng)村振興銜接，長沙某村以文化展板呈現(xiàn)了鄉(xiāng)村振興中的詩與遠(yuǎn)方.如圖，該展板

為扇形結(jié)構(gòu)，OA=3m,OD=lm,ZAOB=150°,則圖中的陰影部分面積是m2.（結(jié)果保留萬）

（第15題圖）

16.如圖，在矩形ABCD中,E為邊AD上一點，連接BE,作點A關(guān)于BE對稱的點F,連接BF,EF.若A3=12,

點尸到邊8C,的距離之比為1:2,則8￡=.

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第

22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟）

/1\-1

17.計算：6cos45°+（^-2024）°+-.

i

18.先化簡，再求值：+92尤（尤—1）+（%—+其中x=—

3

19.“橋”見湘江，品湖湘記憶.橘子洲大橋原名“長沙湘江大橋”(湘江一橋)，是目前中國規(guī)模最大的雙曲

拱橋.在世界橋梁建筑史上留下濃墨重彩的一筆.課外實踐活動中，學(xué)生小明用無人機來測量橘子洲大橋的主

橋長度.如圖，無人機在橋的正上方400m高度的點A處，測得主橋西起點B的俯角為45。，在橋的正上方

400m高度的點。處測得主橋東起點C處的俯角為30°,AD的距離為170m.(注：點A,B,C,D在同一平

面內(nèi).結(jié)果精確到0.1m,V3-1.7)

(1)求橘子洲大橋主橋的長；

(2)延長至于點0.且。。=170(6-l)m.若無人機在點Q處進(jìn)行測量，則該無人機與橋面的距

離是多少米？

20.“促進(jìn)兒童心理健康，共同守護(hù)美好未來”.加強學(xué)生的心理健康教育上升為國家戰(zhàn)略.國家衛(wèi)生健康委舉

行新聞發(fā)布會，介紹我國如何從制度、服務(wù)、宣傳等層面，守護(hù)兒童心理健康.為促進(jìn)學(xué)生健康成長，某校開

展了心理健康教育講座.講座前從該校七、八、九年級中隨機抽取了部分學(xué)生，對學(xué)生關(guān)于心理健康知識的了

解情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行統(tǒng)計.繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.

某校學(xué)生心理健康知識了解情況統(tǒng)計表

分組類別分?jǐn)?shù)

A組不了解20

B組了解少a

C組基本了解40

D組非常了解b

某校學(xué)生心理健康知識了解情況扇形圖

根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題.

(I)直接寫出答案：a=,b=,m=；

(2)。組扇形所對的圓心角的度數(shù)是多少？

(3)從。組的甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，隨機抽取兩位同學(xué)進(jìn)行心理健康知識宣講，請用列表法或畫樹狀

圖法求出丁同學(xué)未被抽中的概率.

21.如圖，在△ABC中，ZABC=9Q°,AC=2BC,以AC為邊作等邊△AOC,E是AC的中點，連接

DE.

(1)求證：△ABC當(dāng)WEC；

4

(2)連接3D若BC=1,求的長.

22.“雙減”在行動，教有在提質(zhì).由長沙市教育局傾力打造的“名師云課堂”已于2023年9月9日正式上線.每

周六(除節(jié)假日外)上午九點，“名師云課堂”都會如約而至.據(jù)不完全統(tǒng)計，第一周收看人數(shù)為24200人，

第三周收看人數(shù)為29282人.假設(shè)每周收看人數(shù)的平均增長率相同.

(1)求第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率；

(2)按照(1)中平均增長率.試估計第四周有多少人收看“名師云課堂”.(結(jié)果保留整數(shù))

23.如圖，將.A3CD沿對折，得到，AFED,連接BE交于點。連接尸O.

(1)求證：BO=EO；

(2)若BC=2A3=8,ZC=60°,求A。的長及四邊形APOB的面積.

24.如圖，在△ABC中，ZA:ZACB:ZABC=1:1:2,以8C為直徑作。交AC于點G.點。赴延

長線上一動點，連接。G交BC于點H.交:O于點E,連接BE,CE,連接。C交；。于點?

(1)求證：直線AD是：O的切線；

(2)設(shè)△CGW的面積為S],△CDH的面積為邑.若點。運動到$2=2￡時.求sin/BDH的值;

(3)連接EF,當(dāng)點。運動時，若上巴=竺，試求生的值.

CDnEF

25.我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，若點和點。(電也)滿足：-匈+僅+%)~=。，

我們就說點尸和點。是該坐標(biāo)平面內(nèi)的一對“共贏點”.若函數(shù)%,%的圖象上存在一對或一對以上“共贏

點”(其中點尸在％的圖象上，點。在內(nèi)的圖象上)，我們就說函數(shù)/，為互為“共贏函數(shù)”?據(jù)約定，解答

下列問題：

2

(1)若一次函數(shù)%=依+2左，y2=kx-3k,且左H0.當(dāng)自變量了=上時，函數(shù)％,為的圖象上恰好是

一對“共贏點”，試求一次函數(shù)％,%的解析式?

5

mri

（2）已知反比例函數(shù)％=—,%=—，且試判斷函數(shù)/，為是否互為“共贏函數(shù)”?若是，請求

xx

出“共贏點”的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

（3）已知以X為自變量的二次函數(shù)x=12—27加+加2（m>0）,函數(shù)K與為互為“共贏函數(shù)”，且當(dāng)自變量

X取任意實數(shù)時，函數(shù)%,%的圖象上都存在“共贏點”?記函數(shù)％，內(nèi)的圖象分別交y軸于A，B兩點，函

數(shù)%的圖象交無軸于點C,經(jīng)過A,B,C三點的圓與X軸的另一個交點為。，點P是X軸下方圓上的動點，

且點P不與點8,C,。重合，設(shè)外2_即2=/,S^PCD=s,令/=L當(dāng)/取最大值時，試判斷四邊形

S

的形狀，并說明理由.

2024年長沙市初中學(xué)業(yè)水平考試模擬試卷

數(shù)學(xué)（一）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

題號12345678910

答案ABDDCCABAB

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

19

11.x>—12.（4a-1）213.C

6

10

14.97315.—7116.6A/6

3

三、解答題（本大題共9個小題,第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第

22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟）

17.解：原式=3拒-6x走+1+3=4.

2

18.解：原式=龍？+2x+1—2x~+2x+x~—1=4-x.

當(dāng)x=-工時，原式=4x

4

19.解：（1）如圖1,過點A作AGL3C于點G.過點。作DHL5c于點8.

在Rt^ABG中，ZB=ZEAB=45°,ZAGB=90°,

A（Z

：.BG=---------=400（m）.

tan45°

在Rtz\￡>〃C中，ZC=ZFDC=30°,ZDHC=90°,

6

詈400百

(m).

3

由圖易知四邊形AGHD為矩形，.?.GH=AD=170(m),

BC=BG+GH+HC=400+170+40073X1250(m).

答：橘子洲大橋主橋BC的長約為1250m；

(2)如圖2,過點。作QN_LBC于點N,交于點

在RtZXQOM中，ZQDM=ZFDC=3Q°,ZQMD=9Q°,

10

(2)D組扇形所對的圓心角的度數(shù)為360°x=36°；

20+30+40+10

(3)畫樹狀圖如下：

開始

由圖可知，一共有12種等可能的結(jié)果，丁同學(xué)未被抽中的結(jié)果一共有6種,

???丁同學(xué)未被抽中的概率為P=—=~.

122

21.(1)證明：:△ACD是等邊三角形，￡是AC的中點，

：.ZDEC=9Q°,AC=DC,AE=EC.

*.*AC=2BC,BC=EC.

BC=EC,

在Rt^ABC和RtZ\￡)EC中，《：.△ABC&D￡C(HL)；

AC=DC,J

(2)解：如圖,連接BD

在Rt^ABC中，BC=1,：.AC=2BC=2.

7

由勾股定理，得AB=4^-BC2=瓜

：△ADC是等邊三角形，AAD=AC=2,ZDAC=6Q°.

在△ABC中，ZABC=90°,AC=2BC,

：.ABAC=30°,ZBAD=ABAC+ADAC=90°,

△ABD是直角三角形，

ABD=y/AB2+AD2=?周+22=77.

22.解：(1)設(shè)第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率為x.

則24200(1+九『=29282,

解得玉=0.1=10%,x2=-2.1(舍).

答：第一周到第三周“名師云課堂”收看人數(shù)的平均增長率為10%；

(2)29282x(1+10%)?32210(人).

答：估計第四周有32210人收看“名師云課堂”.

23.(1)證明：如圖，連接交于點G.

?.?將A5CD沿對折，得到

8尸，AZ)于點G,BG=FG,AD//BC//FE,

由平行線分線段成比例定理得，—=1,：.BO=EO；

EOFG

(2)解：由(1)得，若3C=2AB=8,ZC=60°,BFLAO,

則AB=AF=4,FE=BC=8,

：.ZBAO=ZFAO=ZC=60°,ZAGB=ZAGF=9Q°,

:.AG=AB-cos60°=2.

由(1)得，GO是ZXBE尸的中位線，

：.GO=-FE=4,：.AO=AG+GO=2+4=6,

2

■：BG=ABsin60°=2G，BF=2BG=473,

-1?SWMAFOB=^AOBF=^X6X46=1273.

24.(1)證明：在△ABC中，ZA;ZACB;ZABC=1:1;2,

8

又?.?ZA+ZACB+ZABC=180。，：.ZA=ZACB=18Q°x-=45°,ZABC=180°x-=90°,

44

ABLCB.是的直徑，...直線A。是、。的切線；

(2)解：如圖1,連接OG.

由(1)得ZACB=45°,AZBOG=90°,

：.ZOCG=ZOGC=45°,ZGOB=ZCBD=90°,J.OG//BD.

又ZOHG=ZBHD,：.^OGHs^BDH.

?：ACGH和△CDH在GH和DH上的高相等，

,Sj_GH_1.OHGHOG_1

,,sjDHF'"BH~DH~BD~1'

設(shè)OH-a,則BH-2。，OB=OG-3a,:.BD=2OG—6a,

DH=y/B^+BD2=2410a,：.sinZBDH=—==巫；

DH~2710a-10

(3)解：如圖2,連接EF,BG,BF.

：BC是直徑，ZBGC=ZBEC=NB/C=90°ZBCG=45°,

AZCBG=ZBCG=45°,GB=CG.

由(2)得NCBD=90。，AZEBD+ZCBE=90°.又；NECB+NCBE=90。,

RHFAD

：.ZEBD=ZECB=ZBGD.VZEDB=ZBDG,：./\DBE^Z\DGB,：.—=——.①

GBDG

?.?點C,￡E,G四點共圓，.?./￡>￡￡■=NDGC.

FF

,:ZEDF=NCDG,：.^DEF^Z\DCG,：.——

CGDG

①+②得，些=些...3=巴，..設(shè)cB=mk,CD=nk.(k>

EFDFCDn'

由勾股定理，得BD=7CD2-CB2=左1,_02

,：ZDFB=ZDBC=90°,ZBDF=ZCDB,：.ADBF^ADCB,

DFDBDB2Mi,一BEDBny/n2-m2

----=-----,DF=------=--------------，=-----=—-----5―

DBDCDCnEFDFn2-m"

9

222

25.解：（1）當(dāng)自交量X=左時，yx=k