北京市部分重點中學高一下學期期末考試數(shù)學試卷與答案（共五套）

北京市部分重點中學高一下學期期末考試數(shù)學試卷（一）一、選擇題1.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.2.已知向量，.若，則實數(shù)值為（）A.－2 B.2 C. D.3.在△中，若，，，則（）A.B.C.D.4.已知三條不同的直線，，和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5.函數(shù)的最小正周期為（）AB.C.D.6.已知，且，那么（）A. B. C. D.7.函數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.8.已知直線，，平面，，，，，那么“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題9.已知向量，，則向量，夾角的大小為______.10.已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為______.11.在平面直角坐標系中，角的終邊過點，則___；將射線（為坐標原點）按逆時針方向旋轉后得到角的終邊，則___.12.已知，則值為______.13.已知函數(shù).若，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.14.函數(shù)圖象如圖，則的值為______，的值為______.三、解答題15.函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）請用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖（先在所給的表格中填上所需的數(shù)值，再畫圖）；0（3）求函數(shù)在上的最大值和最小值，并指出相應的的值.16.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求的大??；（2）求的長；（3）求四邊形的面積.17.如圖，在三棱錐中，，，，分別是，，的中點，求證：（1）平面；（2）平面；（3）平面平面；（4）請在圖中畫出平面截三棱錐截面，判斷截面形狀并說明你的理由；（5）若.求出第（4）問中的截面面積.18.如圖，已知正方形所在平面和平行四邊形所在平面互相垂直，平面平面，，是線段上的一點且平面.（1）求證：平面平面；（2）求證：是線段的中點；（3）求證：平面.19.利用周期知識解答下列問題：（1）定義域為的函數(shù)同時滿足以下三條性質(zhì)：①存在，使得；②對于任意，有；③不是單調(diào)函數(shù)，但是它圖象連續(xù)不斷，寫出滿足上述三個性質(zhì)的一個函數(shù)，則______（不必說明理由）（2）說明：請在（i）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計分.（i）求的最小正周期并說明理由.（ii）求證：不是周期函數(shù).答案解析一、選擇題1.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值．【詳解】解:∵角的終邊經(jīng)過點,∴,,,則，故選:B【點睛】本題考查已知終邊上一點求三角函數(shù)值,屬于基礎題.2.已知向量，.若，則實數(shù)的值為（）A.－2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求出的值.【詳解】解：∵向量，，若，則，∴實數(shù)，故選：A.【點睛】本題考查向量垂直的求參，重在計算，屬基礎題.3.在△中，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理計算得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理：，故，解得.故選：B.【點睛】本題考查了正弦定理，意在考查學生的計算能力.4.已知三條不同的直線，，和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若，，則，或相交，或異面，A錯誤；B.若，，則或，B錯誤；C.若，，則或相交，C錯誤；D.若，，則，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的推斷能力和空間想象能力.5.函數(shù)的最小正周期為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得到，利用周期公式得到答案【詳解】，故周期.故選：A.【點睛】本題考查了二倍角公式，三角函數(shù)周期，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.6.已知，且，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，且得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系求解即可得答案.【詳解】解：因為，，故，，又，解得：故選：B【點睛】本題考查同角三角函數(shù)關系求函數(shù)值，考查運算能力，是基礎題.7.函數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用誘導公式化簡整理得，即得最大值.【詳解】由誘導公式可得，則，函數(shù)的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查了誘導公式和三角函數(shù)最大值，屬于基礎題.8.已知直線，，平面，，，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理和面面垂直的性質(zhì)定理即可得到結論.【詳解】若，則在平面內(nèi)必定存在一條直線有，因為，所以，若，則，又，即可得，反之，若，由，，可得，又，則有.所以“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本題主要考查面面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線面平行的判定定理，屬于中檔題.二、填空題9.已知向量，，則向量，夾角的大小為______.【答案】【解析】【分析】直接利用，即可能求出向量與的夾角大小.【詳解】∵平面向量，，∴，又∵，∴，∴向量與的夾角為，故答案為．【點睛】本題考查兩向量的夾角的求法，解題時要認真審題，注意平面向量坐標運算法則的合理運用，是基礎題．10.已知向量與的夾角為120°，且，那么的值為______.【答案】－8【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)量積的分配律將所求式子展開，再由平面向量數(shù)量積的運算法則即可得解.【詳解】解：.故答案為：-8.【點睛】本題考查數(shù)量積的計算，此類問題一般利用數(shù)量積的運算律和定義來處理，本題屬于基礎題.11.在平面直角坐標系中，角的終邊過點，則___；將射線（為坐標原點）按逆時針方向旋轉后得到角的終邊，則___.【答案】(1).(2).；【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，求得、的值．【詳解】∵角的終邊過點，則，將射線（為坐標原點）按逆時針方向旋轉后得到角的終邊，則，故答案為，.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，設是一個任意角，它的終邊上異于原點的一個點的坐標為，那么，，，誘導公式，屬于基礎題．12.已知，則值為______.【答案】－1【解析】【分析】由求得的值，再化簡并計算所求三角函數(shù)值.【詳解】解：由，得，即；所以=－1.故答案為：－1.【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式、誘導公式，需熟記公式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.13.已知函數(shù).若，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】，【分析】由已知函數(shù)關系式可得函數(shù)周期為，又由已知條件可得，取到最大值和最小值，進而可求出，繼續(xù)利用函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因為函數(shù)，所以函數(shù)周期為.若，則，，故，，且，，即，故，令，求得，，故答案為：，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的應用，重在對基礎函數(shù)性質(zhì)的理解，考查分析能力，屬基礎題.14.函數(shù)圖象如圖，則的值為______，的值為______.【答案】(1).(2).【分析】根據(jù)圖象過點，結合的范圍求得的值，再根據(jù)五點法作圖求得，可得函數(shù)的解析式.【詳解】由函數(shù)圖象過點，可得，則，又，∴，∴.再根據(jù)五點法作圖可得，，∴.故答案為：；.【點睛】由圖像確定表達式，要注意完整讀出圖像所給出的條件,準確求出參數(shù)值.三、解答題15.函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）請用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖（先在所給的表格中填上所需的數(shù)值，再畫圖）；0（3）求函數(shù)在上的最大值和最小值，并指出相應的的值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，；最小正周期；（2）填表見解析；作圖見解析；（3）最大值為2，最小值為－1，時取得最小值，時取得最大值.【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）列表，描點、連線，畫出函數(shù)在長度為一個周期閉區(qū)間上的簡圖；（3）求出時函數(shù)的最大值和最小值，以及對應的值.【詳解】解：（1）函數(shù)，令，；解得，；即，；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；最小正周期；（2）填寫表格如下；0020－202用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖為；（3）時，，，所以函數(shù)在上取得最大值為2，最小值為－1，且時取得最小值，時取得最大值.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)以及“五點法”作圖，本題要掌握基礎函數(shù)的性質(zhì)以及整體法的應用，同時熟悉“五點法”作圖，考查分析能力以及作圖能力，屬中檔題.16.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求的大??；（2）求的長；（3）求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用余弦定理求出即得解；（2）利用余弦定理求出即得解；（3）由三角形面積公式分別求得和的面積，即可得解.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，因為為三角形內(nèi)角，所以.（2）在中，，，，由余弦定理可得，所以.（3），，所以四邊形的面積為.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.17.如圖，在三棱錐中，，，，分別是，，的中點，求證：（1）平面；（2）平面；（3）平面平面；（4）請在圖中畫出平面截三棱錐的截面，判斷截面形狀并說明你的理由；（5）若.求出第（4）問中的截面面積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）作圖見解析；截面為矩形；答案見解析；（5）4.【分析】（1）由線面垂直的判定定理即可得證；（2）由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；（3）推得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（4）可取的中點，連接，，可得截面，由三角形的中位線定理，以及線面垂直的性質(zhì)定理，可得截面為矩形；（5）判斷截面為邊長為2的正方形，可得截面的面積.【詳解】解：（1）證明：由，可得，，又，則平面；（2）證明：由為的中位線，可得，且平面，平面，則平面；（3）證明：由平面，平面，得，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（4）可取的中點，連接，，截面為所求截面.由為的中位線，可得，，又，，所以，且，可得四邊形為平行四邊形，由，，，可得，則截面矩形；（5）若，可得截面為邊長為2的正方形，其面積為4.【點睛】本題考查空間中線面平行、線面垂直、面面垂直的證明，三類問題的證明，都需要利用位置關系的判斷定理來考慮，后兩者注意三種垂直關系的轉化，本題屬于中檔題.18.如圖，已知正方形所在平面和平行四邊形所在平面互相垂直，平面平面，，是線段上的一點且平面.（1）求證：平面平面；（2）求證：是線段的中點；（3）求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）易知，，由面面平行判定定理即可得證；（2）設，連接，由平面，可推出，而為的中點，故得證；（3）由平面平面，，可推出平面，故；由平面平面，，可推出平面，故；再由線面垂直的判定定理即可得證.【詳解】證明：（1）∵平行四邊形，∴，面，面，面，∵為正方形，∴，面，面，面，又，∴平面平面.（2）設，連接，則為的中點，∵平面，平面，平面平面，∴.又為的中點，∴為線段的中點.（3）∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴.∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴.又，、平面，∴平面.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.19.利用周期知識解答下列問題：（1）定義域為的函數(shù)同時滿足以下三條性質(zhì)：①存在，使得；②對于任意，有；③不是單調(diào)函數(shù)，但是它圖象連續(xù)不斷，寫出滿足上述三個性質(zhì)的一個函數(shù)，則______（不必說明理由）（2）說明：請在（i）、（ii）問中選擇一問解答即可，兩問都作答的按選擇（i）計分.（i）求的最小正周期并說明理由.（ii）求證：不是周期函數(shù).【答案】（1）（答案不唯一）；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）由已知條件可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?）若選擇（i）我們知道與的周期分別為：，.讓它們的整數(shù)倍相等即可得出函數(shù)的最小正周期.（ii）我們知道與周期分別為：，2.而與2的整數(shù)倍不可能相等，即可證明結論.【詳解】解：（1）（答案不唯一）.故答案為：.（2）若選擇（i）我們知道與的周期分別為：，.取，則，而，可得：是函數(shù)的最小正周期.（ii）證明：我們知道與的周期分別為：，2.而與2的整數(shù)倍不可能相等，因此不是周期函數(shù).【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.北京市部分重點中學高一下學期期末考試數(shù)學試卷（二）一?選擇題（共10小題）.1.（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)等于（）A.0 B. C. D.3.在中，，，，則（）A. B. C. D.4.下列正確的命題的序號是（）①平行于同一條直線的兩條直線平行；②平行于同一條直線的兩個平面平行；③垂直于同一個平面的兩條直線平行；④垂直于同一個平面兩個平面垂直.A.①② B.②④ C.②③ D.①③5.如圖，在正方形中，是邊中點，設，，則（）A. B. C. D.6.如圖記錄了某校高一年級6月第一周星期一至星期五參加乒乓球訓練的學生人數(shù).通過圖中的數(shù)據(jù)計算這五天參加乒乓球訓練的學生的平均數(shù)和中位數(shù)后，教練發(fā)現(xiàn)圖中星期五的數(shù)據(jù)有誤，實際有21人參加訓練.則實際的平均數(shù)和中位數(shù)與由圖中數(shù)據(jù)星期得到的平均數(shù)和中位數(shù)相比，下列描述正確的是（）A.平均數(shù)增加1，中位數(shù)沒有變化B.平均數(shù)增加1，中位數(shù)有變化C.平均數(shù)增加5，中位數(shù)沒有變化D.平均數(shù)增加5，中位數(shù)有變化7.如圖，在邊長為1的菱形中，，則（）A. B. C.1 D.8.如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的正方形，，則側面與底面所成的二面角的大小是（）A. B. C. D.9.已知平面向量，滿足，，則“與互相垂直”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點，，，在同一平面內(nèi).則這個八面體的旋轉軸共有（）A.7條 B.9條 C.13條 D.14條二?填空題（共6小題）.11.復數(shù)所對應的點在第______象限.12.如圖，設是邊長為1的正六邊形的中心，寫出圖中與向量相等的向量______.（寫出兩個即可）13.已知在平面直角坐標系中，，，三點的坐標分別為，，，若，則點的坐標為______.14.某班數(shù)學興趣小組組織了線上“統(tǒng)計”全章知識的學習心得交流：甲同學說：“在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和小于1”；乙同學說：“簡單隨機抽樣因為抽樣的隨機性，可能會出現(xiàn)比較‘極端’的樣本，相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”；丙同學說：“扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例”；丁同學說：“標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越小”.以上四人中，觀點正確的同學是______.15.如圖，在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關于軸對稱，射線與單位圓的交點為，則______，的值是______.16.某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣大的四面體得到的（如圖）.則該幾何體共有______面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是______.三?解答題：本大題共4小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.某單位工會有500位會員，利用“健步行”開展全員參與“健步走獎勵”活動.假設通過簡單隨機抽樣，獲得了50位會員5月10日的走步數(shù)據(jù)如下：（單位：萬步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.01.40.61.01.10.60.80.90.81.10.4081.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4頻率分布表：分組頻數(shù)頻率20.040.0650.10110.2280.1670.14合計501.00（1）寫出，，的值；（2）①繪制頻率分布直方圖；②假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計該單位所有會員當日步數(shù)的平均值；（3）根據(jù)以上50個樣本數(shù)據(jù)，估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù).你認為如果定1.3萬步為健步走獲獎標準，一定能保證該單位至少的工會會員當日走步獲得獎勵嗎?說明理由.18.在中，，，分別是角，，的對邊，，.（1）若，求；（2）若______，求的值及的面積.請從①，②，這兩個條件中任選一個，將問題（2）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇兩種情況作答，以第一種情況的解答計分.19.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍.20.如圖1，設正方形邊長為1，，分別為，中點，沿，，把圖形折成一個四面體，使，，三點重合于點，如圖2.（1）求證：平面；（2）設為的中點，在圖2中作出過點與平面平行的平面，并說明理由；（3）求點到平面的距離.答案解析一?選擇題（共10小題）.1.（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由誘導公式可得的值.【詳解】解：.故選：A.【點睛】本題主要考查誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值，考查基本的概念與知識，屬于基礎題.2.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)等于（）A.0 B. C. D.【答案】C【分析】由共軛復數(shù)的概念可得答案.【詳解】解：由復數(shù)，則的共軛復數(shù)；故選：C.【點睛】本題主要考查共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題型.3.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由余弦定理得推論可得的值.【詳解】在中，由題意知：，故選：B【點睛】本題考查了余弦定理得推理，屬于基礎題.4.下列正確的命題的序號是（）①平行于同一條直線的兩條直線平行；②平行于同一條直線的兩個平面平行；③垂直于同一個平面的兩條直線平行；④垂直于同一個平面的兩個平面垂直.A.①② B.②④ C.②③ D.①③【答案】D【分析】由公理4即可判斷①，平行于同一條直線的兩個平面平行或相交即可判斷②，由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷③，垂直于同一個平面的兩個平面可能相交或平行即可判斷④【詳解】對于①：由公理4可得平行于同一條直線的兩條直線平行，故①正確；對于②：平行于同一條直線的兩個平面平行或相交，故②錯誤；對于③：由線面垂直的性質(zhì)定理可得，垂直于同一個平面的兩條直線平行，故③正確；對于④：垂直于同一個平面的兩個平面可能相交或平行，比如正方體的相對的兩個底面就與側面垂直，但它們平行，故④錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查了線面、線線的位置關系，屬于基礎題.5.如圖，在正方形中，是邊的中點，設，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用平面向量的加法法則可得出關于、的表達式.【詳解】因為在正方形中，是的中點，設，，則.故選：A.【點睛】本題考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法則的應用，考查計算能力，屬于基礎題.6.如圖記錄了某校高一年級6月第一周星期一至星期五參加乒乓球訓練的學生人數(shù).通過圖中的數(shù)據(jù)計算這五天參加乒乓球訓練的學生的平均數(shù)和中位數(shù)后，教練發(fā)現(xiàn)圖中星期五的數(shù)據(jù)有誤，實際有21人參加訓練.則實際的平均數(shù)和中位數(shù)與由圖中數(shù)據(jù)星期得到的平均數(shù)和中位數(shù)相比，下列描述正確的是（）A.平均數(shù)增加1，中位數(shù)沒有變化B.平均數(shù)增加1，中位數(shù)有變化C.平均數(shù)增加5，中位數(shù)沒有變化D.平均數(shù)增加5，中位數(shù)有變化【答案】B分析】先求出平均數(shù)應增加，再求出中位數(shù)有變化，即得解.【詳解】實際星期五的數(shù)據(jù)為21人，比原來星期五的數(shù)據(jù)多了人，平均數(shù)應增加.原來從星期一至星期五的數(shù)據(jù)分別為20，26，16，22，16.按從小到大的順序排列后，原來的中位數(shù)是20，實際從星期一至星期五的數(shù)據(jù)分別為20，26，16，22，21.按從小到大的順序排列后，實際的中位數(shù)是21.所以中位數(shù)有變化.故選：B.【點睛】本題主要考查平均數(shù)和中位數(shù)的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7.如圖，在邊長為1的菱形中，，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【分析】求出，即得解.詳解】根據(jù)題意，，∴，∴.故選：D.【點睛】本題主要考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8.如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為1的正方形，，則側面與底面所成的二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由題意可推出，，可知為側面與底面所成的二面角的平面角，由可得答案.【詳解】解：∵底面，平面，∴，又底面是正方形，∴，而，∴平面，得，可知為側面與底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即側面與底面所成的二面角的大小是.故選：B.【點睛】本題主要考查二面角的概念與求法，考查學生的直觀想象能力與論證推理的能力，求出為側面與底面所成的二面角的平面角是解題的關鍵，屬于基礎題.9.已知平面向量，滿足，，則“與互相垂直”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【分析】由與互相垂直可得，進而得，即可判斷.【詳解】∵與互相垂直，∴，∴，∴，故“與互相垂直”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判斷，涉及到向量垂直的轉化，屬于基礎題.10.連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點，，，在同一平面內(nèi).則這個八面體的旋轉軸共有（）A.7條 B.9條 C.13條 D.14條【答案】C【解析】【分析】根據(jù)該幾何體的結構特征和對稱性即可求出旋轉軸的條數(shù).【詳解】由對稱性結合題意可知，過??的直線為旋轉軸，此時旋轉角最小為；過正方形，，對邊中點的直線為旋轉軸，共6條，此時旋轉角最小為；過八面體相對面中心的連線為旋轉軸，共4條，此時旋轉角最小為.綜上，這個八面體的旋轉軸共有13條.故選：C.【點睛】本題考查幾何體的結構特征，屬于基礎題.二?填空題（共6小題）.11.復數(shù)所對應的點在第______象限.【答案】二【解析】【分析】先求出復數(shù)，即可判斷對應點所在象限.【詳解】∵，∴復數(shù)所對應的點的坐標為，在第二象限.故答案為：二.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)對應點的象限，屬于基礎題.12.如圖，設是邊長為1的正六邊形的中心，寫出圖中與向量相等的向量______.（寫出兩個即可）【答案】，，【分析】由題意與相等向量的定義可得答案.【詳解】解：由題可得：與相等的向量是：，，；故答案為：，，.【點睛】本題主要考查相等向量的定義，屬于基礎題.13.已知在平面直角坐標系中，，，三點的坐標分別為，，，若，則點的坐標為______.【答案】【分析】設，求出，即可根據(jù)向量相等求出點的坐標.【詳解】設，則，；因為，故；即.故答案為：.【點睛】本題考查向量的坐標表示，屬于基礎題.14.某班數(shù)學興趣小組組織了線上“統(tǒng)計”全章知識的學習心得交流：甲同學說：“在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和小于1”；乙同學說：“簡單隨機抽樣因為抽樣的隨機性，可能會出現(xiàn)比較‘極端’的樣本，相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”；丙同學說：“扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例”；丁同學說：“標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越小”.以上四人中，觀點正確的同學是______.【答案】乙丙【分析】利用統(tǒng)計的相關知識可逐個判斷各同學觀點的正誤.【詳解】在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1，故甲的觀點錯誤；“簡單隨機抽樣因為抽樣的隨機性，可能會出現(xiàn)比較‘極端’的樣本，相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”，故乙的觀點正確，“扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例”，故丙的觀點正確；“標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大”，故丁的觀點錯誤.故答案為：乙丙.【點睛】本題考查統(tǒng)計的相關知識，屬于基礎題.15.如圖，在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關于軸對稱，射線與單位圓的交點為，則______，的值是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義以及對稱性可得出、的余弦值和正弦值，再利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】由題意，射線與單位圓的交點為，射線和射線關于軸對稱，射線與單位圓的交點為，由三角函數(shù)的定義可知，，，，，可得：故答案為：，.【點睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時也考查了三角函數(shù)定義的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16.某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣大的四面體得到的（如圖）.則該幾何體共有______面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是______.【答案】(1).14(2).【解析】【分析】由題意知，截去八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；再根據(jù)面積公式即可求出表面積.【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是.故答案為：14，.【點睛】本題考查幾何體面數(shù)的辨析，考查多面體表面積的計算，屬于基礎題.三?解答題：本大題共4小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.某單位工會有500位會員，利用“健步行”開展全員參與的“健步走獎勵”活動.假設通過簡單隨機抽樣，獲得了50位會員5月10日的走步數(shù)據(jù)如下：（單位：萬步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.0140.61.01.10.60.80.90.81.10.40.81.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4頻率分布表：分組頻數(shù)頻率20.040.0650.10110.2280.1670.14合計501.00（1）寫出，，的值；（2）①繪制頻率分布直方圖；②假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計該單位所有會員當日步數(shù)的平均值；（3）根據(jù)以上50個樣本數(shù)據(jù)，估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù).你認為如果定1.3萬步為健步走獲獎標準，一定能保證該單位至少的工會會員當日走步獲得獎勵嗎?說明理由.【答案】（1），，；（2）①答案見解析；②1.088萬步；（3）能，答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為，由題中條件列出方程求解，即可得出，由樣本容量及對應區(qū)間的頻率，即可得出，；（2）①由題中數(shù)據(jù)，直接完善頻率分布直方圖；②由每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均數(shù)；（3）根據(jù)題中條件，可直接得出分位數(shù)；進而可得出萬時，能滿足題意.【詳解】（1）因為，∴，∴，因為樣本中共50人，∴，，∴，，.（2）①頻率分布直方圖如下圖所示②設平均值為，則有，則該單位所有會員當日步數(shù)的平均值為1.088萬步.（3）∵，∴分位數(shù)為第35和36個數(shù)的平均數(shù)，∵共有14人，且1.3有2個，∴第35和第36個數(shù)均為1.3，∴分位數(shù)為1.3，設為會員步數(shù)，則萬時，人數(shù)不少于，∴能保證的工會會員獲得獎勵.【點睛】本題主要考查完善頻率分布表，考查畫頻率分布直方圖，以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)，屬于基礎題型.18.在中，，，分別是角，，的對邊，，.（1）若，求；（2）若______，求的值及的面積.請從①，②，這兩個條件中任選一個，將問題（2）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇兩種情況作答，以第一種情況的解答計分.【答案】（1）；（2）選①：；選②：；.【解析】【分析】（1）由正弦定理可直接得值.（2）選①：由余弦定理可求得的值，然后利用三角形的面積公式計算可得結果.選②:由正弦定理可得，然后利用三角形的面積公式計算可得結果.【詳解】（1）由，，，由正弦定理可得，則.（2）若選①：由余弦定理可得，即，整理可得，解得，（舍去），∴；選②:，可得，∴∴.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.19.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）2；（2）；，；（3）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，即可代入，求出結果；（2）根據(jù)最小正周期的公式即可計算出周期，令可解出單調(diào)遞增區(qū)間；（3）先求出解析式，則該題等價于在上有且僅有兩個實數(shù)，滿足，結合函數(shù)圖象即可求出范圍.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴，故（2）由函數(shù)的解析式為可得，它的最小正周期為.令，求得，可得它的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則在上有且僅有兩個實數(shù)，滿足，即.在上，，∴，求得.【點睛】本題考查三角恒等變換，考查最小正周期和單調(diào)區(qū)間的求解，考查三角函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.20.如圖1，設正方形邊長為1，，分別為，的中點，沿，，把圖形折成一個四面體，使，，三點重合于點，如圖2.（1）求證：平面；（2）設為的中點，在圖2中作出過點與平面平行的平面，并說明理由；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）圖象見解析；理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）通過證明和即可證明平面；（2）根據(jù)面面平行的判斷定理可作出圖形并證明；（3）利用等體積法可求出.【詳解】（1）證明：如圖，在正方形中，連接，則，∵，分別為，的中點，∴，∴，折疊后，有，，又，可得平面；（2）解：在平面內(nèi)，過作，使得，，∵為的中點，∴，分別為，的中點，取的中點，連接，，可得，由，平面，平面，可得平面，同理可得，平面，又，平面，平面，∴平面平面，即平面為所作平面；（3）解：由已知可得，，，又，∴平面，且等于正方形的邊長為1，，為等腰直角三角形，再由已知求得，，∴.設點到平面的距離為，由，可得，解得，即點到平面的距離為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查面面平行的判定，考查等體積法求點面距離，屬于中檔題.北京市部分重點中學高一下學期期末考試數(shù)學試卷（三）一?選擇題1.若，且，則角的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函數(shù)，的最小正周期為（）A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度4.在空間中，給出下列四個命題：①平行于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；③平行于同一條直線兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩條直線互相平行．其中正確命題的序號是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.已知向量滿足，，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.6.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，那么這個三角形是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.如圖，在長方體中，若分別是棱的中點，則必有（）AB.C.平面平面D.平面平面8.函數(shù)f(x)=Asinx(A>0)的圖象如圖所示，P，Q分別為圖象的最高點和最低點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，則A=()A.3 B.C. D.1二?填空題9.若角的終邊過點，則______.10.設向量?的長度分別為4和3，夾角為，則______.11.函數(shù)的最大值為______.12.設是第一象限角，，則______.______.13.設向量，，則______；向量，夾角等于______.14.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則______，的面積是______.15.在中，三個內(nèi)角、、的對邊分別是、、，若，，，則______.16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最大值是______.17.已知點A(0，4)，B(2，0)，如果，那么點C的坐標為_____________；設點P(3，t)，且∠APB是鈍角，則t的取值范圍是___________________．18.已知a，b是異面直線.給出下列結論：①一定存在平面，使直線平面，直線平面；②一定存在平面，使直線平面，直線平面；③一定存無數(shù)個平面，使直線b與平面交于一個定點，且直線平面；④一定存在平面，使直線平面，直線平面.則所有正確結論的序號為______.三?解答題19.已知函數(shù)（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的對稱中心的坐標；（3）求函數(shù)在的區(qū)間上的最大值和最小值.21.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求的值；（2）如果，求c的值；（3）如果，求的值.22.如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，E是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）證明：.23.如圖，在多面體中，底面為矩形，側面為梯形，，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？并說明理由．24.已知向量，，設函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若函數(shù)，，其中，試討論函數(shù)的零點個數(shù).答案解析一?選擇題1.若，且，則角的終邊位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】∵sinα＞0，則角α的終邊位于一二象限或y軸的非負半軸，∵由tanα＜0，∴角α的終邊位于二四象限，∴角α的終邊位于第二象限．故選擇B．2.函數(shù)，的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式求解即可.【詳解】解：函數(shù)，的最小正周期為：.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎題.3.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結論.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，即的圖象.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)圖象變換，屬于基礎題.4.在空間中，給出下列四個命題：①平行于同一個平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一個平面的兩個平面互相平行；③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④垂直于同一個平面的兩條直線互相平行．其中正確命題的序號是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】通過線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，平行公理可以對四個命題進行判斷，最后選出正確的答案.【詳解】命題①:平行于同一個平面的兩條直線可以平行、相交、異面，顯然命題①是假命題；命題②：垂直于同一個平面的兩個平面可以平行，也可以垂直，顯然命題②是假命題；命題③：這平行公理顯然命題③是真命題；命題④：根據(jù)平行線的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可以知道這個真命題，故本題選D.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和對有關定理的理解.5.已知向量滿足，，，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式計算即可得到結果.【詳解】設向量的夾角為，則，由，，得：，向量的夾角為.故選：C.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積和模長求解向量夾角的問題，屬于基礎題.6.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，那么這個三角形是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出的值，可得或，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式求出A的值，由此即可判斷三角形的形狀.【詳解】∵中，已知，，，由正弦定理，可得：，解得：，可得：或.當時，∵，∴，是直角三角形.當時，∵，∴，是等腰三角形.故是直角三角形或等腰三角形，故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.7.如圖，在長方體中，若分別是棱的中點，則必有（）A.B.C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”來判斷AB選項的正確性，根據(jù)平行直線的性質(zhì)判斷C選項的正確性，根據(jù)面面平行的判定定理判斷D選項的正確性.【詳解】選項A:由中位線定理可知：，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故A選項是錯誤的；選項B:由中位線定理可知：，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故B選項是錯誤的；選項C:由中位線定理可知：，而直線與平面相交，故直線與平面也相交，故平面與平面相交，故C選項是錯誤的；選項D:由三角形中位線定理可知：，平面，平面，平面，平面,所以有平面，平面，而，因此平面平面.所以D選項正確.故本選：D【點睛】本小題主要考查面面平行的判定定理，考查線線平行的性質(zhì)，屬于中檔題.8.函數(shù)f(x)=Asinx(A>0)的圖象如圖所示，P，Q分別為圖象的最高點和最低點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，則A=()A.3 B.C. D.1【答案】B【解析】由題意函數(shù)，周期由圖像可知連接過作軸的垂線，可得：由題意，是直角三角形，解得：.故選B二?填空題9.若角的終邊過點，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可求出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義得.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義求正弦值，考查計算能力，屬于基礎題.10.設向量?的長度分別為4和3，夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】對要求向量的模平方，得到，然后再對求得的結果開方.【詳解】∵?的長度分別為4和3，夾角為，∴∵，故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算及模的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.11.函數(shù)的最大值為______.【答案】3【解析】【分析】直接利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應用求出結果.【詳解】解：當()時，函數(shù)的最大值為3.故答案為：3【點睛】本題考查求正弦型函數(shù)的最值，難度較易.形如的函數(shù)，.12.設是第一象限角，，則______.______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由是第一象限角，，利用平方關系求得，進而可求，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可求得的值.【詳解】∵是第一象限角，，∴，∴.∴.故答案為：，.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關系式和二倍角公式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.13.設向量，，則______；向量，的夾角等于______.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】直接根據(jù)數(shù)量積的定義以及夾角的計算公式即可求解結論.【詳解】解：因為向量，，故，，故，向量，的夾角滿足；因為，故向量，的夾角等于.故答案為：2，.【點睛】本題考查數(shù)量積的計算和夾角的計算公式，屬于基礎題.14.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則______，的面積是______.【答案】(1).(2).【解析】分析】由已知利用正弦定理可求b的值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求C的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】因為，，，由正弦定理，得：，又，所以的面積，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查正弦定理和三角形面積公式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15.在中，三個內(nèi)角、、的對邊分別是、、，若，，，則______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理代入三角形的邊長，可得出答案.【詳解】在中，，故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理求角的余弦值，考查計算能力，屬于基礎題.16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式進行化簡，結合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】解：，當時，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，得，即m的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查二倍角公式和輔助角公式化簡，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.17.已知點A(0，4)，B(2，0)，如果，那么點C的坐標為_____________；設點P(3，t)，且∠APB是鈍角，則t的取值范圍是___________________．【答案】(1).(3,-2)(2).(1,3)【解析】根據(jù)題意，設的坐標為又由點則若，則有則有解可得則的坐標為又由，則若是鈍角，則且解可得即的取值范圍為即答案為(1).(3,-2)(2).(1,3)【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標計算公式，涉及向量平行的坐標表示方法，其中解題的關鍵是掌握向量坐標計算的公式．18.已知a，b是異面直線.給出下列結論：①一定存在平面，使直線平面，直線平面；②一定存在平面，使直線平面，直線平面；③一定存在無數(shù)個平面，使直線b與平面交于一個定點，且直線平面；④一定存在平面，使直線平面，直線平面.則所有正確結論的序號為______.【答案】②③【解析】【分析】①④用反證法判斷，②③.利用線面位置的性質(zhì)關系判斷.【詳解】假設①正確，則存在直線平面，使得，又，故，∴，顯然當異面直線a，b不垂直時，結論錯誤，故①錯誤；設異面直線a，b的公垂線為m，平面，且a，b均不在內(nèi)，則a，b均與平面平行，故②正確；在直線b上取點A，顯然過點A有無數(shù)個平面均與直線a平行，故③正確；假設④正確，則由，可得，顯然這與a，b是異面直線矛盾，故④錯誤.故答案為：②③.【點睛】本題主要考查與異面直線的有關的線面關系問題，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.三?解答題19.已知函數(shù).（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）最小正周期；（3）單調(diào)遞增區(qū)間為：，.【解析】【分析】（1）由已知可求即可得解；（2）利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解；（3）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：（1）由于函數(shù)，可得；（2）的最小正周期；（3）令，，得，，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，.【點睛】本題考查了正弦定理的周期性與單調(diào)性，屬于基礎題.20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的對稱中心的坐標；（3）求函數(shù)在的區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期；（2）對稱中心的坐標為，；（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式進行化簡，結合周期公式進行計算即可（2）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進行求解（3）求出角的范圍，結合三角函數(shù)的有界性以及最值性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：（1），則的最小正周期，（2）由，，得，，即的對稱中心的坐標為，.（3）當時，，則當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為.【點睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，其中涉及輔助角公式、周期、三角函數(shù)對稱中心，主要考查學生的化簡計算能力，難度一般.21.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，.（1）求的值；（2）如果，求c的值；（3）如果，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)公式以及C為三角形的內(nèi)角，可得出的值；（2）由余弦定理可得c；（3）由正弦定理求出，進而求出，根據(jù)大邊對大角確定的符號，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，以及兩角和與差的正弦公式得出答案.【詳解】解：（1）在中，，且，則，又，故.（2），，，故.（3），∴，解得，又，則，.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的應用，屬于基礎題.22.如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，E是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)底面是正方形，得到，再利用線面平行判定定理證明.（2）連結，，交于點O，連結，由中位線定理得到，再利用線面平行判定定理證明.（3）根據(jù)底面是正方形，得到，由側棱底面，得到，從而平面，由此能證明.【詳解】（1）∵四棱錐的底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）如圖所示：連結，，交于點O，連結，∵四棱錐的底面是正方形，∴O是中點，∵E是的中點.∴，∵平面，平面，∴平面.（3）∵四棱錐的底面是正方形，側棱底面，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，還考查了轉化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.23.如圖，在多面體中，底面為矩形，側面為梯形，，，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？并說明理由．【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析【解析】【分析】（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；（II）證明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；（III）取CE的中點P，BE的中點Q，證明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．【詳解】（Ⅰ）由底面為矩形，知.又因為，，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）由底面為矩形，知，又因為平面，平面，所以平面.同理平面，又因為，所以平面平面.又因為平面，所以平面.（Ⅲ）結論：線段上存在點（即的中點），使得平面平面.證明如下：取的中點，的中點，連接，則.由，得.所以四點共面.由（Ⅰ），知平面，所以，故.在△中，由，可得.又因為，所以平面.又因為平面所以平面平面（即平面平面）.即線段上存在點（即中點），使得平面平面【點睛】本題考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理的應用，線面平行的判定，熟練運用定理是解題的關鍵，屬于中檔題．24.已知向量，，設函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若函數(shù)，，其中，試討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（1）最小正周期為；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：()；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）通過向量數(shù)量積求出函數(shù)的表達式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期.（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可.（3）求出函數(shù)在時函數(shù)的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的零點的判斷方法推出函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】（1）函數(shù)，.，，所以函數(shù)的最小正周期為：.（2）因為函數(shù)，由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：().（3），因為，所以，，令，得，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于與的交點個數(shù)，在同一坐標系中，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象可知：當或時，零點為0個；當時函數(shù)有兩個零點，當或時，函數(shù)有一個零點；【點睛】本題主要考查三角函數(shù)與平面向量以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.北京市部分重點中學高一下學期期末考試數(shù)學試卷（四）一、選擇題（共8小題）.1.復數(shù)的虛部為（）A.2 B. C.1 D.i2.已知向量，.若，則（）A. B. C. D.3.在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（）A.某顧客抽獎10次，一定能中獎1次B.某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎C.某顧客消費210元，一定不能中獎D.某顧客消費1000元，至少能中獎1次4.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度5.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.設l是直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則7.已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個不同的點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓維組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）A. B. C. D.二、填空題（共6小題）.9.若函數(shù)，則值為______.10.已知復數(shù)滿足，那么__________，__________．11.已知在中，，，，則______.12.已知甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題概率分別是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，則a的最大值是______.13.已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個論斷：①，②，③，④.以其中的兩個論斷作為命題的條件，作為命題的結論，寫出一個真命題：______.14.在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結論：①越大越費力，越小越省力；②的范圍為；③當時，；④當時，.其中正確結論的序號是______.三、解答題共5題，每題10分，共50分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.已知函數(shù)，其，_____（1）寫出函數(shù)的一個周期（不用說明理由）；（2）當時，求函數(shù)最大值和最小值.從①，②這兩個條件中任選一個，補充上面問題中并作答，注：如果選擇多個條件分別解答.按第一個解答計分.16.某醫(yī)院首批援鄂人員中有2名醫(yī)生，3名護士和1名管理人員.采用抽簽的方式，從這六名援鄂人員中隨機選取兩人在總結表彰大會上發(fā)言.（Ⅰ）寫出發(fā)言人員所有可能的結果構成的樣本空間；（Ⅱ）求選中1名醫(yī)生和1名護士發(fā)言的概率；（Ⅲ）求至少選中1名護士發(fā)言的概率.17.在正方體中，E，F(xiàn)分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在一點M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18.在中，，D是的中點，，.（1）求B；（2）求的面積.19.對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達式稱為二階行列式（determinant），記作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求證：向量與向量共線的充要條件是；（3）討論關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解.（結果用二階行列式的記號表示）.答案解析一、選擇題（共8小題）.1.復數(shù)的虛部為（）A.2 B. C.1 D.i【答案】C【解析】【分析】直接利用復數(shù)的基本概念得答案.【詳解】解：復數(shù)的虛部為1.故選：C.【點睛】此題考查復數(shù)的有關概念，屬于基礎題2.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算，列方程求出x的值.【詳解】解：向量，；若，則，即，解得.故選：A.【點睛】此題考查由向量垂直求參數(shù)，屬于基礎題3.在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是（）A.某顧客抽獎10次，一定能中獎1次B.某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎C.某顧客消費210元，一定不能中獎D.某顧客消費1000元，至少能中獎1次【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率的定義進行判斷.【詳解】解：中獎概率表示每一次抽獎中獎的可能性都是，故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎，故選：B.【點睛】此題考查對概率定義的理解，屬于基礎題4.要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結論.【詳解】解：只要將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象，故選：D.【點睛】此題考查函數(shù)的圖象變換，屬于基礎題5.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化簡復數(shù)，找出對應點得到答案.【詳解】對應點為在第二象限故答案選B【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡，屬于簡單題.6.設l是直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用空間線線、線面、面面的位置關系對選項進行逐一判斷，即可得到答案.【詳解】A.若，，則與可能平行，也可能相交，所以不正確.B.若，，則與可能的位置關系有相交、平行或,所以不正確.C.若，，則可能，所以不正確.D.若，，由線面平行的性質(zhì)過的平面與相交于，則，又.所以，所以有，所以正確.故選：D【點睛】本題考查面面平行、垂直的判斷，線面平行和垂直的判斷,屬于基礎題.7.已知A，B，C，D是平面內(nèi)四個不同的點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的定義即可判斷.【詳解】解：由可不一定推出四邊形為平行四邊形，但由四邊形為平行四邊形一定可得，故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要而不充分條件，故選：B.【點睛】此題考查充分條件和必要條件的判斷，考查推理能力，屬于基礎題8.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓維組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，求出細沙的體積，再設細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的高為，求出細沙的體積，由體積相等求解，則答案可求.【詳解】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細沙的體積為.細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為，則，得.∴.故選：A.【點睛】此題考查圓錐體積公式的應用，屬于中檔題二、填空題（共6小題）.9.若函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求，進而根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】解：∵，∴.故答案為：.【點睛】此題考查正弦的二倍角公式的應用，屬于基礎題10.已知復數(shù)滿足，那么__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用復數(shù)除法運算得到復數(shù)，進而求出其共軛與模即可.【詳解】復數(shù)，故，．【點睛】本題考查復數(shù)的運算及基本概念，屬于基礎題.11.已知在中，，，，則______.【答案】或.【解析】【分析】由已知利用正弦定理可得，結合，可得范圍，即可求解B的值.【詳解】解：∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，可得，∴，或.故答案為：，或.【點睛】此題考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題12.已知甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，則a的最大值是______.【答案】0.79.【解析】【分析】由甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，利用對立事件概率計算公式列出方程，由此能求出a的最大值.【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人各自獨立解決某一問題的概率分別是0.5，0.4，0.3，a，∵甲、乙、丙至少有一人解決該問題的概率不小于丁獨立解決這一問題的概率，∴，解得.∴a的最大值是0.79.故答案為：0.79.【點睛】此題考查對立事件概率的應用，屬于基礎題13.已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個論斷：①，②，③，④.以其中的兩個論斷作為命題的條件，作為命題的結論，寫出一個真命題：______.【答案】若，，則【解析】【分析】若，，則，運用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到結論.【詳解】解：l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，可得若，，則，理由：在內(nèi)取兩條相交直線a，b，由可得.，又，可得.，而a，b為內(nèi)的兩條相交直線，可得.故答案：若，，則【點睛】此題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，考查推理能力，屬于基礎題14.在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設行李包所受重力為G，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結論：①越大越費力，越小越省力；②的范圍為；③當時，；④當時，.其中正確結論的序號是______.【答案】①④.【解析】【分析】根據(jù)為定值，求出，再對題目中的命題分析、判斷正誤即可.【詳解】解：對于①，由為定值，所以，解得；由題意知時，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，即越大越費力，越小越省力；①正確.對于②，由題意知，的取值范圍是，所以②錯誤.對于③，當時，，所以，③錯誤.對于④，當時，，所以，④正確.綜上知，正確結論的序號是①④.故答案為：①④.【點睛】此題考查平面向量數(shù)量積的應用，考查分析問題的能力，屬于中檔題三、解答題共5題，每題10分，共50分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.已知函數(shù)，其，_____.（1）寫出函數(shù)的一個周期（不用說明理由）；（2）當時，求函數(shù)的最大值和最小值.從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答，注：如果選擇多個條件分別解答.按第一個解答計分.【答案】若選①（1）；（2）最小值，最大值；若選②（1），（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）結合所選選項，然后結合二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結合周期公式可求；（2）由已知角x的范圍，然后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：選①，（1）因為，，故函數(shù)的周期；（2）因為，所以，當即時，函數(shù)取得最小值，當即時，函數(shù)取得最大值，選②，（1），，故函數(shù)的一個周期，（2）由可得，時即時，函數(shù)取得最大值，當時即時，函數(shù)取得最小值.【點睛】此題考查二倍角公式及輔助角公式的應用，考查正弦函數(shù)性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中檔題16.某醫(yī)院首批援鄂人員中有2名醫(yī)生，3名護士和1名管理人員.采用抽簽的方式，從這六名援鄂人員中隨機選取兩人在總結表彰大會上發(fā)言.（Ⅰ）寫出發(fā)言人員所有可能的結果構成的樣本空間；（Ⅱ）求選中1名醫(yī)生和1名護士發(fā)言的概率；（Ⅲ）求至少選中1名護士發(fā)言的概率.【答案】（Ⅰ）樣本空間見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）給6名醫(yī)護人員進行編號，使用列舉法得出樣本空間；（Ⅱ）列舉出符合條件的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式計算概率；（Ⅲ）列舉出對立事件的基本事件，根據(jù)對立事件概率公式計算概率.【詳解】解：（Ⅰ）設2名醫(yī)生記為，，3名護士記為，，，1名管理人員記為C，則樣本空間為：.（Ⅱ）設事件M：選中1名醫(yī)生和1名護士發(fā)言，則，∴，又，∴（Ⅲ）設事件N：至少選中1名護士發(fā)言，則，∴，∴.【點睛】本題考查事件空間，考查古典概型，考查對立事件的概率公式．用列舉法寫出事件空間中的所有基本事件是解題關鍵，也是求古典概型的基本方法．17.在正方體中，E，F(xiàn)分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在一點M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，1.【解析】【分析】（1）取的中點G，連接，，運用中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，結合線面平行的判定定理，即可得證；（2）在棱上假設存在一點M，使得平面平面，取M為的中點，連接，，，由線面垂直的判定和性質(zhì)，結合面面垂直的判定定理，可得所求結論.【詳解】解：（1）取的中點G，連接，，因為F為的中點，所以∥，且，在正方體中，因為E為的中點，所以∥，且，所以∥，，可得四邊形為平行四邊形，所以∥，又因為平面，平面，則∥平面；（2）在棱上假設存在一點M，使得平面平面，取M為的中點，連接，，，因為F為的中點，所以∥，因為，可得，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故.【點睛】此題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定和性質(zhì)的應用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，屬于中檔題18.在中，，D是的中點，，.（1）求B；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接由已知條件和正弦定理求出B的值.（2）根據(jù)余弦定理求出c的值，再根據(jù)面積公式即可求出.【詳解】解：（1）由及正弦定理，可得：，所以：，由于：，，因為，解得：；（2）延長線段到E，使得，因為D是的中點，所以是的中位線，所以，因為，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以.【點睛】此題考查正弦定理和余弦定理應用，考查兩角和正弦公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題19.對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達式稱為二階行列式（determinant），記作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求證：向量與向量共線的充要條件是；（3）討論關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解的條件，并求出解.（結果用二階行列式的記號表示）.【答案】（1）1，0，0；（2）證明見解析；（3）當時，有唯一解，，.【解析】【分析】（1）利用行列式的定義可以直接求出行列式的值.（2）若向量與向量共線，由和時，分別推導出；反之，若，即，當c，d不全為0時，不妨設，則，，推導出，，當且時，，與共線，由此能證明向量與向量共線的充要條件是.（3）求出，，由此能求出當時，關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解，并能求出解.【詳解】解：（1）解：①②；③.（2）證明：若向量與向量共線，則：當時，有，即，當時，有，即，∴必要性得證.反之，若，即，當c，d不全為0時，即時，不妨設，則，∴，∵，∴，∴，∴與共線，當且時，，∴與共線，充分性得證.綜上，向量與向量共線的充要條件是.（3）用和分別乘上面兩個方程兩端，然后兩個方程相減，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴當時，即時，由①②得：，，∴當時，關于x，y的二元一次方程組（）有唯一解，且，.【點睛】此題考查行列式求值，考查向量共線的充要條件的證