向量在物理中的應(yīng)用舉例 學(xué)案 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

6．4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例通過用向量方法解決某些簡單的力學(xué)問題的過程，提高解決實際問題的能力．活動掌握向量在物理中的應(yīng)用物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的，因而它們都是向量．向量在物理學(xué)中最基本的應(yīng)用就是力、速度、加速度、位移等的合成與分解，在物理中動量是向量的數(shù)乘，力所做的功是向量的數(shù)量積．例1在日常生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？思考???當θ為何值時，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|嗎？為什么？用向量法解決物理問題的一般步驟：(1)把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；(2)轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算使問題解決；(3)將結(jié)果還原為物理問題，解釋物理現(xiàn)象．如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在點A，B處，同質(zhì)量的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得OB⊥OC，試分析三根繩子受力的大小，判斷哪根繩子的受力最大？例2如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d＝500m，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝10km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2km/h，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間(精確到0.1min)?在靜水中劃船的速度是40m/min，水流的速度是20m/min，如果船從岸邊出發(fā)，徑直沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進的方向應(yīng)該指向哪里？

1.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖，一艘船從長江南岸的點A出發(fā)，以5km/h的速度沿AD方向行駛，到達對岸點C處，且AC與江岸AB垂直，同時江水的速度為向東3km/h，則船實際航行的速度為()A.2km/hB.eq\r(34)km/hC.4km/hD.8km/h2.一物體受到相互垂直的兩個力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5eq\r(3)N，則兩個力的合力的大小為()A.10eq\r(3)NB.0NC.5eq\r(6)ND.eq\f(5\r(6),2)N3.(多選)如圖，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是()A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變4.(2023全國高一專題練習(xí))已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，現(xiàn)有動點P從點P0(－1，2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒|e1＋e2|，另一動點Q從點Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒|3e1＋2e2|，設(shè)點P，Q在t＝0s時分別在點P0，Q0處，則當eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥eq\o(P0Q0,\s\up6(→))時，t＝________s.5.長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度d＝1km.一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小為|v2|＝4km/h.設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°)，北岸的點A′在點A的正北方向．(1)當θ＝120°時，試判斷游船航行到達北岸的位置是在點A′處的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由；(2)當cosθ為多少時，游船能到達點A′處？需要航行多長時間？(3)當θ＝120°時，游船航行到達北岸的實際航程是多少？【答案解析】6．4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例【活動方案】例1先來看共提旅行包的情況．如圖，設(shè)作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1，F(xiàn)2，為方便起見，我們不妨設(shè)|F1|＝|F2|.另設(shè)F1，F(xiàn)2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道|F1|＝eq\f(|G|,2cos\f(θ,2)).這里，|G|為定值．分析上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，當θ由0逐漸變大到π時，eq\f(θ,2)由0逐漸變大到eq\f(π,2)，coseq\f(θ,2)的值由大逐漸變小，此時|F1|由小逐漸變大；反之，當θ由π逐漸變小到0時，eq\f(θ,2)由eq\f(π,2)逐漸變小到0，coseq\f(θ,2)的值由小逐漸變大，此時|F1|由大逐漸變小，這就是說，F(xiàn)1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．同理，在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．思考：要使|F1|最小，只需coseq\f(θ,2)最大，此時coseq\f(θ,2)＝1，可得θ＝0.于是|F1|的最小值為eq\f(|G|,2).若要使|F1|＝|G|，只需coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)，此時eq\f(θ,2)＝eq\f(π,3)，即θ＝eq\f(2π,3).跟蹤訓(xùn)練設(shè)OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為a，b，c，則a＋b＋c＝0.因為a，b的合力為c′＝a＋b，所以|c|＝|c′|.如圖，在?OB′C′A′中，因為eq\o(OB′,\s\up6(→))⊥eq\o(OC′,\s\up6(→))，eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(OA′,\s\up6(→))，所以|eq\o(OA′,\s\up6(→))|>|eq\o(OB′,\s\up6(→))|，|eq\o(OA′,\s\up6(→))|>|eq\o(OC′,\s\up6(→))|，即|a|>|b|，|a|>|c|，故細繩OA的受力最大．例2設(shè)點B是河對岸一點，且AB與河岸垂直，那么當這艘船實際沿著AB方向行駛時，船的航程最短．如圖，設(shè)v＝v1＋v2，則|v|＝eq\r(|v1|2－|v2|2)＝eq\r(96)(km/h).此時，船的航行時間t＝eq\f(d,|v|)＝eq\f(0.5,\r(96))×60≈3.1(min)，所以當航程最短時，這艘船行駛完全程需要3.1min.跟蹤訓(xùn)練設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船在靜水中的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船實際垂直過河的速度．因為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，所以四邊形OACB是平行四邊形．在Rt△OBC中，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝40，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以要船垂直到達對岸，其航向應(yīng)與水流方向的夾角為120°.【檢測反饋】1.C解析：如圖，eq\o(AD,\s\up6(→))為船速，eq\o(AB,\s\up6(→))為水速，eq\o(AC,\s\up6(→))為實際航行的速度．又eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up11(,|\o(AD),\s\do4(\s\up6(→))|2－|\o(DC,\s\up6(→))|2)))＝4.2.C解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得合力的大小為eq\r(2)×5eq\r(3)＝5eq\r(6)(N).3.AC解析：設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，則|F|cosθ＝|f|，所以|F|＝eq\f(|f|,cosθ).因為θ增大，cosθ減小，所以|F|增大．因為|F|sinθ增大，|F|sinθ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減?。蔬xAC.4.2解析：由題意，得e1＋e2＝(1，1)，則|e1＋e2|＝eq\r(2)，與其方向相同的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，3e1＋2e2＝(3，2)，則|3e1＋2e2|＝eq\r(13)，與其方向相同的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(13))，\f(2,\r(13))))，如圖，則|eq\o(P0P,\s\up6(→))|＝eq\r(2)t，|eq\o(Q0Q,\s\up6(→))|＝eq\r(13)t，故eq\o(P0P,\s\up6(→))＝|eq\o(P0P,\s\up6(→))|·(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))＝(t，t)，eq\o(Q0Q,\s\up6(→))＝|eq\o(Q0Q,\s\up6(→))|(eq\f(3,\r(13))，eq\f(2,\r(13)))＝(3t，2t).又P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，所以P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，eq\o(P0Q0,\s\up6(→))＝(－1，－3)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(2t－1，t－3).因為eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥eq\o(P0Q0,\s\up6(→))，所以eq\o(P0Q0,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.故當eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥eq\o(P0Q0,\s\up6(→))時，t＝2s.5.(1)由題意，得v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos60°＝5(km/h)>|v2|＝4km/h，所以游船航行到達北岸的位置是在點A′處的左側(cè)．(2)要使游船能到達點A′處，則v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos(π－θ)＝|v2|＝4km/h，所以cos(π－θ)＝eq\f(2,5)，即cosθ＝－eq\f(2,5)，又0°<θ<180°，所以sinθ＝eq\f(\r(21),5)，則垂直方向上的速度的大小為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(v1))sinθ＝2eq\r(21)(km/h)，所以航行時間t＝eq\f(d,2\r(21))＝eq\f(\r(