高中數(shù)學(xué)必修二《第九章 統(tǒng)計》復(fù)習(xí)教案

《第九章統(tǒng)計》復(fù)習(xí)教案9.1隨機(jī)抽樣9.1.1簡單隨機(jī)抽樣【基礎(chǔ)知識拓展】1．抽簽法的優(yōu)缺點(diǎn)與操作步驟(1)優(yōu)點(diǎn)：簡單易行．當(dāng)總體的個數(shù)不多時，使總體處于“攪拌均勻”的狀態(tài)比較容易，這時，每個個體都有均等的機(jī)會被抽中，從而能夠保證樣本的代表性．(2)缺點(diǎn)：僅適用于個體數(shù)較少的總體．當(dāng)總體容量非常大時，費(fèi)時費(fèi)力又不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平．(3)用抽簽法從容量為N的總體中抽取一個容量為n的樣本的步驟：①編號：給總體中的所有個體編號(號碼可以從1到N)；②制作號簽：將1～N這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可以用小球、卡片、紙條等制作)；③均勻攪拌：將號簽放在一個不透明的容器里，攪拌均勻；④抽取號碼：每次從容器中不放回地抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次；⑤構(gòu)成樣本：從總體中將與抽到的號簽上的號碼一致的個體抽取，就構(gòu)成了一個容量為n的樣本．2．隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)缺點(diǎn)及操作步驟(1)優(yōu)點(diǎn)：簡單易行．它很好地解決了當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時抽簽法制簽難的問題．(2)缺點(diǎn)：當(dāng)總體中的個體數(shù)很多，需要的樣本量也較大時，用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本仍不方便．(3)隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟：①編號：對總體的個體進(jìn)行編號(每個號碼位數(shù)一致)；②選定初始值：在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；③選號：從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的號碼若不在編號中，則跳過，若在編號中，則取出，如果得到的號碼前面已經(jīng)取出，也跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；④確定樣本：根據(jù)選定的號碼抽取樣本．3．抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的區(qū)別抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少，樣本量也較小的抽樣，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多，但樣本量較小的抽樣．4．用樣本估計總體，主要基于以下兩點(diǎn)：一是在很多情況下總體的個數(shù)往往很多，甚至無限，不能一一加以考察；二是有些從總體中抽取個體的試驗(yàn)常有破壞性，因而抽取的個體不允許太多?！靖櫽?xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)簡單隨機(jī)抽樣就是隨便抽取樣本．()(2)使用抽簽法抽簽時，后抽簽的人占優(yōu)勢．()(3)利用計算器生成隨機(jī)數(shù)時，按一次“＝”鍵可生成一個隨機(jī)數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列調(diào)查：①每隔5年進(jìn)行一次人口普查；②報社等進(jìn)行輿論調(diào)查；③燈泡使用壽命的調(diào)查；④對入學(xué)報名者的學(xué)歷檢查；⑤從20臺電視機(jī)中抽出3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中屬于抽樣調(diào)查的是()A．①②③ B．②③⑤C．②③④ D．①③⑤(2)下列抽樣試驗(yàn)中，適合用抽簽法的有()A．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱15件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱15件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案(1)B(2)B【核心素養(yǎng)形成】題型一簡單隨機(jī)抽樣的判斷例1下列5個抽樣中，簡單隨機(jī)抽樣的個數(shù)是()①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；②倉庫中有1萬支火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；③某連隊(duì)從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參加抗震救災(zāi)工作；④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．A．0 B．1C．2 D．3[解析]根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐個判斷．①不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣要求被抽取樣本的總體中的個體數(shù)是有限的；②不是簡單隨機(jī)抽樣，雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個抽取”；③不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)?0名官兵是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求；④是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能的抽樣．綜上，只有④是簡單隨機(jī)抽樣．[答案]B【解題技巧】簡單隨機(jī)抽樣必須具備的特點(diǎn)(1)被抽取樣本的總體中的個體數(shù)是有限的．(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的．(3)簡單隨機(jī)抽樣是一種等可能的抽樣．如果三個特征有一個不滿足，就不是簡單隨機(jī)抽樣．【跟蹤訓(xùn)練】判斷下面的抽樣方法是否為簡單隨機(jī)抽樣，并說明理由．(1)某班45名同學(xué)，指定個子最矮的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的某項(xiàng)活動；(2)從20個零件中一次性抽出3個進(jìn)行質(zhì)量檢查．解(1)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)橹付▊€子最矮的5名同學(xué)，是在45名同學(xué)中特指的，不存在隨機(jī)性，不是等可能抽樣．(2)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)橐淮涡猿槿?個不是逐個抽取，不符合簡單隨機(jī)抽樣的特征.題型二用抽簽法抽取樣本例2(1)上海某中學(xué)從40名學(xué)生中選1人作為上海男籃啦啦隊(duì)的成員，采用下面兩種選法，則抽簽法的序號是________．①將這40名學(xué)生從1～40進(jìn)行編號，相應(yīng)地制作1～40的40個號簽，把這40個號簽放在一個暗箱中攪勻，然后隨機(jī)地從中抽取1個號簽，與這個號簽編號一致的學(xué)生幸運(yùn)入選；②將39個白球與1個紅球(球除顏色外，其他完全相同)混合放在一個暗箱中攪勻，讓40名學(xué)生逐一從中摸取一球，摸到紅球的學(xué)生成為啦啦隊(duì)成員．(2)在社區(qū)公益活動中，某單位共有50名志愿者參與了報名，現(xiàn)要從中隨機(jī)抽出6人參加一項(xiàng)活動，請用抽簽法進(jìn)行抽樣，并寫出過程．[解析](1)①滿足抽簽法的特征，是抽簽法；②不是抽簽法，因?yàn)槌楹灧ㄒ笏械奶柡灳幪柣ゲ幌嗤?，而②?9個白球無法相互區(qū)分．(2)第一步，將50名志愿者編號，號碼依次為1,2,3，…，50；第二步，將號碼分別寫在大小、形狀、質(zhì)地都相同的紙條上，揉成團(tuán)，制成號簽；第三步，將所有號簽放入一個不透明的箱子中，攪拌均勻；第四步，一次取出1個號簽，連取6次(不放回抽取)，并記錄其編號；第五步，將對應(yīng)編號的志愿者選出即可．[答案](1)①(2)見解析【解題技巧】抽簽法的五個步驟【跟蹤訓(xùn)練】從20架鋼琴中抽取5架進(jìn)行質(zhì)量檢查，請用抽簽法確定這5架鋼琴．解第一步，將20架鋼琴編號，號碼是01,02，…，20.第二步，將號碼分別寫在相同的紙條上，揉成團(tuán)，制成號簽．第三步，將得到的號簽放入一個不透明的袋子中，并充分?jǐn)噭颍谒牟?，從袋子中逐個不放回地抽取5個號簽，并記錄上面的編號．第五步，所得號碼對應(yīng)的5架鋼琴就是要進(jìn)行質(zhì)量檢查的對象.題型三用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本例3(1)要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001,002，…，850進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)開始向右讀，請依次寫出最先檢驗(yàn)的4顆種子的編號：________.(下面抽取了隨機(jī)數(shù)表第1行至第8行)(2)現(xiàn)有一批零件，其編號為600,601,602，…，999.利用原有的編號從中抽取一個容量為10的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)法，怎樣設(shè)計方案？[解析](1)從隨機(jī)數(shù)表第3行第6列的數(shù)2開始向右讀，第一個小于850的數(shù)字是227，第二個數(shù)字是665，第三個數(shù)字是650，第四個數(shù)字是267，符合題意．(2)用計算器生成隨機(jī)數(shù)，第一步，進(jìn)入計算器的計算模式，調(diào)出生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)并設(shè)置參數(shù)；第二步，按“＝”鍵生成一個符合條件的隨機(jī)數(shù)，繼續(xù)重復(fù)按“＝”鍵，生成多個隨機(jī)數(shù)，如果生成的隨機(jī)數(shù)重復(fù)，則跳過去不讀，直到產(chǎn)生10個沒有重復(fù)的隨機(jī)數(shù)為止；第三步，以上10個號碼對應(yīng)的10個零件就是要抽取的對象．(答案不唯一)[答案](1)227,665,650,267(2)見解析【解題技巧】利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時應(yīng)注意的問題(1)編號要求位數(shù)相同，若不相同需先調(diào)整到一致后再進(jìn)行抽樣，如當(dāng)總體中有100個個體時，為了操作簡便可以選擇從00開始編號，那么所有個體的號碼都用兩位數(shù)字表示即可，從00～99號．如果選擇從001開始編號那么所有個體的號碼都必須用三位數(shù)字表示，即從001～100.很明顯每次讀兩個數(shù)字要比讀三個數(shù)字節(jié)省時間．(2)第一個數(shù)字的抽取是隨機(jī)的．(3)當(dāng)隨機(jī)數(shù)選定，開始讀數(shù)時，讀數(shù)的方向可左、可右、可上、可下，但應(yīng)是事先定好的．(4)讀數(shù)不在總體編號內(nèi)的和已取出的不算，依次下去，直至得到容量為n的樣本．【跟蹤訓(xùn)練】(1)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()A．08 B．07C．02 D．01(2)某合資企業(yè)有3000名職工，要從中隨機(jī)抽出200人去參觀學(xué)習(xí)．請用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)法進(jìn)行抽取，并寫出過程．答案(1)D(2)見解析解析(1)從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65，不符合條件，第二個數(shù)為72，不符合條件，第三個數(shù)為08，符合條件，以下符合條件的數(shù)依次為02,14,07,01，故第5個數(shù)為01.故選D.(2)第一步，將3000名職工依次編號為1,2,3，…，3000；第二步，用電子表格軟件生成隨機(jī)數(shù)，在電子表格軟件的任一單元格中，輸入“＝RANDBETWEEN(1,3000)”，則生成一個1～3000范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)；第三步，利用電子表格軟件的自動填充功能得到200個沒有重復(fù)的隨機(jī)數(shù)；第四步，這200個號碼對應(yīng)的200名職工就是要抽取的職工.題型四用樣本均值估計總體均值例4某燈泡廠為測量一批燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽查了20只燈泡，它們的使用壽命變量值(單位：h)如下所示：62484712056981845245761813251908242620182248246525769877371628199825432007則由這些樣本觀測數(shù)據(jù)，估計這批燈泡的平均使用壽命是多少？[解]抽出的20只燈泡的使用壽命組成一個樣本，可以用樣本的平均使用壽命來估計這批燈泡的平均使用壽命．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得樣本的均值為1658h.因此，可以估計這批燈泡的平均使用壽命大約是1658h.【解題技巧】(1)計算數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，需理解組中值的意義和數(shù)據(jù)“權(quán)數(shù)”的意義．(2)用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，體現(xiàn)了重要的統(tǒng)計思想．【跟蹤訓(xùn)練】為了解一批輪胎的性能，汽車制造廠從這批輪胎中隨機(jī)抽取了8個進(jìn)行測試，每個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)(單位：1000km)為：96,112,97,108,100,103,86,98.則估計這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均數(shù)為()A．100 B．99C．98 D．97答案A解析用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，得這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均數(shù)約為eq\f(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98,8)＝100.【課堂達(dá)訓(xùn)練】1．為了檢查一批光盤的質(zhì)量，從中抽取了500張進(jìn)行檢測，則這個問題中樣本量是()A．500張光盤 B．500C．500張光盤的質(zhì)量 D．這批光盤答案B解析樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量，故這個問題中樣本量是500.故選B.2．下列抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是()A．從100個學(xué)生家長中一次性隨機(jī)抽取10人做家訪B．從38本教輔參考資料中選取內(nèi)容講解較好的3本作為教學(xué)參考C．從自然數(shù)集中一次性抽取20個進(jìn)行奇偶性分析D．某參會人員從最后一排20個座位中隨機(jī)選擇一個坐下答案D解析A不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槭恰耙淮涡浴背槿?；B不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槊總€個體被抽到的概率不相等；C不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槭恰耙淮涡浴背槿。摇翱傮w容量無限”．D是簡單隨機(jī)抽樣．3．從52名學(xué)生中選取5名學(xué)生參加“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，若采用簡單隨機(jī)抽樣抽取，則每人入選的可能性()A．都相等，且為eq\f(1,52) B．都相等，且為eq\f(1,10)C．都相等，且為eq\f(5,52) D．都不相等答案C解析對于簡單隨機(jī)抽樣，在抽樣過程中每一個個體被抽取的機(jī)會都相等(隨機(jī)抽樣的等可能性)．若樣本容量為n，總體的個體數(shù)為N，則用簡單隨機(jī)抽樣時，每一個個體被抽到的可能性都是eq\f(n,N)，體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公平性．因此每人入選的可能性都相等，且為eq\f(5,52).4．從某批零件中抽取50個，然后再從50個中抽出40個進(jìn)行合格檢查，發(fā)現(xiàn)合格品有36個，則該產(chǎn)品的合格率約為()A．36% B．72%C．90% D．25%答案C解析eq\f(36,40)×100%＝90%.5．為了調(diào)查某班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所需的時間，在該班隨機(jī)抽查了8名學(xué)生，他們每天完成家庭作業(yè)所需時間(單位：分鐘)分別為60,55,75,55,55,43,65,40.(1)求這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)估計該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間，按照學(xué)校要求，學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所需的平均時間不能超過60分鐘，該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間是否符合學(xué)校的要求？解(1)這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,8)×(60＋55＋75＋55＋55＋43＋65＋40)＝56.(2)由樣本平均數(shù)，估計該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間為56分鐘．∵56<60，∴該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間符合學(xué)校的要求．9.1.2分層隨機(jī)抽樣9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑【基礎(chǔ)知識拓展】1．分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內(nèi)個體間的差異不明顯，在抽取樣本時，一般在每層抽樣時隨機(jī)抽樣，以保證公平、公正，在實(shí)際操作時，應(yīng)先計算抽樣比k＝eq\f(樣本量,總體個數(shù))，然后再計算每層需要抽取的個數(shù)：抽樣比×該層個體數(shù)目＝eq\f(樣本量,總體個數(shù))×該層個體數(shù)目．2．分層隨機(jī)抽樣的適用條件分層隨機(jī)抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要．當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層隨機(jī)抽樣的方法．【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分層隨機(jī)抽樣中，每層被抽到的個體數(shù)是一樣的．()(2)分層隨機(jī)抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣．()(3)樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù)．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，因?yàn)槟猩纳砀吆团纳砀哂酗@著不同，所以獲取樣本時宜采用________抽樣．(2)一個班共有54人，其中男女人數(shù)比為5∶4，若抽取9人參加教改調(diào)查會，則應(yīng)抽取男同學(xué)________人．(3)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)3x1,3x2,3x3,3x4的平均數(shù)是________．答案(1)分層隨機(jī)(2)5(3)6【核心素養(yǎng)形成】題型一分層隨機(jī)抽樣的概念例1(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機(jī)關(guān)對政府機(jī)構(gòu)改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適()A．抽簽法 B．簡單隨機(jī)抽樣法C．分層隨機(jī)抽樣法 D．隨機(jī)數(shù)法(2)分層隨機(jī)抽樣又稱類型隨機(jī)抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，若分層隨機(jī)抽樣要保證每個個體等可能抽樣，必須進(jìn)行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取個體數(shù)量相同[解析](1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣法．(2)保證每個個體等可能的被抽取是簡單隨機(jī)抽樣和比例分配的分層隨機(jī)抽樣的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。甗答案](1)C(2)C【解題技巧】使用分層隨機(jī)抽樣的原則(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則．(2)比例分配的分層隨機(jī)抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，使每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．【跟蹤訓(xùn)練】下列問題中，最適合用分層隨機(jī)抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1～40.有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進(jìn)行座談B．從10臺冰箱中抽出3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，洼地4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量D．從50個零件中抽取5個做質(zhì)量檢驗(yàn)答案C解析A的個體沒有呈現(xiàn)出較大差異，不適合用分層隨機(jī)抽樣法；B的總體容量較小，用簡單隨機(jī)抽樣法比較方便；C總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采用分層隨機(jī)抽樣方法；D與B類似.題型二分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽取？[解]用比例分配的分層隨機(jī)抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層．按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按隨機(jī)數(shù)法抽取樣本．(4)匯總每層抽樣，組成樣本．【解題技巧】利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的操作步驟【跟蹤訓(xùn)練】某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：很喜愛喜愛一般不喜愛2435456739261072電視臺為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中再抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣？解采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽樣比為eq\f(60,12000)＝eq\f(1,200).“很喜愛”的有2435人，應(yīng)抽取2435×eq\f(1,200)≈12(人)；“喜愛”的有4567人，應(yīng)抽取4567×eq\f(1,200)≈23(人)；“一般”的有3926人，應(yīng)抽取3926×eq\f(1,200)≈20(人)；“不喜愛”的有1072人，應(yīng)抽取1072×eq\f(1,200)≈5(人)．因此，采用分層隨機(jī)抽樣的方法在“很喜愛”“喜愛”“一般”“不喜愛”的人中應(yīng)分別抽取12人、23人、20人、5人.題型三分層隨機(jī)抽樣的綜合應(yīng)用例3某校高一年級有24個班，共1000名學(xué)生，他們參加了一次數(shù)學(xué)測試．學(xué)校統(tǒng)計了所有學(xué)生的成績，得到下列統(tǒng)計圖．(1)求該校高一年級學(xué)生本次測試成績的平均數(shù)．(2)假設(shè)要抽取300名學(xué)生，按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，應(yīng)抽取男生多少名？女生多少名？[解](1)由題意并結(jié)合扇形統(tǒng)計圖，可知男生共有1000×60%＝600(名)，女生共有1000×40%＝400(名)．由成績的平均數(shù)條形圖可得，該校高一年級學(xué)生本次測試成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝(80×600＋82.5×400)÷1000＝81(分)．(2)抽取300名學(xué)生，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，則男生應(yīng)抽取600×eq\f(300,1000)＝180(名)，女生應(yīng)抽取400×eq\f(300,1000)＝120(名)．【解題技巧】(1)解決統(tǒng)計問題要做好數(shù)據(jù)的處理和數(shù)據(jù)的分析．(2)條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計圖直接反映部分在總體的百分比大?。?萬個不小于70的兩位數(shù)，從中隨機(jī)抽取了3000個數(shù)，統(tǒng)計如下表：數(shù)據(jù)x70<x<7980<x<8990<x<99個數(shù)8001300900平均數(shù)78.18591.9請根據(jù)表格中的信息，估計這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為()A．92.16 B．85.23C．84.73 D．77.97答案B解析這3000個數(shù)的平均數(shù)為：eq\f(78.1×800＋85×1300＋91.9×900,3000)＝85.23，于是用樣本的平均數(shù)去估計總體的平均數(shù)，則這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為85.23.題型四獲取數(shù)據(jù)的途徑例4簡單設(shè)計一份問卷，調(diào)查學(xué)生對高一各學(xué)科的態(tài)度．[解]請按自己的感受把下面這些學(xué)科的序號填在空格里．①語文②數(shù)學(xué)③外語④物理⑤化學(xué)⑥生物⑦歷史⑧地理⑨政治⑩體育?藝術(shù)(音樂、美術(shù))?技術(shù)我喜歡的學(xué)科我感覺壓力最大的學(xué)科我不喜歡的學(xué)科我覺得有用的學(xué)科我覺得內(nèi)容多的學(xué)科我覺得內(nèi)容少的學(xué)科【解題技巧】調(diào)查問卷中問題設(shè)計的要求(1)問卷中的問題必須設(shè)計詳細(xì)，以便被調(diào)查者順利回答．(2)把比較容易的，不涉及個人的問題排在比較靠前的位置，較難的、涉及個人的問題放在后面．【跟蹤訓(xùn)練】為調(diào)查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是三名同學(xué)設(shè)計的方案：學(xué)生甲：我把這個用水量調(diào)查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登陸網(wǎng)站的人就可以看到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；學(xué)生乙：我給我們居民小區(qū)的每一個住戶發(fā)一張用水調(diào)查表，只要一兩天就可以統(tǒng)計出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；學(xué)生丙：我在小區(qū)的電話號碼本上隨機(jī)地選出一定數(shù)量的電話號碼，然后逐個給這些住戶打電話，問一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶居民的月用水量．請問：這三位同學(xué)設(shè)計的方案中哪一個較合理？你有何建議？解學(xué)生甲的方法得到的樣本只能夠反映上網(wǎng)居民的用水情況，它是一種方便樣本，所得到的樣本代表性差，不能很準(zhǔn)確地獲得平均每戶居民的月用水量．學(xué)生乙的方法實(shí)際上是普查，花費(fèi)的人力、物力更多一些，但是如果統(tǒng)計過程不出錯，就可以準(zhǔn)確地得到平均每戶居民的月用水量．學(xué)生丙的方法是一種隨機(jī)抽樣的方法，所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的情況下，建議用隨機(jī)抽樣方法獲得數(shù)據(jù)，用學(xué)生丙的方法，既節(jié)省人力、物力，又可以得到比較精確的結(jié)果．【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是()A．簡單隨機(jī)抽樣 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)法 D．分層隨機(jī)抽樣答案D解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分層隨機(jī)抽樣，且樣本量的分配方式為比例分配．2．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣和比例分配的分層隨機(jī)抽樣兩種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為P1，P2，則()A．P1>P2 B．P1<P2C．P1＝P2 D．無法確定答案C解析簡單隨機(jī)抽樣和比例分配的分層隨機(jī)抽樣都是等可能抽樣，每個個體被抽中的概率均為eq\f(n,N).3．甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法抽取一個容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人答案B解析先求抽樣比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各層按抽樣比分別抽取，則甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故選B.4．某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向，擬采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取________名學(xué)生．答案60解析根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.5．某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為20的樣本．按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本，各種血型的人分別抽多少？解用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽樣．∵eq\f(20,500)＝eq\f(1,25)，∴200×eq\f(1,25)＝8,125×eq\f(1,25)＝5,50×eq\f(1,25)＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．9.2用樣本估計總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計【基礎(chǔ)知識拓展】1．頻率分布直方圖能夠直觀、形象地反映樣本的分布規(guī)律，可以大致估計出總體的分布，但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．在頻率分布直方圖中，由于長方形的面積S＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，所以各個小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，這樣頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)在各個小組的頻率的大小，各個小長方形的面積總和等于1.2．一般地，樣本量越大，這種估計就越精確．總體估計要掌握：(1)“表”(頻率分布表)；(2)“圖”(頻率分布直方圖)．提醒：直方圖的縱軸(小長方形的高)一般是頻率除以組距的商，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小長方形的面積表示頻率．【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)頻率分布直方圖的縱軸表示頻率．()(2)數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用eq\f(各小組頻數(shù),樣本量)來表示．()(3)頻率分布直方圖把樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例大小直觀化，更有利于我們從整體上把握數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8個組，如下表：組號12345678頻數(shù)1013x141513129則第3組的頻率為()A．0.03 B．0.07C．0.14 D．0.21(2)一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻率和頻數(shù)分別為0.125和40，則n的值為()A．640 B．320C．240 D．160(3)一個容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，則樣本在[10,50)上的頻率為()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,10)(4)為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有______株樹木的底部周長小于100cm.答案(1)C(2)B(3)D(4)24【核心素養(yǎng)形成】題型一頻率分布直方圖的畫法例1從某校高一年級1002名新生中隨機(jī)抽取一個容量為100的身高樣本，數(shù)據(jù)如下(單位：cm)，試作出該樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖．168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174171165179163172180174168164174171165179163169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166[解](1)在全部數(shù)據(jù)中找出最大值180，最小值151，計算極差＝180－151＝29.(2)取組距為3，則組數(shù)為eq\f(29,3)≈10.(3)從第一組[150.5,153.5)開始，統(tǒng)計出各組的頻數(shù)，再計算各組的頻率，并將結(jié)果填入下表：頻率分布直方圖如圖．【解題技巧】繪制頻率分布直方圖的注意事項(xiàng)(1)計算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可選一個數(shù)當(dāng)參照．(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)．(4)列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi)，以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)．(5)畫頻率分布直方圖時，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率．【跟蹤訓(xùn)練】美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年齡最小的是羅斯福，他于1901年就任，當(dāng)時年僅42歲；就任時年齡最大的是特朗普，他于2016年就任，當(dāng)時70歲．下面按時間順序(從1789年的華盛頓到2016年的特朗普，共45任)給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65，52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51，54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.(1)將數(shù)據(jù)分為7組，列出頻率分布表，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖；(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況．解(1)以4為組距，列頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[42,46)20.0444[46,50)70.1555[50,54)80.1778[54,58)160.3556[58,62)50.1111[62,66)40.0889[66,70]30.0667合計451.0000畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖，如圖所示．(2)從頻率分布表中可以看出，將近60%的美國總統(tǒng)就任時的年齡在50歲至60歲之間，45歲及45歲以下和65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較小.題型二頻率分布直方圖的應(yīng)用例2為了迎接某市作為全國文明城市的復(fù)查，愛衛(wèi)會隨機(jī)抽取了60位路人進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查項(xiàng)目是自己對該市各方面衛(wèi)生情況的滿意度(假設(shè)被問卷的路人回答是客觀的)，以分?jǐn)?shù)表示問卷結(jié)果，并統(tǒng)計他們的問卷分?jǐn)?shù)，把其中不低于50分的分成五段：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖，觀察圖形信息，回答下列問題：(1)求出問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)低于50分的被問卷人數(shù)；(2)估計全市市民滿意度在60分及以上的百分比．[解](1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1，故低于50分的頻率為f＝1－(0.015×2＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.1，故低于50分的人數(shù)為60×0.1＝6.(2)依題意，60分及以上的頻率和為(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽樣滿意度在60分及以上的百分比為75%.于是，可以估計全市市民滿意度在60分及以上的百分比為75%.【解題技巧】頻率分布直方圖的應(yīng)用頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小，一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布，其中：(1)頻率分布直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)；(2)頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于頻率，各個小長方形的面積之和為1；(3)長方形的高的比也就是頻率之比．【跟蹤訓(xùn)練】從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)，由圖中數(shù)據(jù)可知a＝________.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________．答案0.0303解析因?yàn)轭l率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由圖可知身高在[120,150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為10，所以從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為eq\f(18,60)×10＝3.題型三統(tǒng)計圖表的應(yīng)用例3某省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時”寫入課程表，為了響應(yīng)這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項(xiàng)目是什么？(只寫一項(xiàng))”的問題，對在校學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù)．圖1是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制的柱形圖．請結(jié)合柱形圖回答下列問題：(1)該校對多少名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查？(2)本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比是多少？(3)若該校九年級共有200名學(xué)生，圖2是根據(jù)各年級學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形圖，請你估計全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為多少？[解](1)由圖1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以該校對50名學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查．(2)本次調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有18人，占被調(diào)查人數(shù)的eq\f(18,50)×100%＝36%.(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1000(人)，eq\f(8,50)×100%×1000＝160(人)，所以估計全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為160.【解題技巧】(1)柱形圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成高度不同的小矩形，然后把這些小矩形按照一定的順序排列起來．其特點(diǎn)是便于看出和比較各種數(shù)量的多少，即柱形圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的具體數(shù)目．(2)扇形圖是用整個圓面積表示總數(shù)(100%)，用圓內(nèi)的扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．總之，用圖表來表示數(shù)量關(guān)系更生動形象、具體，使人一目了然．【跟蹤訓(xùn)練】下表給出了2018年A，B兩地的降水量(單位：mm)：(1)根據(jù)統(tǒng)計表繪制折線圖；(2)根據(jù)折線圖比較A，B兩地的降水量，分析哪個地方的降水量較大？解(1)建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)上的點(diǎn)表示月份，用縱坐標(biāo)上的點(diǎn)表示降水量，描出每個月份對應(yīng)的點(diǎn)，然后用直線段順次連接相鄰的點(diǎn)，得到折線統(tǒng)計圖如圖表示．(2)觀察折線圖，從整體上看，B地降水量較大．【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．反映某種股票的漲跌情況，應(yīng)選擇()A．條形圖 B．折線圖C．扇形圖 D．三種圖均可答案B解析條形圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間變化的趨勢，扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例．故選B.2．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．6 B．8C．12 D．18答案C解析志愿者的總?cè)藬?shù)為eq\f(20,0.24＋0.16×1)＝50，所以第三組的人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12.3．一個頻率分布表(樣本量為30)不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)內(nèi)的頻率為0.8，則估計樣本在[40,50)，[50,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共為()A．14 B．15C．16 D．17答案B解析∵樣本中數(shù)據(jù)在[20,60)內(nèi)的頻率為0.8，∴樣本數(shù)據(jù)在[20,60)內(nèi)的頻數(shù)為30×0.8＝24，∴樣本在[40,50)，[50,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共為24－4－5＝15.4．某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2019年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．答案(1)3.0(2)6000解析由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2.0×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.0，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為0.2×0.1＋0.8×0.1＋2.0×0.1＋3.0×0.1＝0.6，所以消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.5．從高三參加數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生中抽取50名學(xué)生的成績，成績的分組及各組的頻數(shù)如下(單位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計成績在[60,90)分的學(xué)生比例；(4)估計成績在80分以下的學(xué)生比例．解(1)頻率分布表如下：成績分組頻數(shù)頻率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合計501(2)頻率分布直方圖如圖所示．(3)樣本中成績在[60,90)分的學(xué)生比例為0.20＋0.30＋0.24＝0.74＝74%.由樣本估計總體，成績在[60,90)分的學(xué)生約占74%.(4)樣本中成績在80分以下學(xué)生比例為1－(0.24＋0.16)＝1－0.4＝0.6＝60%.由樣本估計總體，成績在80分以下的學(xué)生約占60%.9.2.2總體百分位數(shù)的估計9.2.3總體集中趨勢的估計【基礎(chǔ)知識拓展】眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量．其中平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表了一組數(shù)據(jù)的數(shù)值平均水平；眾數(shù)反映各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，它是樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)．某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給的數(shù)據(jù)中(當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，中間的那個數(shù)為中位數(shù))，也可能不在所給數(shù)據(jù)中(當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù))．【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)第25百分位數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中至少有25%的數(shù)據(jù)小于或等于這個數(shù)值．()(2)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的某個數(shù)．()(3)在一組樣本數(shù)據(jù)中，眾數(shù)一定是唯一的．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a(2)奧運(yùn)會體操比賽的計分規(guī)則為：當(dāng)評委亮分后，其成績先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分?jǐn)?shù)的平均值，這是因?yàn)?)A．減少計算量 B．避免故障C．剔除異常值 D．活躍賽場氣氛(3)某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，五位同學(xué)的分?jǐn)?shù)分別是89,91,105,105,110.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，眾數(shù)是________，第60百分位數(shù)是________．(4)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是________，第25百分位數(shù)是________．(5)一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：13,14,19，x,23,27,28,31，其中中位數(shù)是22，則第75百分位數(shù)是________．(6)一個樣本按從小到大的順序排列為10,12,13，x,17,19,21,24，其中中位數(shù)為16，則x＝________.答案(1)D(2)C(3)105105105(4)1514(5)27.5(6)15【核心素養(yǎng)形成】題型一百分位數(shù)的計算例1某項(xiàng)測試成績滿分為10分，現(xiàn)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為m1，第60百分位數(shù)為m2，眾數(shù)為m3，則()A．m1<m3<m2 B．m3<m1<m2C．m3<m2<m1 D．m2<m3<m1[解析]由圖知m3＝5.由中位數(shù)的定義，知第15個數(shù)與第16個數(shù)的平均數(shù)為m1＝eq\f(5＋6,2)＝5.5；由百分位數(shù)的定義，且30×60%＝18，則第18個數(shù)與第19個數(shù)的平均數(shù)為m2＝eq\f(6＋6,2)＝6.故m3<m1<m2，選B.[答案]B【解題技巧】計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)：已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.請確定x，y的值，并估計顧客一次購物的第80百分位數(shù)．解由已知，得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，所以x＝15，y＝20.因?yàn)榈?0個數(shù)據(jù)和第81個數(shù)據(jù)都是2.5，所以顧客一次購物的結(jié)算時間的第80百分位數(shù)為2.5.題型二百分位數(shù)與頻率分布直方圖例2某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：高一參賽學(xué)生成績的第60百分位數(shù)．[解]由圖可知，第1個小矩形的面積為0.3，第2個小矩形的面積為0.4，則第60百分位數(shù)一定位于[60,70)內(nèi)，由60＋10×eq\f(0.6－0.3,0.7－0.3)＝67.5，可以估計高一參賽學(xué)生成績的第60百分位數(shù)約為67.5.【解題技巧】利用頻率分布直方圖求百分位數(shù)百分位數(shù)表示左側(cè)小矩形的面積之和．首先確定在哪個區(qū)間，然后從左到右所有小矩形計算面積和，百分位數(shù)所在區(qū)間需按照對應(yīng)邊比例計算面積．【跟蹤訓(xùn)練】從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．試?yán)妙l率分布直方圖求這50名學(xué)生成績的75%分位數(shù)．解由題意可知，前四個小矩形的面積之和為0.6，前五個小矩形的面積之和為0.84>0.75，∴第75百分位數(shù)位于第五個小矩形內(nèi)．由80＋eq\f(0.75－0.6,0.84－0.6)×10＝86.25，故75%分位數(shù)約為86.25.題型三眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算例3某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解](1)平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,33)×(5500×1＋5000×1＋3500×2＋3000×1＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈2091(元)，中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)新的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,33)×(30000×1＋20000×1＋3500×2＋3000×1＋2500×5＋2000×3＋1500×20)≈3288(元)，新的中位數(shù)是1500元，新的眾數(shù)是1500元．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資與大多數(shù)人的工資差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．【解題技巧】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量．(2)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)的大小均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動．(3)眾數(shù)考查各數(shù)出現(xiàn)的頻率，其大小與這組數(shù)據(jù)中部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題．(4)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，用中位數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢．【跟蹤訓(xùn)練】在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)绫硭荆悍謩e求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．解在這17個數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)×(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．答：17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m，1.69m.題型四眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系例4某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；(2)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(3)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)．[解](1)由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個矩形面積之和為0.4，第四個矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.【解題技巧】用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．【跟蹤訓(xùn)練】某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績．解(1)由題圖可知參賽學(xué)生成績的眾數(shù)為65，又第一個小矩形的面積為0.3，第二個小矩形的面積為0.4,0.3＋0.4>0.5，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴參賽學(xué)生成績的中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴參賽學(xué)生的平均成績約為67分.題型五眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5個體戶李某經(jīng)營一家快餐店，下面是快餐店所有工作人員8月份的工資表：李某大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計30000元4500元3500元4000元3200元3200元4100元(1)計算所有員工8月份的平均工資；(2)由(1)計算出的平均工資能否反映打工人員這個月收入的一般水平？為什么？(3)去掉李某的工資后，再計算平均工資，這能代表打工人員當(dāng)月的收入水平嗎？(4)根據(jù)以上計算，以統(tǒng)計的觀點(diǎn)，你對(3)的結(jié)果有什么看法？[解](1)所有員工8月份的平均工資是eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,7)×(30000＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝7500(元)．(2)計算出的平均工資不能反映打工人員當(dāng)月收入的一般水平，可以看出，打工人員的工資都低于平均工資，因?yàn)檫@7個值中有一個極端值——李某的工資特別高，所以他的工資對平均工資的影響較大，同時他也不是打工人員．(3)去掉李某工資后的平均工資eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(1,6)×(4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)，該平均工資能代表打工人員當(dāng)月收入的一般水平．(4)從本題的計算可以看出，個別特殊值對平均數(shù)有很大的影響，因此在選擇樣本時，樣本中盡量不用特殊數(shù)據(jù)．【解題技巧】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)眾數(shù)、中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點(diǎn)，而平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)系，可反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的全體信息，但受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，妨礙了對總體估計的可靠性，因此用平均數(shù)估計總體有時不可靠．【跟蹤訓(xùn)練】(1)16位參加百米半決賽同學(xué)的成績各不相同，按成績?nèi)∏?位進(jìn)入決賽．如果小劉知道了自己的成績后，要判斷能否進(jìn)入決賽，其他15位同學(xué)成績的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是()A．平均數(shù) B．極差C．中位數(shù) D．眾數(shù)(2)某鞋店試銷一種新款女鞋，銷售情況如下表：碼號3435363738394041數(shù)量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，最關(guān)心的是哪種碼號的鞋銷量最大，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是()A．平均數(shù) B．眾數(shù)C．中位數(shù) D．極差答案(1)C(2)B解析(1)判斷是不是能進(jìn)入決賽，只要判斷是不是前8名，所以只要知道其他15位同學(xué)的成績中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成績排列后看第8位的成績即可，其成績高于這個成績就能進(jìn)入決賽，低于這個成績就不能進(jìn)入決賽，這個第8位的成績就是這15位同學(xué)成績的中位數(shù)．(2)鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪種碼號的鞋銷量最大，由表可知，碼號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，37是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．故選B.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．北京市2019年5月份某一周的日最高氣溫(單位：℃)分別為25,28,30,29,31,32,28，則這周的日最高氣溫的第75百分位數(shù)為()A．28℃ B．29℃C．31℃ D．32℃答案C解析將數(shù)據(jù)由小到大排列為25,28,28,29,30,31,32，因?yàn)?×75%＝5.25，所以這周的日最高氣溫的第75百分位數(shù)為31℃.故選C.2．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為14,19，x,23,27，其中位數(shù)是22，則x的值為()A．24 B．23C．22 D．21答案C解析一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為14,19，x,23,27，則中位數(shù)是x.因?yàn)橹形粩?shù)是22，所以x＝22.故選C.3．下列說法中，不正確的是()A．?dāng)?shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B．?dāng)?shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個數(shù)D．8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(8×5＋7×3,11)答案A解析數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為eq\f(4＋6,2)＝5，顯然A錯誤，B，C，D都正確．故選A.4．如圖是一次考試結(jié)果的統(tǒng)計圖，根據(jù)該統(tǒng)計圖可估計，這次考試的平均分?jǐn)?shù)約為()A．46 B．36C．56 D．60答案A解析根據(jù)題中統(tǒng)計圖，可知有4人成績在[0,20)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和約為4×10＝40；有8人成績在[20,40)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和約為8×30＝240；有10人成績在[40,60)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和約為10×50＝500；有6人成績在[60,80)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和約為6×70＝420；有2人成績在[80,100)之間，其考試分?jǐn)?shù)之和約為2×90＝180，由此可知，考生總?cè)藬?shù)為4＋8＋10＋6＋2＝30，考試總成績約為40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均分?jǐn)?shù)約為eq\f(1380,30)＝46.5．已知7,4,3和m這四個數(shù)的平均數(shù)是5；18,9,7，m，n這五個數(shù)的平均數(shù)為10，求m，n的值．解由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7＋4＋3＋m,4)＝5，,\f(18＋9＋7＋m＋n,5)＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝10.))∴m的值為6，n的值為109.2.4總體離散程度的估計【基礎(chǔ)知識拓展】1．方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2.即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．2．平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也是s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2.【跟蹤訓(xùn)練】1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)方差越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性越強(qiáng)．()(2)在兩組數(shù)據(jù)中，平均值較大的一組方差較大．()(3)樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起反映總體數(shù)據(jù)的取值信息．一般地，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在[eq\o(x,\s\up6(－))－2s，eq\o(x,\s\up6(－))＋2s]內(nèi)．()(4)平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均值的波動大小．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)下列說法不正確的是()A．方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方B．標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會超過極差C．若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0D．標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散(2)某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.則：①平均命中環(huán)數(shù)為________；②命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________．(3)樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則該樣本的方差為________．答案(1)D(2)①7②2(3)2【核心素養(yǎng)形成】題型一樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與方差的求法例1從甲、乙兩種玉米中各抽10株，分別測得它們的株高如下：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40；試計算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．[解]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s甲＝eq\r(104.2)≈10.208.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理seq\o\al(2,乙)＝128.8，s乙＝eq\r(128.8)≈11.349.【解題技巧】對標(biāo)準(zhǔn)差與方差概念的理解(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問題時，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．【跟蹤訓(xùn)練】某班40名學(xué)生平均分成兩組，兩組學(xué)生某次考試成績情況如下表所示：組別平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差第一組904第二組806求這次考試成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：標(biāo)準(zhǔn)差s＝\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]),＝\r(\f(1,n)[x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x,\s\up6(－))2])))解設(shè)第一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，x20，第二組數(shù)據(jù)為x21，x22，…，x40，全班平均成績?yōu)閑q\o(x,\s\up6(－)).根據(jù)題意，有eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(90×20＋80×20,40)＝85，42＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,20)－20×902)，62＝eq\f(1,20)(xeq\o\al(2,21)＋xeq\o\al(2,22)＋…＋xeq\o\al(2,40)－20×802)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由變形公式，得s2＝eq\f(1,40)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)－40eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,40)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)－40×852)＝eq\f(1,40)×(291040－289000)＝51，∴s＝eq\r(51).題型二樣本標(biāo)準(zhǔn)差、方差的實(shí)際應(yīng)用例2某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參加的8次測試成績記錄如下：甲：9582888193798478乙：8392809590808575(1)試比較哪個工人的成績較好；(2)甲、乙成績位于eq\o(x,\s\up6(－))－s與eq\o(x,\s\up6(－))＋s之間有多少？[解](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙