四川省德陽市高中2025屆數(shù)學高一下期末達標檢測模擬試題含解析

四川省德陽市高中2025屆數(shù)學高一下期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知點在角的終邊上，函數(shù)圖象上與軸最近的兩個對稱中心間的距離為，則的值為（）A． B． C． D．2．已知點，點，點在圓上，則使得為直角三角形的點的個數(shù)為（）A． B． C． D．3．袋中有個大小相同的小球，其中個白球，個紅球，個黑球，現(xiàn)在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的首項,公差,則()A．5 B．7 C．9 D．115．設有直線和平面，則下列四個命題中，正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，l∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α6．角的終邊過點，則等于（）A． B． C． D．7．函數(shù)y=tan（–2x）的定義域是()A．{x|x≠+，k∈Z} B．{x|x≠kπ+，k∈Z}C．{x|x≠+，k∈Z} D．{x|x≠kπ+，k∈Z}8．是()A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)9．若直線上存在點滿足則實數(shù)的最大值為A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個的單位長度，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，已知，則____________.12．設是等差數(shù)列的前項和，若，，則公差（___）．13．在空間直角坐標系中，三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.14．已知函數(shù)，對于下列說法：①要得到的圖象，只需將的圖象向左平移個單位長度即可；②的圖象關于直線對稱：③在內的單調遞減區(qū)間為；④為奇函數(shù).則上述說法正確的是________（填入所有正確說法的序號）.15．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，M為B1C1中點，連接A1B，D1M，則異面直線A1B和D1M所成角的余弦值為________________________．16．在數(shù)列中，，是其前項和，當時，恒有、、成等比數(shù)列，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設E是上一點，試確定E的位置使平面平面BDE，并說明理由.18．已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。（1）求圓的方程；（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數(shù)），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。19．設函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期．（2）求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（3）設為的三個內角，若，，且為銳角，求．20．已知無窮數(shù)列，是公差分別為、的等差數(shù)列，記（），其中表示不超過的最大整數(shù)，即.（1）直接寫出數(shù)列，的前4項，使得數(shù)列的前4項為：2，3，4，5；（2）若，求數(shù)列的前項的和；（3）求證：數(shù)列為等差數(shù)列的必要非充分條件是.21．已知，.（1）計算及、；（2）設，，，若，試求此時和滿足的函數(shù)關系式，并求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由題意，則，即，則；又由三角函數(shù)的定義可得，則，應選答案C．2、D【解析】

分、、是直角三種情況討論，求出點的軌跡，將問題轉化為點的軌跡圖形與圓的公共點個數(shù)問題，即可得出正確選項.【詳解】①若為直角，則，設點，，，則，即，此時，點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，圓與圓的圓心距為，，則圓與圓的相交，兩圓的公共點個數(shù)為；②若為直角，由于直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，即，圓的圓心到直線的距離為，則直線與圓相交，直線與圓有個公共點；③若為直角，則直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，直線與圓相離，直線與圓沒有公共點.綜上所述，使得為直角三角形的點的個數(shù)為.故選：D.【點睛】本題考查符合條件的直角三角形的頂點個數(shù)，解題的關鍵在于將問題轉化為直線與圓、圓與圓的公共點個數(shù)之和的問題，同時也考查了軌跡方程的求解，考查化歸與轉化思想以及分類討論思想的應用，屬于難題.3、D【解析】

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】從袋中個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數(shù)為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，并利用古典概型的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.4、C【解析】

直接利用等差數(shù)列的通項公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數(shù)列，且首項，公差，得.故選：C【點睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項公式求值，屬基礎題.5、D【解析】

在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，α與β相交或平行；在C中，m⊥β或m∥β或m與β相交；在D中，由直線與平面垂直的性質與判定定理可得m∥α．【詳解】由直線m、n，和平面α、β，知：對于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β或α與β相交，故B錯誤；對于中，若α⊥β，α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯誤；對于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線與平面垂直的性質與判定定理得m∥α，故D正確．故選D．【點睛】本題考查了命題真假的判斷問題，考查了空間線線、線面、面面的位置關系的判定定理及推論的應用，體現(xiàn)符號語言與圖形語言的相互轉化，是中檔題．6、B【解析】由三角函數(shù)的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.7、A【解析】

根據(jù)誘導公式化簡解析式，由正切函數(shù)的定義域求出此函數(shù)的定義域．【詳解】由題意得，y=tan（–2x）=–tan（2x–），由2x–（k∈Z）得，x≠+，k∈Z，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠+，k∈Z}，故選:A．【點睛】本題考查正切函數(shù)的定義域，以及誘導公式的應用，屬于基礎題．8、A【解析】

將函數(shù)化為的形式后再進行判斷便可得到結論．【詳解】由題意得，∵，且函數(shù)的最小正周期為，∴函數(shù)時最小正周期為的偶函數(shù)．故選A．【點睛】判斷函數(shù)最小正周期時，需要把函數(shù)的解析式化為或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．9、B【解析】

首先畫出可行域，然后結合交點坐標平移直線即可確定實數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點坐標為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點或C點的左邊時，直線上存在點在平面區(qū)域內，所以，m≤－1，即實數(shù)的最大值為－1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應用，屬于中等題.10、A【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換法則，即可得出結論?！驹斀狻繉⒑瘮?shù)的圖象向右平移個的單位長度，可得的圖象，再將所得到的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的函數(shù)解析式為，故選．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換法則，注意對的影響。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、84【解析】

根據(jù)余弦定理以及同角公式求得，再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】由余弦定理可得，又，所以，所以.故答案為：84【點睛】本題考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，屬于基礎題.12、【解析】

根據(jù)兩個和的關系得到公差條件，解得結果.【詳解】由題意可知，，即，又，兩式相減得，.【點睛】本題考查等差數(shù)列和項的性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.13、【解析】

首先根據(jù)坐標求出三棱錐的體積，再計算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據(jù)題意建立空間直角坐標系為解題的關鍵，屬于中檔題.14、②④【解析】

結合三角函數(shù)的圖象與性質對四個結論逐個分析即可得出答案.【詳解】①要得到的圖象，應將的圖象向左平移個單位長度，所以①錯誤；②令，，解得，，所以直線是的一條對稱軸，故②正確；③令，，解得，，因為，所以在定義域內的單調遞減區(qū)間為和，所以③錯誤；④是奇函數(shù)，所以該說法正確.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱軸、單調性、奇偶性與平移變換，考查了學生對的圖象與性質的掌握，屬于中檔題.15、.【解析】

連接、，取的中點，連接，可知，且是以為腰的等腰三角形，然后利用銳角三角函數(shù)可求出的值作為所求的答案．【詳解】如下圖所示：連接、，取的中點，連接，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為或其補角，易知，由勾股定理可得，，為的中點，則，在中，，因此，異面直線和所成角的余弦值為，故答案為．【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的計算，求解異面直線所成的角一般利用平移直線法求解，遵循“一作、二證、三計算”，在計算時，一般利用銳角三角函數(shù)的定義或余弦定理求解，考查計算能力，屬于中等題．16、.【解析】

由題意得出，當時，由，代入，化簡得出，利用倒數(shù)法求出的通項公式，從而得出的表達式，于是可求出的值.【詳解】當時，由題意可得，即，化簡得，得，兩邊取倒數(shù)得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，，則，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列極限的計算，同時也考查了數(shù)列通項的求解，在含的數(shù)列遞推式中，若作差法不能求通項時，可利用轉化為的遞推公式求通項，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解，（2）證明見詳解，（3）當為的中點時，平面平面BDE，證明見詳解【解析】

（1）連接與相交于，可得，結合線面平行的判定定理即可證明平面（2）先證明和即可得出平面，然后可得，又，即可證明平面（3）當為的中點時，平面平面BDE，由已知易得，結合平面可得平面，進而根據(jù)面面垂直的判定定理得到結論.【詳解】（1）如圖，連接與相交于，則為的中點連接，又為的中點所以，又平面，平面所以平面（2）因為，所以四邊形為正方形所以又因為平面，平面所以所以平面，所以又在直三棱柱中，所以平面（3）當為的中點時，平面平面BDE因為分別是的中點所以,因為平面所以平面，又平面所以平面平面BDE【點睛】本題考查的是立體幾何中線面平行和垂直的證明，要求我們要熟悉并掌握平行與垂直有關的判定定理和性質定理，在證明的過程中要注意步驟的完整.18、（1）（2）使的面積等于4的點有2個【解析】

（1）利用條件設圓的標準方程，由圓過點求t，確定圓方程.（2）設，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關系可得結論.【詳解】（1）依題意可設圓心坐標為，則半徑為，圓的方程可寫成，因為圓過點，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程為，設滿足題意，設，則，所以，則，因為上式對任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，與重合）。所以點，則，直線方程為，點到直線的距離，若存在點使的面積等于4，則，∴。①當點在直線的上方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當點在直線的上方時，使的面積等于4的點有2個；②當點在直線的下方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當點在直線的下方時，使的面積等于4的點有0個，綜上可知，使的面積等于4的點有2個。【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關系，圓的第二定義，考查運算能力，分析問題解決問題的能力，屬于難題.19、（1）（2）減區(qū)間為，（3）【解析】

利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結論．利用正弦函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的單調遞減區(qū)間．利用同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和的正弦公式，求得的值．【詳解】函數(shù)，故它的最小正周期為．對于函數(shù)，令，求得，可得它的減區(qū)間為，．中，若，．若，，為銳角，．．【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調性，考查了同角三角函數(shù)的基本關系、兩角和的正弦公式的應用，屬于中檔題．20、（1）的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)定義，選擇，的前4項，盡量選用整數(shù)計算方便；（2）分別考慮，的前項的規(guī)律，然后根據(jù)計算的運算規(guī)律計算；（3）根據(jù)必要不充分條件的推出情況去證明即可.【詳解】（1）由的前4項為：2，3，4，5，選、的前項為正整數(shù)：的前4項為1，2，3，4，的前4項為1，1，1，1；（2）將的前項列舉出：；將的前項列舉出：；則；（3）充分性：取，此時，將的前項列舉出：，將前項列出：，此時的前項為：，顯然不是等差數(shù)列，充分性不滿足；必要性：設，，當為等差數(shù)列時，因為，所以，又因為，所以有：，且，所以；，，不妨令，則有如下不等式：；