2023-2024學(xué)年廣西蒙山縣中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷含解析

2023-2024學(xué)年廣西蒙山縣重點名校中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.已知二次函數(shù)7="+加:+<:（"0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論:①a加<0；②2a+》=0;③方2—4acV0；@9a+3b+c

2.已知。Oi與。Ch的半徑分別是3cm和5cm,兩圓的圓心距為4cm,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.相交B.內(nèi)切C.外離D.內(nèi)含

3.如圖所示，在長為8cm,寬為6cm的矩形中，截去一個矩形（圖中陰影部分），如果剩下的矩形與原矩形相似，那

么剩下矩形的面積是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

4.如圖1、2、3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖，已知

甲的路線為：A—>C—>B；

乙的路線為：A-DTE—F—B,其中E為AB的中點；

丙的路線為：A-I-J1K-B,其中J在AB上，且AJ>JB.

若符號［一］表示［直線前進］,則根據(jù)圖1、圖2、圖3的數(shù)據(jù)，判斷三人行進路線長度的大小關(guān)系為（）

圖1

A.甲=乙=丙B.

5.如圖，等邊三角形ABC的邊長為3,N為AC的三等分點，三角形邊上的動點M從

點A出發(fā)，沿A-B-C的方向運動，到達點C時停止.設(shè)點M運動的路程為x,MN2=y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大

致為

A.B.C.D.

6.在實數(shù)君,一,0二,底,-1.414,有理數(shù)有()

72

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交x軸于點M,交y軸于點N,再分別以點M、

N為圓心，大于‘MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P.若點P的坐標(biāo)為(2a,b+1),則a與b的數(shù)量關(guān)

2

A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=lD.2a+b=l

8.下列現(xiàn)象，能說明“線動成面”的是（）

A.天空劃過一道流星

B.汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上刷出的痕跡

C.拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線

D.旋轉(zhuǎn)一扇門，門在空中運動的痕跡

一x-6W1—--x

9.對于不等式組3-3',下列說法正確的是（）

3（x—1）<5x—1

A.此不等式組的正整數(shù)解為1,2,3

7

B.此不等式組的解集為

C.此不等式組有5個整數(shù)解

D.此不等式組無解

10.已知拋物線丁=“f+（2-a）x-2（?！?）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點3的右側(cè)），與V軸交于點C.

給出下列結(jié)論：①當(dāng)。>0的條件下，無論。取何值，點A是一個定點；②當(dāng)。>0的條件下，無論。取何值，拋物線

的對稱軸一定位于y軸的左側(cè)；③y的最小值不大于-2；?^AB=AC,則。=1±2后.其中正確的結(jié)論有（）個.

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.在-3,—1,0,1這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.-1C.0D.1

12.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,E為AB上一點，分別以ED,EC為折痕將兩個角（NA,ZB）

向內(nèi)折起，點A,B恰好落在CD邊的點F處.若AD=3,BC=5,則EF的值是（）

A.V15B.2715C.V17D.2^/17

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

O

13.如圖所示，直線y=x+b交x軸A點，交y軸于B點，交雙曲線y=—（x>0）于P點，連OP,則OP?-OA2=_.

x

14.以矩形ABCD兩條對角線的交點O為坐標(biāo)原點，以平行于兩邊的方向為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，BE±AC,垂足為E.若雙曲線y=—（x>0）經(jīng)過點D,則OB?BE的值為

“7看9，已11，…則第20個數(shù)是

16.如圖，在△ABC中，BC=7,AC=30，tanC=L點P為AB邊上一動點（點P不與點B重合），以點P為圓

心，PB為半徑畫圓，如果點C在圓外，那么PB的取值范圍

1c

17.某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加權(quán)平均數(shù)，作為總成績.孔明筆試成績90

分，面試成績85分，那么孔明的總成績是分.

18.如圖，AABC的兩條高AD,BE相交于點F,請?zhí)砑右粋€條件，使得△ADC絲4BEC（不添加其他字母及輔助

線），你添加的條件是.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），拋物線y=-x2+2mx+3m2（m>0）與x軸交于點A、B（點A在點B左側(cè)）,

與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸為直線L過點C作直線1的垂線，垂足為點E,聯(lián)結(jié)DC、BC.

(1)當(dāng)點C(0,3)時,

①求這條拋物線的表達式和頂點坐標(biāo);

②求證：ZDCE=ZBCE；

(2)當(dāng)CB平分NDCO時，求m的值.

20.(6分)某市正在舉行文化藝術(shù)節(jié)活動，一商店抓住商機，決定購進甲，乙兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若購進甲種紀(jì)念品

4件，乙種紀(jì)念品3件，需要550元，若購進甲種紀(jì)念品5件，乙種紀(jì)念品6件，需要800元.

(1)求購進甲、乙兩種紀(jì)念品每件各需多少元？

(2)若該商店決定購進這兩種紀(jì)念品共80件，其中甲種紀(jì)念品的數(shù)量不少于60件.考慮到資金周轉(zhuǎn)，用于購買這

80件紀(jì)念品的資金不能超過7100元，那么該商店共有幾種進貨方案7

(3)若銷售每件甲種紀(jì)含晶可獲利潤20元，每件乙種紀(jì)念品可獲利潤30元.在(2)中的各種進貨方案中，若全部

銷售完，哪一種方案獲利最大？最大利利潤多少，元？

21.(6分)如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O.有直角NMPN,使直角頂點P與點O重

合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)NMPN,旋轉(zhuǎn)角為。(0°<0<90°),PM、PN分別交

AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G.

(1)求四邊形OEBF的面積；

(2)求證:OG?BD=EF2；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與ACOF的面積之和最大時，求AE的長.

Afr-----------------------------

22.(8分)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=1.把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在U處，BC，交AD

于點G；E、F分別是C，D和BD上的點，線段EF交AD于點H,把AFDE沿EF折疊，使點D落在D，處，點D"恰

好與點A重合.

(1)求證：AABG之△C'DG；

(2)求tan/ABG的值；

(3)求EF的長.

23.(8分)王老師對試卷講評課中九年級學(xué)生參與的深度與廣度進行評價調(diào)查，每位學(xué)生最終評價結(jié)果為主動質(zhì)疑、

獨立思考、專注聽講、講解題目四項中的一項.評價組隨機抽取了若干名初中學(xué)生的參與情況，繪制成如圖所示的頻

數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整)，請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：

(1)在這次評價中，一共抽查了_名學(xué)生；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，項目“主動質(zhì)疑”所在扇形的圓心角度數(shù)為一度；

(3)請將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

(4)如果全市九年級學(xué)生有8000名，那么在試卷評講課中，“獨立思考”的九年級學(xué)生約有多少人？

24.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線丁=履+3(左/0)與x軸交于點A,與雙曲線y='(根W0)的

X

m

一個交點為B(—1,4).求直線與雙曲線的表達式；過點B作BCLx軸于點C,若點P在雙曲線丁=一上，且APAC

a

25.(10分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點P是△ABC內(nèi)一點，且NPAC+NPCA=—，連接PB,試探究PA、

2

PB、PC滿足的等量關(guān)系.

(1)當(dāng)a=60。時，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP，，連接PP，，如圖1所示.由△ABP^^ACP，可以證

得^APP，是等邊三角形，再由NPAC+NPCA=30?？傻肗APC的大小為度，進而得到小CPP，是直角三角形，

這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時，參考(1)中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；

(3)PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為

26.(12分)向陽中學(xué)校園內(nèi)有一條林萌道叫“勤學(xué)路”，道路兩邊有如圖所示的路燈(在鉛垂面內(nèi)的示意圖)，燈柱

BC的高為10米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120。.路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為13.3米,

從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為a和45。，且tana=l.求燈桿AB的長度.

27.(12分)如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=a,點E在對角線BD上.將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)e,得到CF,

連接DF.

(1)求證：BE=DF；

(2)連接AC,若EB=EC,求證：AC±CF.

B

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、C

【解析】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸

交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】

b

解：拋物線開口向下，得：a<0；拋物線的對稱軸為x=--=1,則b=-2a,2a+b=0,b=-2a,故b>0；拋物線交y軸

2a

于正半軸，得：c>0.

abc<0,①正確；

2a+b=0,②正確；

由圖知：拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=b2-4ac>0,故③錯誤；

由對稱性可知，拋物線與x軸的正半軸的交點橫坐標(biāo)是x=3,所以當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c=0,故④錯誤；

觀察圖象得當(dāng)x=-2時，y<0,

即4a-2b+c<0

Vb=-2a,

4a+4a+c<0

即8a+c<0,故⑤正確.

正確的結(jié)論有①②⑤，

故選:C

【點睛】

主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的表達式求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換,

根的判別式的熟練運用.

2、A

【解析】

試題分析：■:OOi和。Ch的半徑分別為5cm和3cm,圓心距OiO2=4cm,5-3<4<5+3,

二根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可知。O1與。02相交.

故選A.

考點：圓與圓的位置關(guān)系.

3、B

【解析】

根據(jù)題意，剩下矩形與原矩形相似，利用相似形的對應(yīng)邊的比相等可得.

【詳解】

A___EC

RFD

解：依題意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE,

貝!I矩形ABDCs矩形FDCE,

ABBD

則一=—

DFDC

68

設(shè)DF=xcm,得到：一二—

x6

解得：x=4.5,

則剩下的矩形面積是：4.5x6=17cm1.

【點睛】

本題就是考查相似形的對應(yīng)邊的比相等，分清矩形的對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵.

4、A

【解析】

分析：由角的度數(shù)可以知道2、3中的兩個三角形的對應(yīng)邊都是平行的，所以圖2,圖3中的三角形都和圖1中的三角

形相似,而且圖2三角形全等，圖3三角形相似.

詳解：根據(jù)以上分析：所以圖2可得AD=EF9DE=BE.

11Im,

9：AE=BE=-AB,：.AD=EF=-AC,DE=BE=-BC,???甲二乙.

222

E—同一人一ARXo/rbriJKJBBKAIAJIJ

圖3與圖1中，二個二角形相似，所以—=—=—,—=—=

AIAJIJACABBC

VAJ+BJ=AB,：.AI+JK=AC,IJ+BK=BC,

/.甲二丙,工甲=乙二丙.

故選A.

點睛：本題考查了的知識點是平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的平移，求得線段的關(guān)系.

5、B

【解析】

分析：分析y隨x的變化而變化的趨勢，應(yīng)用排它法求解，而不一定要通過求解析式來解決：

?.?等邊三角形ABC的邊長為3,N為AC的三等分點，

?*.AN=lo二當(dāng)點M位于點A處時,x=0,y=lo

①當(dāng)動點M從A點出發(fā)到AM=」的過程中，y隨x的增大而減小，故排除D；

2

②當(dāng)動點M到達C點時，x=6,y=3-1=2,即此時y的值與點M在點A處時的值不相等，故排除A、C。

故選B。

6、D

【解析】

試題分析：根據(jù)有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，可得答案：

一,？「-是有理數(shù)，故選D.

7

考點：有理數(shù).

7、B

【解析】

試題分析：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限角平分線上，

則P點橫縱坐標(biāo)的和為0,即2a+b+l=0,

，2a+b=-l.故選B.

8、B

【解析】

本題是一道關(guān)于點、線、面、體的題目，回憶點、線、面、體的知識；

【詳解】

解：???A、天空劃過一道流星說明“點動成線”，

...故本選項錯誤.

VB,汽車雨刷在擋風(fēng)玻璃上刷出的痕跡說明“線動成面”，

,故本選項正確.

???c、拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線說明“點動成線”，

...故本選項錯誤.

；D、旋轉(zhuǎn)一扇門，門在空中運動的痕跡說明“面動成體”，

,故本選項錯誤.

故選B.

【點睛】

本題考查了點、線、面、體，準(zhǔn)確認(rèn)識生活實際中的現(xiàn)象是解題的關(guān)鍵.點動成線、線動成面、面動成體.

9、A

【解析】

—%-6<1--%(D77

解：彳33解①得爛一，解②得x>-l,所以不等式組的解集為爛不，所以不等式組的整數(shù)解

3(x-l)<5x-l?22

為1,2,1.故選A.

點睛：本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解：利用數(shù)軸確定不等式組的解(整數(shù)解).解決此類問題的關(guān)鍵在于正確

解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而

求得不等式組的整數(shù)解.

10、C

【解析】

①利用拋物線兩點式方程進行判斷；

②根據(jù)根的判別式來確定a的取值范圍，然后根據(jù)對稱軸方程進行計算；

③利用頂點坐標(biāo)公式進行解答；

④利用兩點間的距離公式進行解答.

【詳解】

①y=axl+(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).則該拋物線恒過點A(1,0).故①正確；

?Vy=ax1+(1-a)x-1(a>0)的圖象與x軸有1個交點，

/.△=(1-a)1+8a=(a+1)*>0,

Aa#l.

該拋物線的對稱軸為：X=^=1--,無法判定的正負.

2a2a

故②不一定正確；

③根據(jù)拋物線與y軸交于(0,-1)可知，y的最小值不大于-1,故③正確；

2

(4)VA(1,0),B0),C(0,-1),

a

...當(dāng)AB=AC時，J(l+-)2=jF+(_2)2,

解得：a=TI,故④正確.

2

綜上所述，正確的結(jié)論有3個.

故選C.

【點睛】

考查了二次函數(shù)與X軸的交點及其性質(zhì).(1).拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線x=-2b,對稱軸與拋物線唯一的

2a

交點為拋物線的頂點P;特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)；(1).拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)

b

為P(-b/la,(4ac-bl)/4a),當(dāng)--=0,(即b=0)時，P在y軸上；當(dāng)A=bL4ac=0時，P在x軸上；(3).二次項系

2a

數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小；當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時，拋物線開口向下；|a|越大，則拋物線的

開口越小.(4).一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置；當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右；(5).常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點；拋物線與y軸交于(0,c)；(6).

拋物線與x軸交點個數(shù)

A=bl-4ac>0時，拋物線與x軸有1個交點；A=bL4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；

A=bl-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.X的取值是虛數(shù)(x=-b±4bl-4ac乘上虛數(shù)i,整個式子除以la)；當(dāng)a>0

時，函數(shù)在x=-b/la處取得最小值f(-b/la)=(4ac-bl)/4a；在｛x[x<-b/la｝上是減函數(shù)，在｛x[x>-b/la｝上是增函數(shù)；拋物

線的開口向上；函數(shù)的值域是｛y|yN4ac-bl/4a｝相反不變；當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，

解析式變形為y=axl+c(a/0).

11、A

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，即可得答案.

【詳解】由正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，得

-3<-1<0<1,

最小的數(shù)是-3,

故選A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)比較大小，利用好“正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小”是解題關(guān)鍵.

12>A

【解析】

試題分析：先根據(jù)折疊的性質(zhì)得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,貝!JAB=2EF,DC=8,再作DH_LBC于H,

由于AD〃BC,ZB=90°,則可判斷四邊形ABHD為矩形，所以DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=2,然后在

R3DHC中，利用勾股定理計算出DH=2/元，所以EF=/元.

解：???分別以ED,EC為折痕將兩個角（NA,ZB）向內(nèi)折起，點A,B恰好落在CD邊的點F處，

/.EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,

.\AB=2EF,DC=DF+CF=8,

作DH±BC于H,

；AD〃BC,ZB=90°,

四邊形ABHD為矩形，

/.DH=AB=2EF,HC=BC-BH=BC-AD=5-3=2,

2

在R3DHC中，DH=^DC2-HC=2V15?

.,.EF=-^DH=V15.

故選A.

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化,

對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了勾股定理.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、1

【解析】

Q

解：???直線產(chǎn)r+5與雙曲線y=—（x>0）交于點P,設(shè)P點的坐標(biāo)（X,j）,

X

Ax-y=-b,xy=8,

而直線y=x+/＞與x軸交于A點，

:.OA=b.

又?.?OP2=x2+y2,OA2=b2f

：.OP2-OA2=x2+y2-b2=(x-y)2+2xy-b2=l.

故答案為1.

14、1

【解析】

由雙曲線y=上(x>0)經(jīng)過點D知SAODF=4=：,由矩形性質(zhì)知孔AOB=2SAODF=W，據(jù)此可得OA?BE=1,根據(jù)OA=OB

可得答案.

【詳解】

如圖，

?.,雙曲線y片(x>0)經(jīng)過點D,

：?SAODF=；k=-,

■?

貝。SAAOB=2SAODF=7?即幻A?BE=(,

AOA-BE=1,

???四邊形ABCD是矩形，

.*.OA=OB,

/.OB?BE=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及矩形的性質(zhì).

41

15、

400

【解析】

觀察已知數(shù)列得到一般性規(guī)律，寫出第20個數(shù)即可.

【詳解】

2"+141

解：觀察數(shù)列得：第"個數(shù)為，則第20個數(shù)是

n2400

41

故答案為大；.

400

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類,弄清題中的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

35

16、0<PB<—

8

【解析】

分析：根據(jù)題意作出合適的輔助線,然后根據(jù)題意即可求得PB的取值范圍.

詳解：作5c于點O,作PE_LBC于點E.V^AABC中，BC=7,AC=342,tanC=l,：.AD=CD^3,:.BD=4,

：.AB=5,由題意可得，當(dāng)PB=PC時，點C恰好在以點尸為圓心，尸3為半徑圓上.?.?AOLBC,PE±BC,：.PE//AD,

7

:.ABPE^^BDA,：.—=段，即萬3P,得:BP=3^5~.故答案為0VP5<3=5.

BDBA—=—88

45

點睛：本題考查了點與圓的位置關(guān)系、解直角三角形,解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

17、88

【解析】

試題分析：根據(jù)筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可:

??,筆試按60%、面試按40%計算,

工總成績是：90X60%+85X40%=88（分）.

18、AC=BC.

【解析】

分析：添加AC=BC,根據(jù)三角形高的定義可得NADC=NBEC=90。，再證明NEBC=NDAC,然后再添加AC=BC可

利用AAS判定△ADC^ABEC.

詳解：添力口AC=BC,

1?△ABC的兩條高AD,BE,

.,.ZADC=ZBEC=90°,

.,.ZDAC+ZC=90°,ZEBC+ZC=90°,

/.ZEBC=ZDAC,

在小ADC和4BEC中

/.△ADC^ABEC(AAS),

故答案為：AC=BC.

點睛：此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時,

角必須是兩邊的夾角.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)y=-X2+2X+3；D(1,4)；(2)證明見解析；(3)m=?；

【解析】

(1)①把C點坐標(biāo)代入y=-x2+2mx+3m2可求出m的值，從而得到拋物線解析式，

然后把一般式配成頂點式得到D點坐標(biāo)；

②如圖1,先解方程-x2+2x+3=0得B(3,0),則可判斷AOCB為等腰直角三角形得到/

OBC=45°,再證明△CDE為等腰直角三角形得到NDCE=45。，從而得至(JNDCE=NBCE；

(2)拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,把一般式配成頂點式得

到拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點D的坐標(biāo)為(m,4m2),通過解方程-x2+2mx+3m2=0

得B(3m,0),同時確定C(0,3m2),再利用相似比表示出GF=2m2,則DG=2m2,接著證

明NDCG=NDGC得到DC=DG,所以11?+(4m2-3m2)2=4m4,然后解方程可求出m.

【詳解】

(1)①把C(0,3)代入y=-x2+2mx+3m2得3m2=3,解得mi=Lm2=-1(舍去)，

二拋物線解析式為y=-X2+2X+3；

,?*y=—%2+2.x+3=—(%—1)+4,

二頂點D為(1,4)；

②證明：如圖1,當(dāng)y=0時，-X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3,貝！)B(3,0),

VOC=OB,

AAOCB為等腰直角三角形，

.\ZOBC=45O,

?；CE_L直線x=l,

.\ZBCE=45O,

VDE=1,CE=1,

AACDE為等腰直角三角形，

AZDCE=45°,

.\ZDCE=ZBCE；

(2)解：拋物線的對稱軸交x軸于F點，交直線BC于G點，如圖2,

y=-x2+2mx+3m2=—(x—m)2+4m2,

???拋物線的對稱軸為直線x=m,頂點D的坐標(biāo)為(m,4m2),

22

當(dāng)y=0時，-x+2mx+3m=0,解得xi=-m,x2=3m,貝!|B(3m,0),

當(dāng)x=0時，y=-x2+2mx+3m2=3m2,貝!|C(0,3m2),

VGF/7OC,

”=變即包—,解得GF=2m2,

OCBO'3m23m

/.DG=4m2-2m2=2m2,

VCB平分NDCO,

/.ZDCB=ZOCB,

VZOCB=ZDGC,

/.ZDCG=ZDGC,

即m2+(4m2-3m2)2=4m4,

而m>0,

.6

??m=-

3

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)進行幾何計算；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距

離公式.

20、(1)購進甲種紀(jì)念品每件需100元，購進乙種紀(jì)念品每件需50元.(2)有三種進貨方案.方案一：甲種紀(jì)念品

60件，乙種紀(jì)念品20件；方案二：甲種紀(jì)念品61件，乙種紀(jì)念品19件；方案三：甲種紀(jì)念品1件，乙種紀(jì)念品18

件.(3)若全部銷售完，方案一獲利最大，最大利潤是1800元.

【解析】

分析：(1)設(shè)購進甲種紀(jì)念品每件價格為x元，乙種紀(jì)念幣每件價格為y元，根據(jù)題意得出關(guān)于x和y的二元一次方

程組，解方程組即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購進甲種紀(jì)念品a件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范圍，即可得出結(jié)論;

(3)找出總利潤關(guān)于購買甲種紀(jì)念品。件的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)的增減性確定總利潤取最值時a的值，從而得出結(jié)論.

詳解：(1)設(shè)購進甲種紀(jì)念品每件需x元，購進乙種紀(jì)念品每件需y元.

士的缶FI4x+3y=550

由題意得：,，

[5x+6y=800

解得：

ly=50

答：購進甲種紀(jì)念品每件需100元，購進乙種紀(jì)念品每件需50元.

(2)設(shè)購進甲種紀(jì)念品a(a>60)件，則購進乙種紀(jì)念品(80-a)件.由題意得：

100a+50(80-a)<7100

解得aS

又a>60

所以a可取60、61、1.

即有三種進貨方案.

方案一：甲種紀(jì)念品60件，乙種紀(jì)念品20件；

方案二：甲種紀(jì)念品61件，乙種紀(jì)念品19件；

方案三：甲種紀(jì)念品1件，乙種紀(jì)念品18件.

(3)設(shè)禾!I潤為W,貝!|W=20a+30(80-a)=-10a+2400

所以W是a的一次函數(shù)，-10V0,W隨a的增大而減小.

所以當(dāng)a最小時，W最大.此時W=-10x60+2400=1800

答：若全部銷售完，方案一獲利最大，最大利潤是1800元.

點睛：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是解決問

題的關(guān)鍵，注意第二問應(yīng)求整數(shù)解，要求學(xué)生能夠運用所學(xué)知識解決實際問題.

21、(1)-；(2)詳見解析；(3)AE=-.

44

【解析】

(1)由四邊形ABCD是正方形，直角NMPN,易證得ABOEg△COF(ASA),則可證得S四邊形OEBF=SABOC=-S正方

4

形ABCD；

(2)易證得△OEGs^OBE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得OG?OB=OE2,再利用OB與BD的關(guān)系，

OE與EF的關(guān)系，即可證得結(jié)論；

(3)首先設(shè)AE=x,則BE=CF=l-x,BF=x,繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問

題，求得AE的長.

【詳解】

(1)I?四邊形ABCD是正方形，

.\OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,

.?.ZBOF+ZCOF=90°,

VZEOF=90°,

.\ZBOF+ZCOE=90°,

，ZBOE=ZCOF,

在小BOE^DACOF中，

ZBOE=ZCOF

<OB=OC

NOBE=ZOCF,

.,.△BOE^ACOF(ASA),

：?S四邊形OEBF=SABOE+SABOE=SABOE+SACOF=SABOC=-S正方形ABCD=—xlxl=一；

444

(2)證明：VZEOG=ZBOE,ZOEG=ZOBE=45°,

AAOEG^AOBE,

AOE：OB=OG：OE,

.*.OG*OB=OE2,

1J2

?：OB=—BD,OE=-EF,

22

.\OG*BD=EF2；

(3)如圖，過點O作OH_LBC,

VBC=1,

：.OH=-BC=-,

22

設(shè)AE=x,貝！|BE=CF=1-x,BF=x,

CF*OH=gx(l—x)+g(1—x)xg=

：?SABEF+SACOF=—BE*BFH—

22

,:a=--<0,

2

；?當(dāng)％=一時，SABEF+SACOF最大;

4

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=\.

【點睛】

本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

22、(1)證明見解析(2)7/24(3)25/6

【解析】(1)證明：???△BDU由ABDC翻折而成，

.,.ZC=ZBAG=90°,C'D=AB=CD,ZAGB=ZDGC\AZABG=ZADE0

在△ABGg^UDG中，VZBAG=ZC,AB=CrD,ZABG=ZADC,

.?.△ABG之△CDG(ASA)o

(2)解：:?由(1)可知△ABG絲△CrDG,.\GD=GB,，AG+GB=AD。

設(shè)AG=x,貝!|GB=l-x,

7

在RtAABG中，VAB2+AG2=BG2,即62+x2=(1-x)2,解得x=—。

4

7

tan/ABG=-----=—=—。

AB624

(3)解：,.,△AEF是△DEF翻折而成，，EF垂直平分AD。.\HD=-AD=4o

2

7777

VtanZABG=tanZADE=—。.,.EH=HDx——=4x——=-。

2424246

；EF垂直平分AD,AB1AD,；.HF是△ABD的中位線。/.HF=-AB=-x6=3o

22

725

，EF=EH+HF=-+3=—。

66

(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知NC=NBAG=90。，CD=AB=CD,ZAGB=ZDGCS故可得出結(jié)論。

(2)由(1)可知GD=GB,故AG+GB=AD,設(shè)AG=x,則GB=Lx,在RtAABG中利用勾股定理即可求出AG的長,

從而得出tanZABG的值。

(3)由小AEF是小DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故HD=]AD=4,再根據(jù)tanZABG的值即可得出EH的長,

2

同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。

23、(1)560；(2)54；(3)詳見解析；(4)獨立思考的學(xué)生約有840人.

【解析】

(1)由“專注聽講”的學(xué)生人數(shù)除以占的百分比求出調(diào)查學(xué)生總數(shù)即可；

(2)由“主動質(zhì)疑”占的百分比乘以360。即可得到結(jié)果；

(3)求出“講解題目”的學(xué)生數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可；

(4)求出“獨立思考”學(xué)生占的百分比，乘以2800即可得到結(jié)果.

【詳解】

(1)根據(jù)題意得:2244-40%=560(名)，

則在這次評價中，一個調(diào)查了560名學(xué)生；

故答案為：560；

84

(2)根據(jù)題意得：——x360°=54°,

560

則在扇形統(tǒng)計圖中，項目“主動質(zhì)疑”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為54度；

故答案為：54；

(3)“講解題目”的人數(shù)為560-(84+168+224)=84,補全統(tǒng)計圖如下:

(4)根據(jù)題意得：2800xx---

560

則“獨立思考”的學(xué)生約有840人

【點睛】

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)

鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

4

24、(1)直線的表達式為y=-x+3,雙曲線的表達方式為y=-—；(2)點P的坐標(biāo)為《(-2,2)或已(2,-2)

x

【解析】

分析：(1)將點B(-1,4)代入直線和雙曲線解析式求出k和m的值即可;

(2)根據(jù)直線解析式求得點A坐標(biāo)，由求得點P的縱坐標(biāo)，繼而可得答案.

詳解：(1)直線y=fct+3(%wo)與雙曲線丁=—(rn^O)都經(jīng)過點B(-1,4),

X

廠.—k+3=4,根=—1x4,

/.k=—1,m=—4,

4

???直線的表達式為y=-X+3,雙曲線的表達方式為y=—―.

(2)由題意，得點C的坐標(biāo)為C(-1,0),直線丁=一九+3與X軸交于點A(3,0),

:.AC=4,

SAACP=?人。|詞=4,

yP=±2,

4

點P在雙曲線丁=——上，

x

點P的坐標(biāo)為4(一2,2)或￡(2,—2).

點睛：本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角形的面積是解題的

關(guān)鍵.

25、(1)150,PA2+PC2-PB2(1)證明見解析(3)4PA2sin2-+PC2=PB2

2

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△如尸'為等邊三角形，得到NPPC=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

(1)如圖1,作將AABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)110。得到△AC產(chǎn)，連接PP,作AOLPP于O,根據(jù)余弦的定義得到PP

=43PA,根據(jù)勾股定理解答即可；

(3)與(1)類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計算即可.

試題解析：

【詳解】

解：⑴?.,△ABP^AACPS

：.AP=AP',

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=6Q°,P'C=PB,

...△R4P，為等邊三角形，

/.ZAPP'=60°,

VZPAC+ZPCA=-x60°=30°,

2

:.ZAPC=150°,

；.NPPC=90。，

：.PP'l+PCl^P'Cx,

J.PA^PC^PB1,

故答案為150,PA^+PC^PB1；

(1)如圖，作NR4P'=120。，使AP=AP,連接PP，CP'.過點A作A。，于。點.

VZBAC^ZPAP'^1200,

即ZBAP+ZPAC^ZPAC+ZCAP',

ZBAP^ZCAP1.

'：AB^AC,AP=AP',

；—BAP-CAP.

---------------------------------------------

BC

ion_/pApr

...PC=PB,NAPD=ZAP'D=—~=30°.

2

VAD±PP',

：.ZADP=9Q°.

Ji

在RtZ\APD中，PD=APcosZAPD=—AP.

2

pp'=2PD=y[3AP.

VZB4C+ZPC4=60°,

AZAPC=180