人教版高數(shù)必修二第12講：直線、圓的位置關(guān)系(教師版)

直線、圓的位置關(guān)系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________能判斷直線與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題；能判斷圓與圓的位置關(guān)系并解決相關(guān)問題．一、直線與圓的位置關(guān)系1．幾何判定法：設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離：(1)d>r?圓與直線相離；(2)d＝r?圓與直線相切；(3)d<r?圓與直線相交．2．代數(shù)判定法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元，得到一元二次方程的判別式Δ，則(1)Δ>0?直線與圓相交；(2)Δ＝0?直線與圓相切；(3)Δ<0?直線與圓相離．二、圓的切線問題1.切線方程（1）圓上一點(diǎn)處的切線方程為（2）圓上一點(diǎn)處的切線方程為2.切線長公式過圓外一點(diǎn)引圓的切線，設(shè)點(diǎn)為,則切線長或三、弦長問題1.幾何法直線與圓交于兩點(diǎn)，圓心到直線的距離為，則圓的半徑，與弦長的一半構(gòu)成直角三角形的三邊，即，故求出后再求．2.代數(shù)法——弦長公式設(shè)圓，直線：，則被圓截得的弦長或四、圓與圓的位置關(guān)系：1、幾何方法：兩圓(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)與(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)圓心距d＝eq\r(a1－a22＋b1－b22)，d>r1＋r2?兩圓外離；d＝r1＋r2?兩圓外切；|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交；d＝|r1－r2|?兩圓內(nèi)切；0<d<|r1－r2|?兩圓內(nèi)含，d＝0時為同心圓．2、代數(shù)方法：方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0))有兩組不同實數(shù)解?兩圓相交；有兩組相同實數(shù)解?兩圓相切；無實數(shù)解?兩圓外離或內(nèi)含．3．兩圓的公切線條數(shù)：當(dāng)兩圓內(nèi)切時有1條公切線；當(dāng)兩圓外切時有3條公切線；相交時有2條公切線；相離時有4條公切線；內(nèi)含時無公切線．類型一直線與圓的位置關(guān)系例1：已知直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1，判斷它們的位置關(guān)系．解析：由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷位置關(guān)系，或者由直線與圓的交點(diǎn)數(shù)判斷．答案：解法一：圓x2＋y2＝1的圓心是O(0,0)，半徑r＝1，圓心到直線的距離d＝eq\f(|3×0＋4×0－5|,\r(32＋42))＝1＝r，∴直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1相切．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0,x2＋y2＝1))，得25x2－30x＋9＝0，Δ＝(－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1相切．練習(xí)1：判斷下列直線與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系：(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.答案：(1)解法一：已知圓的圓心為C(1,1)，半徑r＝1.圓心C到直線x－y－2＝0的距離d1＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)>r＝1，∴直線x－y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相離．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0,x－12＋y－12＝1))，得2x2－8x＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×2×9＝64－72＝－8<0∴直線x－y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相離(2)解法一：已知圓的圓心C(1,1)，半徑r＝1.圓心C到直線x＋2y－1＝0的距離d2＝eq\f(|1＋2－1|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)<1，∴直線x＋2y－1＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相交．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0,x－12＋y－12＝1))，得5x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×5×1＝36－20＝16>0，∴直線x＋2y－1＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相交.練習(xí)2：直線：與圓：的位置關(guān)系是（）A．相離B．相切C．相交D．不確定答案：C例2：已知圓的方程是x2＋(y－1)2＝2，直線y＝x－b，當(dāng)b為何值時，圓與直線有兩個公共點(diǎn)，只有一個公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？解析：代數(shù)法求解答案：解法一：將y＝x－b代入x2＋(y－1)2＝2中消去y得2x2－2(1＋b)x＋b2－1＝0※，其判別式Δ＝4(1＋b)2－8(b2－1)＝－4(b＋1)(b－3)，當(dāng)－1<b<3時，Δ>0，方程※有兩個不等實根，直線與圓有兩個公共點(diǎn)．當(dāng)b＝－1或3時，Δ＝0，方程※有兩個相等實根，直線與圓有一個公共點(diǎn)．當(dāng)b<－1或b>3時，Δ<0，方程※無實數(shù)根，直線與圓無公共點(diǎn)．解法二：圓心O(0,1)到直線y＝x－b距離d＝eq\f(|1＋b|,\r(2))，圓半徑r＝eq\r(2).當(dāng)d<r，即－3<b<1時，直線與圓相交，有兩個公共點(diǎn)．當(dāng)d＝r，即b＝－3或1時，直線與圓相切，有一個公共點(diǎn)．當(dāng)d>r，即b<－3或b>1時，直線與圓相離，無公共點(diǎn)．練習(xí)1：當(dāng)m為何值時，直線x－y－m＝0與圓x2＋y2－4x－2y＋1＝0有兩個公共點(diǎn)？有一個公共點(diǎn)？無公共點(diǎn)？答案：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－m＝0,x2＋y2－4x－2y＋1＝0))，得2x2－2(m＋3)x＋m2＋2mΔ＝4(m＋3)2－8(m2＋2m＝－4m2＋當(dāng)Δ>0，即－2eq\r(2)＋1<m<2eq\r(2)＋1時，直線與圓相交，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0，即m＝－2eq\r(2)＋1或m＝2eq\r(2)＋1時，直線與圓相切，有一個公共點(diǎn)；當(dāng)Δ<0，即m<－2eq\r(2)＋1或m>2eq\r(2)＋1時，直線與圓相離，無公共點(diǎn)．練習(xí)2：以為圓心的圓與直線相離，那么圓的半徑的取值范圍是（）A．B．C．D．答案：C例3：已知圓的方程為x2＋y2＝r2，求過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程．解析：1.當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2內(nèi)時，過點(diǎn)P的任何直線與圓都相交，此時無切線，但x0x＋y0y＝r2有特殊含義，它與圓相離，PO與該直線垂直，圓上所有點(diǎn)到此直線的距離中，以直線PO與圓的兩個交點(diǎn)取最大值與最小值．2．當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上時，過點(diǎn)P的切線有且僅有一條x0x＋y0y＝r2可作公式應(yīng)用，其推證方法很重要，要熟練掌握．答案：若x0y0≠0，直線OP的方程為y＝eq\f(y0,x0)x，則過點(diǎn)P的圓的切線斜率為－eq\f(x0,y0).方程為y－y0＝－eq\f(x0,y0)(x－x0)，化簡得：x0x＋y0y＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)，∵P點(diǎn)在圓上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2，∴過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2(容易驗證，當(dāng)x0＝0或y0＝0時也滿足)．練習(xí)1：過原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切點(diǎn)在第三象限，求該直線的方程．答案：圓x2＋y2＋4x＋3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式(x＋2)2＋y2＝1，圓心C(－2,0)．設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為y＝kx，即kx－y＝0.∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|－2k|,\r(k2＋1))＝1.∴3k2＝1，k2＝eq\f(1,3).解得k＝±eq\f(\r(3),3).∵切點(diǎn)在第三象限，∴k>0.∴所求直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x.練習(xí)2：若直線與圓相切，則的值等于（）A．或B．或C．或D．或答案：D例4：已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0.(1)求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)；(2)若直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝eq\r(17)時，求m的值．解析：本題主要考查直線與圓的相交及弦長問題．(1)問可考慮直線過定點(diǎn)，通過定點(diǎn)在圓內(nèi)證明，(2)問可利用弦長公式求解．答案：(1)解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－12＝5,mx－y＋1－m＝0))，消去y整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.∵Δ＝(－2m2)2－4(m2＋1)(m2－5)＝16m2＋20>0，對一切m∈R成立，∴直線解法二：由已知l：y－1＝m(x－1)，故直線恒過定點(diǎn)P(1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P(1,1)在圓C內(nèi)．∴直線l與圓C總有兩個不同的交點(diǎn)．(2)解法一：圓半徑r＝eq\r(5)，圓心(0,1)到直線l的距離為d，d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|－m|,\r(m2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝±eq\r(3).解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))∴m＝±eq\r(3).練習(xí)1：直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,5)，且和圓C：x2＋y2＝25相交，截得的弦長為4eq\r(5)，求l的方程．答案：解法一：設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－5)且與圓C相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5,x2＋y2＝25))消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0.解得k>0.x1＋x2＝－eq\f(10k1－k,k2＋1)，x1x2＝eq\f(25kk－2,k2＋1).由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2x1－x22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1))))＝4eq\r(5).兩邊平方，整理得：2k2－5k＋2＝0.解得：k＝eq\f(1,2)，或k＝2.故直線l的方程為：x－2y＋5＝0，或2x－y－5＝0.解法二：如圖所示，|OH|是圓心到直線l的距離，|OA|是圓的半徑，|AH|是弦長|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×4eq\r(5)＝2eq\r(5)，∴|OH|＝eq\r(|OA|2－|AH|2)＝eq\r(5).∴eq\f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5).解得：k＝eq\f(1,2)或k＝2.∴直線l的方程為：x－2y＋5＝0，或2x－y－練習(xí)2：求直線被圓解得的弦長答案：解法一：圓可化為∴圓心,半徑點(diǎn)到直線的距離為∴∴解法二：聯(lián)立直線與圓的方程消去得：設(shè)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為由韋達(dá)定理有∴弦長類型二圓與圓的位置關(guān)系例5：判斷圓x2＋y2＋6x－7＝0與圓x2＋y2＋6y－27＝0的位置關(guān)系．解析：代數(shù)方法或者幾何方法．答案：解法一：圓x2＋y2＋6x－7＝0的圓心為C1(－3,0)，半徑r1＝4，圓x2＋y2＋6y－27＝0的圓心為C2(0，－3)，半徑為r2＝6，則兩圓的圓心距d＝|C1C2|＝eq\r([0－－3]2＋－3－02)＝3eq\r(2)，∴|r1－r1|<d<r1＋r2，即兩圓相交．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－7＝0,x2＋y2＋6y－27＝0))，得2x2＋eq\f(38,3)x＋eq\f(37,9)＝0，Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,3)))2－4×2×eq\f(37,9)＝eq\f(1484,9)－eq\f(296,9)＝eq\f(1188,9)>0，∴兩圓相交．練習(xí)1：判斷圓x2＋y2＋2x＝0與圓x2＋y2＋4y＝0的位置關(guān)系．答案：解法一：圓x2＋y2＋2x＝0的圓心為C1(－1,0)，半徑r1＝1，圓x2＋y2＋4y＝0的圓心為C2(0，－2)，半徑r2＝2，則兩圓的圓D心距d＝|C1C2|＝eq\r(1－02＋[0－－2]2)＝eq\r(5)，∴r2－r2<d<r2＋r1，∴兩圓相交，解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝0,x2＋y2＋4y＝0))，得5x2＋8x＝0，Δ＝82－4×5×0＝64－0＝64>0，∴兩圓相交.練習(xí)2：(2014·山東濟(jì)南歷城區(qū)高一期末測試)圓x2＋y2－6x＝0和圓x2＋y2＋8y＋12＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相外切C．相交 D．相內(nèi)切答案：B例6：實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？解析：由圓心距與兩圓的半徑和的關(guān)系得到不等式，接觸k的范圍．答案：將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.則圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑r2＝eq\r(50－k)，k<50.∴|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時，兩圓外切；當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，即k＝14時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)14<k<34時，4<eq\r(50－k)<6，則r2－r1<|C1C2|<r2＋r1當(dāng)k<14或34<k<50時，兩圓相離．練習(xí)1：已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m為何值時：(1)圓C1與圓C2相外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含．答案：對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.圓心C1(m，－2)，半徑r1＝3.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.圓心C2(－1，m)，半徑r2＝2.(1)如果C1與C2外切，則有eq\r(m＋12＋m＋22)＝3＋2，∴m2＋3m－10＝0，解得m(2)如果C1與C2內(nèi)含，則有eq\r(m＋12＋m＋22)<3－2，∴m2＋3m＋2<0，∴－2<m綜上所述，當(dāng)m＝－5或m＝2時，C1與C2外切；當(dāng)－2<m<－1時，C1與C2內(nèi)含．練習(xí)2:(2014·湖南文，6)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11答案：C例7：已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0.求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．解析：因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時滿足兩個圓方程，聯(lián)立方程組，消去x2項、y2項，即得兩圓的兩個交點(diǎn)所在的直線方程．利用勾股定理可求出兩圓公共弦長．答案：設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0,x2＋y2－4x＋2y－11＝0))的解eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(①),\s\do15()),②))①－②得3x－4y＋6＝0.∵A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r＝3.又C1到直線AB的距離為d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(24,5).即兩圓的公共弦長為eq\f(24,5).練習(xí)1：⊙A的方程為x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程為x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判斷⊙A和⊙B是否相交，若相交，求過兩交點(diǎn)的直線的方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，說明理由．答案：⊙A的方程可寫為(x－1)2＋(y－1)2＝9，⊙B的方程可寫為(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴兩圓心之間的距離|AB|＝eq\r(1＋12＋1＋12)＝2eq\r(2)，滿足1<|AB|<5.即兩圓心之間的距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差的絕對值．∴兩圓相交．⊙A的方程與⊙B的方程左、右兩邊分別相減得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0為過兩圓交點(diǎn)的直線的方程．設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則CD：4x＋4y＋5＝0，點(diǎn)A到直線CD的距離為d＝eq\f(|4×1＋4×1＋5|,\r(42＋42))＝eq\f(13,8)eq\r(2).由勾股定理，得：|CD|＝2eq\r(DA2－d2)＝2eq\r(9－\f(169,32))＝eq\f(\r(238),4).練習(xí)2:(2014·福建安溪八中高一期末測試)已知兩圓x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，則它們的公共弦所在直線的方程為________．答案：2x＋y－5＝01．若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為()A．－1 B．1C．3 D．－3答案：B2．如果a2＋b2＝eq\f(1,2)c2，那么直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切答案：C3．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．外離答案：B4．兩圓x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，則正實數(shù)r的值為()A．1 B．2C．3 D．4答案：C5．圓x2＋y2＝16上的點(diǎn)到直線x－y＝3的距離的最大值為________．答案：4＋eq\f(3\r(2),2)6．(2014·重慶文，14)已知直線x－y＋a＝0與圓心為C的圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A、B兩點(diǎn)，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為________．答案：0或6__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．(2014·廣東揭陽一中階段測試)直線ax－y＋2a＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是(A．相離 B．相交C．相切 D．不確定答案：B2．(2014·甘肅高臺一中月考)圓x2＋y2－4y＋3＝0與直線2eq\r(2)x＋y＋b＝0相切，正實數(shù)b的值為()A.eq\f(1,2) B．1C．2eq\r(2)－1 D．3答案：B3．兩圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條答案：B4．(2014·遼寧大連第二中學(xué)高一期末測試)已知圓C和y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．答案：由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，eq\f(a,3))，圓的半徑R＝|a|，由題意得(eq\f(|a－\f(a,3)|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2＝a2，∴a2＝9，a＝±3.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.能力提升5．與圓x2＋(y－2)2＝2相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有()A．6條 B．4條C．3條 D．2條答案：C6．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得弦長是()A.eq\r(6) B.eq\f(5\r(2),2)C．1 D.eq\r