考研數(shù)學一填空題高頻考點模擬試卷16(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一(填空題)高頻考點模擬試卷16(題后含答案及解析)

題型有：1.

1.設f(x)是奇函數(shù)，且對一切x有f(x+2)=f(x)+f(2),又x(l)=a,a為常數(shù)，

n為整數(shù)，則f(n)=.

正確答案：m

解析:令x=-1,則f(l)=f(-l)+f(2),因f(x)是奇函數(shù)，得到f(2)=f(l)—f(-l)=2f(l)

一2a.再令x=l,則f(3)=f(l)+f(2)=3f(l)=3a,現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明f(n)=na.當

n=L2,3時，已知或者已證.假設nWk時，有f(k)=ka.當n=k+l時，f(k+l)=f(k

一l)+f(2)=(k一l)a+2a=(k+l)a,故對一切正整數(shù)n,有f(n)=na,令x=0,則

f(2)=f(0)+f(2),即f(O)=O=O.a,又f(x)是奇函數(shù)，故對一切負整數(shù)n有f(n)=-f(-n)=

—(-m)=na.所以對一切整數(shù)n,均有f(n)=na.知識模塊：函數(shù)、極限、連續(xù)

2.設f(x)連續(xù)，且，則=-

正確答案：a2f(a)

解析：知識模塊：高等數(shù)學部分

3.設

正確答案：z涉及知識點：高等數(shù)學

4.對隨機變量X,Y,Z,已知EX=EY=1,EZ=-1,DX=DY=1,DZ=4,

P(X,Y)=0,P(X,Z)=l/3,P(Y,Z)=-l/2,(P為相關系數(shù))則

E(X+Y+Z)=,D(X+Y+Z)=,cov(2X+Y,3Z+X)=。

正確答案：1;16/3；3

解析：E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1,D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X,

Y)+2cov(X,Z)+2cov(Y,Z)=l+l+4+0+2P(X,Z),cov(2X+Y,3Z+X)=6cov(X,

Z)+2DX+3cov(Y,Z)+cov(Y,X)=6Xp(X,Z)知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

5.過曲面z—ez+2xy=3上點M0(l,2,0)處的切平面方程為?

正確答案：0

解析：曲面方程F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=z—ex+2xy—3,gradF==

{2y,2x,1—ez},gradF={4,2,0)=2{2,1,0}.點MO的切平面方程為2(x

一l)+(y—2)=0,即2x+y—4=0.知識模塊：高等數(shù)學

6.

正確答案：i+j+k

解析：知識模塊：向量代數(shù)和空間解析幾何

7.曲線在xOy平面上的投影曲線為.

正確答案：

解析：知識模塊：高等數(shù)學部分

8.設a為3維列向量，aT是a的轉量.若aaT=，則aTa=.

正確答案：3涉及知識點：線性代數(shù)

9.設曲線y=ax2與y=ln2x相切，則切點坐標為.

正確答案：

解析：設切點坐標為(xO,yO),則則y0=ln2x0=.故所求切點坐標為(xO,y0)=

知識模塊：高等數(shù)學

10.過直線且和點(2,2,2)的距離為的平面方程是.

正確答案：5x—y—z—3=0x+y—z—1=0

解析：已知直線的一般式方程為顯然平面3x—z—2=0不符合題意，可設過

該直線的平面束方程為n入：(2+3入)x—y—入z—(1+2入)=0,由點(2,2,2)到

n入的距離為得化簡得入2=1,入=±1.當入=1時，對應一個平面nl：5x

—y—z—3=0；當入=-1時，對應另一個平面口2：x+y—z—1=0.知識模

塊：向量代數(shù)與空間解析幾何

11.設XA=AT+X,其中A=,則*=.

正確答案：

解析：由XA—X=AT有X(A—E)=AT,因為A可逆，知X與A—E均可

逆.知識模塊：線性代數(shù)

12.若函數(shù)f(x)滿足方程f，(x)+f，(x)—2f(x)=0及f5(x)+f(x)=2ex,則

f(x)=°

正確答案：ex

解析：已知條件中二階常微分方程的特征方程為入2+入一2=0,特征根為入

1=1,入2=—2,則二階齊次微分方程尸(x)+f，(x)—2f(x)=0的通解為

f(x)=Clex+C2e-2xo再由f'(x)+f(x)=2ex得2Clex-C2e-2x=2ex,可知Cl=l,

C2=0.故f(x)=ex。知識模塊：常微分方程

13.微分方程y'=l+x+y2+xy2的通解為。

正確答案：y=,其中C為任意常數(shù)

解析：將已知方程變形后，并整理得=(l+x)(l+y2),則兩邊積分可得

arctany=(l+x)2+C,因此y=,其中C為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程

14.歐拉方程(x>0)的通解為0

正確答案：，CLC2為任意常數(shù)

解析：々x=et,則，且代入原方程，整理得解此方程，得通解為y=Cle-t+C2e

—2t=,Cl,C2為任意常數(shù)。知識模塊：常微分方程

15.f(x)=ln(2+x—3x2)在x=0處的泰勒展開式為.

正確答案：

解析：f(x)的泰勒展式為f(x)=ln[(l一x)(2+3x)]=ln(l一x)+ln(2+3x)

知識模塊：無窮級數(shù)

16.設X,Y相互獨立且都服從(0,2)上的均勻分布，令Z=min(X,Y),

則P(O<Z<1)=.

正確答案：

解析：由X,Y在(0,2)上服從均勻分布得因為X,Y相互獨立，所以

fz(z)=P(ZWz)=l—P(Z>z)=l一P{min(X,Y)>Z}=1-P(X>z,Y>z)=1—

P(X>z)P(Y>z)=l-[1一P(X<z)][l一P(YWz)]=1-[1一FX(z)][l-FY(z)]

于是P(0<Z<l)=FZ(l)—FZ(0)=.知識模塊：概率統(tǒng)計

17.已知矩陣人=有兩個線性無關的特征向量，則2=..

正確答案：一1

解析：由A的特征多項式|入E—A|=(入+1)3,知矩陣A的特征值是入=—1(三

重根)，因為A只有2個線性無關的特征向量，故從而a=-1.知識模塊：線性

代數(shù)

18.獨立投骰子兩次，X,Y表示投出的點數(shù)，令A={X+Y=10},B=

{X>Y),則P(A+B尸.

正確答案：

解析：P(A)=P{X=4,Y=6)+P{X=5,Y=5)+P{X=6,Y=4}=,P(B)

=P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=4,Y=3}+P{X

=4,Y=2}+P{X=4,Y=1}+P{X=5,Y=4}+P{X=5,Y=3}+P{X=5,Y

=2}+P{X=5,Y=1}+P{X=6,Y=5}+P{X=6,Y=4}+P{X=6,Y=3}+

P{X=6,Y=2}+P{X=6,Y=1}=P(AB)=P{X=6,Y=4)=,則P(A+B)=

P(A)+P(B)-P(AB)=.知識模塊：概率統(tǒng)計部分

19.微分方程3extanydx+(l—ex)sec2ydy=0的通解是.

正確答案：tany=C(ex—1)3,其中C為任意常數(shù)

解析：方程分離變量得積分得IntanIyI=31nIex—1I+lnCl.所以方

程的通解為tany=C(ex—1)3,其中C為任意常數(shù).知識模塊：常微分方程

20.已知X,Y為隨機變量且P{X>0,YN0}=,P{X》0}=P{YN0}=,設

A={max(X,Y)N0},B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0},C={max(X,Y)N0,

min(X,Y)<0},則P(A)=,P(B)=,P(C)=。

正確答案：

解析：首先分析事件的關系，用簡單事件運算去表示復雜事件，后應用概率

性質計算概率。由于A={max(X,Y)N0}={X,Y至少有一個大于等于0}={XN

0}u{Y^O},所以P(A)=P{XN0}+P{Y20}-P{x、0,YN0}=又{max(X,

Y){min(X,Y)<0},則B={max(X,Y)<0,min(X,Y)<0}={max(X,Y)<

0}=o從而P(B)=根據全集分解式知：A={max(X,Y)三0}={max(X,Y)》0,

min(X,Y)<0}+{max(X,Y)》0,min(X,Y)N0}=C+{X》0,YNO},故

P(C)=P(A)-P{XNO,Y20}=知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

21.設隨機變量X與一X服從同一均勻分布U(a,b),已知X的概率密度

f(x)的平方f2(x)也是概率密度，則b=.

正確答案：

解析：因X?U(a,b),則一X?U(—b,—a),又X與一X同分布，故有a=

一b,即X?U(—b,b),所以又因為f2(x)也是概率密度，所以有1=/-eo+oo

f2(x)dx=知識模塊：概率論與數(shù)理統(tǒng)計

22.設隨機變量X與一X服從同一均勻分布U[a,b],已知X的概率密度

f(x)的平方f2(x)也是概率密度，則b=.

正確答案：

解析：若x?U[a,b],則一X?U[—b,-a],由X與一X同分布可知a=

一b,即x?U[—b,b].于是有由題設f2(x)也是概率密度，則由知識模塊：隨

機變量及其分布

23.設隨機變量X和Y均服從，且D(X+Y)=1,則X與Y的相關系數(shù)P=

正確答案：1

解