化工過程設(shè)備設(shè)計(jì)教學(xué)課件：第二章壓力容器識(shí)應(yīng)力分析2.4平板應(yīng)力分析

《過程設(shè)備設(shè)計(jì)》壓力容器應(yīng)力分析目錄2.1載荷分析2.2回轉(zhuǎn)薄殼應(yīng)力分析2.3厚壁圓筒應(yīng)力分析2.4平板應(yīng)力分析2.5殼體屈曲分析2.6典型局部應(yīng)力2.4.1概述2.4.2圓平板對(duì)稱彎曲微分方程2.4.3圓平板中的應(yīng)力2.4.4承受對(duì)稱載荷時(shí)環(huán)板中的應(yīng)力目錄概述1常壓容器、高壓容器；貯槽底板：可以是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤：圓平板、帶加強(qiáng)筋的圓平板；反應(yīng)器觸媒床支承板等。平封頭應(yīng)用概述平板的幾何特征及平板分類t/b≤1/5時(shí)，w/t≤1/5時(shí)，按小撓度薄板計(jì)算。圖2-28薄板中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸幾何特征平板分類厚板與薄板大撓度板和小撓度板載荷與內(nèi)力載荷平面載荷橫向載荷復(fù)合載荷（作用于板中面內(nèi)的載荷）（垂直于板中面的載荷）內(nèi)力薄膜力彎曲內(nèi)力(中面內(nèi)的拉、壓力和面內(nèi)剪力，并產(chǎn)生面內(nèi)變形)(彎矩、扭矩和橫向剪力，且產(chǎn)生彎扭變形)當(dāng)變形很大時(shí)，面內(nèi)載荷也會(huì)產(chǎn)生彎曲內(nèi)力，而彎曲載荷也會(huì)產(chǎn)生面內(nèi)力，所以，大撓度分析要比小撓度分析復(fù)雜的多。本書僅討論彈性薄板的小撓度理論

彈性薄板的小撓度理論建立基本假設(shè)---克?；舴騅irchhoff只有橫向力載荷圓平板對(duì)稱彎曲微分方程2圓平板對(duì)稱彎曲微分方程分析模型軸對(duì)稱性半徑R，厚度t的圓平板受軸對(duì)稱載荷Pz內(nèi)力：Mr、Mθ、Qr三個(gè)內(nèi)力分量在r、θ、z圓柱坐標(biāo)系中

圖2-29圓平板對(duì)稱彎曲時(shí)的內(nèi)力分量及微元體受力微元體撓度微分方程的建立：基于平衡、幾何和物理方程。用半徑為r和r+dr的圓柱面和夾角為dθ的兩個(gè)徑向截面截取板上一微元體。微元體內(nèi)力微元體外力徑向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：Mθ、Mθ橫向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr上表面P=prdθdr一、平衡方程微體內(nèi)力與外力對(duì)圓柱面切線T的力矩代數(shù)和為零，即ΣMT=0（2-54）圓平板在軸對(duì)稱載荷下的平衡方程二、幾何方程W~ε

圖2-30圓平板對(duì)稱彎曲的變形關(guān)系二、幾何方程板變形后：微段的徑向應(yīng)變?yōu)?過A點(diǎn)的周向應(yīng)變?yōu)?作為小撓度，帶入以上兩式應(yīng)變與撓度關(guān)系的幾何方程（第2假設(shè)）（第1假設(shè)）圖2-30圓平板對(duì)稱彎曲的變形關(guān)系（2-55）三、物理方程根據(jù)第3個(gè)假設(shè)，圓平板彎曲后，其上任意一點(diǎn)均處于兩向應(yīng)力狀態(tài)。由廣義虎克定律可得圓板物理方程為（2-56）四、圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方程2-55代入2-56式：（2-57）圖2-31圓平板內(nèi)的應(yīng)力與內(nèi)力之間的關(guān)系

、的線性分布力系便組成彎矩、。單位長(zhǎng)度上的徑向彎矩為：（2-58a）（2-58b）——“抗彎剛度”與圓板的幾何尺寸及材料性能有關(guān)同理得：參照38頁殼體的抗彎剛度2-58代入2-57，得彎矩和應(yīng)力的關(guān)系式為：（2-59）2-58代入平衡方程2-54，得：即：受軸對(duì)稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程：（2-60）Qr值可依不同載荷情況用靜力法求得圓平板中的應(yīng)力3圓平板中的應(yīng)力一、承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力二、承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力（圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方程的應(yīng)用）簡(jiǎn)支固支一、承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力圖2-32均布載荷作用時(shí)圓板內(nèi)Qr的確定據(jù)圖2-32，可確定作用在半徑為r的圓柱截面上的剪力，即：代入(2-60)式中均布載荷作用下圓平板彎曲微分方程為:對(duì)r連續(xù)兩次積分（得到撓曲面在半徑方向的斜率）（2-61）對(duì)r連續(xù)三次積分（得到中面在彎曲后的撓度）（2-62）C1、C2、C3均為積分常數(shù)。對(duì)于圓平板在板中心處（r=0）撓曲面之斜率與撓度均為有限值，因而要求積分常數(shù)C2＝0

，于是上述方程改寫為：（2-63）式中C1、C3由邊界條件確定下面討論兩種典型支承情況（兩種邊界條件）圖2-33承受均布橫向載荷的圓板（a）周邊固支圓平板（b）周邊簡(jiǎn)支圓平板1、周邊固支圓平板2、周邊簡(jiǎn)支圓平板在支承處不允許有撓度和轉(zhuǎn)角將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數(shù)：周邊固支圓平板（2-64）得周邊固支平板的斜率和撓度方程代入式（2-63）1、周邊固支圓平板將撓度w對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入式（2-58），便得固支條件下的周邊固支圓平板彎矩表達(dá)式：（2-65）由此（代入2-59）彎曲應(yīng)力計(jì)算試，可得r處上、下板面的應(yīng)力表達(dá)式：（2-66）圖2-34圓板的彎曲應(yīng)力分布（板下表面）周邊固支圓平板下表面的應(yīng)力分布，如圖2-34(a)所示。最大應(yīng)力在板邊緣上下表面，即：（a）周邊固支（b）周邊簡(jiǎn)支將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數(shù)C1、C3：周邊簡(jiǎn)支圓平板得周邊簡(jiǎn)支平板的撓度方程代入式（2-63）（2-67）2、周邊簡(jiǎn)支圓平板彎矩表達(dá)式：（2-68）應(yīng)力表達(dá)式：（2-69）不難發(fā)現(xiàn)，最大彎矩和相應(yīng)的最大應(yīng)力均在板中心r=0處，周邊簡(jiǎn)支板下表面的應(yīng)力分布曲線見圖2-34(b)。圖2-34圓板的彎曲應(yīng)力分布（板下表面）（a）周邊固支（b）周邊簡(jiǎn)支這表明，周邊簡(jiǎn)支板的最大撓度遠(yuǎn)大于周邊固支板的撓度。撓度a周邊固支時(shí)，最大撓度在板中心周邊簡(jiǎn)支時(shí)，最大撓度在板中心（2-70）（2-71）slidefix3、支承對(duì)平板剛度和強(qiáng)度的影響這表明周邊簡(jiǎn)支板的最大正應(yīng)力大于周邊固支板的應(yīng)力應(yīng)力b周邊固支圓平板中的最大正應(yīng)力為支承處的徑向應(yīng)力，其值為（2-72）周邊簡(jiǎn)支圓平板中的最大正應(yīng)力為板中心處的徑向應(yīng)力，其值為（2-73）撓度反映板的剛度，應(yīng)力則反映強(qiáng)度周邊固支的圓平板在剛度和強(qiáng)度兩方面均優(yōu)于周邊簡(jiǎn)支圓平板最大正應(yīng)力與同一量級(jí)；最大切應(yīng)力則與同一量級(jí)。因而對(duì)于薄板R>>t，板內(nèi)的正應(yīng)力遠(yuǎn)比切應(yīng)力大。內(nèi)力引起的切應(yīng)力：在均布載荷p作用下，圓板柱面上的最大剪力，（r=R處）近似采用矩形截面梁中最大切應(yīng)力公式得到若構(gòu)成板的材料和載荷已確定，則減小半徑或增加厚度都可減小撓度和降低最大正應(yīng)力工程中較多的是采用改變其周邊支承結(jié)構(gòu)，使它更趨近于固支條件增加圓平板厚度或用正交柵格、圓環(huán)肋加固平板等方法來提高平板的強(qiáng)度與剛度

4、薄圓平板應(yīng)力特點(diǎn)二、承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力

圖2-35圓板中心承受集中載荷時(shí)板中的剪力Q