江西省南昌市第十五中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

江西省南昌市第十五中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若tan（）＝2，則sin2α＝（）A． B． C． D．2．已知正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．-13．已知兩條直線，，兩個(gè)平面，，下面說(shuō)法正確的是()A． B． C． D．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值為()A． B． C． D．5．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：/℃/百元對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則線性回歸方程為（）參考公式：A． B．C． D．6．甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排，乙站在中間的概率是（）A． B． C． D．7．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．8．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．在集合且中任取一個(gè)元素，所取元素x恰好滿(mǎn)足方程的概率是（）A． B． C． D．10．若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某扇形的面積為1，它的周長(zhǎng)為4cm，那么扇形的圓心角的大小為_(kāi)___________.12．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.13．在等差數(shù)列中，，，則．14．已知曲線與直線交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，OB的傾斜角分別為、，則__________15．已知向量，的夾角為°，，，則______．16．若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)，則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某城市交通部門(mén)為了對(duì)該城市共享單車(chē)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車(chē)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷中的這100人根據(jù)其滿(mǎn)意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.（1）求圖中x的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）已知滿(mǎn)意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2，若在滿(mǎn)意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.18．在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.19．設(shè)二次函數(shù).（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．如圖，在三棱柱中，各個(gè)側(cè)面均是邊長(zhǎng)為的正方形，為線段的中點(diǎn).(1)求證:直線平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值；(3)設(shè)為線段上任意一點(diǎn)，在內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點(diǎn)，使，并說(shuō)明理由.21．已知圓圓心坐標(biāo)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸、軸被圓截得的弦分別為、.（1）證明：的面積為定值；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，若，求圓的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由兩角差的正切得tan，化sin2α為tan的齊次式求解【詳解】tan（）＝2，則則sin2α＝故選：B【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式，考查二倍角公式及齊次式求值，意在考查公式的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題2、C【解析】

化簡(jiǎn)，分別計(jì)算，，代入得到答案.【詳解】正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，將是解題的關(guān)鍵，也可以建立直角坐標(biāo)系解得答案.3、D【解析】

滿(mǎn)足每個(gè)選項(xiàng)的條件時(shí)能否找到反例推翻結(jié)論即可?！驹斀狻緼：當(dāng)m,n中至少有一條垂直交線才滿(mǎn)足。B：很明顯m,n還可以異面直線不平行。C:只有當(dāng)m垂直交線時(shí)，否則不成立。故選：D【點(diǎn)睛】此題考查直線和平面位置關(guān)系，一般通過(guò)反例排除法即可解決，屬于較易題目。4、B【解析】

化簡(jiǎn)式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】利用正弦定理和余弦定理得到：故選B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】

計(jì)算出，，把數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，即可得到答案．【詳解】由題可得：，，，，；所以，，則線性回歸方程為；故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

先求出甲、乙、丙三人隨機(jī)排成一排的基本事件的個(gè)數(shù)，再求出乙站在中間的基本事件的個(gè)數(shù)，再求概率即可.【詳解】解：三個(gè)人排成一排的所有情況有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6種，乙在中間有2種，所以乙在中間的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】

設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對(duì)大角，屬于中檔題.8、A【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求與的坐標(biāo),由兩向量所成角的余弦值求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得：,,所以,.設(shè)異面直線與所成角,則故異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解線線角的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

寫(xiě)出集合中的元素，分別判斷是否滿(mǎn)足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿(mǎn)足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用圓心到直線的距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為（0,0），所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)扇形的面積和周長(zhǎng)列方程組解得半徑和弧長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，則，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，考查了扇形中弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、120°【解析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝＝－，又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A＝120°故答案為：120°13、8【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，故答案為8.14、【解析】

曲線即圓曲線的上半部分，因?yàn)閳A是單位圓，所以，，，，聯(lián)立曲線與直線方程，消元后根據(jù)韋達(dá)定理與直線方程代入即可求解.【詳解】由消去得，則，由三角函數(shù)的定義得故.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，直線與圓的應(yīng)用.此題關(guān)鍵在于曲線的識(shí)別與三角函數(shù)定義的應(yīng)用.15、1【解析】

把向量，的夾角為60°，且，，代入平面向量的數(shù)量積公式，即可得到答案．【詳解】由向量，的夾角為°，且，，則.故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直接考查公式本身的直接應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、1【解析】

根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)得出弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可得到圓心角.【詳解】因?yàn)閳A的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，所以圓弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查弧長(zhǎng)公式，根據(jù)弧長(zhǎng)求圓心角的大小，關(guān)鍵在于熟記圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0.02（2）平均數(shù)77，中位數(shù)（3）.【解析】

（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程能求出x．（2）由頻率分布直方圖能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．（3）滿(mǎn)意度評(píng)分值在[50，60）內(nèi)有5人，其中男生3人，女生2人，記“滿(mǎn)意度評(píng)分值為[50，60）的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A，利用古典概型能求出2人均為男生的概率．【詳解】（1）由，解得.（2）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.中位數(shù)設(shè)為m，則，解得.（3）滿(mǎn)意度評(píng)分值在內(nèi)有人，其中男生3人，女生2人.記為記“滿(mǎn)意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，2人均為男生”為事件A則總基本事件個(gè)數(shù)為10個(gè)，A包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，利用古典概型概率公式可知.【點(diǎn)睛】本題考查頻率平均數(shù)、中位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解即可；（Ⅱ）將的通項(xiàng)公式代入所給等式化簡(jiǎn)求出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出，由推出，由數(shù)列是遞增數(shù)列推出.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），因?yàn)椋越獾?，所?（Ⅱ），.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，于是.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，裂項(xiàng)相消法求和，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）是關(guān)于m的一次函數(shù)，計(jì)算得到答案.（2）易知，討論和兩種情況計(jì)算得到答案.【詳解】（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，是關(guān)于m的一次函數(shù)，，解得或，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是.（2）存在，使得成立，即，顯然.（i）當(dāng)時(shí)，要使成立，即需成立，即需成立.，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，，.（ii）當(dāng)時(shí)，要使成立，即需成立，即需成立，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），.綜上得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、(1)見(jiàn)解析(2)（3）存在點(diǎn)，使，詳見(jiàn)解析【解析】

(1)設(shè)與的交點(diǎn)為，證明進(jìn)而證明直線平面.(2)先證明直線與平面所成角的為，再利用長(zhǎng)度關(guān)系計(jì)算.(3)過(guò)點(diǎn)作，證明平面，即，所以存在.【詳解】(1)設(shè)與的交點(diǎn)為，顯然為中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，平面，平面，平面.(2)平面，平面,，，平面，平面，平面，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，直線與平面所成角的為，，，，.(3)過(guò)點(diǎn)作，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，平面，平面，，所以存在點(diǎn)，使.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何線面平行，線面夾角，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）利用幾何條件可知，為直角三角形，且圓過(guò)原點(diǎn)，所以得知三角形兩直角邊邊長(zhǎng)，求得面積；（2）由及原點(diǎn)O在圓上，知OCMN，所以,求出的值，再利用直線與圓的位置關(guān)系判斷檢驗(yàn)，符合題意的