甘肅省張掖市某校2024屆高三年級下冊模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

甘肅省張掖市某校2024屆高三下學期模擬考試數(shù)學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合尸={0,1,2,4},0="|°＜》＜。+3,。€4，若PCI。中恰有兩個元素，則。的

取值集合為（）

A.{0,1}B.{1,2}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

2.命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是

A.任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理

數(shù)

C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理

數(shù)

3.已知正項等差數(shù)列{?！皚滿足為%=3,。2。3=15,則。4。5=（）

A.39B.63C.75D.99

4.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為"，則經(jīng)

過一定時間，分鐘后的溫度7滿足7一7；[”一看），〃稱為半衰期，其中方是環(huán)境

溫度.若北=25。，現(xiàn)有一杯80。（2的熱水降至75。（2大約用時1分鐘，那么水溫從75。?

降至45。（2大約還需要（）（參考數(shù)據(jù)：檐220.30,lgll?1.04）

A.8分鐘B.9分鐘C.10分鐘D.11分鐘

5.已知拋物線C:/=2川5＞0）的焦點為尸,M（不同于原點）是直線＞=x與C的一

個公共點.若|九值|=10,則C的準線方程為（）

A.x=—3B.x=—2

C.x——1D.x~~—

3

6.已知q,6是不同的直線，是不同的平面，且。，氏6，萬，則是“a〃,”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要

7.已知ee（可，型],sin2a-2cos2a=1,貝！|=（）

U4J14）

試卷第1頁，共4頁

A.-2B.--C.vD.2

22

8.已知圓柱的母線長與底面的半徑之比為。:1,四邊形/BCD為其軸截面，若點E

為上底面圓弧AB的靠近B點的三等分點,則異面直線DE與AB所成角的余弦值為()

AaA

N/3r娓nV10

4334

9.將函數(shù)/(x)=sin2尤的圖像向左平移§個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖像，設42,C

為以上兩個函數(shù)圖像不共線的三個交點，則。3c的面積不可能為()

A.2缶B.岳C.—reD.—

24

10.已知函數(shù)1)(XER)是偶函數(shù)，且函數(shù)/⑴的圖像關于點(1,0)對稱，當覃］

時，f(x)=ax-l9則/(2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

22

II.已知橢圓C:=+與=1(°>6>0)的焦距為2c(b>c),尸是c上的任意一點，過點尸作

ab

兩條直線與圓X2+J/=C2相切，切點分別為4瓦若當N/心最大時，=則C的

離心率為()

AV2IT,V3r4s「V?

7357

12.已知實數(shù)陽/滿足6卜+^)=2(1+>)。=26,則x+y=()

A.1B.gC.—D.—

2e3

二、填空題

13.已知向量。=(3,-2)石=(幾一1，一2),且歸-年同=同，則實數(shù)2=.

14.某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不

超過2個，則該外商不同的投資方案有一種.

15.對給定的實數(shù)。，總存在兩個實數(shù)。，使直線>=辦-6與曲線y=ln(x-6)相切，

則6的取值范圍為.

16.如圖，在正四棱臺MCD-44GA中，AB=2AlBl,且存在一個半徑為r的球，與

D

該正四棱臺的各個面均相切.設該正四棱臺的外接球半徑為R,則一=.

r

試卷第2頁，共4頁

三、解答題

17.已知數(shù)列｛a〃｝對任意的“G2V*都滿足+…+率=".

(1)求數(shù)列｛加｝的通項公式；

⑵令bn=":，求數(shù)列｛加｝的前"項和為Tn.

log?%“+3

A

18.在“3C中，內(nèi)角45,C的對邊分別為a,b,c,26sin2—+acos8=c.

2

⑴求A；

(2)。為線段3C上一點，AD平分NBAC,若/。=2,求。的最小值.

19.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面N3CD是正方形，平面PCD，平面P/D,

(1)證明：平面尸/O_L平面/BCD；

(2)若尸/，4D,M是總的中點，平面M4c與平面PCD所成銳二面角的余弦值為史，

3

求直線PC與平面PAB所成角的余弦值.

20.自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續(xù)風貌，豐

富設施，精彩活動”的整治目標.某科學研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復合

劑.這種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間x(單位：小時)變化的函數(shù)為

256””,

-------x+64,0W%<4

U=\X+4，已知當x=4時，〃的值為28,且只有在活性不低于3.5

a(12-x),4<x<12

時才能產(chǎn)生有效作用.

試卷第3頁，共4頁

(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時間；(結果精確到0.1小時)

(2)由于環(huán)境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產(chǎn)生損耗，設損耗剩余量n關于時間

x的函數(shù)為v=」一,0WxW12,記為每1個單位生物復合劑的實際活性，求出的

X+1

最大值.(結果精確到0.1)

21.在平面直角坐標系尤。伊中，雙曲線C:%-2=l(a>0/>0)的離心率為亞，實軸

(2)如圖，點N為雙曲線的下頂點，直線/過點尸(0,。且垂直于y軸(P位于原點與上頂

點之間)，過尸的直線交C于G,〃兩點，直線NG,4f分別與/交于M,N兩點，若

O,A,N,M四點共圓，求點尸的坐標.

22.已知函數(shù)/(%)=工(亦+加-2)￡1)=彳111￥-》-0,

⑴若“X)與g(X)有相同的單調(diào)區(qū)間，求實數(shù)。的值；

a

⑵若方程/(x)=3g(x)+x+3a-l有兩個不同的實根%,三，證明：xtx2>e.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】

分a=-l,a=0,a=1,a=2分別說明即可.

【詳解】因為aeZ,所以當“=-1時，PcQ={O,l},符合題意，

當a=0時，尸口。={1,2},符合題意，

當a=l時，PC0={2},不符合題意，

當a=2時，PcQ={4},不符合題意，

故。的取值集合為{-1,。}.

故選：C.

2.B

【詳解】試題分析：由命題的否定的定義知，“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定

是任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù).

考點：命題的否定.

3.B

【分析】

利用等差數(shù)列的通項公式列方程組求解.

【詳解】設等差數(shù)列{%}的公差為d,

aa,-3%(%+4)=3

因為1y2達，所以

a2a3=15(%+1)(%+2d)=15'

;;或[=一]

解得（舍去）,

d=—2

所以〃必=(l+3x2)x(1+4x2)=63.

故選：B.

4.C

【分析】由題意可得（；）"=?,代入45-25=（產(chǎn)（75-25）,得用'=］，兩邊取常用對數(shù)得:

答案第1頁，共17頁

1o7

fig三=lg(,再利用對數(shù)的運算性質即可求出f的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：75-25=[『(80-25)，

1L

45-25=(-)4(75-25),

兩邊取常用對數(shù)得：小1三0=嶗?，

2

炮-

5

一Ig2-lg5_21g2-1?2x0.3-!

-W

年-1gli-1-lgll~1-1.04

H

，水溫從75。(2降至45。(2大約還需要10分鐘，

故選：C.

5.B

【分析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求得點M的坐標，然后根據(jù)焦半徑公式求得，從而求出拋物線方程,

直接求出準線方程即可.

【詳解】

\v=x\x-2p\x=0,、

聯(lián)立\c，解得。或C（舍去），所以M2P,2p.

=2px[,y=2p[y=0

因為“|=10,所以20+片10,解得p=4,

所以C的方程為V=8x,準線方程為x=-2.

故選：B

答案第2頁，共17頁

【分析】根據(jù)線面、面面的垂直、平行關系和充分必要條件的定義即可判斷.

【詳解】解：充分性：若a，a,a"b,則6，a,又6，1，所以a〃尸，所以“a〃6”是“a〃尸”

的充分條件；

必要性：箱a//,則又b，/3，所以?！?,所以〃6”是〃月”的必要條

件，

所以“?！?”是“allB”的充要條件，

故選：C.

7.A

【分析】

利用三角函數(shù)的倍角公式，結合正切函數(shù)的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解.

【詳解】因為sin2a-2cos2(z=1,

所以-2cos2a=l-sin2a,貝!J-2(coscz+sina)(cosa-sina)=(cos(z-sina)2,

因為ce所以cosa-sinewO,cose+sinc片0,

l-tanacosa-sinar-

=----------=----------------=-2.

H1+tanacosa+sina

故選：A.

8.A

【分析】設圓柱的底面圓的半徑為「，由/8〃CZ),可得NCOE即為異面直線與所

成角的平面角，求出CE,Z)E,再利用余弦定理即可得解.

【詳解】解：設圓柱的底面圓的半徑為廠，則40=8。=百廠,

因為48〃CD,

所以ZCDE即為異面直線DE與48所成角的平面角,

因為點￡為上底面圓弧崩的靠近3點的三等分點，

答案第3頁，共17頁

TT

所以=故△O8E為等邊三角形,

所以8E=r,

故4E=6r,

則CE=2r,DE=瓜r,

(白)一+(2,)2(24屈

所以cosNEDC=

2xV6rx2r

即異面直線DE與AB所成角的余弦值為".

故選：A.

9.D

【分析】先求得g(x)的解析式，在同一坐標系內(nèi)作出了(X)、g(x)圖像，不妨取X軸正半軸第

一個交點為/，第二個交點為3,分別求得當C位于不同位置時，"8C的面積，根據(jù)規(guī)律,

分析即可得答案.

【詳解】由題意得g(x)=sin=cos2x,

在同一坐標系內(nèi)作出/(%)、g(x)圖像，如下圖所示

令sin2x=cos2x,尚軍得x=—F—,kGZ,

82

不妨取工軸正半軸第一個交點為4,第二個交點為5,

答案第4頁，共17頁

若C點位于G時，的面積S=&=，故C正確

V?1)2188J2

當C點位于G［=，-孚］時，&4BC的面積S=葭［=-x42=雪兀,

2188yz2

當C點位于C31?,坐］時，”8C的面積s=：x

<)J

因為|應以=2|/。|,此時△/8。3為A/BG面積的2倍，

以此類推，當。位于不同位置時，力BC的面積應為也萬的整數(shù)倍，故A正確，D錯誤,

2

故選：D

10.A

【分析】先由題給條件求得函數(shù)/(x)的最小正周期為8,再利用周期、對稱軸的性質即可求

得了(2022)的值.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/'(x-l)(xeR)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(x)的對稱軸為h-1,

則有/(x)=/(-2-x),又由函數(shù)/(x)的圖像關于點(1,0)成中心對稱，

則/(無)=-/(2-x),MW/(-2-x)=-/(2-x),則/(x+4)=-/(x),

貝!|有/(工+8)=-/(》+4)=/'(刈，則函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

貝I］/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故選：A.

11.A

【分析】

根據(jù)切線性質可得垂直關系，進而根據(jù)銳角三角函數(shù)得sin/，尸。=俞，即可求解尸為短軸

端點時，|。尸|最小，根據(jù)三角形邊角關系即可求解必=二，進而根據(jù)齊次式即可求解離心

2b

率.

OA

【詳解】設坐標原點為O,由題意知。OBVPB,故sin//PO=

OP\OP\'

因為ZAPB=2/4PO,當N/PB最大時，NAPO最大,

即sin/4Po最大，故只需|。朗最小，

當尸為短軸端點時，|。尸|最小，此時|/卻=|。/|=|。叫=c,N4OP=g

答案第5頁，共17頁

所以N4Pom里,所以乂1=￡,即4c2=3/=3(/-c?

32b,

化簡得7c2=3/,得e2==,故6=叵.

77

【分析】

根據(jù)題意可得x+ex=2,(l+y)e"=e,換元得以+"2,進而利用/?)=e'+/的單調(diào)性可得

，=1一〉=X即可求解.

【詳解】由e(x+e，)=2(l+y)e,=2e,得x+e*=2,(l+y)e』,所以l+y=e「"

令，=1一歹，則2-=e'e+E=2.

令/(。=3+/,由于y=e',y=/均為單調(diào)遞增函數(shù)，則/?)單調(diào)遞增，

因為〃0)=l(2,〃l)=e+l)2,

所以存在唯一的實數(shù)f使/'?)=e'+f=2,所以f=l-y=x,即x+y=l.

故選：A

13.-2

【分析】

依題意可得歸-可叩+同，將兩邊平方可得-小秋=|同w，設萬與B的夾角為。，根據(jù)數(shù)量

積的定義得到夕=兀，即可得到萬與B共線且反向，根據(jù)平面向量共線的坐標表示求出2,

再檢驗即可.

【詳解】由年一年同=|司,得B,叩卜同，兩邊平方得一第不=|司W(wǎng)，

設3與彼的夾角為0,則-同問COSO=BM|,因為同、W均不為0,

所以cos6=—1,又?！?。，兀］,所以。=兀，

答案第6頁，共17頁

所以之與5共線且反向，所以-2(幾-1)=-6,解得4=3或2=-2.

當2=3時，》=(3,-3)石=(2,-2),即日:萬石，則3與不同向，舍去；

當4=一2時，)=(3,2)石=(-3,-2),即3=工，則方與B反向，符合題意，

所以X=-2.

故答案為：-2

14.60

【詳解】試題分析：每個城市投資1個項目有《苗種，有一個城市投資2個有C；C；C；種,

投資方案共CM+C：C；C；=24+36=60種.

考點：排列組合.

15.(-鞏0)

【分析】

求出導函數(shù)，然后利用導數(shù)的幾何意義列方程消元得6=與也構造函數(shù)/(。)=:也

\-a1—a

利用導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結合求得值域即可求解.

x0>b,

1

【詳解】由了=ln(x-b)得了=-^,設切點坐標為(尤0,比),貝卜------=a,

.xQ-b

x-b

ya=ax0-b,

y0=ln(x0-b),

消去后,為可得可1-。)=1+111。,。21,所以b=孚吧，awl,

\—a

令/(。)=早吧,則/心—+叫當。>1時，/''(a)>0J(a)單調(diào)遞增;

jL(1-4)2

當0<〃<1時，令g(a)=L+lna,貝|1<。，

aaaa

所以g(a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因為g⑴=1>0,

所以當0<a<1時，g(a)>0,即以(a)>0J(a)單調(diào)遞增.

因為當。趨近于0時，/(。)趨近于負無窮大-當。從1左邊趨近于1時，/(")趨近于

正無窮大,

答案第7頁，共17頁

當。從1右邊趨近于1時，1（。）趨近于負無窮大，當。趨近于正無窮大時，1（。）趨近于0,

作出了（。）的大致圖象，

所以若對給定的實數(shù)6,總存在兩個實數(shù)。，使直線y=與曲線了=ln（x-b）相切,

則6的取值范圍為（一-0）.

故答案為：（-雙。）

“而

16.-----

4

【分析】分別求出內(nèi)切球與外接球的半徑即可.

【詳解】如圖，做該正棱臺的軸截面，由題意，設HM=a,KF=2a,而HG=KG=QG=r,

易得MQ=HM=a,FQ=FK=2a,MF=3a,MG2-a2+r2FG2-4a2+r2,

且/MG尸=90°，

所以MG2+RJ2=兒少2,BPa2+r2+4a2+r2^9a2,解得廠=岳，從而可知胸=2缶，

答案第8頁，共17頁

連接4G,BQ，交于點。I,連接NC,8D,交于點。2,可知4a=后，。02=砍=2缶，

從而有/a=2缶，

所以，尺2-4°：+冊-0；=。。2，即收-2。2JR。'=2也a，解得R=Y粵，

Vi30a

所以/—一4—辰.

r41a4

故答案為：巫

4

17.⑴4=3"

【分析】(1)根據(jù)題干中的已知條件可得當"=1時，％=3,當〃22時，|^=1,即可求解

數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)代入4,=3"化簡數(shù)列也｝,利用裂項相消法即可求解數(shù)列出｝的前"項和卻

【詳解】⑴解：*+$+￥+…+率="，?,?當”=1時，。…，

當〃22時，—H—7—-----1—=/2—1,

332333"」

從而有$1,即當〃1時，。"=3",

又q=3滿足上式，

故數(shù)列｛。J的通項公式為an=3".

,111

解：由題可知，與―—、-；4n-l—-,4?+3-、，

(2)lojloloaiA2

g3?4?-ig3?4?+3g33-log33(4〃-1)(4〃+3)

答案第9頁，共17頁

所以〃(4〃一1)(4及+3)414幾一14〃+3

1

4〃+3

所以北=黑1

4幾+3

71

18.(1)-

(2)—

3

【分析】

(1)由正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式得sin5=2sin5cos4,由此即可進一步求解；

(2)由等面積法以及三角形面積公式得b+c=^bc,由基本不等式有6cz華，在“8C中,

由余弦定理得可得力=](慶-2)2-3,由6czm可得。的范圍進而求解.

A

【詳解】(1)因為ZbsinZ'+acosBu。，所以6(1—COS4)+QCOS5=c,

即acosB-bcosA+b=c.

在AABC中，由正弦定理得siib4cos5-sin5cos4+sinB=sinC,

在AASC中，sinC=sin(4+5)=sin4cos5+sin5cos/,

所以sin^=2sin5cos/.

因為sin5wO,所以cos/=,，

2

又0<4<兀,所以4=

TT

由4。平分/A4C,得/BAD=/CAD=—,

6

ITT1JT1jr

因為S?B3+5430=5/大，所以7c?4D-sin7+76-4D-sin"=，6csinw，

z62623

又AD=2,所以b+c=——be.

2

n

因為6+c=——be>2sfbc，

2

答案第10頁，共17頁

所以2當，當且僅當6=c=地時，等號成立.

33

在中，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=(b+c)2—3bc——(be)2-3bc--(be-2)2-3,

因為22所以當bc=/時，/最小，且(/)=-xf—Y-3x—,

33'/min4I3J33

所以。的最小值為述.

3

19.(1)證明見解析

(釁

【分析】

(1)根據(jù)面面垂直的性質可得線面垂直，進而根據(jù)線線垂直證明線面垂直，即可得面面垂

直，

(2)建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解長度，進而利用線面角的幾何法，結

合三角形的邊角關系即可求解.

【詳解】(1)如圖，過點A作/于點”，

因為平面尸CD_L平面尸4。，平面尸CDn平面尸，/〃匚平面己!。，

所以AH_L平面尸CD,因為。u平面尸CD,所以Na_LCD,

因為底面48co是正方形，所以CDL4D,

又AHcAD=A,4H;4Du平面尸/。，所以CD_L平面P/D,

因為CDu平面48CD,所以平面尸/Z5_L平面48cD,

(2)由(1)知C￡>_L平面尸/。，因為NB//CD,

所以481平面尸4D,又尸N_L4D,所以/B,AD,HP兩兩垂直，

所以以A為原點，以/優(yōu)/。,/尸所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為底面/BCD是正方形，設48=1,/尸=力，

答案第11頁，共17頁

所以4(0,0,0),8(1,0,0),D(0,1,0),C(l,l,0),P(0,0,//),A/Q,o,1

則/=(1,1,0),屈=(；,0,g］,皮=(I,o,0),麗=(0,-1,h),

x+y=0,

n-AC=0,

設平面M4c的一個法向量為亢=(x,y,z),則_'得’:1h,

正為7=0,-x-\—z—0,

122

令z=-l,貝I］尤=〃/=-〃，所以河=-1),

m-DC=0,/曰［尤，=0,

設平面PCD的一個法向量為m=(/,/,/)布?麗=0,侍j_y+〃z'=0,

令z'=l,則x'=0,y'=/z,所以初=(0,〃,1),

因為平面M4C與平面尸CZ)所成銳二面角的余弦值為",

3

?I\n-rfi\h2+1

所以k°s〃，M=麗=而+/+ix而+i~~~，解得〃=1(負值舍去),

又ZZ)_L平面P48,AD〃8C,所以平面PNB,

所以NC必為PC與平面PAB所成的線面角,

因為48=8C="=1,所以尸8=血,尸C=J5,

在RtAPBC中，cosZCPB=—^,

PC粗3

所以直線PC與平面PAB所成角的余弦值為國.

3

20.(1)10.8小時

(2)6.5

【分析】(1)由〃4)=28求出。，分0Vx<4、4<x<12,解不等式/(x)23.5可得答案;

答案第12頁，共17頁

65/—61,

(2)當0?x<4時，令，=x+l,u-v=———--1,再令冽=65%-61,面積

方?+3)

U'V=-15普6,一一1由基本不等式求得最值;當44x412時，公利用

m+-+31721%+1)

m

單調(diào)性可得".V的最大值，再比較可得答案.

7

【詳解】(1)由于/'(4)=28,貝1］。=；,

0?A

當0<x<4時，/(%)=------x+64>3.5=>%2—56.5x+14<0,

x+4

施軍得0.25?x<4,

7

當4VE2時，/(x)=-(12-x)>3.5^4<x<ll,

即產(chǎn)生有效作用的時間段為0.25<%<11,

故產(chǎn)生有效作用的時間為11-0.25=10.75x10.8小時.

(2)當0?%<4時,令看=x+l,貝!

65/-61

同時〃?v=-—，+651

(,+3t(t+3)

再令加=65，一61,則加￡[4,264）,

m16521

—E"?=----7-----X-―1=------------1

15616

面積5(0+31W317'

6565)+m+

由基本不等式，理1+317呼至+317=2/15616+317,

mVm

當且僅當m=V15616G[4,264）時等號成立,

則",v在［0,4)上的最大值為〃.v=—/--------=6.45?6.5,

2V15616+317

、“7712-x7(13八

當4Vx?12時，u-v=-----------=---------1,

2x+121x+l)

則此時〃“在［4,12］是單調(diào)遞減的，

28

則最大值在x=4時取到,U'V=—=5.6f

綜上所述，〃“在［012］上的最大值為65

22

21.⑴?-J

44

(2)(0,1)

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結合實軸長，可求得a,b,即得答案;

答案第13頁，共17頁

（2）根據(jù)。，A,N,”四點共圓結合幾何性質可推出左3米加=1,設G（x“J,〃（%,%）,

從而可以用點的坐標表示出/,再設直線G〃:y=履+乙聯(lián)立雙曲線與直線方程,

利用根與系數(shù)的關系式，代入，的表達式中化簡，可得答案.

【詳解】（1）因為實軸長為4,即2a=4,。=2,

又g=收，所以C=2A/Lb2=c2-a2=4,

a

22

故c的方程為匕-L=1.

44

（2）由。，A,N,M四點共圓可知，ZANM+ZAOM=7r,

又乙MOP+ZAOM=7r,即ZANM=ZMOP,

故tanNANM=tan/MOP=---------,

tanZOMP

即—Kv=Y-,所以KN?自河=1,

一%M

設G（2J,〃（%2，%），河（“，加），

,、+2+2

由題意可知/（O,-2）,貝5]直線/G:y=T[X-2,直線—x-2,

因為"在直線/上，所以加=乙代入直線/G方程，可知“=（'+2）：,

弘+2

（（7+2）再）,t（y,+2）

故M坐標為1—,所以自〃'

（必+2）“+2）西

,7%+2t（y}+2）%+2{

又kaN=kAH=[一,由的N?自M=l，則=1，

x2（方+2）匹x2

整理可得出=（L+2）,

t1科2

當直線G"斜率不存在時，顯然不符合題意，

22

故設直線G〃:y=fcr+f,代入雙曲線方程：匕一二=1中，

44

可得（/_1卜2+2左比+/-4=0,所以玉王馬=捻三，

又（必+2乂％+2）=（Ax1+/+2乂匕?2+。+2）

22

=kx[x2+左（/+2）（X[+X2）+（』+2）2=k?:+左"+2>:：左；+（/+2[=[:?,

答案第14頁，共17頁

一0+2)

，+2_(%+2)(%+2)=吩-1=-)+2)=

所以上0),

t1-4t2-4士打

tXjX2

k2-\

故—,即f=l,所以點尸坐標為(0,1).

【點睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關系的問題，解答時要注

意明確點線的位置關系，能設相關點的坐標，從而表示出參數(shù)的表達式，再結合聯(lián)立直線和

雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關系式化簡，難點在于較為繁雜的計算，要十分細心.

22.(1)1

(2)證明見解析

【分析】(1)先分析g(x)的單調(diào)性，從而結合/(x)的導數(shù)得到再進行檢驗即可得解；

(2)將問題轉化為辦2-2xlnx+l=0有兩個不同的實根X”力,構造函數(shù)〃卜)=辦-2瓶+^,

利用導數(shù)求得。的取值范圍，再利用零點的定義消去。轉化得足(占尤2)-土土垣=上旦In-,

xxx2x2-項再

從而構造函數(shù)0(/)=ln/T,利用導數(shù)證得再%>e,從而得證.

【詳解】⑴函數(shù)"X)與g(x)的定義域均為(0,+8),

由g(無)=xlnx-x-a得g'(x)=Inx,

當0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當x>l時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

由f(x)=x(ax+Inx_2)得/'(x)=2ax+Inx-1,

因為與g(x)有相同的