2023-2024學年浙江省臺金七校聯(lián)盟高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2浙江省臺金七校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知向量，，，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.在中，N是上的點，若，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知三點共線，設(shè)，所以，又因為，所以.故選：C.5.如圖，已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點，P在線段上運動（包含兩個端點），以下說法正確的是（）.A.存在點P，使得與異面B.三棱錐的體積與P點位置無關(guān)C.若P為中點，三棱錐的體積為D.若P與重合，則過點M、N、P作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗B〖解析〗正方體中，，與都在平面內(nèi)，所以與不可能異面，A選項錯誤；三棱錐，底面積，棱錐的高，則，由，所以三棱錐的體積為定值，與P點位置無關(guān)，B選項正確，C選項錯誤；若P與重合，則過點M、N、P作正方體的截面，截面梯形，D選項錯誤.故選：B.6.雷鋒塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.如圖，某同學為測量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點E處（A，C，E三點共線）測得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測得塔頂部D的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，則.故選：C.7.設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點，連，因為，，所以，，所以的內(nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因為，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故選：B.8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三角形面積公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，當且僅當時等號成立，即，解得，又，所以.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的部分得分.）9.下列命題正確的是（）A.已知，是兩個不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B.在中，，，，則這樣的三角形有兩個C.已知是邊長為2的正三角形，其直觀圖的面積為D.已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗因為，是兩個不共線的向量，且，，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；因為在中，，，，由正弦定理可得，所以，即有兩個角，故B正確；因為是邊長為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因為直觀圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；因為，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且，故D錯誤.故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則點z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，對于A，，，故選項A正確；對于B，當為虛數(shù)時，可以比較大小，不能比較大小，故選項B不正確；對于C，由復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)可知，，，，所以，故選項C正確；對于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項D正確.故選：ACD.11.直三棱柱的六個頂點均位于一個半徑為2的球的球面上，，，則該直三棱柱的體積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)底面外接圓的半徑為，則，，設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，則，則，在中，分別為角所對的邊，，，由正弦定理得，則，，∴，，則，，，，，即，∴，所以.故選：BCD.三、填空題：（本題共3題，每小題5分，共15分.）12.已知，，則向量在向量上的投影向量為________.（用坐標表示）〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是四分之一的圓，則圓錐的體積為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長為，高為，由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知，故，則側(cè)面積，解得，則，圓錐的高，所以圓錐的體積為.故〖答案〗為：.14.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗，又，由，解得，由，得，則有，，則有，，則有，所以有，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點，，，當與方向相同時，有最大值，當與方向相反時，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量，.（1）若與垂直，求k；（2）若向量，若與共線，求.解：（1）因為，，所以，，因為與垂直，所以，整理得，解得.（2）因為，，，所以，，因為與共線，故，所以，解得，所以，，所以.16.如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個幾何體.（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點A，求螞蟻爬行的最短距離.解：（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個上底面半徑為，下底面半徑，母線長的圓臺，其表面積為.（2）將圓臺的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個扇環(huán)，因為圓臺上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長，解得，連接，為等邊三角形，∴，所以螞蟻從點A繞著圓臺的側(cè)面爬行一周，回到點A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行最短距離為6.17.已知內(nèi)角所對的邊分別為且與垂直.（1）求大?。唬?）若邊上的中線長為，求的面積的最大值.解：（1）因為，垂直，所以.由正弦定理，得，因為，所以，，所以.（2）設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得：，即①，在和中，，所以，即，，，化簡得，代入①式得，，由基本不等式，∴，當且僅當取到“”；所以的面積最大值為.18.在三棱錐中.（1）若點，，，分別是棱，，，上的點，其中，，求證：，，三線共點；（2）在三棱錐中，所有棱長都為.①求三棱錐的體積；②求三棱錐外接球的表面積.解：（1）∵，，∴，，，四點共面，并且可設(shè)，∵，，又∵平面，平面，∴平面，平面，∴為平面與平面的公共點，又∵平面平面，∴，即原題設(shè)得證.（2）①以四面體的各棱為面對角線還原為棱長為的正方體，如圖所示：所以，同理，所以，而，所以.②三棱錐的外接球的半徑，∴外接球的表面積.19.設(shè)非空數(shù)集M，對于M中任意兩個元素，如果滿足：①兩個元素之和屬于M；②兩個元素之差屬于M；③兩個元素之積屬于M；④兩個元素之商（分母不為零）也屬于M.定義：滿足條件①②③的數(shù)集M為數(shù)環(huán)（即數(shù)環(huán)對于加、減、乘運算封閉）；滿足④的數(shù)環(huán)M為數(shù)域（即數(shù)域?qū)τ诩?、減、乘、除運算封閉）.（1）判斷自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是不是數(shù)環(huán)，假如該集合是數(shù)環(huán)，那么它是不是數(shù)域（無需說明理由）；（2）若M是一個數(shù)環(huán)，證明：；若S是一個數(shù)域，證明：；（3）設(shè)，證明A是數(shù)域.解：（1）自然數(shù)集N不是數(shù)環(huán)，例如；整數(shù)集Z是數(shù)環(huán)，不是數(shù)域，例如；有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C是數(shù)環(huán)也是數(shù)域.（2）若，則，即；若，，則，即.（3）設(shè)，則，，，則，因為，所以，，所以，滿足條件①；，因為，所以，，所以，滿足條件②；，因為，所以，，所以，滿足條件③；，因，，所以，，所以，滿足條件④，綜上所述，A是數(shù)域.浙江省臺金七校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.已知向量，，，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.4.在中，N是上的點，若，則實數(shù)m的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知三點共線，設(shè)，所以，又因為，所以.故選：C.5.如圖，已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點，P在線段上運動（包含兩個端點），以下說法正確的是（）.A.存在點P，使得與異面B.三棱錐的體積與P點位置無關(guān)C.若P為中點，三棱錐的體積為D.若P與重合，則過點M、N、P作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗B〖解析〗正方體中，，與都在平面內(nèi)，所以與不可能異面，A選項錯誤；三棱錐，底面積，棱錐的高，則，由，所以三棱錐的體積為定值，與P點位置無關(guān)，B選項正確，C選項錯誤；若P與重合，則過點M、N、P作正方體的截面，截面梯形，D選項錯誤.故選：B.6.雷鋒塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.如圖，某同學為測量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點E處（A，C，E三點共線）測得建筑物頂部B，雷鋒塔頂部D的仰角分別為和，在B處測得塔頂部D的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，；在中，；由圖可知，易知，在中，，根據(jù)正弦定理可得：，則.故選：C.7.設(shè)O為的內(nèi)心，，，，則（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點，連，因為，，所以，，所以的內(nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因為，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.故選：B.8.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由三角形面積公式及余弦定理可得：，即，可得，由，可知，所以，所以，即，由均值不等式可得，當且僅當時等號成立，即，解得，又，所以.故選：D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的部分得分.）9.下列命題正確的是（）A.已知，是兩個不共線的向量，，，則與可以作為平面向量的一組基底B.在中，，，，則這樣的三角形有兩個C.已知是邊長為2的正三角形，其直觀圖的面積為D.已知，，若與的夾角為鈍角，則k的取值范圍為〖答案〗ABC〖解析〗因為，是兩個不共線的向量，且，，所以與不共線，則與可以作為平面向量的一組基底，故A正確；因為在中，，，，由正弦定理可得，所以，即有兩個角，故B正確；因為是邊長為2的正三角形，則，設(shè)其直觀圖的面積為，因為直觀圖的面積與平面圖形的面積比為，即，故C正確；因為，，則，設(shè)與的夾角為，則，且，解得且，故D錯誤.故選：ABC.10.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則點z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，，對于A，，，故選項A正確；對于B，當為虛數(shù)時，可以比較大小，不能比較大小，故選項B不正確；對于C，由復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)可知，，，，所以，故選項C正確；對于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項D正確.故選：ACD.11.直三棱柱的六個頂點均位于一個半徑為2的球的球面上，，，則該直三棱柱的體積可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)底面外接圓的半徑為，則，，設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，則，則，在中，分別為角所對的邊，，，由正弦定理得，則，，∴，，則，，，，，即，∴，所以.故選：BCD.三、填空題：（本題共3題，每小題5分，共15分.）12.已知，，則向量在向量上的投影向量為________.（用坐標表示）〖答案〗〖解析〗向量在向量上的投影向量為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是四分之一的圓，則圓錐的體積為________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長為，高為，由側(cè)面展開圖是四分之一的圓知，故，則側(cè)面積，解得，則，圓錐的高，所以圓錐的體積為.故〖答案〗為：.14.在中，，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗，又，由，解得，由，得，則有，，則有，，則有，所以有，，的外接圓為圓O，P為圓O上的點，由正弦定理得的外接圓半徑，則有，，，，為中點，，，當與方向相同時，有最大值，當與方向相反時，有最小值，所以的最大值為，最小值為，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知平面向量，.（1）若與垂直，求k；（2）若向量，若與共線，求.解：（1）因為，，所以，，因為與垂直，所以，整理得，解得.（2）因為，，，所以，，因為與共線，故，所以，解得，所以，，所以.16.如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個幾何體.（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點A，求螞蟻爬行的最短距離.解：（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個上底面半徑為，下底面半徑，母線長的圓臺，其表面積為.（2）將圓臺的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個扇環(huán)，因為圓臺上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長，解得，連接，為等邊三角形，∴，所以螞蟻從點A繞著圓臺的側(cè)面爬行一周，回到點A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行最短距離為6.17.已知內(nèi)角所對的邊分別為且與垂直.（1）求大??；（2）若邊上的中線長為，求的面積的最大值.解：（1）因為，垂直，所以.由正弦定理，得，因為，所以，，所以.（2）設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得