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專題6.9圖形的相似章末十大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】 1【題型2由平行判斷成比例的線段】 1【題型3黃金分割】 1【題型4證明兩三角形相似】 2【題型5證明三角形的對應(yīng)線段成比例】 2【題型6確定相似三角形的點的個數(shù)】 2【題型7相似與翻折】 2【題型8利用相似求坐標(biāo)】 2【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】 2【題型10相似三角形的應(yīng)用】 3【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】【例1】(2023秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)??计谥校┮阎猘+bc=b+ca=c+ab,求a+bb+cc+aabc的值.【答案】8或?1【分析】觀察(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b與(a+b)(b+c)(c+a)abc發(fā)現(xiàn),后者是通過前者相乘得來,那么只要找出(a+b)c【詳解】設(shè)a+b則a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb(a+b)+(b+c)+(c+a)=kc+ka+kb2(a+b+c)=k(a+b+c)即(a+b+c)(k?2)=0所以a+b+c=0或k=2當(dāng)a+b+c=0時,則a+b=?c,a+bc=?1,同理所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=(a+b)c當(dāng)k=2時,(a+b)所以(a+b)(b+c)(c+a)abc=故答案為8或-1【點睛】做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個變量間的關(guān)系,因而假設(shè)a+bc【變式1-1】(2023秋·安徽六安·九年級??计谥校┮阎猘、b、c為△ABC的三邊長,且a3=b4=【答案】△ABC三邊的長為6,8,10【分析】設(shè)a3=b4=c5=k,則a=3k,【詳解】解:設(shè)a3=b4=c5∵a+b+c=24,∴3k+4k+5k=24,解得:k=2,∴a=3k=6,b=4k=8,c=5k=10,∴△ABC三邊的長為6,8,10.【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì),熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】(2023秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中)已知線段a、b滿足a:b=1:2,且a+2b=10(1)求a、b的值;(2)若線段c是線段a、b的比例中項,求c的值.【答案】(1)a=2,b=4(2)c=2【分析】(1)利用a:b=1:2,可設(shè)a=k,b=2k,則k+4k=10,然后解出k的值即可得到a、b的值;(2)根據(jù)比例中項的定義得到c2=ab,即【詳解】(1)∵a:b=1:2∴設(shè)a=k,b=2k,∵a+2b=10,∴k+4k=10,∴k=2,∴a=2,b=4(2)∵c是a、b的比例中項,∴c∵c是線段,c>0,∴c=22【點睛】本題考查了比例線段:對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們的長度比)與另兩條線段的比相等,如a:b=c:d(即ad=bc),我們就說這四條線段是成比例線段,簡稱比例線段.注意利用代數(shù)的方法解決較為簡便.【變式1-3】(2023秋·廣東珠?!ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末)已知a,b,c,d都是互不相等的正數(shù).(1)若ab=2,cd=2,則bad(2)若ab=cd,(3)令ac=bd=t,【答案】(1)=;=;(2)ba+b=dc+d【分析】(1)由ab=2,cd=2,得到a=2b,(2)設(shè)ab=t,則cd=t,得到a=bt,(3)由已知得到:a=ct,b=dt.代入分式,化簡后解方程即可得出結(jié)論.【詳解】(1)∵ab=2,∴a=2b,c=2d,∴ba=d故答案為:==;(2)ba+b=d設(shè)ab=t,則∴a=bt,c=dt,∴ba+bdc+d∴ba+b=d(3)∵ac∴a=ct,b=dt.∵2a+ca?c∴2t+1t?1解得:t=12經(jīng)檢驗:t=12【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設(shè)參法是解答本題的關(guān)鍵.【題型2平行判斷成比例的線段的運用】【例2】(2023秋·安徽六安·九年級校考期中)如圖,點D,E,F(xiàn)分別在△ABC的邊上,ADBD=13,DE∥BC,EF∥AB,點M是EF的中點,連接BM并延長交AC于點
A.320 B.29 C.16【答案】A【分析】過點F作FG∥BN交AC于點G,可證EN=GN.同理,可得AEEC=ADDB=13,EC=3AE,AEEC=BFFC=13;由【詳解】解:過點F作FG∥BN交AC于點∴EN∴EN=GN.∵DE∥∴AEEC∴EC=3AE.∵EF∥AB,∴AEEC∵FG∥∴BFFC∴GC=3NG.設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,∴EC=EN+NG+GC=5a∴EC=3AE=5a.∴AE=5∴AC=AE+EC=5∴ENAC故選:A【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理;由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】(2023秋·陜西榆林·九年級??计谥校┤鐖D,AD與BC相交于點E,點F在BD上,且AB∥EF∥CD,若EF=2,
【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論——“平行于三角形一邊,并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例”,先由EF∥CD,得EFCD=BF【詳解】解:∵△BCD中,EF∥∴EFCD∵EF=2,CD=3,∴23∴DFDB∵AB∥∴EFAB∴AB=3EF=6.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論,解題的關(guān)鍵是從圖形中找準(zhǔn)成比例的線段.【變式2-2】(2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末)如圖,在△ABC中,D是AC邊上的中點,E在BC上,且EC=2BE,則AFFEA.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【詳解】取CE的中點M,連接DM,根據(jù)三角形中位線定理得DM∥AE,DM=1【解答】解:如圖,取CE的中點M,連接DM,∵D是AC邊上的中點,∴DM∥AE,DM=∵EC=2BE,∴EFDM∴EF=1∴12∴AE=4EF,∴AFFE故選:B.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理,本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】(2023秋·四川成都·九年級??计谥校┤鐖D,已知△ABC,△DCE,△FEG是三個全等的等腰三角形,底邊BC,CE,EG在同一直線上,且AB=3,BC=1,BF分別交AC,DC,DE于P,Q,R,則PQ的長為【答案】1【分析】過點F作FH⊥BG于點H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=12EG=12,F(xiàn)H=EF2?EH2=112,BF=FH2【詳解】解:過點F作FH⊥BG于點H,∵△ABC,△DCE,△FEG是三個全等的等腰三角形,∴BC=CE=EG=1,AB=AC=DC=DE=EF=FG=3∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠FEG=∠FGE,∵FH⊥BG,∴EH=HG=1∴FH=E∴BH=BC+CE+EH=5∴BF=F∵∠ACB=∠DEC,∴AC∥DE,同理可得:DE∥FG,∴AC∥DE∥FG,∴BPBC∵BC=CE=EG=1,∴BP=PR=RF,∵BP+PR+RF=BF=3,∴BP=PR=RF=1,∵∠BCD=180°?∠DCE,∠BEF=180°?∠FEG,又∵∠DCE=∠FEG,∴∠BCD=∠BEF,∴CD∥EF,∴BQQP∴BQ=QP=1∴PQ=BQ?BP=3故答案為:12【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),平行線分線段成比例定理,勾股定理,解題的關(guān)鍵是作出輔助線,求出BP=1,BQ=3【題型3黃金分割的運用】【例3】(2023秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學(xué)??计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐R姷囊环N圖形,在如圖所示的正五角星中,點C,D為線段AB的黃金分割點,且AB=2,則圖中五邊形CDEFG的周長為(
)A.25?2 B.103 C.10【答案】C【分析】根據(jù)點C,D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點,可得AC=BD=5?12AB=5?1,【詳解】解:∵點C,D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點,∴AC=BD=5?12∴CD=BD?BC=5∴五邊形CDEFG的周長52故選:C.【點睛】本題考查了黃金分割的定義:線段上一點把線段分為較長線段和較短線段,若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項,則這個點叫這條線段的黃金分割點.【變式3-1】(2023春·山東威?!ぞ拍昙壭B?lián)考期末)在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點時,小明過點B作AB的垂線BC,取AB的中點M,以點B為圓心,BM為半徑畫弧交射線BC于點D,連接AD,再以點D為圓心,DB為半徑畫弧,前后所畫的兩弧分別與AD交于E,F(xiàn)兩點,最后,以A為圓心,“■■”的長度為半徑畫弧交AB于點H,點H即為AB的其中一個黃金分割點,這里的“■■”指的是線段.
【答案】AF【分析】根據(jù)作圖可知,∠ABD=90°,DB=DF=BM=12AB,設(shè)DB=DF=a,則AB=2a,根據(jù)勾股定理得,AD=AB【詳解】解:根據(jù)作圖可知,∠ABD=90°,DB=DF=BM=1設(shè)DB=DF=a,則AB=2a,∴根據(jù)勾股定理得,AD=A∴AF=AD?DF=5∴AF∴以A為圓心,“AF”的長度為半徑畫弧交AB于點H,點H即為AB的其中一個黃金分割點.故答案為:AF.【點睛】本題主要考查了勾股定理,黃金分割,解的關(guān)鍵是求出AFAB【變式3-2】(2023秋·遼寧錦州·九年級統(tǒng)考期中)兩千多年前,古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割,黃金分割在日常生活中處處可見;例如:主持人在舞臺上主持節(jié)目時,站在黃金分割點上,觀眾看上去感覺最好.若舞臺長AB=20米,主持人從舞臺一側(cè)B進入,她至少走米時恰好站在舞臺的黃金分割點上.(結(jié)果保留根號)
【答案】30?10【分析】根據(jù)黃金分割的概念,可求出AP,【詳解】由題意知AB=20米,BPAP∴AP=20×5∴BP=20?(105?10)故主持人從舞臺一側(cè)點B進入,則他至少走(30?105故答案為:30?105【點睛】本題考查了黃金分割,理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵.【變式3-3】(2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市立達中學(xué)校??计谀┮阎€段AB=2,點P是線段AB的黃金分割點(AP>BP),
(1)求線段AP的長;(2)以AB為三角形的一邊作△ABQ,使得BQ=AP,連接QP,若QP平分∠AQB,求AQ的長.【答案】(1)5(2)2【分析】(1)根據(jù)黃金分割點的定義得出BP=5(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到AQ、BQ的距離相等,可得出S△PAQS△PBQ【詳解】(1)解:∵點P是線段AB的黃金分割點(AP>BP),∴AP=5(2)解:∵QP平分∠AQB,∴P到AQ、BQ的距離相等,∴S△PAQ又由(1)AP=BQ=5∵AB=2,∴PB=AB?AP=2?5∴AQ=AP·BQ【點睛】本題考查黃金分割點的定義,角平分線的性質(zhì)等知識,解題時要熟練掌握并靈活運用.【題型4證明兩三角形相似】【例4】(2023秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期末)如圖,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD邊于點E,將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置,并延長BE交DF于點G.求證:
(1)△BDG∽△DEG;(2)BG⊥DF.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)先判斷出∠FDC=∠EBC,再利用角平分線判斷出∠FDC=∠EBC,即可得出結(jié)論;(2)由三角形的內(nèi)角和定理可求∠DGE=∠BCE=90°,可得結(jié)論.【詳解】(1)證明:由旋轉(zhuǎn)可知:△BCE?△DCF,∴∠FDC=∠EBC.∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC,∴∠FDC=∠DBE,∵∠DGE=∠DGB,∴△BDG∽△DEG;(2)證明:∵∠EBC=∠GDE,∠BEC=∠DEG,∴∠DGE=∠BCE=90°.∴BG⊥DF.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.【變式4-1】(2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中)如圖,已知∠B=∠E=90°,AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.(1)求CE的長;(2)求證:△ABC∽△DEF.【答案】(1)CE=15(2)見解析【分析】(1)利用勾股定理求出EF,再用EF?CF即可求出CE的長;(2)先求出BC的長,得到ABDE=BC【詳解】(1)解:∵DE=15,DF=25,∠E=90°,∴EF=D∴CE=EF?CF=15;(2)證明:∵BF=3,CF=5,∴BC=BF+CF=8,∵ABDE=6∴ABDE∵∠B=∠E=90°,∴△ABC∽△DEF.【點睛】本題考查勾股定理,相似三角形的判定.熟練掌握勾股定理,相似三角形的判定方法,是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】(2023秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末)如圖,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為點D,點M是AC上的一點,連接BM,作MN⊥BM,且交AB于點(1)求證:ΔBCP~ΔMAN;(2)除(1)中的相似三角形外,圖中還有其它的相似三角形嗎?若有,請將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?【答案】(1)詳見解析;(2)ΔACD~ΔABC;ΔACD~ΔBCD;ΔBCD~ΔABC;ΔBDP~ΔBMN.【分析】(1)由∠ACB=90°,CD⊥AB證得∠A=∠BCD,再利用MN⊥BM證得∠AMN=∠CBM,即可得到(2)利用直角與公共角的關(guān)系得到ΔACD~ΔABC;ΔACD~ΔBCD;ΔBCD~ΔABC;ΔBDP~ΔBMN.【詳解】(1)∵AB⊥CD,AC⊥BC,∴∠A+∠ACD=∴∠A=∠BCD,又∵NM⊥BM,AC⊥BC,∴∠AMN+∠BMC=∴∠AMN=∠CBM,∴ΔAMN~ΔCBP;(2)∵AB⊥CD,AC⊥BC,∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90°,∵∠A=∠A,∴ΔACD~ΔABC;∵∠ABC=∠CBD,∴ΔBCD~ΔABC;∴ΔACD~ΔBCD;∵MN⊥BM,∴∠BMN=∠BDP=90°,又∵∠DBP=∠MBN,∴ΔBDP~ΔBMN.∴共4對相似三角形:ΔACD~ΔABC;ΔACD~ΔBCD;ΔBCD~ΔABC;ΔBDP~ΔBMN.【點睛】此題考查相似三角形的判定,注意公共角在證明三角形相似中的作用,再由已知條件所給的都是關(guān)于角的條件,因此通過證明兩組角分別相等證明兩個三角形相似比較簡單.【變式4-3】(2023秋·安徽阜陽·九年級校考期中)如圖,在矩形ABCD中,E為DC邊上一點,把△ADE沿AE翻折,使點D恰好落在BC邊上的點F處.(1)求證:△ABF∽△FCE;(2)若AB=23,AD=4,求CE(3)當(dāng)點F是線段BC的中點時,求證:AF【答案】(1)證明見解析(2)2(3)證明見解析【分析】(1)利用同角的余角相等,先說明∠BAF=∠EFC,再利用相似三角形的判定得結(jié)論;(2)先利用勾股定理求出BF,再利用相似三角形的性質(zhì)得方程,求解即可.(3)由△ABF∽△FCE,可得ABCF=BFCE=AFEF,結(jié)合F為BC【詳解】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°.∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴∠D=∠AFE=90°.∵∠BAF+∠AFB=90°=∠AFB+∠EFC,∴∠BAF=∠EFC.又∵∠B=∠C,∴△ABF∽△FCE.(2)∵四邊形ABCD是矩形,AB=23,AD=4∴AB=CD=23,AD=BC=4∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴AD=AF=4,DE=EF.在Rt△ABF中,BF=設(shè)CE的長為x,則DE=EF=23∵△ABF∽△FCE,∴BFCE∴CE?AF=BF?EF,即4x=22∴x=2即EC=2(3)∵△ABF∽△FCE,∴ABCF∵F為BC的中點,∴BF=CF,∴ABBF∵∠AFE=∠B=90°,∴△ABF∽△AFE,∴ABAF∴AF【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),掌握“矩形的四個角都是直角、矩形的對邊相等”、“折疊前后的兩個圖形全等”、“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”及“相似三角形的對應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵.【題型5證明三角形的對應(yīng)線段成比例】【例5】(2023春·江蘇·九年級專題練習(xí))如圖,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上分別截取BD=CE,DE,BC的延長線相交于點F,證明:AB?DF=AC?EF.【答案】見解析【分析】過點E作EM//AB交BC于點M,可得到△CEM~△CAB,△FEM~△FDB,進而有EMAB=CEAC,EMDB【詳解】如圖,過點E作EM//AB交BC于點M,∵EM//AB,∴△CEM~△CAB,△FEM~△FDB,∴EMAB=CE∴AB?CE=EM?AC,即ABAC∵BD=CE∴EMCE∴ABAC∴AB?DF=AC?EF【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì).【變式5-1】(2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末)(1)已知拋物線y=ax(2)
如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E分別是BC,AB邊上的點,且∠ADE=∠C.求證:BD·CD=BE·AC【答案】(1)y=?3x【分析】1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;(2)由AB=AC可得∠B=∠C,由已知條件∠ADE=∠C可證∠BDE=∠CAD,根據(jù)相似三角形的判定定理即可證△BDE∽△CAD,由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】(1)解:由題意得,4a+12+c=?1??6∴拋物線的解析式為y=?3x(2)證明:∵AB=AC
∴∠B=∠C∵∠ADB=∠C+∠DAC
∠ADE=∠C.
∠ADB=∠ADE+∠BDE∴∠DAC=∠BDE∴△BDE∽△CAD
∴AC∴BD·CD=BE·AC.故答案為(1)y=?3x【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,相似三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是能夠掌握并熟練運用所學(xué)知識.【變式5-2】(2023·上海松江·統(tǒng)考一模)如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC.E是邊AB上一點,CE與對角線BD交于點F,且求證:(1)△ABD~△FCB;(2)BD?BE=AD?CE.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)由BE2=EF?EC可證△BEF~△CEB,得到∠EBF=∠ECB,再由AD∥BC(2)由△BEF~△CEB得到BFBC=BECE,△ABD~△FCB得到ABFC【詳解】(1)∵BE∴BE∵∠BEF=∠CEB,∴△BEF~△CEB∴∠EBF=∠ECB∵AD∥∴∠ADB=∠DCB∴△ABD~△FCB;(2)∵△BEF~△CEB,∴BF∵△ABD~△FCB,∴AB∴BF∴BE∴BE?BD=AD?CE.【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式5-3】(2023春·全國·九年級專題練習(xí))如圖,已知,在△ABC中,∠ACB的平分線CD交AB于D,過B作BE∥CD交AC的延長線于點E.求證:ADDB【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)CD平分∠ACB,可知∠ACD=∠BCD;由BE∥CD,可求出△BCE是等腰三角形,故BC=CE;根據(jù)平行線的性質(zhì)及BC=CE可得出結(jié)論.【詳解】解:證明:∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.又∵BE∥CD,∴∠CBE=∠BCD,∠CEB=∠ACD.∵∠ACD=∠BCD,∴∠CBE=∠CEB.∴BC=CE.∵BE∥CD,∴ADDB又∵BC=CE,∴ADDB【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)和角平分線定理、平行線分線段成比例定理,關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理和平行線的性質(zhì).【題型6確定相似三角形的點的個數(shù)】【例6】(2023春·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期末)如圖,已知點A(1,0),點B(b,0)(b>1),點P是第一象限內(nèi)的動點,且點P的縱坐標(biāo)為b4,若△POA和△PAB相似,則符合條件的P
A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,分①△PAO≌△PAB,②△PAO∽△BAP兩種情況分別求解即可.【詳解】∵點P的縱坐標(biāo)為b4∴點P在直線y=b4①當(dāng)△PAO≌△PAB時,AB=b﹣1=OA=1,∴b=2,則P(1,12②∵當(dāng)△PAO∽△BAP時,PA:AB=OA:PA,∴PA2=AB?OA,∴b216=∴(b﹣8)2=48,解得b=8±43,∴P(1,2+3)或(1,2﹣3),綜上所述,符合條件的點P有3個,故選D.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),正確地分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】(2023春·江蘇蘇州·九年級??茧A段練習(xí))下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上,那么在下列右邊四幅圖中的三角形,與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來,利用三邊對應(yīng)成比例兩個三角形相似,分別計算各邊的長度即可解題.【詳解】解:根據(jù)題意得:AC=1∴AC∴該三角形為直角三角形,且兩直角邊的比為BCAC第1個圖形中,有兩邊為2,4,且為直角三角三角形,則兩直角邊的比為2,故第1個圖形中三角形與△ABC相似;第2個圖形中,三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形,兩直角邊的比為1,故第2個圖形中三角形不與△ABC相似;第3個圖形中,三邊長分別為12+22=∵52則該三角形不是直角三角形,故第3個圖形中三角形不與△ABC相似;第4個圖形中,三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形,兩直角邊的比為2,故第4個圖形中三角形與△ABC相似;故選:B.【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用,三角形對應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法,本題中根據(jù)勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵.【變式6-2】(2023秋·九年級單元測試)如圖,在△ABC中,AB=4cm,AC=3cm,BC=6cm,D是AC上一點,AD=2cm,點P從C出發(fā)沿C→B→A方向,以1cm/s的速度運動至點A處,線段DP將△ABC分成兩部分,可以使其中一部分與△ABCA.0個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”,按點P的運動軌跡,一次進行判斷即可.【詳解】解:①當(dāng)∠DPC=∠A時,△ABC∽△PDC,②當(dāng)∠PDC=∠A時,△ABC∽△DPC,③當(dāng)∠APD=∠B時,△ABC∽△APD,④當(dāng)∠APD=∠C時,△ABC∽△ADP,綜上:一共有4個,故選:D.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握“有兩個角分別相等的兩個三角形相似”.【變式6-3】(2023秋·安徽宣城·九年級校聯(lián)考期中)如圖,在△ABC中,∠A=60°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線剪開,有如下幾種剪法,其中滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個數(shù)有(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)求出BC的長,再根據(jù)相似三角形的判定逐個判斷即可得.【詳解】解:如圖1,過點B作BF⊥AC于點F,∵∠A=60°,AB=4,∴AF=1∴CF=AC?AF=6?2=4,∴BC=B∴∠A≠∠B,在△BDE和△BAC中,BDAB=BEAC=12則△BDE與△BAC不相似;如圖2,∵AB=4,AC=6,AD=AB?BD=3,AE=AC?CE=2,∴AD在△ADE和△ACB中,ADAC∴△ADE~△ACB;如圖3和圖4,剪下的陰影三角形均與△ABC有一組公共角∠C,還有一組大小均為60°的相等的角,所以圖3和圖4中,剪下的陰影三角形均與△ABC相似;綜上,滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個數(shù)是3個,故選:C.【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識點,熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵.【題型7相似與翻折】【例7】(2023秋·河南漯河·九年級漯河市實驗中學(xué)??计谀┰赗t△ABC中,BC=5,AC=12,點D,E是線段AB,AC上的兩個動點(不與A,B,C重合)沿DE翻折△ADE使得點A的對應(yīng)點F恰好落在直線BC上,當(dāng)DF與Rt△ABC的一條邊垂直的時候,線段【答案】15625或【分析】設(shè)AD=DF=x,則BD=13?x,分兩種情況討論:DF⊥BC,DF⊥AB,依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可得到比例式,進而得出【詳解】∵Rt△ABC中,BC=5,AC=12∴AB=A設(shè)AD=DF=x,則BD=13?x,①如圖,當(dāng)DF⊥BC時,∠DFB=∠ACB=90°,∴AC∥DF,∴△ABC∽∴DFAC=BD解得x=156②如圖,當(dāng)DF⊥AB時,∠ACB=∠BDB=90°,而∠ABC=∠FBD,∴△ABC∽∴ACFD=BC解得x=156綜上所述,線段AD的長為15625或156故答案為:15625或156【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列比例式求解.【變式7-1】(2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末)如圖,在△ABC中,點D是AC邊上的中點,連接BD,把△ABD沿若BD翻折,得到△A'BD.連接A'C.若A'C=6,∠A.3 B.2 C.3 D.2【答案】B【分析】延長AB,CA'交于點H,連接AA',過點A'作A'E⊥AH于E,由折疊性質(zhì)可知AB=A'B,AD=A'D=DC,∠ADB=∠BDA',易證△ABD~△AHC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AD【詳解】如圖,延長AB,CA'交于點H,連接AA',過點A'∵點D是AC邊上的中點,∴AD=DC,∵把△ABD沿若BD翻折,得到△A∴AB=A'B,AD=∴∠DCA∴∠ADB+∠A∴∠ADB=∠ACA∴BD∥CH,∴△ABD~△AHC,∴ADAC∴CH=2BD,AH=2AB,∵A'C=6,∴CH=8=A∴A'∵AD=A∴∠AA∵∠ACA∴A'∴AA∴在Rt△AAAH=A∴AB=1故選:B.【點睛】本題考查翻折變換、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理等知識點,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)性質(zhì).【變式7-2】(2023春·上海徐匯·九年級上海市西南模范中學(xué)??计谀┮阎涸谥苯翘菪蜛BCD中,AD∥BC,∠A=90°,△ABD沿直線BD翻折,點A恰好落在腰CD上的點(1)如圖,當(dāng)點E是腰CD的中點時,求證:△BCD是等邊三角形;(2)延長BE交線段AD的延長線于點F,連接CF,如果CE2=DE?DC【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)由垂直平分線的性質(zhì)得到DB=BC,通過折疊、等邊對等角、平行線的性質(zhì)得到∠BDE=∠C=∠ADB=60°,從而證明△BCD是等邊三角形;(2)過點D作DH⊥BC于H,得到四邊形ABHD是矩形,從而AD=BH,AB=DH,再由折疊得到角之間的關(guān)系從而證明△BCE≌△DCH,得到DC=BC,CE=CH;由AD∥BC得到△FDE∽△BCE,進而CEDE=BCDF,結(jié)合已知條件CE2=DE?DC得到DF=CE=CH【詳解】(1)由折疊得:∠ADB=∠BDE,∠A=∠DEB=90°∵點E是腰CD的中點∴BE是DC的垂直平分線∴DB=BC∴∠BDE=∠C∴∠BDE=∠C=∠ADB∵AD∴∠ADC+∠C=180°:∠BDE+∠C+∠ADB=180°∴∠BDE=∠C=∠ADB=60°∴△BCD是等邊三角形(2)過點D作DH⊥BC,垂足為H,∴∠DHB=∠DHC=90°,∵AD∥BC,∠ABC=180∴四邊形ABHD是矩形,∴AD=BH,AB=DH,由折疊得:∠A=∠DEB=90°,AB=BE,∠BEC=180°?∠DEB=90°∵∠BEC=∠DHC=90°,∠BCE=∠DCH,∴△BCE≌△DCH(AAS∴DC=BC,CE=CH,∵AD∥∴∠DFE=∠EBC,∠FDE=∠ECB,∴△FDE∽△BCE,∴CEDE∵CE∴CE∴BC∴DF=CE,∴CH=DF,∴AD+DF=BH+CH,∴AF=BC,∴四邊形ABCF是平行四邊形,∵∠A=90°,∴四邊形ABCF是矩形.【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定,矩形的判定.相似三角形的判定與性質(zhì),圖中角和線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】(2023春·山西太原·九年級山西大附中校考期中)如圖,已知∠ABC=135°,AB=32,BC=6,點P是邊AC上任意一點,連接BP,將△CPB沿PB翻折,得到△C'PB.當(dāng)C'
【答案】9105【分析】分兩種情況討論,根據(jù)翻折的性質(zhì)證明△CPB∽△CBA或△APB∽△ABC,過點C作CH⊥AB交AB延長線于點H,結(jié)合勾股定理即可求出【詳解】解:①由翻折可知:∠CPB=∠C∵∠C∴∠CPB=135°,∴∠CPB=∠CBA,∵∠ACB=∠BCP,∴△CPB∽∴CPCB過點C作CH⊥AB交AB延長線于點H,
∴∠CBH=45°,BC=6,∴CH=BH=32∴AH=62在Rt△CAH中,CA=∴CP=C∴AP=9②如圖,
由翻折可知:∠CPB=∠C∵∠C∴∠CPB=45°,∴∠APB=135°,∴∠APB=∠ABC,∵∠A=∠A∴△APB∽∴APAB∴AB∵AB=32,AC=3∴AP=3∴AP的長為9105或故答案為:9105或【點睛】本題考查了翻折變換,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,分類討論是解題的關(guān)鍵.【題型8利用相似求坐標(biāo)】【例8】(2023秋·湖北隨州·九年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A、B的坐標(biāo)分別為?4,0、0,4,點C3,n在第一象限內(nèi),連接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO,則n=【答案】14【分析】過點C作CD⊥y軸,交y軸于點D,則CD∥AO,先證△CDE≌△CDB(ASA),進而可得DE=DB=4-n,再證△AOE∽△CDE,進而可得43【詳解】解:如圖,過點C作CD⊥y軸,交y軸于點D,則CD∥AO,∴∠DCE=∠CAO,∵∠BCA=2∠CAO,∴∠BCA=2∠DCE,∴∠DCE=∠DCB,∵CD⊥y軸,∴∠CDE=∠CDB=90°,又∵CD=CD,∴△CDE≌△CDB(ASA),∴DE=DB,∵B(0,4),C(3,n),∴CD=3,OD=n,OB=4,∴DE=DB=OB-OD=4-n,∴OE=OD-DE=n-(4-n)=2n-4,∵A(-4,0),∴AO=4,∵CD∥AO,∴△AOE∽△CDE,∴AOCD∴43解得:n=14故答案為:145【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及點的坐標(biāo)的應(yīng)用,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.【變式8-1】(2023秋·四川綿陽·九年級??茧A段練習(xí))如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(4,0)和B點(0,3),點C是AB的中點,點P在x軸上,若以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似,那么點P的坐標(biāo)是.【答案】(2,0)或(78【分析】設(shè)P(x,0),可表示出AP的長,分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程,可求得P點的坐標(biāo).【詳解】解:∵A(4,0)和B點(0,3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,∵C是AB的中點,∴AC=2.5,設(shè)P(x,0),由題意可知點P在點A的左側(cè),∴AP=4﹣x,∵以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似,∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB兩種情況,當(dāng)△APC∽△AOB時,則APAO=AC∴P(2,0);當(dāng)△ACP∽△AOB時,則ACAO=APAB,即∴P(78綜上可知P點坐標(biāo)為(2,0)或(78故答案為:(2,0)或(78【點睛】本題主要考查相似三角形的判定,掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵,注意分類討論.【變式8-2】(2023·江西·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B,C三點的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,4),(0,4),點P在x軸上,點D在直線AB上,若DA=1,CP⊥DP于點P,則點P的坐標(biāo)為.【答案】(2,0),(2+2【分析】先由已知得出D1(4,1),D2(4,?1),然后分類討論【詳解】解:∵A,B兩點的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,4)∴AB//y軸∵點D在直線AB上,DA=1∴D1如圖:(Ⅰ)當(dāng)點D在D1處時,要使CP⊥DP,即使ΔCOP∴CO即4解得:O∴(Ⅱ)當(dāng)點D在D2∵C(0,4),D∴CD2∵CP⊥DP∴點P為以E為圓心,CE長為半徑的圓與x軸的交點設(shè)P(x,0),則PE=CE即(2?x)解得:x=2±2∴P2(2?22,0)綜上所述:點P的坐標(biāo)為(2,0)或(2?22,0)或(2+22,【點睛】本題考查了動點型問題,主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,圓的相關(guān)知識,本題比較復(fù)雜,難度較大.【變式8-3】(2023春·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末)已知直線l1:y=?12x與直線l2:y=kx?2k+1相交于點P,且兩直線的夾角為45°【答案】145,?【分析】根據(jù)直線l2恒經(jīng)過點C【詳解】解:∵直線y=kx?2k+1=kx?2+1,即恒過點當(dāng)k<0時,過點C作CB⊥x軸交l1于點B,點C作CE⊥y軸交l1于點E,點C作CD⊥l1交l1于點D,過點P'作
∵C2,0,故B2,?1,在Rt△BEC中,EB=又∵CD⊥l1,∴△EBC∽△ECD,∴BCCD即2CD=2解得CD=455∵兩直線的夾角為45°,即∠CP∵CD⊥l∴∠CP∴DP∴EP∵BC∥AP',∴△ECB∽△EAP∴BCA即2A故AP∴AE=2AP在Rt△AEP'即125∴AP'∵點A到x軸的距離為1,故點P'到x軸的距離為12點E到y(tǒng)軸的距離為2,故點P'到y(tǒng)軸的距離為24即點P'的縱坐標(biāo)為?75,點P故P'當(dāng)k>0時,過點C作CB⊥x軸交l1于點B,點C作CE⊥y軸交l1于點E,點C作CD⊥l1交l1于點D,過點P'作
∵C2,0,故B2,?1,在Rt△BEC中,EB=又∵CD⊥l1,∴△EBC∽△ECD,∴BCCD=EBEC=解得CD=455∵兩直線的夾角為45°,即∠CP∵CD⊥l∴∠CP∴DP∴EP∵BC∥AP″,∴△ECB∽△EAP∴BCA即2A故AP∴AE=2AP在Rt△AEP″即45∴AP″∵點A到x軸的距離為1,故點P″到x軸的距離為1?點E到y(tǒng)軸的距離為2,故點P″到y(tǒng)軸的距離為2?即點P″的縱坐標(biāo)為15,點P″故P″綜上,點P的坐標(biāo)為145,?7故答案為:145,?7【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì)等,熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】【例9】(2023秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示:
(1)在網(wǎng)格內(nèi)畫出和△ABC以點O為位似中心的位似圖形△A1B1C1,且(2)分別寫出A1、B1、C1三個點的坐標(biāo):A1________;(3)△A【答案】(1)見解析(2)(4,8)或(?4,?8);(2,2)或(?2,?2);(8,2)或(?8,?2)(3)18【分析】(1)分兩種情況:原圖形與位似圖形在點O的同側(cè)和原圖形與位似圖形在點O的異側(cè),先作A,B,C三個點關(guān)于點O為位似中心的對應(yīng)點,再連接這些對應(yīng)即可;(2)觀察所作的圖形,寫出A1、B1、(3)觀察圖形可得,B1C1=6,【詳解】(1)解:如圖所示:△A
(2)解:如圖所示:A1(4,8)或(?4,?8);B1(2,2)或(?2,?2),C1(8,2)或((3)解:觀察圖形可得,B1C1=6,∴△A1B【點睛】本題考查了位似圖形的作圖和相關(guān)計算,正確分類是解題的關(guān)鍵.【變式9-1】(2023秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·九年級??计谥校┤鐖D,圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點O為位似中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的格點上.(1)畫出位似中心O;(2)求出△ABC與△A′B′C′的相似比.【答案】(1)見解析;(2)1:2.【分析】△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形,位似中心O是每一組對應(yīng)點所連直線的交點,它們的頂點都在小正方形的格點上.則△ABC與△A′B′C′的相似比為對應(yīng)邊之比.【詳解】解:(1)如圖,點O即為所求;(2)∵頂點都在格點上,B′C′=25,BC=5,∴BC:B′C′=1:2∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1:2.【點睛】本題考查了位似的相關(guān)知識,位似是相似的特殊形式,位似比就是對應(yīng)邊的比.【變式9-2】(2023秋·安徽六安·九年級統(tǒng)考期末)如圖,在10×10的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1,點O是格點,△ABC是格點三角形(頂點在網(wǎng)格線交點上),且點A1是點A以點O
(1)畫出△ABC以點O為位似中心的位似圖形△A(2)△A1B(3)△A1B【答案】(1)見解析(2)3:1(3)9:1【分析】(1)直接利用A點對應(yīng)點位置結(jié)合位似中心得出B,C點對應(yīng)點;(2)利用所畫圖形,結(jié)合對應(yīng)點與位似中心的距離得出位似比;(3)得出三角形面積即可得出答案.【詳解】(1)解:如圖所示,△A
(2)解:∵由圖可知,OAO∴△A1B1C(3)解:∵S△A1∴△A1B1C【點睛】此題主要考查了位似變換以及勾股定理,正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵.【變式9-3】(2023秋·吉林長春·九年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)??计谀﹫D①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點,△ABC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺,在給定的網(wǎng)格中,分別按下列要求畫圖.(1)在圖①中確定格點D,使以A、(2)在圖②中確定格點D,使以A、(3)在圖③中△ABC的AC、BC邊上分別確定點D、E,使得△CDE與△CAB位似,位似中心為點【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】(1)根據(jù)題意,以BC為對稱軸,畫△ABC關(guān)于BC對稱的△DBC,則四邊形ABDC是軸對稱圖形;(2)根據(jù)網(wǎng)格的特點作平行四邊形ABDC即可求解;(3)找到D,E使得CE=1【詳解】(1)如圖所示,以BC為對稱軸,畫△ABC關(guān)于BC對稱的△DBC,四邊形ABDC即為所求;(2)如圖所示,四邊形ABDC即為所求;(3)如圖所示,D,E即為所求,找到格點E,F,連接EF,交AC于點D,則CE=1=1∵AF∴△AFD∽△CED∴CDAD∴CE=1又∵∠DCE=∠ACB,∴△CDE∽△CAB,∴△CDE與△CAB位似,位似中心為點C,位似比為1:3.【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形,中心對稱圖形,位似圖形,掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.【題型10相似三角形的應(yīng)用】【例10】(2023秋·陜西榆林·九年級??计谥校┪挥陉兾魇”辈可衲究h紅堿淖景區(qū)的大門口,樹立著一座精致的王昭君雕像.在當(dāng)?shù)厝丝磥?,?dāng)年王昭君就是走過神木大地,去完成和親使命的.她因為遠(yuǎn)離家鄉(xiāng)而傷心落淚,淚水也因此化作了一顆“沙漠明珠”——紅堿淖.某校社會實踐小組為了測量這座雕像(如圖1)的高度,如圖2,小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD,這時地面上的點E,標(biāo)桿的頂端點D,雕像的頂端B正好在同一直線上,測得EC=3米;小明再從點E出發(fā)沿著EG方向前進9米,到達點F.在點F處放置一平面鏡,小剛站在G處時,恰好在平面鏡中看到雕像的頂端B的像,此時測得小剛的眼睛到地面的距離GH為1.5米,GF=3米.已知點G、F、E、C與雕像的底端A在同一直線上,AB⊥AG,CD⊥AG,GH⊥AG,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù),計算該雕像的高度AB.(平面鏡大小忽略不計)
【答案】18米.【分析】由AB⊥AG和CD⊥AG,可以證得AB∥CD,即可證得△ECD∽△EAB,從而等到AB與AE之間的等量關(guān)系式,由光的反射的性質(zhì)可以得出∠AFB=∠GFH,再結(jié)合AB⊥AG和GH⊥AG,可以證得【詳解】解:∵EF=9,∴AF=EA+9,∵AB⊥AG,CD⊥AG,∴AB∥∴△ECD∽∴CDAB∵EC=3,CD=2,∴EA=3∵AB⊥AG,GH⊥AG,∴∠BAF=∠HGF=90°,又∵∠BFA=∠HFG,∴△BFA∽∴AFGF=AB∴32解得:AB=18,∴該雕像的高度AB為18米.【點睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,學(xué)會構(gòu)建方程解決問題.【變式10-
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