機器人技術基礎 課件 第4章 機器人動力學分析

第4章機器人動力學分析機器人技術基礎問題導入第三章討論的運動學只關心機械臂的位姿，并沒有考慮其到達各位姿的快慢，而工業(yè)機器人在實際工作中速度是一個無法回避的問題。因此，本章的第一節(jié)就討論各關節(jié)的運動速度與機器人手部運動速度之間的映射關系，這里引入了速度雅克比矩陣。問題導入仍以圖中的6軸機械臂為例，如果夾爪夾起了物料以很慢的速度運動，或者靜止在某個位姿，為了保持機械臂的靜平衡狀態(tài)，各關節(jié)電機應該輸出多大的力矩？本章的第二節(jié)靜力學分析討論的就是各關節(jié)的驅動力矩與機器人手部輸出的靜力之間的映射關系，這里引入了力雅克比矩陣，而它正好是速度雅克比矩陣的轉置。這也是將速度分析與力學分析歸入同一章的原因。問題導入工業(yè)機器人完成搬運作業(yè)時，為了兼顧工作效率和工作質(zhì)量，我們希望它在拿起和放下物料時做到慢而準，而運送過程要穩(wěn)而快，這就要求機器人在不同位姿提供不同的速度和加速度。那么機器人的位置、速度和加速度與各關節(jié)的驅動力矩之間又有怎樣的關系？這就是本章第三節(jié)動力學分析的研究主題。本章學習目標1.理解速度雅克比矩陣的構成及其推導過程；2.能夠利用速度雅克比矩陣求解速度運動學正逆問題；3.理解奇異點產(chǎn)生的原因及帶來的問題；4.理解建立機械臂手部廣義力F與關節(jié)力矩的映射關系的過程；5.能夠利用力雅克比矩陣求解靜力學的兩類問題；6.能夠用拉格朗日方程建立簡單多剛體系統(tǒng)的動力學方程；7.理解二自由度機械臂動力學方程各項的物理意義；8.掌握利用MATLAB及其符號工具箱輔助公式推導與計算的方法。目錄contants4.1速度分析4.2靜力學分析4.3動力學分析第4章機器人動力學分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.1速度雅克比4.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.14.1.1速度雅克比例4.1將其寫為矩陣形式令則有4.1.1速度雅克比例4.1機械臂手部在操作空間的移動速度各關節(jié)在關節(jié)空間的運動速度定義了這兩者之間的關系僅由關節(jié)1運動引起的機械臂手部的速度僅由關節(jié)2運動引起的機械臂手部的速度手部的速度V是這兩個速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.1拓展練習：借助MATLAB軟件和符號工具箱可以完成以上推導過程，此外還可建立二自由度仿真機械臂，方便觀察。4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2機械臂手部在操作空間的移動速度各關節(jié)在關節(jié)空間的運動速度定義了這兩者之間的關系僅由關節(jié)1運動引起的機械臂手部的速度僅由關節(jié)2運動引起的機械臂手部的速度僅由關節(jié)6運動引起的機械臂手部的速度手部的速度V是這6兩個速度矢量的合成4.1.1速度雅克比例4.2拓展練習：手工完成6軸機械臂的相關推導和運算非常困難，這也是我們必須學會使用計算軟件的原因。借助MATLAB軟件和符號工具箱可以比較容易地完成以上推導過程。思考：通過運行上面的程序可以發(fā)現(xiàn)，上式中雅克比矩陣的第5列和第6列均為0，請問該如何解讀？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2思考：添加轉角之后的雅克比矩陣比較復雜，不經(jīng)過計算，請判斷該矩陣的第5列和第6列是否全為0？4.1.1速度雅克比例4.24.1.1速度雅克比例4.2拓展練習：借助MATLAB軟件和符號工具箱求出思考題中的雅克比矩陣，并檢查你的思考題答案是否正確。第4章機器人動力學分析4.1速度分析4.1.1速度雅克比4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析4.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析例4.3例4.34.1.2速度分析例4.34.1.2速度分析拓展練習：借助MATLAB軟件及其符號工具箱，可以非常方便地完成以上推導和計算。工業(yè)機器人通常是6自由度的，奇異點比上例中的二自由度機械臂更多，會給軌跡規(guī)劃帶來困擾，因此有必要進一步了解。當機械臂中的兩軸共線時，速度雅克比矩陣內(nèi)各列并非完全線性獨立，這會造成矩陣的秩減少，其行列式值為零，則逆速度雅克比矩陣不存在。因此奇異點常發(fā)生于兩軸或多軸共線時。當機械臂的軸數(shù)增加時，發(fā)生奇異點的位置也會增加。以6軸機械臂為例，它的奇異點分為三類：腕關節(jié)奇異點、肩關節(jié)奇異點和肘關節(jié)奇異點。4.1.2速度分析當?shù)?軸的轉角為0，就會導致第4軸與第6軸共線，此時出現(xiàn)腕關節(jié)奇異點，如圖（a）所示；（a）腕關節(jié)奇異點4.1.2速度分析當?shù)?軸與腕關節(jié)中心C點（第5軸與第6軸之交點）共線時，出現(xiàn)肩關節(jié)奇異點，如圖（b）所示（b）肩關節(jié)奇異點4.1.2速度分析當腕關節(jié)中心C點與第2軸、第3軸共面時，出現(xiàn)肘關節(jié)奇異點，如圖（c）所示（c）肘關節(jié)奇異點4.1.2速度分析機器人奇異點不僅會導致無法求解速度逆運算，還會造成機械臂自由度減少，無法實現(xiàn)某些運動；或者使得某些關節(jié)角速度趨向于無窮大，導致失控。比如噴涂機器人要用噴槍以穩(wěn)定的速度畫一條直線，已知操作空間的速度，通過速度逆雅克比矩陣就可以計算出各關節(jié)的速度，并通過控制各電機達到相應的速度完成該直線的繪制。但如果該直線上某點正好在機械臂的奇異點附近，計算出的關節(jié)速度就會非常大，電機根本無法達到，就會引發(fā)報警，嚴重的時候電機甚至會失控。因此，如何規(guī)避奇異點，是機器人制造商和機器人用戶都必須認真對待的問題。4.1.2速度分析多年來，機器人制造商一直都致力于改進其奇異點規(guī)避技術。比如在軟件中限制機器人各關節(jié)的最大速度就是一個辦法，當關節(jié)被命令以“無限大”的速度運動時，軟件就會自動降低其速度，等它通過了奇異點，再以正確的速度完成剩余的運動。同時，機器人使用者也能做出自己的貢獻。比如，機器人的工作軌跡通常并非唯一，在軌跡確定之前必須在仿真軟件中多做模擬，盡量避免軌跡經(jīng)過奇異點。如果實在無法避免，也要注意在奇異點附近將控制手部的方式切換為控制關節(jié)的方式，等安全度過奇異點后再切換回來。機器人奇異點問題一直是一個研究熱點，或許讀者也會投身其中并做出自己的貢獻。4.1.2速度分析目錄contants4.1速度分析4.2靜力學分析4.3動力學分析第4章機器人動力學分析4.2靜力學分析4.2.1力雅克比4.2.2靜力學的兩類問題機器人靜力學研究機器人靜止或緩慢運動時，作用在機器人上的力和力矩問題。串聯(lián)機器人在工作中，手部與環(huán)境接觸，環(huán)境會對手部產(chǎn)生作用力，各關節(jié)的驅動裝置提供關節(jié)力矩，通過連桿傳遞到手部，克服外界的作用力，使機器人保持平衡狀態(tài)。本節(jié)將討論機械臂在靜平衡狀態(tài)下，關節(jié)驅動力/力矩與機械臂手部的力/力矩之間的關系，這是研究機器臂力控制的基礎。4.2靜力學分析4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比4.2.1力雅克比第4章機器人動力學分析4.2靜力學分析4.2.1力雅克比4.2.2靜力學的兩類問題4.2.2靜力學的兩類問題4.2.2靜力學的兩類問題6個未知數(shù)7個方程已知如果JT滿秩，則屬于過約束狀態(tài)，因此F沒有精確解，但可以通過最小二乘法求得F的近似解。4.2.2靜力學的兩類問題例4.44.2.2靜力學的兩類問題例4.44.2.2靜力學的兩類問題例4.4所以4.2.2靜力學的兩類問題例4.4目錄contants4.1速度分析4.2靜力學分析4.3動力學分析第4章機器人動力學分析4.3動力學分析4.3.1動力學分析基礎和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3關節(jié)空間和操作空間中的動力學方程4.3.1動力學分析基礎和方法

一個可愛的小姑娘走在你前面，跟隨她蹦蹦跳跳的步伐，馬尾辮在微風中自然地起伏、搖晃、飄揚。這是每個人都司空見慣的場景，然而要在動畫片中模擬出這個畫面卻實非易事，因為頭發(fā)所受外力及其質(zhì)量、彈性、曲直等內(nèi)在特性，都會影響其運動狀態(tài)。如果不通過數(shù)學模型建立力與運動之間的聯(lián)系，就無法產(chǎn)生逼真的動畫效果。4.3.1動力學分析基礎和方法機器人的運動狀態(tài)同樣與其所受外力及其本身的一些特性緊密相關。機器人動力學研究的就是機器人運動與廣義關節(jié)驅動力之間的動態(tài)關系，描述這種動態(tài)關系的數(shù)學方程被稱為動力學方程，它是機器人動態(tài)仿真和控制器設計的基礎。機器人動力學有兩類問題：①動力學正問題：已知關節(jié)的廣義驅動力，求機器人相應的運動參數(shù)，包括各關節(jié)的位移、速度和加速度。動力學正問題是機器人動態(tài)仿真的基礎。②動力學逆問題：已知機器人各關節(jié)的位移、速度和加速度，求相應關節(jié)的廣義驅動力。動力學逆問題是機器人控制器設計的基礎。4.3.1動力學分析基礎和方法我們通常假設機器人的連桿、驅動裝置、傳動元件等均為剛體，因此對于大多數(shù)工業(yè)機器人而言，其動力學分析建立在多剛體動力學基礎之上。對于彈性手臂機器人或者柔性機器人的動力學分析，則必須考慮系統(tǒng)彈性或非線性因素，其數(shù)學模型的建立會更為復雜。本節(jié)討論的機械臂為前者，即多剛體系統(tǒng)。4.3.1動力學分析基礎和方法研究多剛體動力學有多種方法。動力學方程須將力與運動（位移、速度、加速）聯(lián)系起來，大多數(shù)讀者都熟悉牛頓力學，因此最容易聯(lián)想到的便是牛頓-歐拉法，該方法核心公式有兩個。首先是1687年提出的牛頓第二定理，用于描述物體平動時的質(zhì)心加速度、質(zhì)量與合力的關系，這里稱為牛頓方程，即在牛頓方程的基礎上，歐拉于1750年提出了歐拉方程，該方程用于描述物體轉動時角速度、角加速度、慣性張量和合力矩之間的關系，即牛頓-歐拉方程4.3.1動力學分析基礎和方法采用牛頓歐拉法研究多剛體動力學，需要逐一分析系統(tǒng)內(nèi)各構件的受力情況，主動力和約束力均需要考慮，約束越多方程越復雜。而且，牛頓和歐拉方程均為矢量方程，需要通過建立坐標系將其分解到X,Y,Z方向，一個矢量方程變?yōu)槎鄠€代數(shù)方程（二階微分方程），然后再進行求解。因此，隨著系統(tǒng)構件的增加，動力學方程數(shù)量會直線上升，復雜性不斷增加，對建立和求解動力學方程的難度都比較高。牛頓-歐拉方程4.3.1動力學分析基礎和方法18世紀正是牛頓力學如日中天之時，它在各個領域證明著自己的正確性和有效性，甚至可以精確描述遙不可及的行星軌道，被視為宇宙不二真理。在這種背景下，企圖另立一個力學體系不啻為不可思議的瘋狂行為。然而，令人肅然起敬的挑戰(zhàn)者依然出現(xiàn)了——分析力學的誕生是對牛頓力學的革命性沖擊！4.3.1動力學分析基礎和方法靜力學分析中用到的虛功原理，是約翰伯努利于1717年提出的，這是分析力學攻占的第一塊領地；1743年，達朗伯提出達朗伯原理，建立了靜力學與動力學的密切聯(lián)系；1760年，拉格朗日提出了解決動力學問題的拉格朗日方程，并于1788年出版了著名的《分析力學》一書，標志著分析力學日趨成熟?！斗治隽W》整本書沒有一幅圖，這在牛頓力學是無法想象的。這是因為分析力學是從能量的角度研究動力學，其基本方程均為標量方程，這樣就擺脫了牛頓力學中常見的選擇坐標系、受力分析等帶來的困擾。而且，該方法的運用更為程式化，即對于千變?nèi)f化的系統(tǒng)，建立動力學模型的過程十分類似，因此更便于掌握、利用和推廣。4.3.1動力學分析基礎和方法當量子力學出現(xiàn)之后，人們發(fā)現(xiàn)分析力學還有一個其創(chuàng)造者都預想不到的神奇之處，即其看待問題的方式以及很多概念和方程，可以非常容易地過渡到量子力學。因此，可以說分析力學是溝通經(jīng)典物理和量子物理的橋梁，也是進入各個物理學前沿的必備知識。常見的動力學研究方法還有高斯原理法、凱恩方程法、旋量對偶數(shù)法、羅伯遜-威登堡法等，有興趣的讀者可以查閱相關文獻，這里僅對拉格朗日方程做詳細介紹。第4章機器人動力學分析4.3動力學分析4.3.1動力學分析基礎和方法4.3.2拉格朗日方程4.3.3關節(jié)空間和操作空間中的動力學方程4.3.2拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)定義為機械系統(tǒng)的動能(kineticenergy)與勢能(potentialenergy)之差，即4.3.2拉格朗日方程從以上公式可以看出拉格朗日方程的三個特點：①系統(tǒng)的拉格朗日方程個數(shù)與其廣義坐標個數(shù)相同廣義坐標數(shù)通常就是自由度數(shù)，約束越多則自由度越少，所以方程個數(shù)也越少。而在牛頓力學中約束個數(shù)越多，要分析的約束力就越多，建立的動力學方程就越復雜。②拉格朗日方程是標量方程相比建立在矢量方程上的牛頓-歐拉法，標量方程擺脫了選擇坐標系、受力分析等幾何運算的麻煩。③系統(tǒng)的特點完全由拉格朗日函數(shù)L體現(xiàn)這個特點增加了研究不同系統(tǒng)的動力學問題時的共性，使得研究方法更為程式化。4.3.2拉格朗日方程如果讀者對拉格朗日方程的推導過程感興趣，可以參考經(jīng)典力學相關書籍。但我們也可以認為拉格朗日方程是不需要證明的公理，只要方程反應的規(guī)律與現(xiàn)實世界中的物理實驗結果一致，即可證明其正確性，其價值就應與一樣得到認可。為了幫助讀者掌握用拉格朗日方程分析動力學的方法并深刻體會其特點，一起來看兩道例題。4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5解：滑塊和直角劈構成一個多剛體系統(tǒng)，可以使用拉格朗日方程來建立其動力學方程，具體步驟如下。（1）確定廣義坐標和廣義驅動力4.3.2拉格朗日方程例4.5（2）求系統(tǒng)動能4.3.2拉格朗日方程例4.5（3）求系統(tǒng)勢能假設以X軸為零勢能線。在整個運動過程中，直角劈的質(zhì)心高度并無變化，也就是其勢能為一個常數(shù)，由于后續(xù)步驟中會對拉格朗日函數(shù)求導，而常數(shù)項的有無并不會影響計算結果，因此此處可以忽略直角劈的勢能。同理，滑塊的勢能本應按其質(zhì)心的高度進行計算，但為計算方便，完全可以按其頂點高度計算，因為二者之差為常數(shù)，也不會影響最終結果。因此，系統(tǒng)勢能寫為4.3.2拉格朗日方程例4.5（4）求拉格朗日函數(shù)（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.5（5）建立拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.54.3.2拉格朗日方程例4.5拓展練習：借助MATLAB軟件及其符號工具箱，可以非常方便地完成以上推導和計算。4.3.2拉格朗日方程例4.5思考：請讀者根據(jù)牛頓方程F=ma嘗試求解該問題，并體會其不同于拉格朗日方程的求解過程和特點。4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6解：二自由度串聯(lián)機器臂可以看作一個多剛體系統(tǒng)，可以使用拉格朗日方程來建立其動力學方程，具體步驟如下。（1）確定廣義坐標和廣義驅動力（2）求系統(tǒng)動能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系統(tǒng)動能4.3.2拉格朗日方程例4.6（2）求系統(tǒng)動能將上面兩式帶入進而求出桿2的平動動能為4.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.64.3.2拉格朗日方程例4.6該式體現(xiàn)了關節(jié)驅動力矩與關節(jié)加速度、速度、位移之間的關系，即力與運動之間的關系，我們稱之為二自由度串聯(lián)機器臂的動力學方程。4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程4.3.2拉格朗日方程例4.6拓展練習：借助MATLAB軟件及其符號工具箱，可以非常方便地完成以上推導和計算。4.3.2拉格朗日方程例4.6思考：請讀者思考用牛頓-歐拉法求解例4.5和4.6的思路和過程，并與用拉格朗日方程法對比，體會哪一種更易于程式化。4.3.2拉格朗日方程通過例4.6可以看出，對于最簡單的二自由度平面關節(jié)型串聯(lián)機器人，其動力學方程已經(jīng)如此冗長，而且兩個關節(jié)之間的耦合錯綜復雜。那么對于常見的6軸工業(yè)機器人，其動力學方程之繁復龐雜必將更為驚人，6個關節(jié)的耦合必定盤根錯節(jié)。求解這樣的微分方程，需要做大量計算，十分耗時，所以機器人的動力學模型很難用于機器人實時控制。4.3.2拉格朗日方程然而，高質(zhì)量的控制應當基于被控對象的動態(tài)特性，因此合理簡化機器人動力學模型，使其適合于實時控制的要求，是機器人動力學研究追求的目標。動力學模型常見的簡化方法有以下幾種。①當桿件很輕時，動力學方程中的重力項可以省略；②當關節(jié)速度不是很大時，動力學方程中包含關節(jié)速度的向心力項和科式力項可以省略；③當關節(jié)加速度不是很大時，即關節(jié)電機的升降速不是很突然時，動力學方程中包含加速度的慣性力項可以省略。4.3.2拉格朗日方程思考：如果真的可以對動力學方程做如此大刀闊斧的簡化，那么建立在其上的機器人控制系統(tǒng)還能有什么精度可言？如果你暫時無法回答，請在學習完機器人控制系統(tǒng)一章后，再來回顧該問題，看看是否會有新發(fā)