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第18練用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性[基礎(chǔ)保分練]1.若f(x)=x3-ax2+1在(1,3)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,3] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2),+∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(9,2))) D.(0,3)2.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)ax3-x2(a>0)在(0,2)上不單調(diào),則a的取值范圍是()A.a(chǎn)>1 B.0<a<1C.0<a<eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)<a<13.(2019·長春檢測)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x)+f′(x)>0,其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)a=f(0),b=2f(ln2),c=ef(1),則a,b,c的大小關(guān)系是()A.c>b>aB.a(chǎn)>b>cC.c>a>bD.b>c>a4.(2019·廈門外國語學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)=sinx-eq\f(1,3)x,x∈[0,π],且cosx0=eq\f(1,3),x0∈[0,π]那么下列命題中真命題的序號(hào)是()①f(x)的最大值為f(x0);②f(x)的最小值為f(x0);③f(x)在[0,π]上是減函數(shù);④f(x)在[x0,π]上是減函數(shù).A.①③B.①④C.②③D.②④5.若0<x1<x2<1,則()A.>lnx2-lnx1 B.<lnx2-lnx1C. D.6.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,那么f(x)的圖象最有可能的是()7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)>f(x),若f(2)=0,則不等式eq\f(fx,x)>0的解集為()A.{x|-2<x<0或0<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-2<x<0或x>2}D.{x|x<-2或0<x<2}8.已知函數(shù)y=f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x),?x∈R都有f′(x)<x,若f(4-m)-f(m)≥8-4m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[-2,2] B.[2,+∞)C.[0,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)9.定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo),即f′(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù),記作f″(x)=[f′(x)]′.定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正,即f″(x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù),已知函數(shù)f(x)=x3-eq\f(3,2)x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是________.10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為________.[能力提升練]1.(2018·湖南省澧縣一中檢測)設(shè)函數(shù)f′(x)是函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),已知f′(x)<f(x),且f′(x)=f′(4-x),f(4)=0,f(2)=1,則使得f(x)-2ex<0成立的x的取值范圍是()A.(-2,+∞) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(4,+∞)2.已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件:①f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù);②f(1)=0,g(x)≠0;③當(dāng)x>0時(shí),總有f(x)·g′(x)<f′(x)·g(x),則eq\f(fx-2,gx-2)>0的解集為()A.(1,2)∪(3,+∞) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-3,-2)∪(-1,+∞) D.(-1,0)∪(3,+∞)3.定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(3)=0,且當(dāng)x>0時(shí),不等式f(x)>-xf′(x)恒成立,則函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.44.(2019·四川省眉山市仁壽第一中學(xué)調(diào)研)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),xlnx·f′(x)<-f(x),則使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范圍是()A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)5.已知y=f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f(x)-f(-x)=2x3,且當(dāng)x≥0時(shí)f′(x)>3x2,則不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1的解集是________.6.若函數(shù)ex·f(x)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為________.①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;④f(x)=x2+2.答案精析基礎(chǔ)保分練1.B2.A3.A4.B5.C6.B7.C[令g(x)=eq\f(fx,x),x∈R且x≠0.∵x>0時(shí),g′(x)=eq\f(xf′x-fx,x2)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∵f(-x)=f(x),∴g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函數(shù),g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,∵g(2)=eq\f(f2,2)=0,∴0<x<2時(shí),g(x)<0,x>2時(shí),g(x)>0,根據(jù)函數(shù)的奇偶性,g(-2)=-g(2)=0,-2<x<0時(shí),g(x)>0,x<-2時(shí),g(x)<0,綜上所述,不等式eq\f(fx,x)>0的解集為{x|-2<x<0或x>2}.故選C.]8.B[令g(x)=f(x)-eq\f(1,2)x2,?x∈R都有f′(x)<x,即g′(x)=f′(x)-x<0,可得g(x)在R上是減函數(shù),∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+eq\f(1,2)(4-m)2-g(m)-eq\f(1,2)m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),4-m≤m,解得m≥2,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞),故選B.]9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))10.(0,+∞)能力提升練1.B[設(shè)F(x)=eq\f(fx,ex),則F′(x)=eq\f(f′x-fx,ex)<0,即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減,因?yàn)閒′(x)=f′(4-x),即導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)是中心對(duì)稱圖形,且對(duì)稱中心為(2,1),由f(4)=0,即函數(shù)y=f(x)過點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)(0,2)也在函數(shù)y=f(x)上,所以有f(0)=2,所以F(0)=eq\f(f0,e0)=2,而不等式f(x)-2ex<0,即eq\f(fx,ex)<2,即F(x)<F(0),所以x>0,故使得不等式f(x)-2ex<0成立的x的取值范圍是(0,+∞),故選B.]2.A[令h(x)=eq\f(fx,gx),x∈R,因?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′=eq\f(f′xgx-fxg′x,[gx]2)>0,其中x>0,所以h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),又h(-x)=-h(huán)(x),故h(x)在R上是奇函數(shù),且h(1)=h(-1)=0,所以當(dāng)x>1或-1<x<0時(shí),h(x)=eq\f(fx,gx)>0,因?yàn)閑q\f(fx-2,gx-2)>0,所以x-2>1或-1<x-2<0,解得x>3或1<x<2,故選A.]3.C[定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:f(0)=0=f(3)=f(-3),且f(-x)=-f(x),又當(dāng)x>0時(shí),f(x)>-xf′(x),即f(x)+xf′(x)>0,∴[xf(x)]′>0,函數(shù)h(x)=xf(x)在x>0時(shí)是增函數(shù),又h(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴h(x)=xf(x)是偶函數(shù).∴當(dāng)x<0時(shí),h(x)是減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)镽,且f(0)=f(3)=f(-3)=0,可得函數(shù)y1=xf(x)與y2=-lg|x+1|的大致圖象如圖所示,∴由圖象知,函數(shù)g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3,故選C.]4.D[根據(jù)題意,設(shè)g(x)=lnx·f(x)(x>0),其導(dǎo)數(shù)g′(x)=(lnx)′f(x)+lnxf′(x)=eq\f(1,x)f(x)+lnxf′(x),又由當(dāng)x>0時(shí),lnx·f′(x)<-eq\f(1,x)·f(x),得g′(x)=eq\f(1,x)f(x)+lnx·f′(x)<0,即函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),又由g(1)=ln1·f(1)=0,則在區(qū)間(0,1)上,g(x)=lnx·f(x)>g(1)=0,又由lnx<0,得f(x)<0;在區(qū)間(1,+∞)上,g(x)=lnx·f(x)<g(1)=0,又由lnx>0,得f(x)<0,則在(0,1)和(1,+∞)上f(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),xlnx·f′(x)<-f(x),令x=1得,0<-f(1),則f(1)<0,即在(0,+∞)上f(x)<0,又由f(x)為奇函數(shù),則在區(qū)間(-∞,0)上,都有f(x)>0,(x2-4)f(x)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-4>0,,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-4<0,,fx<0,))解得x<-2或0<x<2.則x的取值范圍是(-∞,-2)∪(0,2),故選D.]5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))解析令F(x)=f(x)-x3,則由f(x)-f(-x)=2x3,可得F(-x)=F(x),故F(x)為偶函數(shù),又當(dāng)x≥0時(shí),f′(x)>3x2,即F′(x)>0,所以F(x)在[0,+∞)上為增函數(shù).不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1化為F(x)>F(x-1),所以有|x|>|x-1|,解得x>eq\f(1,2).6.①④解析對(duì)于①,f(x)=2-x,則g(x)=exf(x)=ex·2-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù);對(duì)于②,f(x)=3-x,則g(x)=exf(x)=ex·3-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,3)))x為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù);對(duì)于③
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