2020-2021學(xué)年安徽省黃山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年安徽省黃山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）2+2i-|?+i|=（）

A.0B.2C.-2/D.2i

2.某中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取

一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級(jí)共有女生（）人.

A.630B.615C.600D.570

3.如圖Rt^。'A'B'是一平面圖形的直觀圖，斜邊B'=2,則這個(gè)平面圖形的面積

4.隨機(jī)擲兩枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”為事件A,記“向上的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)”

為事件8,貝U（）

A.ACBW0B.AQB

C.A,B互斥但不對(duì)立D.A,B對(duì)立

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“有個(gè)金球里面空，球高尺二厚三

分，一寸自方十六兩，試問金球幾許金？”意思是：有一個(gè)空心金球，它的直徑12寸，

球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，試問金球重是多少斤？（注口七3）（）

A.125.77B.864C.123.23D.369.69

6.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為卷，得，則密碼被破譯的概率為

（）

A.—12B.—C.—5D.1

636

7.一艘海輪從4處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘

后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在B

處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是（）海里.

c.1073D.20M

8.已知△AO8,存在非零平面向量祈，滿足|贏|=4,I而|=2|無|，且EA?而=3，則

||的最小值()

A.B.3C.2D.-^5.

53

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.下列命題：其中正確命題的是()

A.若A與B是互斥事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)

B.若事件A,B,C彼此互斥，則尸(A)+P(B)+P(C)=1

C.對(duì)立事件一定是互斥事件

D.若事件4,B滿足P(A)+P(8)=1,則A與8是對(duì)立事件

10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感

染的標(biāo)志為“連續(xù)7天，每天新增疑似病例不超過5人”.過去7日，甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，則一定符合該標(biāo)志的是()

甲地：總體平均數(shù)彳＜3,且中位數(shù)為0;

乙地：總體平均數(shù)為2,且標(biāo)準(zhǔn)差sW2；

丙地：總體平均數(shù)彳43,且極差cW2；

丁地：眾數(shù)為1,且極差cW4.

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

11.如圖，矩形ABC。中，AB=2AO=2,E為邊A8的中點(diǎn).將沿直線QE翻折成

△AQE(點(diǎn)4不落在底面8CZJE內(nèi))，若M在線段4c上(點(diǎn)M與4,C不重合)，

則在△AOE翻轉(zhuǎn)過程中，以下命題正確的是()

B.存在點(diǎn)M,使得平面40c成立

C.存在點(diǎn)M,使得MB〃平面AOE成立

D.四棱錐Ai-BCDE體積最大值為返

4

12.點(diǎn)。在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

—?—?

A.若動(dòng)點(diǎn)尸滿足而=金+入——H_把一）（人＞0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一

lABlsinBlAClsinC

定經(jīng)過aABC的垂心

AC_ABBC_BA

B.若金，)OB*)則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心

lAClIABTIBC1|BAT

C.若（OA+OB）（OB+OC）*BC=0,則點(diǎn)。為△ABC的外心

D.若動(dòng)點(diǎn)尸滿足而=贏以（一———卜一——）（入＞0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一

IABIcosBIACIcosC

定經(jīng)過△ABC的重心

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）

13.已知復(fù)數(shù)2巫二iz的共朝復(fù)數(shù)為』貝

22

14.已知向量￡（1,m）,b=（3,-2）.且G+E）1E，則向量；與向量三的夾角余弦值

為.

15.已知三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥且P（A）=0.3,P（B）=0.6,P（C）=0.2,則P

（AUBUC）=.

16.《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面

為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有如圖所示的“塹堵”ABC-

AiBCi,其中ACLBC,AAi=AC=l,當(dāng)''陽馬"四棱錐8-4ACG體積為■時(shí)，則“塹

堵”即三棱柱ABC-481cl的外接球的體積為

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請(qǐng)

在答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）

17.已知△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.滿足2c=a+2加osA.

(1)求B；

(2)若a+c=10,b=6,求△ABC的面積.

18.某學(xué)校高一100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)均在40分到100分之間.學(xué)生成績(jī)的頻率

分布直方圖如圖:

（1）估計(jì)這100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到0.1）

（2）某老師抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：羽，X2,冷，…，》o,已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x

=90,標(biāo)準(zhǔn)差s=6,若剔除其中的100和80兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)

差.

圓柱與圓錐的底面相同，圓柱有上底面，制作時(shí)接頭忽略不計(jì).已知圓柱的底面周長為

32-ncm,高為30a“，圓錐的母線長為20c〃z.

（1）求這種“籠具”的體積;

(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作100個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米4元，共需

多少元？

20.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z「i,Z『1+i，

A4Ji41+1

(i)求⑷，zi，iz3|,IZ.I；

(2)隨機(jī)從復(fù)數(shù)Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取兩個(gè)復(fù)數(shù)，求所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等

于1的概率.

21.設(shè)G為AABC的重心，G為ABCG的重心，過G作直線/分別交線段AB,AC(不與

端點(diǎn)重合)于M,N.若疝=x藤，AN=yAC-

(1)求證：工△為定值；

xy

(2)求x+y的取值范圍.

22.已知矩形ABC。滿足AB=2,BC=&,△PA8是正三角形，平面PA8_L平面ABCD

(1)求證：PCYBD-,

(2)設(shè)直線/過點(diǎn)C且/，平面ABCZ),點(diǎn)F是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)P位于平

面ABC。的同側(cè)，記直線PF與平面R48所成的角為0,若0<CF<2j§,求tanO的取

值范圍.

B

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）2+2i-|?+ik（）

A.0B.2C.-2iD.2i

解:（匾產(chǎn)+12=2,

：.2+2i-|-s/3+z|=2+2i-2=2i.

故選：D.

2.某中學(xué)高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取

一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高一年級(jí)共有女生（）人.

A.630B.615C.600D.570

解：高一年級(jí)共有學(xué)生1200人，

按性別用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，

樣本中共有男生42人，

則高一年級(jí)的女生人數(shù)約為：1200X嗎線=570.

80

故選：D.

3.如圖RtaO'A'B'是一平面圖形的直觀圖，斜邊0,"=2,則這個(gè)平面圖形的面積

C.&D.2&

解：?.?氐△O'Ab是一平面圖形的直觀圖，斜邊08=2,

直角三角形的直角邊長是加,

二直角三角形的面積是x亞x/5=i，

原平面圖形的面積是1又2近=2M

故選：D.

4.隨機(jī)擲兩枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”為事件A,記“向上的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)”

為事件8,則()

A.4C1BW0B.AQB

C.A,B互斥但不對(duì)立D.A,B對(duì)立

解：隨機(jī)擲兩枚骰子，記“向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”為事件A,

記“向上的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)”為事件B,

則事件A與事件B既不能同時(shí)發(fā)生，又不能同時(shí)不發(fā)生，是對(duì)立事件，

故A,B,C均錯(cuò)誤，。正確.

故選：D.

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“有個(gè)金球里面空，球高尺二厚三

分，一寸自方十六兩，試問金球幾許金？”意思是：有一個(gè)空心金球，它的直徑12寸，

球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，試問金球重是多少斤？(注n七3)()

A.125.77B.864C.123.23D.369.69

解：由題意，空心金球，它的直徑12寸.

可得體積為：V=&JTR3=4X63=864

3

?.?球壁厚0.3寸，

二空心的球的部分體積為：V=yJIR3=4X(6-0,3)3=740.77

,該個(gè)空心金球的黃金中為：864-740.77=123.23.

VI立方寸金重1斤.

...金球重是123.23.

故選：C.

6.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為［?,X則密碼被破譯的概率為

()

125

A.—B.—C.—D.1

636

解：甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，

設(shè)事件A表示甲能破譯密碼，事件B表示乙能破譯密碼，

則P(A)=2，P(B)=工，

32

密碼被破譯的對(duì)立事件是甲、乙同時(shí)不能破譯密碼,

密碼被破譯的概率為：

P=1-P（AB）=1-P（A）2（B）

=2

故選：B.

7.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘

后到達(dá)8處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在8

處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是（）海里.

A.10^2B.20MC.10^3D.2072

解：如圖，由已知可得，ZBAC=30Q,/ABC=105°,AB=20,

從而NACB=45°.

在AA8c中，由正弦定理可得BC=.神，Xsin30°=10料.

8.己知△AOB,存在非零平面向量祈，滿足|贏|=4,|QB|=2|0C\＞且在?五=3，則

||的最小值（）

A.B.3C.2D.

53

解：設(shè)則I祠=2r,取48的中點(diǎn)因?yàn)樵?不=3，

所以(CM+MA)?(CM+MB)=就+,(俞畸+忌?而=3,

所以而『-《同=3,

所以I屈I取最小值時(shí)，|而|也取最小，

|CMlmin=l0Ml-l0Cl?此時(shí)°，C,M三點(diǎn)共線，

設(shè)此時(shí)I而曰，則應(yīng)1=1而1=42-3,I同=242-3,

因?yàn)閏osZOMA+cosZOMB=0,

所以由余弦定理得0M+AM2-OA2+OM2+BM2-OB2=0,

即2(r+f)2+2(戶-3)=16+4產(chǎn)，得產(chǎn)-2次+11-2產(chǎn)=0,

由△=4產(chǎn)-44+8產(chǎn)20,得t2,

3

所以同=24七2-3》,

O

所以I港I的最小值為生號(hào).

3

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.)

9.下列命題：其中正確命題的是()

A.若A與B是互斥事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)

B.若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P(B)+P(C)=1

C.對(duì)立事件一定是互斥事件

D.若事件A,8滿足P(A)+P(B)=1,則4與8是對(duì)立事件

解：選項(xiàng)A：根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可判斷A正確,

選項(xiàng)8：P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,可能會(huì)小于1,故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)立事件的概念可得。正確，

選項(xiàng)。：事件4拋擲1枚均勻的硬幣，朝上的概率是尚，事件B：拋擲一枚均勻的骰子

所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為4，

但是A,B不對(duì)立，故O錯(cuò)誤，

故選：AC.

10.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感

染的標(biāo)志為“連續(xù)7天，每天新增疑似病例不超過5人”.過去7日，甲、乙、丙、丁

四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，則一定符合該標(biāo)志的是()

甲地：總體平均數(shù)彳43,且中位數(shù)為0；

乙地：總體平均數(shù)為2,且標(biāo)準(zhǔn)差sW2；

丙地：總體平均數(shù)彳43,且極差cW2；

丁地：眾數(shù)為1,且極差cW4.

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

解：該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)7天，每天新增疑似

病例不超過5人”.

甲地：總體平均數(shù)彳43,且中位數(shù)為0，

存在連續(xù)7天中某一天新增疑似病例超過5人的可能，故甲地不一定符合標(biāo)準(zhǔn)，故A錯(cuò)

、口

乙地：總體平均數(shù)為2,且標(biāo)準(zhǔn)差sW2,

存在連續(xù)7天中某一天新增疑似病例超過5人的可能，

例如7天中增增病例數(shù)為1,1,1,1,2,2,6,

滿足總體平均數(shù)為2,且標(biāo)準(zhǔn)差sW2,故乙地不一定符合標(biāo)準(zhǔn)，故B錯(cuò)誤；

丙地：總體平均數(shù)且極差cW2,

每天新增疑似病例沒有超過5人的可能，故丙地一定符合標(biāo)準(zhǔn)，故C正確：

丁地：眾數(shù)為1,且極差cW4.

每天新增疑似病例沒有超過5人的可能，故丁地一定符合標(biāo)準(zhǔn)，故。正確.

故選：CD.

11.如圖，矩形4BCD中，AB=2AD^2,E為邊48的中點(diǎn).將沿直線OE翻折成

△4QE（點(diǎn)Ai不落在底面3CDE內(nèi)），若M在線段4c上（點(diǎn)M與4,C不重合），

則在△4OE翻轉(zhuǎn)過程中，以下命題正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使OEL41C

B.存在點(diǎn)M,使得BMJ_平面AOC成立

C.存在點(diǎn)M,使得朋8〃平面AQE成立

D.四棱錐4-BCDE體積最大值為返

4

解：對(duì)于A,假設(shè)存在某個(gè)位置，使DEA.AiC,取DE中點(diǎn)0,

連接4。，CO,顯然A}OLDE,

而40nAic=A”.?.￡）￡：，平面A\OC,OCu平面AiOC,

J.DEVOC,則CE=CD,但CE=&,CD=2,不可能相等，

所以不可能有DELMC,

所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若存在點(diǎn)使得平面AQC成立，

因?yàn)镃Du平面4OC,所以BM_L￡）C,

又因?yàn)锽CLCO且BMCBC=B,所以

。￡>_1_平面BCM,又因?yàn)镃Mu平面BCM,

那么COLCM,又因?yàn)?￡><OC,直角邊大于斜邊，矛盾，

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,取CD中點(diǎn)N,連接MN,BN,?:M是A,C的中點(diǎn)，

：.MN//A\D,而MNC平面A\DE,Z）Eu平面4DE,〃平面AtDE,

由DN與EB平行且相等得DNBE是平行四邊形，BN//DE,

同理得BN〃平面AiDE,而BNCMN=N,；.平面BMN〃平面A\DE,

BA/u平面BMN,〃平面A\DE,

所以選項(xiàng)C正確

2_

當(dāng)平面4QE,平面BCDE時(shí)，4到平面BCDE的距離最大為返,

2

又SB°E=2X1-IX1=-1,

22

―鼻鼠乎平

3224

所以選項(xiàng)。正確.

故選：CD.

12.點(diǎn)。在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（)

A.若動(dòng)點(diǎn)P滿足而=示+入(__%---+-——%----)

1（人＞0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一

lABlsinBlAClsinC

定經(jīng)過aABC的垂心

B.若0A，(A，,—皿，)=Qg*(—絲〒—BA,)=0,則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心

|AC||AB|iBCliBAl

C.若（贏+而）?標(biāo)=（祈+而）?前=0，則點(diǎn)。為△ABC的外心

D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足而=贏◎（一———卜一A1,——）（入＞0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一

IABIcosBIACIcosC

定經(jīng)過△ABC的重心

解：對(duì)于4根據(jù)正弦定理：J-ALLJ^l,所以蒜和至+菽共線，設(shè)點(diǎn)。為BC的

sinCsinB

中點(diǎn)，所以標(biāo)+菽=2標(biāo)，故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過△A8C的重心，故A錯(cuò)誤；

ACAB一ACAB、

都為單位向量，滿足菱形的性質(zhì)特征,0A(z

對(duì)于8：由于w南

IACTIABT

=根?（叁〒=0,故向量示和/A角平分線垂直相交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為△

iBCliBAl

ABC的內(nèi)心，故B正確;

對(duì)于C：取48的中點(diǎn)/）,由于水+而=2而，且滿足（贏+而）?標(biāo)=。，說明則點(diǎn)。

是AB垂直平分線上的點(diǎn)，故點(diǎn)。為△ABC的外心，故C正確；

對(duì)于。：與選項(xiàng)A答案，也根據(jù)正弦定理：展1上21,所以下和標(biāo)+而共線，設(shè)

sinCsinB

點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，所以標(biāo)+標(biāo)二2標(biāo)，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心，但是

一和一^—就不對(duì)了，故O錯(cuò)誤.

IABIcosBIACIcosC

故選：BC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）

13.已知復(fù)數(shù)z半得力z的共朝復(fù)數(shù)為工則z二;=1.

解：；2=^^力

??.zG=|z|2=（J（坐）2+g）2）2=i

故答案為：1.

14.已知向量之=（1,m）,b=（3,-2），且（Z+E）1E，則向量Z與向量E的夾角余弦值

為史.

-5―

解：根據(jù)題意，設(shè)向量;與向量芯的夾角為仇

向量;=（1,m）,b=（3,-2）＞則;+E=（%WJ-2）,

若（Z+E）J_E，則（Z+E）?E=12-2（"7-2）=0,解可得,"=8,

貝Ia=（L8）,則Ial='l+64=A/^，Ibl=V9+4=V13,

a,b=3-16=-13,

a*b

故-13

COS0|；||brV65><V13

故答案為:

15.已知三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥且P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.2,則P

(AUBUC)=0.9

解：三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥,

P(B)=0.6,可得P(B)=1-0.6=0.4,

則P(4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.4+0.2=0.9.

故答案為：0.9.

16.《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面

為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有如圖所示的“塹堵”ABC-

A1B1C1,其中ACLBC,A4i=AC=l,當(dāng)“陽馬”四棱錐B-A/CG體積為1■時(shí)，則''塹

堵”即三棱柱4BC-A山Ci的外接球的體積為返冗.

-2一

解：由已知可得，BCJ_平面AiACCi,

則VB-AAIC]C=,X1X1XBC=￡,

OO

解得BC=1.

此時(shí)“15堵”即三棱柱ABC-A而G的外接球的直徑A[B=d12+12+/=a,

二三棱柱ABC-A向G的外接球的體積為X亭"二冬冗.

故答案為：返冗.

2

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請(qǐng)

在答題卷的相應(yīng)區(qū)域答題.）

17.已知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.滿足2c=a+2加osA.

(1)求B；

(2)若〃+c=10,b=6,求△ABC的面積.

解：(1)由題意：

因?yàn)檎叶ɡ恚?二?八,

sinAsinBsmC

所以對(duì)于2c、=〃+2加osA,有2sinC=sinA+2sin8cosA,

/.2sin|Ti-(A+B)]=sinA+2sinBcosA,/.2sinAcosB+2cosAsinB=sirL4+2sinBcosA,

整理得：2sirb4cosi5=sinA,V0<A<n,sinA^O,cosB

IT

???在△ABC中，A0<B<TT,故8藍(lán)-；

M

(2)由(1)及題意可得：/?2=〃2+。2-2?CCOSB=(a+c)2-3<7C=100-3〃c=36,ac=---，

3

?c1.R1y64vV31673

,,SAABC=^acsinB=yX-X——，

所以△ABC的面積為回返.

3

18.某學(xué)校高一100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)均在40分到100分之間.學(xué)生成績(jī)的頻率

分布直方圖如圖：

(1)估計(jì)這100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)：(精確到01)

(2)某老師抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：XI,及，心，…，幻。，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)7

=90,標(biāo)準(zhǔn)差s=6,若剔除其中的100和80兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)

差.

(參考公式:

（參考數(shù)據(jù)：2102=44100,1922=36864,1102=12100）

解：（1）因?yàn)?.05+0.15+0.25=0.45V0.50.05+0.15+0.25+0.35=0.8>0.5,

所以中位數(shù)為X滿足70Vx<80,

由(爺X0.35+0.1+0.1=0.E>解得x=80-孚-71.4-

設(shè)平均分為y,

則y=O.O5X45+0.15X55+0.25X65+0.35X75+0.1X85+0.1X95=71.0,

(2)由題意，剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為lOx-100-80

UQ"7

￡x--10X(90)2

因?yàn)?0個(gè)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

51

所以X，..+X：Q=10X(6)2+10X(90)2=81360,

222

(xf+--+xfo)-8O-lOO-8X(9O)

所以剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為

720=275-

19.某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和圓柱，其中

圓柱與圓錐的底面相同，圓柱有上底面，制作時(shí)接頭忽略不計(jì).已知圓柱的底面周長為

32TTC，〃，高為30cm,圓錐的母線長為20cm.

（1）求這種“籠具”的體積；

（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作100個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米4元，共需

多少元？

解：（1）設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,圓錐的母線長為/,高為歷，

根據(jù)題意可知：2nr=32n,r=16tro,hj=V20^-16^=12cm>

“籠具”的體積V=7Tr2h。兀r2hi=6656兀cm?；

（2）圓柱的側(cè)面積S]=2兀rh=2兀X16X30=960Kan2.

22

圓柱的底面積S1=兀/=256兀cm,圓錐的側(cè)面積S3=TT"=TTX16X20-32（）TOTO,

，“籠具”的表面積為1536TTC〃?2,

1536兀X100X41536K_

故造100個(gè)“籠具”的總造價(jià):

10425兀，

Z=1+i，Z=

20.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z「i,2Z3#，4I7T-

(1)求⑷,|Z2|,|Z3|,|Z?|；

(2)隨機(jī)從復(fù)數(shù)Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取兩個(gè)復(fù)數(shù)，求所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等

于1的概率.

=

解：⑴由題意知：|Z1|=1,|z2I=V1+1V2.

+=

Z3=Yll-i.Iz3|=VT+1=V2,

Z一巫)―.I7|.耳巫.

(2)設(shè)隨機(jī)從復(fù)數(shù)Z2,Z3,Z,中有放回的任取兩個(gè)復(fù)數(shù)的樣本點(diǎn)為(a,b),

則該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Q={(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Zl),(Z3,Z2),(Z3,

Z3),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3),(Z4,Z4)}

所以n(fl)=9,

設(shè)事件A="所取兩個(gè)復(fù)數(shù)的模之積等于1”,

則事件A={(Z2,Zi),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Zi,Z3)},

二〃(A)=4,故p(A)=%*.

21.設(shè)G為△ABC的重心，G為ABCG的重心，過G'作直線/分別交線段AB,AC(不與

端點(diǎn)重合)于M,N.若疝=xQ,AN=yAC.

(1)求證：工