2025版高考數(shù)學一輪總復習考點突破第八章平面解析幾何8.7拋物線

第八章平面解析幾何8.7拋物線考點一拋物線的定義及標準方程例1（1）【多選題】經(jīng)過點P4,-2A.y2=x B.x2=8y解：若拋物線的焦點在x軸上，設拋物線的方程為y2=2pxp>0.因為拋物線經(jīng)過點P4,-2，所以-22=2p×4，解得p=12.所以拋物線的方程為y2=x.若拋物線的焦點在y（2）已知拋物線y2=ax上的點MA.y2=4x B.y2=2x解：拋物線y2=ax因為拋物線y2=ax上的點M1,m到其焦點的距離為2，即該拋物線的標準方程為y2=4x.故選（3）設P是拋物線y2=4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若B3,解：如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則P1Q=P1F.則有PB【點撥】求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.變式1（1）已知動圓與定圓A:x+22A.直線 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解：設動圓的圓心為點C，半徑為r,則CA=r+1.又點C到直線x=1的距離等于r，所以點C到直線x=2的距離為d=r+1（2）若點A,B在拋物線y2=2pxp>0上,O是坐標原點,正三角形A.y2=233x B.y解：根據(jù)對稱性,可知AB⊥x軸,由于正三角形OAB的面積是43,故34AB2=43.故AB=4,正三角形OAB的高為23.故可設點A的坐標為23,（3）已知F是拋物線y2=8x的焦點，點A4,2，P為拋物線上一點，點P不在直線A.4 B.6 C.6+22解：拋物線y2=8x的焦點F2如圖,過點P作PH⊥準線l于點H，則△PAF的周長為PH+PA+AF.又AF=22，可知當A,P,考點二拋物線的幾何性質(zhì)例2【多選題】設拋物線C：y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交l于B，D兩點.若A.BF=3 B.C.點F到準線的距離為3 D.拋物線C的方程為y解：根據(jù)題意，作出圖形如圖所示.因為FA為半徑的圓交l于B，D兩點，所以FA=FB.又FA=AB，所以△ABF因為∠ABD=90°，AB//x軸，所以∠BFO=60°，所以BF=2p，S焦點到準線的距離為p=3，所以C拋物線的方程為y2=6x，所以D正確【點撥】在解決與拋物線的性質(zhì)有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此.變式2（1）設O為坐標原點，直線x=2與拋物線C:y2=2pxp>0交于A.1,0 B.2,0 C.(14,解：（方法一）因為拋物線C關于x軸對稱，直線x=2關于x軸對稱，所以D，E兩點關于x軸對稱.因為OD⊥OE，所以D，E兩點橫、縱坐標的絕對值相等.不妨設點D2,2，將點D的坐標代入y2=2px,得4=4p（方法二）將x=2代入拋物線方程y2=2px,可得直線x=2與拋物線C的交點坐標為2,2p，2,-2p.不妨設D2,2p,E2,-2p,則故選D.（2）已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足NF=3解：過N作準線的垂線，垂足為P，則有PN=NF，所以PN=32MN，∠NMF=∠MNP.又cos∠MNP考點三直線與拋物線例3[2023年新課標Ⅱ卷]【多選題】設O為坐標原點，直線y=-3x-1過拋物線C:y2=2pxp>0A.p=2 C.以MN為直徑的圓與l相切 D.△OMN解：對于A，直線y=-3x-1過點1,0，所以拋物線C的焦點為F1,0，對于B，拋物線C的方程為y2=4x，設Mx1,y1，Nx2,y2，由y=-3x-1,y2=對于C，設MN的中點為A，點M，N，A到直線l的距離分別為d1，d2，d.因為d=12d1+d2=12MF+NF=12MN，即點A到直線對于D，由題意,得y1=-3×3-1=-23，y2=-3×13故選AC.【點撥】解決直線與拋物線公共點（交點）問題，要注意應用根與系數(shù)的關系及設而不求、整體代換的技巧.另外，拋物線的幾何性質(zhì)及導數(shù)工具等的應用往往能簡化運算.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB=x1+x變式3[2022年新課標Ⅰ卷]【多選題】已知O為坐標原點，點A1,1在拋物線C:x2=2pyp>0A.C的準線為y=-1 B.直線AB與C.OP?OQ>解：將點A的坐標代入拋物線方程,得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準線方程為y=-kAB=1--11-0=2，所以直線A