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規(guī)范答題提升課——立體幾何綜合問題[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點.(1)證明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.問題1:看到證明線面平行想到什么?思路由線面平行的判定定理進(jìn)行證明.問題2:如何證明(1)中線面平行?思路構(gòu)造平行四邊形或三角形中位線,先證明線線平行.問題3:PO是三棱錐的高,PA=PB,可以得出什么結(jié)論?思路斜線相等,它在底面的射影也相等.問題4:如何求二面角C-AE-B的正弦值?思路建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面與平面所成角的公式求解.(1)連接BO并延長交AC于點D,連接OA,PD,1分因為PO是三棱錐P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO?平面ABC,又PA=PB,所以O(shè)A=OB,又AB⊥AC,所以∠BAC=90°,所以O(shè)是△ABD的外心,所以DO=OB,2分又E為PB的中點,所以O(shè)E為△PBD的中位線,所以O(shè)E∥PD,3分又OE?平面PAC,PD?平面PAC,所以O(shè)E∥平面PAC;4分(基礎(chǔ)得分點,線面平行的判定)(2)如圖,以點A為坐標(biāo)原點,直線AB,AC分別為x軸,y軸,過點A與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,6分(發(fā)展得分點①,空間直角坐標(biāo)系的建立)因為PO=3,AP=5,所以O(shè)A=eq\r(AP2-PO2)=4,又∠OBA=∠OBC=30°,BD=2OA=8,所以AD=4,AB=4eq\r(3),AC=12,所以O(shè)(2eq\r(3),2,0),B(4eq\r(3),0,0),P(2eq\r(3),2,3),C(0,12,0),所以E(3eq\r(3),1,eq\f(3,2)),則eq\o(AE,\s\up6(→))=(3eq\r(3),1,eq\f(3,2)),eq\o(AB,\s\up6(→))=(4eq\r(3),0,0),eq\o(AC,\s\up6(→))=(0,12,0),設(shè)平面AEB的法向量為n=(x1,y1,z1),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))=3\r(3)x1+y1+\f(3,2)z1=0,,n·\o(AB,\s\up6(→))=4\r(3)x1=0,))令z1=2,得n=(0,-3,2);8分設(shè)平面AEC的法向量為m=(x2,y2,z2),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))=3\r(3)x2+y2+\f(3,2)z2=0,,m·\o(AC,\s\up6(→))=12y2=0,))令x2=eq\r(3),得m=(eq\r(3),0,-6);10分(發(fā)展得分點②,平面法向量的求法)設(shè)二面角C-AE-B為θ,則|cosθ|=eq\f(|n·m|,|n||m|)=eq\f(12,\r(13)×\r(39))=eq\f(4\r(3),13),11分所以sinθ=eq\r(1-cos2θ)=eq\f(11,13),故二面角C-AE-B的正弦值為eq\f(11,13).12分(終極得分點,利用空間向量法求二面角)基礎(chǔ)分發(fā)展分終極分≤4分[5,9]分≥10分約30%約45%約25%(1)得步驟分:對于解題過程中是得分點的,有則給分,無則沒分,對于得分點步驟一定要寫全.第(1)問中正確作出輔助線得1分,通過證明推導(dǎo)出OE為△PBD的中位線,得1分,利用線面平行的判定定理得出結(jié)論得2分;第(2)問中根據(jù)(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,只要建系正確就可得分.再分別求出相關(guān)點的坐標(biāo),求出平面AEB及平面AEC的法向量,再根據(jù)二面角公式求解,有則給分,無則不得分.(2)得關(guān)鍵分:對于解題過程中的關(guān)鍵點,有則給分,無則沒分,解題時一定要寫清得分的關(guān)鍵點.第(1)問中證明線面平行的關(guān)鍵步驟要寫清OE?平面PAC,PD?平面PAC,有則給分,無則不得分;第(2)問中的關(guān)鍵步驟是求出|cosθ|=eq\f(|n·m|,|n||m|)的值后,要轉(zhuǎn)化為求sinθ=eq\r(1-cos2θ),如果沒有進(jìn)行轉(zhuǎn)化扣掉1分.(3)得計算分:通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,解答正確與否,關(guān)鍵在運(yùn)算上.如第(2)問中:得分點①:正確求出相應(yīng)點的坐標(biāo),坐標(biāo)正確得分,只要有一個點的坐標(biāo)不正確,直接影響到后邊的運(yùn)算.得分點②:求出兩個法向量,只要求解正確即可得2分.得分點③:求|cosθ|=eq\f(|n·m|,|n||m|),計算正確得1分,錯誤不得分.得分點④:求sinθ=eq\r(1-cos2θ)的值,計算正確得1分.解題思維技巧策略立體幾何解答題的基本模
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