高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)規(guī)范答題提升課-立體幾何綜合問題（導(dǎo)學(xué)案）

規(guī)范答題提升課——立體幾何綜合問題[典例](12分)(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中點．(1)證明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．問題1：看到證明線面平行想到什么？思路由線面平行的判定定理進行證明．問題2：如何證明(1)中線面平行？思路構(gòu)造平行四邊形或三角形中位線，先證明線線平行．問題3：PO是三棱錐的高，PA＝PB，可以得出什么結(jié)論？思路斜線相等，它在底面的射影也相等．問題4：如何求二面角C-AE-B的正弦值？思路建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面所成角的公式求解．(1)連接BO并延長交AC于點D，連接OA，PD，1分因為PO是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO，BO?平面ABC，又PA＝PB，所以O(shè)A＝OB，又AB⊥AC，所以∠BAC＝90°，所以O(shè)是△ABD的外心，所以DO＝OB，2分又E為PB的中點，所以O(shè)E為△PBD的中位線，所以O(shè)E∥PD，3分又OE?平面PAC，PD?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC；4分（基礎(chǔ)得分點，線面平行的判定）(2)如圖，以點A為坐標(biāo)原點，直線AB，AC分別為x軸，y軸，過點A與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，6分（發(fā)展得分點①，空間直角坐標(biāo)系的建立）因為PO＝3，AP＝5，所以O(shè)A＝eq\r(AP2－PO2)＝4，又∠OBA＝∠OBC＝30°，BD＝2OA＝8，所以AD＝4，AB＝4eq\r(3)，AC＝12，所以O(shè)(2eq\r(3)，2，0)，B(4eq\r(3)，0，0)，P(2eq\r(3)，2，3)，C(0，12，0)，所以E(3eq\r(3)，1，eq\f(3,2))，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(3eq\r(3)，1，eq\f(3,2))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4eq\r(3)，0，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0，12，0)，設(shè)平面AEB的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x1＋y1＋\f(3,2)z1＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝4\r(3)x1＝0，))令z1＝2，得n＝(0，－3，2)；8分設(shè)平面AEC的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))＝3\r(3)x2＋y2＋\f(3,2)z2＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝12y2＝0，))令x2＝eq\r(3)，得m＝(eq\r(3)，0，－6)；10分(發(fā)展得分點②，平面法向量的求法)設(shè)二面角C-AE-B為θ，則|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)＝eq\f(12,\r(13)×\r(39))＝eq\f(4\r(3),13)，11分所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(11,13)，故二面角C-AE-B的正弦值為eq\f(11,13).12分（終極得分點，利用空間向量法求二面角）基礎(chǔ)分發(fā)展分終極分≤4分[5，9]分≥10分約30%約45%約25%(1)得步驟分：對于解題過程中是得分點的，有則給分，無則沒分，對于得分點步驟一定要寫全．第(1)問中正確作出輔助線得1分，通過證明推導(dǎo)出OE為△PBD的中位線，得1分，利用線面平行的判定定理得出結(jié)論得2分；第(2)問中根據(jù)(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，只要建系正確就可得分．再分別求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面AEB及平面AEC的法向量，再根據(jù)二面角公式求解，有則給分，無則不得分．(2)得關(guān)鍵分：對于解題過程中的關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，解題時一定要寫清得分的關(guān)鍵點．第(1)問中證明線面平行的關(guān)鍵步驟要寫清OE?平面PAC，PD?平面PAC，有則給分，無則不得分；第(2)問中的關(guān)鍵步驟是求出|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)的值后，要轉(zhuǎn)化為求sinθ＝eq\r(1－cos2θ)，如果沒有進行轉(zhuǎn)化扣掉1分．(3)得計算分：通過建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解答正確與否，關(guān)鍵在運算上．如第(2)問中：得分點①：正確求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，坐標(biāo)正確得分，只要有一個點的坐標(biāo)不正確，直接影響到后邊的運算．得分點②：求出兩個法向量，只要求解正確即可得2分．得分點③：求|cosθ|＝eq\f(|n·m|,|n||m|)，計算正確得1分，錯誤不得分．得分點④：求sinθ＝eq\r(1－cos2θ)的值，計算正確得1分．解題思維技巧策略立體幾何解答題的基本模