廣東省佛山市2024屆高三年級下冊教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學試題（含答案與解析）

2023?2024學年佛山市普通高中教學質(zhì)量檢測（二）

高三數(shù)學

本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必要填涂答題卷上的有關(guān)項目.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；

如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要

求作答的答案無效.

4.請考生保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

X2.￡=1

1.已知雙曲線2,則其漸近線方程為（）

A.y=±—xB.y=±-----xC.y—+V2xD.y-i2x

22'

2.已知集合4={*,2—xNo},5={工卜<4，且AB=R,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>0B.a>0C.a>lD.a>l

—71

3.某圓錐高為6,母線與底面所成角為§，則該圓錐的表面積為（）

A.37rB.4兀C.5兀D.6兀

4.勞動可以樹德、可以增智、可以健體、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動實踐比賽，

已知冠軍是甲、乙當中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學的名次排列（無并列名次）共有

（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

5.已知尸是過0（0,0）,叫（T3）,%（-3,—1）三點的圓上的動點，則|尸0|的最大值為（）

A.亞B.2亞C.5D.20

234

6.已知角。滿足——-+—-+--=0,則cos26的值為（）

sin28tancos8

7.已知0<°<1且awj若函數(shù)/（x）=21og〃x—log?”在（0,+oo）上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為

（）

A.（；g）B.（0,；）C.（；,；）U（g,DD.（0,；）J（；,l）

22

8.已知橢圓C：5+￡=1（?！?〉0）左、右焦點分別為耳6（c,0）,點A,8在C上，且滿

足EA=2RB,片必43=402-人，則。的離心率為（）

1~116

A,巫B.逅C.2

333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)Z],Z2滿足Z2—2Z+2=0，則（）

A.Z]=z2B.Z]Z,=[Z1『C.zx+z2--2D.—=1

Z2

10.已知平面a'平面，=/,A,Bea且A,B隹I,C,De，且C,D生I,E,Fel,且

BFU,下列說法正確的有（）

A.若AC，#,則CE_U

B.若AB//CD,則幾何體ACE-瓦加是柱體

C.若CE_L/,DFU,則幾何體ACE—6DF是臺體

D.若且AC=AZ）,則直線AC,A。與夕所成角大小相等

11.一個有限樣本空間中，假設(shè)P（A）=P（3）=P（C）=g,且A與B相互獨立，A與C互斥，則

（）

A.P（AoB）=|B.P（C|A）=2P（A|C）

C.P（C\AB）=\D.若P（C忸）+P（C忸）=g,則8與C互斥

三、填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.其中第14題第一空2分.第二空3分.

12.己知定義在R上的偶函數(shù)八％）在［0,+e）上單調(diào)遞減，且/⑴=2,則滿足〃無）+/（—￡>>4的實

數(shù)x的取值范圍為.

13.統(tǒng)計學中通常認為服從于正態(tài)分布N（〃,b2）的隨機變量x只?。邸ā?cr,〃+3cr］中的值，簡稱為3b

原則.假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N（400,（T2）（單位：g）,某

天生產(chǎn)線上的檢測員隨機抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g,他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停

產(chǎn)檢修.由此可以得出，行的最大值是.

14.近年，我國短板農(nóng)機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩(wěn)步增強，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)扎實推進.農(nóng)用機械中常

見有控制設(shè)備周期性開閉的裝置.如圖所示，單位圓。繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為

2TC

27irad/s,圓上兩點A,8始終滿足NAO3=——，隨著圓。的旋轉(zhuǎn)，A,B兩點的位置關(guān)系呈現(xiàn)周期性變

3

化.現(xiàn)定義：A,8兩點的豎直距離為A,8兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假設(shè)運動開始時刻，即

/=0秒時，點A位于圓心正下方：則/=秒時，A,B兩點的豎直距離第一次為0；A,8兩點的豎

直距離關(guān)于時間f的函數(shù)解析式為/?）=.

水平面

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝和等差數(shù)列也｝的前w項和分別為Tn,且S“+a“=2,々=q,n=隹.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項公式；

⑵若C”an-b“=l,求數(shù)列｛c?｝的前n項和.

16.如圖，三棱錐P—A5C中，正三角形PAC所在平面與平面ABC垂直，。為AC的中點，G是

.PBC的重心，OG±BC,G到平面P4C的距離為1,A3=6.

p

B

（1）證明：AB//平面POG；

（2）證明：是直角三角形；

（3）求平面R45與平面尸5c夾角的余弦值.

17.如圖，在一條無限長的軌道上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或

向右移動一個單位，設(shè)移動“次后質(zhì)點位于位置X”.

-4-3-2-101234

⑴求尸（乂4=-2）；

（2）求E（X“）；

（3）指出質(zhì)點最有可能位于哪個位置，并說明理由

18.已知/（X）=—+4e*-ox—5.

（1）當a=3時，求/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/（X）有兩個極值點X1,巧，證明：/（玉）+/（工2）+玉+工2<0.

19.兩條動直線，=左/和y=左2%分別與拋物線。：爐=2°%（2>0）相交于不同于原點的4B兩點，當

「.Q鉆的垂心恰是C的焦點時，|A同=4

（1）求P;

（2）若左1a=-4,弦A3中點為P,點M（—2,0）關(guān)于直線A5的對稱點N在拋物線C上，求的

面積.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知雙曲線2,則其漸近線方程為（）

[5

A.y=±—xB.y=±-----xC.y—D.y-i2x

2，2

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可.

2

【詳解】由于雙曲線為V—三=1,所以其漸近線方程為>=±缶.

故選：C

2.已知集合4={%,—x20},B={x\x<a},且AB=R,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>0B.a>0C.a>lD.a>l

【答案】D

【解析】

【分析】先計算出集合A后，借助并集定義計算即可得.

【詳解】由爐―可得或尤<0,即A={x|x?l或xWO},

由AB=R,5={x|x<a},則a21.

故選：D.

—兀

3.某圓錐高為班，母線與底面所成的角為則該圓錐的表面積為（）

A.3兀B.4兀C.5兀D.6兀

【答案】A

【解析】

【分析】求出該圓錐底面圓的半徑為r,再利用勾股定理求出母線長，代入表面積公式求解即可.

V31

_7Tv—,—1

【詳解】由圓錐高為石，母線與底面所成的角為；，得圓錐底面圓半徑一左一，

3tan—

3

母線1=出+（后2=2,所以圓錐的表面積S=兀/+71rl=3Ji.

故選：A

4.勞動可以樹德、可以增智、可以健體、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動實踐比賽,

已知冠軍是甲、乙當中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學的名次排列(無并列名次)共有

()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即得.

【詳解】依題意，排第1名，有C；種方法，排丁和戊，有A；種方法，排余下2人，有A；種方法，

所以這5名同學的名次排列(無并列名次)共有C；A；A；=24(種).

故選：B

5.已知尸是過0(0,0),M(T3),三點的圓上的動點，則1Poi的最大值為()

A.小B.2#>C.5D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由向量的坐標運算可得0%=°，即得是以加1加2為直徑的圓上的三點，從而可

求得結(jié)果.

【詳解】依題意，OMX=(-1,3),OM2=(-3,-1),則OM.OM.=-lx(―3)+3x(-1)=0,

因此線段叫叫是圓的直徑，且|必叫|=26，而點P是該圓上的點，

所以|尸。的最大值為2逐.

故選：B

234

6.已知角。滿足——-+—-+--=0,則cos26的值為（）

sin28tancos8

5115

A.——B.——C.一D.-

9999

【答案】C

【解析】

【分析】借助三角恒等變換公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡可得sin。的值，即可得解.

234L立+」^6co￡￡8sinf

【詳解】由++

sin28tan。cos。sin28sin。cos。sin2^sin20sin28

_6cos26>+8sin6>+2_6—6sin26>+8sin6>+2_-2(3sin2e-4sin6-4)_0,

sin29sin28sin28

則3sin2。一4sin6>—4=(3sin8+2)(sine_2)=0,

29

則sin8=—§或sin6=2,由sin6￡[—l,l],故sin6=—§,

則cos2e=l-2sin2e=l-2x]-2]=—.

I3j9

故選：C.

7.已知0<“<l且awg,若函數(shù)/(x)=21og“x-log2〃x在(0,+co)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為

()

A.(；,；)B.(0,：)C.(；,；)U(g,DD.(O,：)J(；,1)

【答案】D

【解析】

“、In4〃1

【分析】由換底公式可得7(%)=^—―TT-lnx,由函數(shù)的單調(diào)性建立不等式并求解即可.

Ina?(In2a)

、21nxInx2]n2a-lna,In4。,

【詳解】依題意‘/⑴二隹-----------lnx=-----------Inx,

In2aIna?(In2a)Ina?(In2a)

顯然函數(shù)y=InX在(0,+00)上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減,

Inflntz<011

因此";---/I0、一O，而則1114〃<()或〈-八，解得°<a<—或一

lntz-(ln2a)[ln2〃>042

所以實數(shù)a的取值范圍為(0,1)J(2』).

42

故選：D

8.已知橢圓C：二+4=l(a〉6〉0)的左、右焦點分別為4(-。，。)，月(c,0),點A,B在C上，且滿

ab

2

足耳A=2瑪5,耳323=4c?-3，則C的離心率為()

A.遞B.逅C.工D.立

3333

【答案】B

【解析】

【分析】取的中點M，由已知可得四邊形團陽心為平行四邊形，貝『|=|月8|=2c,利用數(shù)量積

運算可得|AG|=2|AM|=],再結(jié)合橢圓的定義及余弦定理求得a,c的關(guān)系即可得解.

【詳解】如圖，由耳4=263,得3￡//AG，|3E|=g|AG|,取世的中點跖

則四邊形5明巴為平行四邊形，I|=|月月|=2c,

...2..2.2

于是1545=5-++-MA=^-MA，

2

則4c2-MA2=4C2一幺，解得|AM|=0,\AFX\=2\AM\=-,

1642

=a,又月|二|加耳|=，

由橢圓定義知1AF21=2a-\AFX\~|31\BFX|=2a-\BF2\=-af

由耳，得二

5&//A■Tt,gpcosZAF}F2+cosABF2FX=0,

|4月|2+|4耳|2-|4月|2J4月『+18月|2-|3耳『

在AAK工和，6月與中，余弦定理得：

2|耳巴||A耳|2|耳心||8旦|

(2c)2+(4of-(4a)?(2C)2+(4一(1)2

即2]2+4]4=0,整理得2a2=3。2,

2?2c?一a2?2c?一〃

24

所以C的離心率為e=￡=

a3

故選：B

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：

①定義法：通過已知條件列出方程組，求得。得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解；

③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)Z-Z2滿足Z2—2Z+2=0，貝1J（）

A.Zj=z2B.Z]Z'=[Z]『C.zx+z2--2D.—=1

Z2

【答案】ABD

【解析】

【分析】解方程求出4/2,再結(jié)合共輾復數(shù)、模的意義及復數(shù)運算逐項判斷即可.

【詳解】方程z2—2z+2=0,化為（z—l）2=i2,解得z=l+i或z=l—i，

由復數(shù)Z-Z2滿足z?—2z+2=0,不妨令Z[=l+i,z2=l-i,

對于A,顯然復數(shù)z「Z2互為共軌復數(shù)，即]=Z2,A正確；

對于B,4Z2=（l+i）（l—i）=2,而I4|=|z?|=夜，則Z]Z2=|Z/2,B正確；

對于C,4+Z2=2,C錯誤；

對于D,由I4|=|z?|=0，得匕?^=1，口正確.

故選：ABD

10.已知平面a平面，=/,A,Bea且A,B^l,C,De萬且C,D生/,E,F&l,且

BFU,下列說法正確的有（）

A若AC，，，則CEJJ

B.若ABI/CD,則幾何體ACE—6DF柱體

C.若CEL/,DF±l,則幾何體ACE-BDF是臺體

D.若。，尸，且AC=AD,則直線AC,A。與夕所成角的大小相等

【答案】AD

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷A；利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷B；利用棱臺的結(jié)構(gòu)特征判斷C；利

用直線與平面所成的角，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A,由平面a平面，=/,得0,而AC，/?,則AC_U,又AEJJ,

Aea且人e/,Ce,且于是ACcAE=A,因此//平面ACE,

而CEu平面ACE,所以C￡_U,A正確；

對于B,平面a平面，=/,C,De0且C,D生I,E,Fel,則CE〃。/不一定成立，

而棱柱的每個側(cè)面都是平行四邊形，因此幾何體ACE-5DF不一定是柱體，B錯誤；

對于C,由CE，/,DF±l,而AB,/ua,AB與/不一定相交，CD,lu0,C。與/也不一定相交，

即使48、CO與/都相交，但交點也不一定重合，因此幾何體ACE—5DF不一定是臺體，C錯誤；

對于D,平面an平面，=/,Aea且E&1,則AEutz,而AE±Z,因此AE

又C,De。,連接CE、DE,則NACE,NADE分別是直線AC、AD與夕所成角，

而CE,DEuj3,AE±/3,因此AE_LCE,AE_LDE,而AC=AD,于是AACE絲VADE,

所以NACE=NADE,即直線AC,A。與￡所成角的大小相等，D正確.

11.在一個有限樣本空間中，假設(shè)P（A）=P（3）=P（C）=g,且A與8相互獨立，A與C互斥，則

（）

A.P（AoB）=|B.P（C|A）=2P（A|C）

C.P（C\AB）=\D.若尸（C忸）+P（C同=g,則8與C互斥

【答案】BCD

【解析】

【分析】A與2相互獨立，則P（AB）=尸（A）P（6）,又因為P（Au6）=P（A）+P（5）—P（AB）可判斷

（）

A選項；由條件概率的運算0（/司I人、）=晟PB判A斷B選項；因為A與C互斥’即A發(fā)生則C一定不發(fā)

生，故P（CA）=P（A）可判斷C選項；P（BC）=O,即B與C互斥判斷D.

【詳解】對于A,A與8相互獨立，則P（AB）=P（A）P（3）=gx；=f,

P（AoJB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1+!-1=j,A錯誤;

對于B,因為A與C互斥，所以所以

產(chǎn)同可=黑=3尸（團），川川日二對二黑三可包），

所以P（［A）=2P（川C）,B正確；

、P（CAB）

對于C,尸（CA3=一一因為A與C互斥，即A發(fā)生則C一定不發(fā)生，

v1）P（AB）

所以P（G1）=P（A）,所以「回4句="^=累》=1，C正確；

對于D,顯然尸（C）=P（5C）+P（月C）=g,即尸（耳C）=g—P（3C）,

/?1（）（）、3「1/J1

由p（c⑻+P（c⑻=引得P鬲CB+P&CB=3尸（/區(qū)）+治/"區(qū)）］=5，

解得P（BC）=O,所以2與C互斥，D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了互斥事件、獨立事件概念和條件概率的公式化簡運算，關(guān)鍵在于理解

和事件與積事件的求法，并于條件概率運算公式中的項相結(jié)合，進行化簡，進而向各選項表達式靠攏判斷

正誤.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.其中第14題第一空2分.第二空3分.

12.已知定義在R上的偶函數(shù)八％)在［0,+。)上單調(diào)遞減，且/⑴=2,則滿足“x)+/(r)>4的實

數(shù)x的取值范圍為.

【答案】(—1,1)

【解析】

【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)>2,再結(jié)合單調(diào)性計算即可得.

【詳解】由/⑺為偶函數(shù)且在［0,+。)上單調(diào)遞減，故/(%)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

又/(1)=2,故當〃x)>2,可得xe(—l,l),

又/(—x)=/(x)，故/(x)+=(—x)>4等價于〃x)>2,

故x的取值范圍為(—1,1).

故答案為：(-1,1).

13.統(tǒng)計學中通常認為服從于正態(tài)分布N(〃,b2)的隨機變量x只取［〃—3cr,〃+3cr］中的值，簡稱為3b

原則.假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(400,a?)(單位：g),某

天生產(chǎn)線上的檢測員隨機抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g,他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停

產(chǎn)檢修.由此可以得出，。的最大值是.

【答案】5

【解析】

【分析】利用3b原則列出不等式，求解即得.

【詳解】依題意，〃=400,由3b原則，得400+3bW415,解得bW5,

所以b的最大值是5.

故答案為：5

14.近年，我國短板農(nóng)機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩(wěn)步增強，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)扎實推進.農(nóng)用機械中常

見有控制設(shè)備周期性開閉的裝置.如圖所示，單位圓。繞圓心做逆時針勻速圓周運動，角速度大小為

2兀

27irad/s,圓上兩點A,2始終滿足NAO3=—,隨著圓。的旋轉(zhuǎn)，A,B兩點的位置關(guān)系呈現(xiàn)周期性變

3

化.現(xiàn)定義：A,B兩點的豎直距離為A,B兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假設(shè)運動開始時刻，即

/=0秒時，點A位于圓心正下方：則/=秒時，A,B兩點的豎直距離第一次為0；A,8兩點的豎

直距離關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為/(/)=

~7777777777777777777777777777777

【答案】①.|②.V3|sin(27i?+^)|

【解析】

【分析】以。為原點，以。4所在直線為y軸建立平面直角坐標系，利用三角函數(shù)定義表示點A3的坐標,

由已知結(jié)合和角的正弦公式化簡即得.

【詳解】以。為原點，以O(shè)A所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，由于角速。=27irad/s,

設(shè)點A(cos(27U-]),sin(27U-])),圓上兩點A、8始終保持=

7T7T

則5(cos(2兀1+一),sin(2ji1+—)),要使A、8兩點的豎直距高為0,

66

TTTT7TI

則sin(2?U——)=sin(2?r[+—)，第一次為0時，4兀/——=兀，解得/=—，

2633

兀兀G]

f(t)=|sin(2兀1+—)-sin(2兀1——)|=|-^―sin271t+—cos2兀1+cos2兀1|

6222

=|sin2兀1+cos2兀/1二6|sin(27iZ+g)I.

故答案為：—；下＞Isin(2;i^+—)|

水平面

【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及三角函數(shù)實際應用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應的角是關(guān)

鍵，特別注意，始邊是1軸非負半軸.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛qJ和等差數(shù)列也｝的前w項和分別為S“，T”,且S“+a〃=2,b、=a、,n=45.

(1)求數(shù)列｛4｝,也,｝的通項公式；

⑵若C&H，求數(shù)列｛&｝的前"項和.

【答案】(1)4=§)""，匕,=2〃-1；

(2)(M-1)-2"+1+2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式，由等差數(shù)列的前〃項和公式求得公差，即得通項公式；由作差法得數(shù)列

｛?｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求解.

(2)由(1)求出c“，運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得到所求和.

【小問1詳解】

由+?！?2,得S]+q=2,即2a1=2,解得q=1,則偽=4=1,

設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,由豈=4￡,得的+6d=4(2偽+d),解得d=26]=2,

所以數(shù)列也｝的通項公式為2=4+(〃—l)d=2〃—1；

由S.+4=2,得當"時，S“_i+a“_i=2,兩式相減得2%-%-=0,即a“=ga,T，

因此數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為g的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛??｝的通項公式為4=?r(g)a=

【小問2詳解】

b+1

由⑴及。,"“一d=1,得C“=^—=2n-2,i-|=n-2n,

an

令數(shù)列｛cn｝的前n項和為An,

則=1X2+2X2?+3X23++〃X2",

于是24=lx22+2x23++(〃-1)x2"+〃x2"M,

兩式相減得—4=2+22+23+-+2"—〃?2"M=當二|_2—“心向=—2—(〃—

所以4=5-1)2+1+2

16.如圖，三棱錐尸—A5C中，正三角形P4C所在平面與平面ABC垂直，。為AC的中點，G是

PBC的重心，OG±BC,G到平面Z4C的距離為1,A3=6.

(1)證明：AB//平面POG；

(2)證明：是直角三角形；

(3)求平面PA3與平面尸5C夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析;⑶警

【解析】

【分析】(1)連接PG并延長交8C于￡>,連接?！?gt;、0G,由0D//A6,利用線面平行的判定推理即得.

(2)平面平面ABC,可得尸01平面ABC,結(jié)合0D//AB,可得結(jié)論.

(3)建立空間直角坐標系，求出法向量，可得平面B43與平面P8C夾角的余弦值.

【小問1詳解】

在三棱錐P—A5C中，連接PG并延長交BC于D,連接。。、0G,

由G為,PBC的重心，得。為BC的中點，又。是AC中點,

則OD//AB,又OOu平面P0G,45</平面2。3,

【小問2詳解】

由△/>/4c是正三角形，。是AB的中點，得POJ_AC,

又平面PAC±平面ABC,平面PAC1平面ABC=AC,POu平面PAC,

則PO1平面ABC,又5Cu平面ABC,于是POJ.BC,

又OGLBC,又PO,OGu平面尸on,POOG=O,因此5cl平面POD,

又OOu平面P。。，則3C，。。，又由(1)知OD//A6,于是BCLAB,

所以JRC是直角三角形.

【小問3詳解】

在平面ABC內(nèi)過8作3尸」AC于R平面K4CL平面ABC,平面B4Cc平面ABC=AC,則政，平

面PAC,

由G為,PBC的重心，且G到平面E4C的距離為1,得8到平面B4C的距離為3,即3尸=3,

BF1ABI-

在中，sinZBAF=——=一，則NBA/=30，在RtZXABC中，AC=---------=4。3,

AB2cos30

以。為原點，直線OC,。尸分別為y,z軸，過點。且垂直于平面出C的直線為無軸，建立空間直角坐標

系，

則A(0,-260),3(3,50),C(0,2后0),P(0,0,6),

設(shè)平面PAB的法向量為m=(xl,yl,zl),AP=(0,20,6),A5=(3,373,0),

m-AP=2A/3y,+6z,=0l

則L，令Zi=l,得根=(3,—6,1),

m-AB=3xj+313y、=0

設(shè)平面PBC的法向量為w=(x2,y2,z2),CP=(0,-2A6),CB=(3,-石,0),

nCP=-2y/3y?+6z?=0l

則'■，令Z2=l,得〃=(1,百,1),

n-CB=3X2-J3y2=0

因止匕cos(m,ri)=.——~『=包5,

|;w||n|A/13xV565

所以平面與平面PBC夾角的余弦值為上上.

65

17.如圖，在一條無限長的軌道上，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或

向右移動一個單位，設(shè)移動”次后質(zhì)點位于位置X”.

-4-3-2-101234

(1)求尸(乂4=一2);

(2)求E(X〃)；

(3)指出質(zhì)點最有可能位于哪個位置，并說明理由.

【答案】(1)—;

4

(2)0；(3)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)設(shè)質(zhì)點〃次移動中向右移動的次數(shù)為y,則yx==2y—〃，利用p(y=i)計算

即可.

(2)利用期望的性質(zhì)，結(jié)合二項分布的期望公式計算即可.

ck

(3)利用二項分布可得p(y=Q=:,結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【小問1詳解】

設(shè)質(zhì)點〃次移動中向右移動的次數(shù)為y,顯然每移動一次的概率為則y3(〃,；)，

3

Xn=Y-(n-Y)=2Y-n,所以P(X4=-2)=P(Y=1)=C^(1)(1)=:.

【小問2詳解】

]1n

由(1)知，YE(Y)=n--=~,又X“=2F—”，

所以E(X〃)=2E(y)—“=0.

【小問3詳解】

11rk

由(1)知，P(Y=k)=,k&N,k<n,

.nVI

當九為偶數(shù)時，｛c*中間的一項ci取得最大值，即y=—時概率最大，此時x“=o,

"2

所以質(zhì)點最有可能位于位置0；

,?-1?+1〃一1H+1

當九為奇數(shù)時，｛C：｝中間的兩項c萬C可取得最大值，即丫==丁或丫=—二時概率最大，此時

22

X〃=—1或X"=l,

所以質(zhì)點最有可能位于位置-1或1.

18.已知/(x)=—萬??*+4e*-—5.

(1)當a=3時，求/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)有兩個極值點X1,巧，證明：/(玉)+/(工2)+%+X2

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導后，借助導數(shù)的正負即可得原函數(shù)的單調(diào)性；

r2

(2)借助換元法，令/=］，4=爐，t2=e,可得"、是方程r―4t+a=0的兩個正根，借助韋達

定理可得％+與=4,中2=0，即可用彳、表示/(/)+/(%2)+%+%2，進而用a表示

/(玉)+/(9)+%+馬，構(gòu)造相關(guān)函數(shù)后借助導數(shù)研究其最大值即可得.

【小問1詳解】

當4=3時，y(x)=-1e2x+4er-3%-5,

/(x)=-e2T+4eT-3=-(ev-l)(e':-3),

則當e*e(0,l)u(3,+8),即xe(-8,0)u(ln3,+8)時，

當e￡?l,3),即xe(0,ln3)時，/'(x)>0,

故/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0)、(加3,+。)，單調(diào)遞增區(qū)間為(O,ln3)；

【小問2詳解】

/'(%)=—e~*+4e*—a,令￡=/,即=—r+4/—a,

令/!=爐，/2=e%，則彳、是方程/一〃+4=0的兩個正根，

則△=(T)2—4a=16—4a>0,即a<4,

有%+%2=4,txt2=a>Q,即0<av4,

則《/*(玉)+f(%2)+玉+*2=_~e2/+4e%l_ciXy—5——匕之巧+4e*2_ax2_5+%+x?

-—2,:+W)+4(a+^)—(a-1)(in八+InL)-10

——(4+，2)-2%I%2+4(%I+，2)--l)ln%，2-]0

2—-

=-^(16-2d!)+16-(6i-l)ln4z-10

二Q一(Q—1)1HQ—2,

要證/(%)+/(%)+%+W<。，即證〃一(〃一1)山〃一2<。(0<〃<4),

令g(x)=x-(x-l)lnx—2(0v%v4),

則g,(x)=l-^lnx+^^-^=--lnx,

令丸(x)=--lnx(0<%<4),則”'(x)=—-y-—<0,

則g'(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，

又g")=：—lnl=l,g,(2)=1-ln2<0,

故存在不?1,2),使8'(%)=,一111%=0,即‘Tn%,

xoxo

則當了e(0,%)時,g'(x)>0,當xe(%o,4)時,g'(x)<0,

故g⑴在(0,%)上單調(diào)遞增，g⑴在(七，4)上單調(diào)遞減，

則g(x)<g(x())=%一(%—Din%—2=%一(%-l)x-—2=%+一—3,

X。xo

又毛￡(1,2),則％,故g(冗o)=%o+3<0,

即g(x)<0,即/(